FLMA O99 - Fiche de cours numéro 1: Logique et Ensembles

FLMA O99 - Fiche de cours numéro 1: Logique et
Ensembles
Laurent Guieu
5 Février 2008
Contents
1 Quelques éléments de logique mathématique
1.1 Propositions logiques . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Faux implique vrai ? . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Formes propositionnelles tautologiques . . . .
1.6 Propositions quantifiées . . . . . . . . . . . .
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3
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5
6
2 Ensembles : Vocabulaire et technologie
7
2.1 Notions primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Définitions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1
1
Quelques éléments de logique mathématique
1.1
Propositions logiques
Une proposition logique est un énonçé, noté par exemple P , auquel il est possible
d’attribuer :
1. soit la valeur “vrai” : on notera alors ν(P ) = V ;
2. soit la valeur “faux” : on notera alors ν(P ) = F .
En logique mathématique classique, on exige qu’il n’y ait pas de troisième possiblité
: c’est le principe du tiers exclus1 . La notation ν(P ) se lit : “valeur de vérité de P ”.
Une proposition logique dépendant d’un paramètre est une expression du type P (x),
où x est une variable, vérifiant : pour tout x, soit ν(P (x)) = V , soit ν(P (x)) = F .
1.2
Exemples
Considérons les énoncés suivants :
• P = ’425 est un nombre pair’
• P 0 = ’3 divise 99’
• P 00 = ’π est peut-être un nombre rationnel’
• Si n est un entier naturel, P (n) = ’n est un multiple de 3’
Alors:
• P est une proposition logique et a comme valeur de vérité F .
• P 0 est une proposition logique et a comme valeur de vérité V .
• P n’est pas une proposition logique.
• P (n) est une proposition logique dépendant du paramètre entier n. Par exemple P (15) a la valeur V , et P (8) a la valeur F .
1
Il existe d’autres types de logiques, non-classiques, comme la logique à trois états, ou bien
encore la logique floue (“fuzzy logic”); cette dernière a des applications très concrètes dans la vie
de tous les jours.
2
1.3
Connecteurs logiques
On dispose de cinq connecteurs fondamentaux :
non,
et,
ou,
⇔,
⇒,
Soient P et Q deux propositions logiques,
• non(P ) est la négation de la proposition P
• P et Q est une proposition logique vraie seulement si P et Q sont simultanément vraies.
• P ou Q est une proposition logique vraie quand au-moins une des deux est
vraie.
• P ⇔ Q se lit “P équivaut à Q” ou bien “P si et seulement si Q” (équivalence
logique); elle est vraie seulement quand les deux propositions P et Q ont des
valeurs de vérité identiques.
• P ⇒ Q se lit “P implique Q” (implication logique). Il s’agit là de l’étape
élémentaire dans tout raisonnement logique et, paradoxalement, c’est le connecteur qui est le moins évident à définir... (voir plus loin). Si P ⇒ Q est
vraie, on dira que Q est une condition nécessaire pour P et que P est une
condition suffisante pour Q.
Plus généralement, un connecteur logique C à n arguments (n étant un entier naturel) est une correspondance :
(P1 , . . . , Pn ) 7−→ C(P1 , . . . , Pn )
associant à tout n-uplet de propositions logiques (P1 , . . . , Pn ) une nouvelle proposition logique Q := C(P1 , . . . , Pn ). Autrement dit, les connecteurs logiques permettent
de fabriquer de nouvelles propositions logiques à partir de propositions existantes,
un peu comme un jeu de Lego.
Par exemple, non est un connecteur à un argument; et, ou, ⇒ et ⇔ sont des
connecteurs à deux arguments.
Un connecteur se définit par la donnée de sa table de vérité : il s’agit d’un tableau
n
à 2 colonnes et n+1 lignes donnant la valeur de vérité de C(P1 , . . . , Pn ) pour chaque
configuration possible (ν(P1 ), . . . , ν(Pn )) (il y a autant de configurations possibles
que d’applications {1, . . . , n} → {V, F }).
Donnons donc les tables de vérité de nos trois premiers connecteurs fondamentaux :
P
V
non(P ) F
3
F
V
P
V
Q
V
P et Q V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
P
V
Q
V
P ou Q V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
L’implication et l’équivalence logiques sont ensuite définies comme sous-produits de
ces trois premiers connecteurs :
Définition 1.3.1
[P ⇒ Q] := non(P ) ou Q.
(1)
[P ⇔ Q] := [P ⇒ Q] et [Q ⇒ P ].
(2)
Le Lecteur aura soin de vérifier que les deux définitions (1) et (2) donnent naissance aux deux tables de vérité suivantes :
P
V
Q
V
P ⇒Q V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
P
V
Q
V
P ⇔Q V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Un bon moyen mnémotechnique pour mémoriser ces tables consiste à se rappeler
les relations suivantes :
ν(P etQ) = V
ssi
ν(P ) = ν(Q) = V
(3)
ν(P ouQ) = F
ssi
ν(P ) = ν(Q) = F
(4)
ν(P ) = V et ν(Q) = F
(5)
ν(P ⇒ Q) = F
ν(P ⇔ Q) = V
ssi
ssi
ν(P ) = ν(Q)
(6)
Exercice 1.3.1 Vérifier que le ’et’, le ’ou’ et l’équivalence logique sont des ’lois’
commutatives et associatives.
4
1.4
Faux implique vrai ?
Que ce soit par sa table de vérité ou par sa définition, l’implication logique pose
toujours quelques petits problèmes de compréhension2 . Voici un moyen de se convaincre que “Faux implique vrai” n’est pas une vue de l’esprit : étant données deux
variables réelles x et y, notons P (x, y) la proposition x = y et Q(x, y) la proposition
x2 = y 2 . Il est clair que la proposition P (x, y) ⇒ Q(x, y) est toujours vraie (ie:
quelles que soient les valeurs de nos deux variables); elle est donc en particulier
vraie si on prend (x, y) = (−3, 3)...
1.5
Formes propositionnelles tautologiques
On appellera forme propositonnelle tautologique une proposition A(P1 , . . . , Pn ) qui
est toujours vraie quelles que soient les valeurs de vérité des propositions composantes P1 , . . . , Pn ; une forme propositionnelle tautologique peut-être considérée
comme un théorème du calcul propositionnel. On démontre (exercice !) que l’on a
les formes propositionnelles tautologiques suivantes :
1. P ou non(P ) (principe du tiers-exclus).
2. non(P et non(P )) (principe de non-contradiction).
3. non( non(P )) ⇔ P (involutivité).
4. non(P et Q) ⇔ non(P ) ou non(Q) (Loi de De Morgan - I).
5. non(P ou Q) ⇔ non(P ) et non(Q) (Loi de De Morgan - II).
6. (P ⇒ Q) ⇔ ( non(Q) ⇒ non(P )) (contraposition).
7. (P ⇒ Q et P ) ⇒ Q (principe du syllogisme).
8. (P ⇒ Q et non(Q)) ⇒ non(P ) (raisonnement par l’absurde).
9. (P ⇒ Q et Q ⇒ R) ⇒ (P ⇒ R) (enchanement logique).
10. P et (Q ou R) ⇔ (P et Q) ou (P et R) (distributivité - I - et/ou).
11. P ou (Q et R) ⇔ (P ou Q) et (P ou R) (distributivité - II - ou/et).
2
et ceci, bien que ce soit le raisonnement logique de base !
5
1.6
Propositions quantifiées
Afin de pouvoir manipuler des propositions P (x) dépendant d’une variable, nous
disposons, en plus des connecteurs logiques et des 11 théorèmes ci-dessus, de la
notion de quantificateur : le quantificateur universel ∀ et le quantificateur existenciel
∃:
∀x, P (x)
se lit “quelquesoit x, P (x)”.
∃x, P (x)
se lit “il existe au moins un x tel que P (x)”.
Nous admettrons sans démonstrations les résultats suivants :
1. Règles de négation d’une forme propositionnelle quantifiée :
(a) non(∀x, P (x)) ⇔ ∃x, non(P (x)).
(b) non(∀x, non(P (x))) ⇔ ∃x, P (x).
(c) non(∃x, P (x)) ⇔ ∀x, non(P (x)).
(d) non(∃x, non(P (x))) ⇔ ∀x, P (x).
2. Règles d’interversion des quantificateurs :
(a) ∀x, ∀y, A(x, y) ⇔ ∀y, ∀x, A(x, y).
(b) ∃x, ∃y, A(x, y) ⇔ ∃y, ∃x, A(x, y).
(c) ∃x, ∀y, A(x, y) ⇒ ∀y, ∃x, A(x, y).
3. Autres :
(a) ∀x, P (x) ⇒ P (x).
(b) P (x) ⇒ ∃x, P (x).
Attention, notamment au 2) c) : il s’agit bien d’une implication : soit X
l’ensemble des étudiants du groupe B, Y l’ensemble des bouteilles de champagne
destinées à fêter la fin du semestre et A(x, y) la propriété x a bu y, l’implication
c
réciproque est en général fausse... (H.Akrout).
Exemple 1.6.1
1. Notons P (resp. I) l’ensemble des entiers pairs (resp. impairs). On peut alors écrire:
∀n ∈ N,
∀n ∈ N,
(n ∈ P ⇔ ∃k ∈ N, n = 2k).
(n ∈ I ⇔ ∃k ∈ N, n = 2k + 1).
6
2. L’entier n divise l’entier m s’écrit sous forme quantifiée :
∃k ∈ N, m = kn.
3. L’entier n ne divise pas l’entier m s’écrit sous forme quantifiée :
∀k ∈ N, m 6= kn.
4. Dire qu’un réel x est rationnel signifie :
p
∃p ∈ Z, ∃q ∈ Z∗ , x = .
q
5. Soit p un entier naturel différent de 0 et de 1. On dira que p est un nombre
premier si :
∀m ∈ N,
2
2.1
(∃k ∈ N, p = km ⇒ m = 1 ou m = p).
Ensembles : Vocabulaire et technologie
Notions primitives
Il s’agit là des notions non-définies, situées à la base de la théorie: à savoir, les notions
d’ensemble, d’élément et d’appartenance. On suppose ces concepts suffisamment
universels pour éviter toute ambiguté d’interprétation.
Les ensembles seront plutôt notés par des lettres majuscules : X, Y , ... les
éléments par les lettres minuscules correspondantes : x, y ... La relation d’appartenance
est notée ∈. Si x est un élément de l’ensemble X, on notera : x ∈ X. Si X est un
ensemble à un élément x, on notera X = {x}, le singleton x; si X est un ensemble
à deux éléments x et x0 , on notera X = {x, x0 }, la paire x x0 , etc... (Remarque :
une paire {x, x0 } peut être en fait un singleton, c’est le cas où x = x0 ; dans le cas
contraire on parlera de paire stricte.)
2.2
Définitions fondamentales
.
Définition 2.2.1 (Comparaison) Soient A et B deux ensembles On dira que A
est inclus dans B (ou est un sous-ensemble de B) et on notera A ⊂ B si :
∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B.
On dira que A et B sont égaux, et on notera A = B, si on a simultanément A ⊂ B
et B ⊂ A.
7
Remarquons que l’égalité de A et de B revient à montrer :
∀x, x ∈ A ⇔ x ∈ B.
Définition 2.2.2 (Constitution) Un ensemble X peut se définir en extension, ie:
en citant tous ses éléments :
X = {x, x0 , x00 , . . .}
ou en compréhension, en utilisant une proposition spécifiante P (x) qui est vraie si
et seulement si x ∈ X; on note:
X = {x | P (x)}.
Remarque : si la variable x de la proposition spécifiante P (x) vit dans un ensemble Y déjà connu et possédant X comme sous-ensemble, on a la notation alternative
:
X = {x ∈ Y | P (x)}.
Exemple 2.2.1
1. Soit X l’ensemble des entiers naturels compris au sens large
entre 1 et 5 :
X = {1, 2, 3, 4, 5} = {x | x ∈ N et 1 ≤ x ≤ 5} = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 5}.
2. Soit D(n) l’ensemble de tous les diviseurs du nombre entier n. En compréhension
:
D(n) = {d ∈ N | Q(d)}
où Q(d) est la proposition :
∃k ∈ N, n = kd.
3. D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
4. Soit X l’ensemble de tous les nombres premiers. En extension cela donne :
X = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . ...}
et en compréhension :
X = {x ∈ N | P (x)}
où P (x) est la proposition :
x 6= 0 et x 6= 1 et D(x) = {1, x}.
On remarque sur ces exemples que la notation en extension n’est pertinente que
lorsque notre ensemble est fini ou dénombrable; dans les autres cas, on ne peut éviter
la notation en compréhension (pourrait-t-on noter R en extension ???).
8
Définition 2.2.3 (Ensemble vide) On appellera ensemble vide et on notera ∅
l’ensemble
∅ := {x | x 6= x}.
Cet ensemble ne possède aucun élément et vérifie les propriétés suivantes (admises)
:
Proposition 2.2.1
1. ∀x, x ∈
/ ∅;
2. ∀X, ∅ ⊂ X;
3. l’ensemble vide est unique.
Définition 2.2.4 (Opérations) Soient A et B deux ensembles, on définit les nouveaux ensembles suivants :
1. A ∪ B := {x | x ∈ A ou x ∈ B} (réunion de A et B);
2. A ∩ B := {x | x ∈ A et x ∈ B} (intersection de A et B);
3. A\B := {x | x ∈ A ou x ∈
/ B} (différence de A par B). Si, de plus, B est un
sous-ensemble de A, alors A\B est noté CA B et appelé complémentaire de B
dans A. D’autres notations pour le complémentaire de B dans A sont parfois
utilisées : B c ou encore B.
Exemple 2.2.2 (Ensembles de nombres) On a la chaı̂ne d’inclusions suivantes
:
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
où :
• N est l’ensemble des entiers naturels.
• Z est l’ensemble des entiers relatifs.
• Q est l’ensemble des nombres rationnels.
• R est l’ensemble des nombres réels.
• C est l’ensemble des nombres complexes.
On a alors :
• Z\N est l’ensemble des entiers strictement négatifs.
• R\Q est l’ensemble des nombres irrationnels.
• Si P désigne l’ensemble des entiers pairs et I celui des entiers impairs, alors
P ∪ I = N et P ∩ I = ∅.
9
• Si S 1 désigne l’ensemble des complexes de module 1, alors S 1 ∩ R = {−1, 1}.
Notion de couple: Rappelons qu’un couple (x, y) est une suite ordonnée de deux
éléments.
Définition 2.2.5 Soient X et Y deux ensembles. Le produit cartésien de X et de
Y est l’ensemble, noté X × Y , de tous les couples (x, y) où x ∈ X et y ∈ Y .
Egalité des couples:
(x, y) = (x0 , y 0 )
⇔
x = x0 et y = y 0 .
(7)
Exemple 2.2.3 Si X = Y = R, X × Y = R2 = {(x, y) | x ∈ R et y ∈ R}.
Attention à ne pas confondre couple et paire. Un couple est ordonné, une paire ne
l’est pas. Par exemple:
{1, 3} = {3, 1}
mais:
(1, 3) 6= (3, 1).
On peut ensuite généraliser de manière évidente notre définition à un produit cartésien
de n ensembles X1 , X2 , ..., Xn (n ∈ N∗ ); le produit X1 × X2 × ... × Xn représentant
alors l’ensemble de tous les n − uplets (ie: suites ordonnées de n éléments) de la
forme (x1 , x2 , ..., xn ), où:
∀i = 1, 2, ..., n xi ∈ Xi .
Egalité des n-uplets:
(x1 , x2 , ..., xn ) = (y1 , y2 , ..., yn )
2.3
⇔
∀i ∈ {1, ..., n}, xi = yi .
Propriétés
1. Inclusion : Soient A, B, C trois ensembles,
(a) A ⊂ A (réflexivité);
(b) A ⊂ B et B ⊂ A ⇒ A = B (antisymétrie);
(c) A ⊂ B et B ⊂ C ⇒ A ⊂ C (transitivité).
2. Intersection : Soient A, B, C, X quatre ensembles,
(a) A ∩ B = B ∩ A (symétrie);
(b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (associativité);
(c) A ∩ A = A (idempotence);
(d) A ∩ ∅ = ∅ (∅ élément absorbant pour l’intersection);
10
(8)
(e) A ⊂ X ⇒ A ∩ X = A.
3. Réunion : Soient A, B, C, X quatre ensembles,
(a) A ∪ B = B ∪ A (symétrie);
(b) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativité);
(c) A ∪ A = A (idempotence);
(d) A ∪ ∅ = A (∅ élément neutre pour la réunion);
(e) A ⊂ X ⇒ A ∪ X = X.
4. Complémentation : Soit A un sous-ensemble d’un ensemble X,
(a) CX CX A = A (involutivité);
(b) CX ∅ = X ;
(c) CX X = ∅.
5. Mixtes : Soient A, A0 , B, B 0 , C et X des ensembles,
(a) A ∩ B ⊂ A ∪ B ;
(b) A ⊂ A0 et B ⊂ B 0 ⇒ A ∩ B ⊂ A0 ∩ B 0 ;
(c) A ⊂ A0 et B ⊂ B 0 ⇒ A ∪ B ⊂ A0 ∪ B 0 ;
(d) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (distributivité ∩/∪) ;
(e) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributivité ∪/∩) ;
(f) Si A ⊂ X, CX (A ∪ B) = CX A ∩ CX B (loi de De Morgan - I);
(g) Si A ⊂ X, CX (A ∩ B) = CX A ∪ CX B (loi de De Morgan - II).
6. Produit : Soient X, X 0 , Y , Y 0 des ensembles,
(a) X × Y = ∅ ⇔ X = ∅ ou Y = ∅;
(b) (X ∪ X 0 ) × Y = (X × Y ) ∪ (X 0 × Y );
(c) X × (Y ∪ Y 0 ) = (X × Y ) ∪ (X × Y 0 );
(d) (X × Y ) ∩ (X 0 × Y 0 ) = (X ∩ X 0 ) × (Y ∩ Y 0 );
(e) A × B ⊂ X × Y ⇔ A ⊂ X et B ⊂ Y ;
(f) Si A ⊂ X, CX×Y (A × Y ) = (CX A) × Y ;
(g) Si B ⊂ Y ,CX×Y (X × B) = X × (CY B).
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