Arithmétique : nombres premiers :

Arithmétique : nombres premiers :
Dans tout ce chapitre, les nombres considérés sont des entiers naturels. Nous nous plaçons donc dans le cadre de l'arithmétique.
I. Diviseurs d'un entier naturel :
a) Vocabulaire :
Définition : Soient a et b deux entiers naturels.
On dit que b est un diviseur de a (ou que a est un multiple de b), s'il existe un entier naturel k tel que a = kb.
Exemples :
15 admet pour diviseurs les nombres 1, 3, 5 et 15.
1, 2, 3, 4, 6 et12 sont des diviseurs de 12 puisque 12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4.
0 admet une infinité de diviseurs.
b) Critères de divisibilité :
- Un nombre est divisible par 2 s'il se termine par un chiffre pair.
- Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3
- Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
- Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5.
- Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible à la fois par 2 et par 3.
- Un nombre est divisible par 7 si et seulement si le nombre de dizaines - le double du chiffre des unités est divisible par 7.
- Un nombre est divisible par 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8.
- Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
- Un nombre est divisible par 10 si le chiffre des unités est 0.
- Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 : on calcule la somme A des chiffres en position impaire ;
on calcule la somme B des chiffres en position paire ;
N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par 11.
- Un nombre est divisible par 12 s'il est divisible par 3 et par 4.
c) Méthode pratique de recherche des diviseurs :
80 =
1 × 80
2 × 40
3 non
4 × 20
5 × 16
6 non
7 non
8 × 10
On arrête, car 9 × 9 = 81 80
L'ensemble des diviseurs de 80 est :
{1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ;10 ; 16 ; 20 ; 40 ; 80 }
II. Nombres premiers :
Définition :
On dit qu'un entier naturel p est premier, lorsqu'il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples :
0 n'est pas un nombre premier, car il admet une infinité de diviseurs.
1 n'est pas un nombre premier, car il n'admet qu'un diviseur : lui-même.
2, 3, 5 et 7 sont des nombres premiers.
6 n'est pas un nombre premier, car il admet 4 diviseurs : 1, 2, 3 et 6.
Remarques :
- Tous les nombres pairs différents de 2 ne sont pas premiers.
- Il existe une infinité de nombres premiers.
III. Décomposition d'un entier naturel en produits de nombres premiers :
Définition : On dit qu'on décompose un entier en produit de nombres premiers, lorsqu'on écrit cet entier sous la forme d'un produit
de nombres premiers.
Théorème fondamental de l'arithmétique : (admis)
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de nombres premiers.
Cette décomposition est unique.
Exemples :
La décomposition de 15 en produit de nombres premiers est : 15 = 3 × 5.
La décomposition de 12 en produit de nombres premiers est : 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3.
83160 2
Méthode de décomposition :
41580 2
20790 2
À l'aide des critères de divisibilité, on cherche les diviseurs du nombre et on effectue des
divisions successives.
10395 5
La décomposition de 83160 en produit de nombres premiers est :
83 160=23 ×33 ×5×7×11
2079 3
693 3
231 3
77 7
11 11
1
Propriété : Soient a et b deux entiers relatifs (avec b non nul).
a
est un décimal.
b
Si b s'écrit sous forme d'un produit 2p × 5q, avec p et q deux entiers naturels, alors le rationnel
IV. Applications :
a) Simplification des quotients et de racines carrées :
On a vu au collège qu'une fraction se met sous forme irréductible en simplifiant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
Ce qui précède montre tout l'intérêt de la décomposition en facteur premier.
Exemples :
105
83 160
=
3×5×7
3
3
2 ×3 ×5×7×11
=
1
3
2
2 ×3 ×11
=
1
 31 500 = 2 ×3 ×5 ×7=2×3×5× 5×7=30  35
2
792
2
3
.
b) Calcul du nombre de diviseurs :
Exercice : Combien le nombre 2 100 875 a t-il de diviseurs ?
La décomposition donne 2 100875=75 ×53
Tous les diviseurs de 2 100 875 sont donc de la forme 7 a ×5b
{
en sachant qu'on a les conditions suivantes sur a et b :
0a5
Il y a 6 choix pour a et 4 choix pour b. Il y a donc en tout 6×4 = 24 diviseurs possibles.
0b3
a∈ℕb∈ℕ
c) Calcul du PGCD :
La décomposition en produits de nombres premiers nous permet d'avoir une nouvelle méthode pour calculer le PGCD.
Calculons le PGCD(70;294)
70 2
294 2
35 5
147 7
7 7
21 7
1
3 3
1
Donc
70=2×5×7
et
2
294=2×7 ×3 on a donc
PGCD70 ; 294=2×7
d) Calcul du PPCM :
Calculons le PPCM(70;294)
70=2×5×7
et
2
294=2×7 ×3 donc
2
PPCM70 ; 294=2×5×7 ×3=1 470
Remarque : rappel : PGCDa ; b×PPCM a ; b=a×b donc, on pourrait diviser
le PPCM(70;294).
70×294
par le PGCD(70;294) pour obtenir