TD – Compléments d`algèbre linéaire

LYCÉE C HAPTAL – PT* – 2016/2017
TD 1

3 1 −2
Exercice 4 — Soit A = 0 2 0 .
1 1 0
Dans cet exercice, I désigne la matrice identité d’ordre 3 et O 3 la matrice nulle
d’ordre 3. On se propose de calculer les puissances de A de plusieurs manières.

TD – Compléments d’algèbre linéaire
A Matrices
1. Par diagonalisation


1 0 1
On pose P = 1 2 0.
1 1 1
a) Démontrer que P est inversible et donner son inverse.
b) Calculer D = P −1 AP , D n puis A n .
c) Montrer que D est inversible et en déduire que A est inversible.
En déduire alors l’expression de A −n en fonction de n, où n est un
entier naturel.
Exercice 1 — Soient a et b deux nombres complexes et A = (a i , j ) la matrice
de Mn (C) définie par :
(
a si i 6= j
ai , j =
b si i = j
1. Calculer A m pour m ∈ N.
2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que la matrice A soit inversible et donner alors son inverse.
2. Par la formule du binôme de Newton
a) Soit B = A − 2I . Pour n ∈ N∗ , calculer B n en fonction de B .
b) En utilisant la formule du binôme, calculer l’expression de A n en
fonction de n, A et I .
−3 2
5
Exercice 2 — On considère la matrice M = −6 4 10 .
3 −2 −5

COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE LINÉAIRE

1. Quel est le rang de la matrice M ?
3. Par polynôme annulateur
a) Montrer que A 2 − 3A + 2I = 03 .
b) Démontrer par récurrence qu’il existe deux suites (a n )n∈N et (b n )n∈N
telles que, pour tout entier n,
T
2. Montrer qu’il existe deux vecteurs colonnes U , V tels que M = UV .
3. En déduire M 2 puis M n pour n ∈ N.
Exercice 3 — Matrices nilpotentes
Soit A ∈ Mn (R), on dit que A est une matrice nilpotente s’il existe k ∈ N tel que
A k = 0. Si une matrice A non nulle est nilpotente, on appelle indice de nilpotence
de A l’entier p ∈ N tel que A p−1 6= 0 et A p = 0.
A n = an A + bn I
Donner les relations de récurrence vérifiées par (a n )n∈N et (b n )n∈N et
donner a n et b n en fonction de n.
I NDICATION : Quelle relation de récurrence vérifie (a n + b n )n∈N ?
1. Trouver une matrice de Mn (R) nilpotente d’indice n.
En déduire l’expression de A n en fonction de n, A et I .
c) Justifier que A est inversible et donner son inverse.
2. Montrer qu’en général, la somme de deux matrices nilpotentes n’est pas
nilpotente.
3. Montrer que si A, B sont deux matrices nilpotentes qui commutent alors
A + B et AB sont nilpotentes.
n−1
X k
4. Montrer que si A est nilpotente d’indice n, alors
A est inversible et
Exercice 5 — Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et lorsqu’elles
le sont, calculer leur inverse. Déterminer leur rang.






1 −1 2
1
2 −1
−1 1 −1
A = −1 3 −1 ; B = −2 −3 4  ; C =  2 −1 1 
1
2
4
1
4
3
4 −2 3
k=0
calculer son inverse.
–1–
d’une famille génératrice :
Exercice 6 — On considère les trois suites (u n )n∈N , (v n )n∈N et (w n )n∈N définies
par (u 0 , v 0 , w 0 ) ∈ R3 et :
C = Vect ((0, −1, 2, 1), (1, 2, 1, 0))


 u n+1 = 2u n + 3w n
v n+1 = v n


w n+1 = −u n + 2v n − 2w n
∀n ∈ N
Écrire chacun de ces ensembles sous les trois formes possibles.
Exercice 10 — Montrer que l’ensemble des solutions réelles de l’équation différentielle y 00 + y 0 + y = 0 est un espace vectoriel et en donner une base.
Exprimer le terme général de ces trois suites en fonction de n.
Exercice 11 — Déterminer l’ensemble des valeurs de m ∈ R telles que :
I NDICATION : On pourra (par exemple) utiliser le fait qu’une certaine matrice A ∈ M3 (R)
vérifie l’égalité A 3 − A 2 − A + I 3 = 0.
u = (m, 1, m) ∈ Vect(v, w) avec v = (1, 1, 1) et w = (1, m, −1)
Exercice 7 — On considère la matrice à coefficients réels suivante :


1 −1 0
0
0 1
0
0


A=

0 0 −1 1 
0 0
0 −1
¡
¢
Exercice 12 — Soit e 1 , . . . , e p une famille libre d’un K-e.v. E .
1. On pose u i = e 1 + · · · + e i pour tout entier i compris entre 1 et p.
¡
¢
La famille u 1 , . . . , u p est-elle libre ?
2. Reprendre la question avec v k = e k − e k+1 si k ∈ ‚1, p − 1ƒ et v p = e p .
Calculer A n pour n ∈ Z.
Exercice 13 —
¡
¢
1. Montrer que la famille (X − λ)n n∈N où λ ∈ C est une base de C[X ].
n
X
2. Déterminer les coordonnées de P =
a k X k dans cette base.
Exercice 8 — Soit n ∈ N , A, B et C appartenant à Mn (K) et enfin,
∗
In

M= 0
0

A
In
0

C
B  ∈ M3n (K)
In
k=0
Exercice 14 — On considère les trois suites complexes définies par :
Montrer que M est inversible et calculer M −1 .
∀n ∈ N u n = 1 ;
vn = j n ;
wn =  n
B Espaces vectoriels
Montrer que la famille ((u n )n∈N , (v n )n∈N , (w n )n∈N ) est libre.
Exercice 9 — On peut définir les sous-espaces vectoriels de Kn par la donnée :
Exercice 15 — Montrer que les trois familles (x 7→ cos(nx))n∈N , (x 7→ cosn (x))n∈N
et (x 7→ enx )n∈N sont libres dans F (R, R).
d’équations cartésiennes :
Exercice 16 — Déterminer un supplémentaire de :
©
ª
1. F = (x, y, z, t ) ∈ R4 | x + y − z = 0, x − y + z + 2t = 0 dans R4 .
©
ª
2. G = P ∈ R3 [X ] | P (1) = P 0 (1) = 0 dans R4 [X ].
©
ª
3. H = f ∈ C 1 (R) | f (0) = f 0 (0) = 0 dans C 1 (R).
©
ª
A = (x, y, z, t ) ∈ R4 | x + y − z − t = 0, x + 2z = 0 .
d’un paramétrage :
©
ª
B = (2a − b + 2c, 3a + 2b − c, −b + c, c) | (a, b, c) ∈ R3
–2–
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TD 1
COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE LINÉAIRE
Exercice 23 — Soient n ∈ N et ψ : Rn [X ] −→ Rn [X ]
P 7−→ P (X + 1) − P (X )
Exercice 17 — Montrer que {M ∈ Mn (R) | Tr(M ) = 0} est un hyperplan de Mn (R).
Exercice 18 — Soient H1 et H2 deux hyperplans distincts de Rn où n Ê 2.
Montrer que dim(H1 ∩ H2 ) = n − 2.
1. Montrer que ψ est un endomorphisme de Rn [X ].
2.
Exercice 19 — Soit E un K-e.v. de dimension finie et F un s.e.v. distinct de E .
a) Exprimer le degré de ψ(P ) pour tout P ∈ Rn [X ].
b) Déterminer Im(ψ) et Ker(ψ).
1. Montrer que si H est un hyperplan de E ne contenant pas F , alors
dim(F ∩ H ) = dim(F ) − 1.
3. Soit P ∈ R[X ] de degré n.
Montrer que (P, ψ(P ), ψ2 (P ), . . . , ψn (P )) est une base de Rn [X ].
2. Montrer que F peut s’écrire comme une intersection d’un nombre fini
d’hyperplans.
4.
3. Quel est le nombre minimum d’hyperplans nécessaire ?
P (X + 1) − P (X ) = Q(X )
©
ª
Exercice 20 — Soit E = C ([−2, 2], R) et F = f ∈ E | ∀k ∈ ‚−2, 2ƒ f (k) = 0 .
P (0) = 0
et
b) Déterminer un tel polynôme P pour Q = X (X + 1)(X + 2) et en déduire
n
X
une expression simplifiée de
k(k + 1)(k + 2).
1. Montrer que F est un espace vectoriel. Est-il de dimension finie ?
2. Montrer que l’ensemble des fonctions polynomiales définies sur [−2, 2] de
degré au plus 4 est un supplémentaire de F dans E .
k=0
Exercice 24 — Soit n ∈ N. On considère l’application φ définie sur Rn [X ] par
φ(P ) = (X + 1)P (X ) − X P (X + 1).
C Applications linéaires
1. L’application φ définit-elle un endomorphisme de Rn [X ] ?
Exercice 21 — Soit (e 1 , e 2 , e 3 ) une base de R3 et λ un réel.
Démontrer que la donnée de f (e 1 ) = e 1 + e 2 , f (e 2 ) = e 1 − e 2 et f (e 3 ) = e 1 + λe 3
permet de définir un endomorphisme de R3 .
Comment choisir λ pour que f soit injective ? surjective ?
2. Déterminer le noyau de φ.
3. L’application est-elle surjective ?
Exercice 25 — On considère l’application ϕ définie sur M2 (R) par :
Exercice 22 — Soient E = R3 et f l’application définie sur R3 par :
∀(x, y, z) ∈ R3 ,
a) Soient Q ∈ Rn−1 [X ] et α ∈ R. Montrer qu’il existe un unique polynôme
P ∈ Rn [X ] vérifiant :
∀M ∈ M2 (R),
f (x, y, z) = (4x + y − z, 2x + 3y − z, 2x + y + z)
ϕ(M ) = AM
µ
où
A=
1 2
3 6
¶
Montrer que ϕ ∈ L (M2 (R)) et construire sa matrice dans la base canonique.
1. Montrer que f ∈ L (R3 ) puis construire sa matrice représentative dans la
base canonique.
Exercice 26 — Soit E un K-e.v. de dimension n et f un endomorphisme de E tel
que pour tout u ∈ E , (u, f (u)) est liée. Montrer que f est une homotéthie.
2. Trouver deux réels distincts λ et µ tels que f − λidE et f − µidE ne soient
pas des automorphismes.
Exercice 27 — Soient E un K-e.v. et f , g ∈ L (E ).
3. Montrer que E = Ker( f − λidE ) ⊕ Ker( f − µidE ).
1. Montrer que Ker( f ) ⊂ Ker(g ◦ f ) et Im(g ◦ f ) ⊂ Im g .
4. Déterminer la matrice représentative de f dans une base adaptée à la
somme directe précédente.
2. Montrer que f (Ker(g ◦ f )) = Ker g ∩ Im f .
–3–
Exercice 33 — Soit E un espace de dimension finie 2p avec p Ê 1 et ϕ ∈ L (E ).
Montrer qu’il y a équivalence entre les propriétés :
Exercice 28 — Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E tels
que g ◦ f = f ◦ g . Montrer que Ker f et Im f sont stables par g .
(i) ϕ2 = 0 et rg(ϕ) = p
Exercice 29 — Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie n et
f ∈ L (E , F ) tels qu’il existe g ∈ L (F, E ) vérifiant g ◦ f = idE .
Montrer que f est injective, g surjective puis conclure.
(ii) Im(ϕ) = Ker(ϕ)
(iii) ∃A ∈ GLp (K) telle que
Exercice 30 — Soient E , F et G trois K-e.v. et deux applications linéaires
f ∈ L (E , F ) et g ∈ L (F,G).
µ
0
0
¶
A
soit la matrice de ϕ dans une certaine base.
0
Exercice 34 — Endomorphismes nilpotents
Soit E un K-e.v. de dimension n. On suppose que f ∈ L (E ) est nilpotente, d’indice
de nilpotence p, c’est-à-dire que : f p = 0̃ et f p−1 6= 0̃.
1. Montrer que : Ker(g ◦ f ) = Ker f ⇐⇒ Ker g ∩ Im f = {0F }
2. Montrer que : Im(g ◦ f ) = Im g ⇐⇒ Ker g + Im f = F
1. Montrer qu’il existe x 0 ∈ E tel que F = (x 0 , f (x 0 ), . . . , f p−1 (x 0 )) est libre.
En déduire que p É n.
Exercice 31 — Soient E un K-e.v. et f ∈ L (E ).
2. Soit B une base de E obtenue en complétant la famille F .
Quelle est la forme de la matrice de f dans cette base ?
1. Montrer que : Ker f = Ker f 2 ⇐⇒ Ker f ∩ Im f = {0E }
2. Montrer que : Im f = Im f 2 ⇐⇒ E = Ker f + Im f
3. Que peut-on dire de la suite (rg( f k ))k∈N ?
3. En déduire qu’en dimension finie,
4. L’application f est-elle diagonalisable ?
Ker f = Ker f 2 ⇐⇒ Im f = Im f 2 ⇐⇒ E = Ker f ⊕ Im f
Exercice 35 — Trouver toutes les suites (u n )n∈N vérifiant la condition :
∀n ∈ N u n+1 = 5u n − 2 · 3n
Exercice 32 — On note E = R3 muni de sa base canonique B = (e 1 , e 2 , e 3 ) et f un
endomorphisme non nul de E tel que f 3 + f = 0L (E ) .
D Projecteurs et symétries vectoriels
1. On suppose que f est injective.
a) Montrer que f 2 = −idE .
b) En déduire que (e 1 , f (e 1 )) est une famille libre.
c) Trouver alors une contradiction en considérant une base de la forme
(e 1 , f (e 1 ), u) et en conclure que Ker( f ) 6= {0E }.
Exercice 36 — Soient f et g les endomorphismes de R3 canoniquement associés
aux matrices :




4 2
4
3
4
4
1
0 2 −4 et N = −1 −1 −2
M=
4
0 −1 2
−1 −2 −1
2. Justifier alors que dim(Ker( f )) ∈ {1, 2}.
3. Montrer que : E = Ker( f ) ⊕ Ker( f 2 + idE ).
Montrer que f est une projection vectorielle et g une symétrie vectorielle ; déterminer leurs caractéristiques géométriques.
2
4. On pose F = Ker( f + idE ) et on note u un vecteur non nul de F .
a) Montrer que f (u) ∈ F et que (u, f (u)) est libre.
b) En déduire que dim(Ker( f 2 + idE )) = 2 et dim(Ker( f )) = 1.
c) On considère v un vecteur non nul de Ker( f ).
Montrer que B 0 = (v, u, f (u)) est une base de E .
d) Donner la matrice représentative de f dans B 0 .
Exercice 37 — On se place dans R3 muni de la base canonique (e 1 , e 2 , e 3 ). On
considère le plan P et la droite D d’équations respectives :
(
x −y +z =0
P : x +y +z =0
D:
x + y + 2z = 0
–4–
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TD 1
1. Déterminer la matrice dans la base canonique de la projection p sur le
plan P parallèlement à la droite D .
2. Faire de même avec la symétrie s par rapport à P parallèlement à D .
Exercice 38 — Soient E un espace vectoriel de dimension n, f et g deux endomorphismes de E tels que f + g = idE et rg( f ) + rg(g ) É n.
1. Montrer que Ker(g ) = Im( f ).
2. Que peut-on en déduire concernant g ◦ f ?
3. Montrer que f et g sont des projecteurs.
Exercice 39 — Soit p et q deux projecteurs.
1. Montrer que p + q est un projecteur ssi p ◦ q + q ◦ p = 0L (E ) .
2. En déduire que p + q est un projecteur ssi p ◦ q = q ◦ p = 0L (E ) .
Exercice 40 — Soit E un K-e.v. et p, q deux projecteurs de E vérifiant p ◦ q = 0. On
pose r = p + q − q ◦ p.
1. Montrer que r est un projecteur.
2. Montrer que Ker r = Ker p ∩ Ker q.
3. Montrer que Im r = Im p ⊕ Im q.
Exercice 41 — Soit E un K-e.v. et p, q deux projecteurs de E tels que p ◦ q = q ◦ p.
1. Montrer que p ◦ q est un projecteur.
2. Montrer que Im p ◦ q = Im p ∩ Im q.
3. Montrer que Ker p ◦ q = Ker p + Ker q.
Exercice 42 — Soient f et g deux endomorphismes d’un K-e.v. de dim. finie.
1. Si f ◦ g ◦ f = f , montrer que f ◦ g et g ◦ f sont des projecteurs et que :
Ker(g ◦ f ) = Ker( f ) et Im( f ◦ g ) = Im( f )
2. Montrer que deux quelconques des propriétés suivantes entraînent la troisième :
(a) f ◦ g ◦ f = f
(b) g ◦ f ◦ g = g
(c) rg( f ) = rg(g )
–5–
COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE LINÉAIRE