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om
at
hs
.c
Résumé cours de mathématiques
BTS CGO
in
fo
m
2 mai 2012
Saïd Chermak
e-classe.com
infomaths.com 2012
in
fo
m
at
hs
.c
om
2
Saïd Chermak
e-classe.com
infomaths.com 2012
om
Table des matières
I ALGÈBRE
1 NOMBRES
CALCULS NUMÉRIQUES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
DIFFÉRENTS SIGNES MATHÉMATIQUES
.c
1.1
2 OPÉRATIONS dans R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DIVISEURS de NOMBRES ENTIERS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
at
hs
2.1
11
3 RAPPEL sur les FRACTIONS
3.1
PROPORTIONS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PUISSANCES de 10
13
16
19
24
33
4 RAPPEL sur les PUISSANCES
4.1
13
39
43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
49
6 CALCULATRICE
53
m
5 RACINES CARRÉES
PARENTHÈSES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
SIMPLIFICATION DE FRACTION
fo
6.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
in
7 EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES
MONÔMES - POLYNÔMES
53
53
55
7.1
EXPRESSION ALGÉBRIQUE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.2
MONÔMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
7.3
POLYNÔMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
8 DÉVELOPPEMENT ET FACTORISATION
61
8.1
IDENTITÉS REMARQUABLES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
8.2
FACTORISATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Saïd Chermak
3
e-classe.com
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4
TABLE DES MATIÈRES
II ÉQUATIONS - INÉQUATIONS
73
9 GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS
75
9.1
DÉFINITIONS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
9.2
RÈGLES DE CALCUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
79
om
10 ÉQUATIONS DU 1ER DEGRÉ
10.1 RÉSOLUTION ET DISCUSSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
10.2 ÉQUATIONS PRODUITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
11 RÉSOLUTION D'INÉQUATIONS
87
11.1 ORDRE ET OPÉRATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
11.2 INTERVALLES DE
88
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.c
11.3 INÉQUATION
R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 SIGNE DU PREMIER DEGRÉ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
at
hs
11.5 INÉQUATIONS ET TABLEAU DE SIGNES
11.6 EXERCICES
89
91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
12 NOTION DE FONCTIONS
99
12.1 NOTION DE FONCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION
99
. . . . . . . . . . . . . . 100
12.3 CALCUL de L'IMAGE et de L'ANTÉCÉDENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
12.4 TABLEAU DE VALEURS D'UNE FONCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
m
13 FONCTION LINÉAIRE
13.1 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE
f (x) = ax
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
fo
14 LES FONCTIONS AFFINES
14.1 DÉFINITION
105
111
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.2 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
in
14.3 PROPORTIONNALITÉ DES ACCROISSEMENTS : . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
14.4 MÊME COEFFICIENT DIRECTEUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
14.5 DROITES REPRÉSENTATIVES PERPENDICULAIRES
. . . . . . . . . . . . . . 117
14.6 Signe du binôme a.x + b.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
14.7 ÉTUDE DE FONCTION
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
15 SYSTÈMES d'ÉQUATIONS LINÉAIRES
15.1 ÉQUATION LINÉAIRE À DEUX INCONNUES
129
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
15.2 SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS LINÉAIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Saïd Chermak
e-classe.com
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5
TABLE DES MATIÈRES
15.3 MISE EN ÉQUATION DE PROBLÈMES CONDUISANT À UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
15.4 EXERCICES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
16 SYSTÈMES d'INÉQUATIONS LINÉAIRES
16.1 LES INÉQUATIONS
139
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
16.2 RÈGLES DE TRANSFORMATION DES INÉQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . 141
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
om
16.3 INÉQUATIONS LINÉAIRES À UNE VARIABLE
16.4 INÉQUATIONS LINÉAIRES À DEUX VARIABLES
16.5 LES SYSTÈMES D'INÉQUATIONS
. . . . . . . . . . . . . . . . 143
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
16.6 SYSTÈME D'INÉQUATIONS LINÉAIRES À 2 INCONNUES
17 TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
. . . . . . . . . . . . . . . . . 148
.c
16.7 RÉSOLUTION D'UN SYSTÈME D'INÉQUATIONS
. . . . . . . . . . . 146
151
17.1 FONCTION CARRÉE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
17.2 FONCTION
f (x) = ax2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
at
hs
17.3 GÉNÉRALITÉS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
17.4 FORME CANONIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
17.5 DISCUSSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
17.6 INTERPRÉTATION GRAPHIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
17.7 SOMME ET PRODUIT DES RACINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
17.8 SIGNE DU TRINÔME DU 2ème DEGRÉ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
17.9 EXTREMA DU TRINÔME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
m
18 INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
171
18.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
18.2 MÉTHODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
fo
18.3 EXEMPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
179
19 GÉNÉRALITÉS sur les FONCTIONS
181
in
III ANALYSE
19.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
19.2 NOTATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
19.3 ENSEMBLE DE DÉFINITION D'UNE FONCTION
19.4 ÉCRITURE DU DOMAINE DE DÉFINITION
. . . . . . . . . . . . . . . . . 183
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
19.5 COURBE REPRÉSENTATIVE DE LA FONCTION
19.6 SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
19.7 TABLEAU DE VARIATION D'UNE FONCTION
Saïd Chermak
. . . . . . . . . . . . . . . . . 185
e-classe.com
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
infomaths.com 2012
6
TABLE DES MATIÈRES
19.8 EXEMPLES D'ÉTUDE DU SIGNE D'UNE FONCTION
19.9 RÉSUMÉ
. . . . . . . . . . . . . . 191
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
20 FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
195
20.1 FONCTIONS AFFINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
20.2 FONCTION CARRÉE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
20.4 FONCTION RACINE CARRÉE
om
20.3 FONCTION CUBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
20.5 FONCTION INVERSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
20.6 FONCTION VALEUR ABSOLUE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
21 TANGENTE A UNE COURBE
203
.c
21.1 INTERPRÉTATION DU COEFFICIENT DIRECTEUR D'UNE DROITE . . . . . 203
21.2 CALCUL DE LA TANGENTE
22 DÉRIVÉES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
at
hs
21.3 FONCTION DÉRIVÉE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
215
22.1 PRÉSENTATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
22.2 RAPPEL
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
22.3 FONCTION DÉRIVÉE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
22.4 EXERCICES SUR LES DÉRIVÉES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
23 LIMITES DE FONCTIONS
23.1 DÉFINITION
227
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
m
23.2 FORMES INDÉTERMINÉES
23.3 LIMITES de FONCTIONS de RÉFÉRENCE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
23.4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
fo
23.5 INDÉTERMINATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
23.6 NOTIONS d'ASYMPTOTES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
24 PRIMITIVES ET INTÉGRALES
239
in
24.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
24.2 TABLEAU des PRIMITIVES USUELLES
24.3 CALCUL INTÉGRAL
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
25 LOGARITHMES
249
25.1 COURS FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
25.2 APPLICATION DE LA DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
25.3 PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
25.4 ÉTUDE DES LIMITES DE LA FONCTION LN
Saïd Chermak
e-classe.com
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
infomaths.com 2012
7
TABLE DES MATIÈRES
25.5 TABLEAU DE VARIATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
25.6 GRAPHE DE LA FONCTION LN
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
26 FONCTION EXPONENTIELLE
261
26.1 INTRODUCTION À LA RÉCIPROCITÉ D'UNE FONCTION
26.2 DÉFINITION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE.
. . . . . . . . . . . . . . . 263
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
om
26.3 SENS DE VARIATION
. . . . . . . . . . . 261
26.4 TABLEAU DE VARIATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
26.5 GRAPHE DE LA FONCTION
26.6 LIMITES
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
.c
IV PROBABILITÉS
27 LES PROBABILITÉS ÉLÉMENTAIRES
275
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
at
hs
27.1 DÉFINITIONS
273
27.2 VOCABULAIRE DES ÉVÉNEMENTS : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
27.3 CALCUL DES PROBABILITÉS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
27.4 INTERPRÉTATION de L'ÉNONCÉ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
28 PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
28.1 DÉFINITION
281
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
28.2 PROBABILITÉS TOTALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
m
28.3 ARBRE de PROBABILITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
29 ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS
285
fo
29.1 INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENTS
30 VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
297
30.1 DÉFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
in
30.2 ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE
30.3 RAPPEL DE STATISTIQUE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
30.4 VARIANCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
30.5 ÉCART TYPE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
31 DÉNOMBREMENT
307
31.1 TIRAGE SUCCESSIF AVEC REMISE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
31.2 TIRAGE SUCCESSIF SANS REMISE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
31.3 TIRAGE SIMULTANÉ SANS REMISE
Saïd Chermak
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
e-classe.com
infomaths.com 2012
8
TABLE DES MATIÈRES
32 LOI BINOMIALE
32.1 DÉFINITION
317
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
32.2 EXEMPLE CLASSIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
32.3 RAPPEL de DÉNOMBREMENT
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
32.4 GÉNÉRALISATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
32.5 RÉDACTION EXERCICE TYPE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
om
33 EXERCICES - LOI BINOMIALE
327
33.1 RAPPEL DE RÉDACTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
33.2 EXERCICE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
33.3 EXERCICE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
33.4 EXERCICE 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
.c
33.5 EXERCICE 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
34 LOI NORMALE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
at
hs
34.1 INTRODUCTION
331
34.2 ILLUSTRATION de CONTINUITÉ
34.3 EXEMPLE INTRODUCTIF
34.4 DENSITÉ de PROBABILITÉ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
34.5 DÉFINITION de la DENSITÉ de PROBABILITÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
34.6 VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
34.7 LOI NORMALE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
m
34.8 LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE
35 OPÉRATIONS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES
35.1 OPÉRATIONS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES.
fo
35.2 DÉMONSTRATIONS
343
. . . . . . . . . . . . . . . 343
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
36 EXERCICES LOI NORMALE
349
36.1 EXERCICE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
in
36.2 EXERCICE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
36.3 EXERCICE 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
36.4 EXERCICE 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
36.5 EXERCICE 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
36.6 EXERCICE 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
36.7 INTERPOLATION AFFINE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
36.8 EXERCICE 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
36.9 EXERCICE 8
Saïd Chermak
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
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9
TABLE DES MATIÈRES
37 SUITES NUMERIQUES
365
37.1 SUITES ARITHMETIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
37.2 SUITES GEOMETRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
377
38 RÉVISIONS
379
om
V REVISIONS
38.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
38.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
383
in
fo
m
at
hs
.c
39 REVISIONS
Saïd Chermak
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10
in
fo
m
at
hs
.c
om
TABLE DES MATIÈRES
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om
.c
Première partie
in
fo
m
at
hs
ALGÈBRE
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11
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om
.c
at
hs
m
fo
in
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om
Chapitre 1
NOMBRES
CALCULS NUMÉRIQUES
.c
1.1
Nombres
at
hs
Il existe plusieurs ensembles de nombres.
L'ensemble des nombres entiers naturels
N
= 0, 1, 2, ...n
L'ensemble des nombres entiers naturels privés de 0,
L'ensemble des nombres entiers relatifs
N* = 1, 2, ..., n
Z = ... − 4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, ..., n,
c'est l'ensemble des
entiers positifs (c'est à dire naturels) et l'ensemble des entiers négatifs.
Donc tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On dit que
inclus dans l'ensemble
Z)
L'ensemble des décimaux
N⊂Z
( lire l'ensemble
est
N
.
D.
Un nombre décimal est un nombre à virgule. Les entiers sont des
m
décimaux particuliers. On peut écrire 3 ou 3,0 ;
L'ensemble des nombres rationnels ou fractionnaires
où a et b sont des entiers relatifs
Q
est l'ensemble des nombres de la forme
b 6= 0.
a
b
1
1
et 0,33. La fraction
est un nombre juste tandis que 0,33 est une
3
3
1
3
, par contre le décimal 0,75 est égal au rationnel .
approximation à 0,01 près de
3
4
fo
Attention ne pas confondre
N⊂Z⊂D⊂Q
L'ensemble N est inclus
On a donc
Se lit :
dans l'ensemble
qui est lui même inclus dans l'ensemble
D
qui
Q .
in
est lui même inclus dans l'ensemble
Z
Certains rationnels ne peuvent pas être écrits sous forme décimale. Ils ont une écriture décimale
illimitée.
Par exemple
2
7
= 0, 285714285714285714...
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14
CHAPITRE 1.
NOMBRES
La séquence de chires 285714 se répétant indéniment. On parle aussi de suite périodique de
chires de période 285714. La division ne tombant jamais juste va de nouveau donner le même
reste qui va répéter cette suite de chires indéniment. On peut retrouver le rationnel
a
dont
l'écriture décimale illimitée est 0, 37373737........
En eet 100a = 37 + a, d'où 99a = 37 donc le nombre
√
a=
37
99
om
L'ensemble des nombres à virgule comme
2, π , ... sont des nombres qu'on ne peut pas mettre
a
ce ne sont pas des rationnels : ce sont des nombres irrationnels.
sous la forme
b
√
a
a
où a et b sont des entiers et tel que
=
Autrement dit il n'existe pas de nombre de la forme
2.
b
b
√
On peut le montrer de la façon suivante. Supposons que
2
soit un rationnel, c'est à dire qu'il
existe deux entiers a et b premiers entre eux (ils n'admettent que 1 pour diviseur commun) tels
√
a
que
= 2. On en déduit que ( ab )2 = 2 soit a2 = 2b2 .
b
a
a
2
avait été impair alors a serait également impair. En
2
2
eet un nombre impair est de la forme 2n+1 et son carré (2n + 1) = 4n + 4n + 1 serait également
2
2
2
2
2
impair. Comme
est pair alors on peut poser a = 2n comme a alors 4n = 2b soit b = 2n . Par
2
conséquent
serait également pair car b l'est.
b
est un nombre pair car si
.c
Par conséquent
a
a
et
b
soient premiers entre eux.
at
hs
Ce résultat est en contradiction avec la supposition que
( ab )2
= 2.
√
On en conclut que
2
n'est pas un nombre
in
fo
m
a
Donc il n'existe pas de fraction
telle que
b
rationnel mais un irrationnel.
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1.1.
15
CALCULS NUMÉRIQUES
Tous ces ensembles constituent l'ensemble des nombres réels
R
. On en conclut que
N⊂Z⊂D⊂
om
Q ⊂ R.
L'ensemble des nombres réels
L'ensemble des nombres réels
R
R
privés de 0 :
.c
Figure 1.1 Les diérents Ensembles
R*
privés de 0 et uniquement positifs :
R∗+
nombres réels :
at
hs
Ci dessous la représentation de la droite numérique ou droite réelle supportant l'ensemble des
in
fo
m
Figure 1.2 La droite réelle
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16
CHAPITRE 1.
1.2
NOMBRES
DIFFÉRENTS SIGNES MATHÉMATIQUES
Voici la liste et la signication des principaux signes.
+ (plus) indique une addition
- (moins) indique une soustraction
x (multiplication). Le signe peut être
om
Signes d'opérations
remplacé par un point ou être sous entendu lorsque les
facteurs sont représentés par des lettres.
Exemple : a.b.c ou abc ou a X b X C. Dans ce polycopié on emploie aussi l'étoile à la place
du signe multiplié X .
3 X 7 ou 3 * 7 pour éviter de le confondre avec l'inconnue x.
(division) Elles sont souvent notées sous forme de fractions a : b ou
an (a élevé à la puissance n ) n est l'exposant.
√
n
a (racine énième de a) le nombre n représente
l'indice de la racine. Quand cet indice est 2, cet
at
hs
indice est sous entendu.
a
b
.c
:
Signes de relation
=
>
(égal) égalité entre deux quantités.
(plus grand que) la quantité placée à gauche du signe est plus grande que celle placée à droite
du signe (5 > 3).
<
(plus petit que) la quantité placée à gauche du signe est plus petite que celle placée à droite du
m
signe (2 < 8 ).
supérieur ou égal à
≤
inférieur ou égal à
'
sensiblement égal
fo
≥
≡
identique à
6=
diérent de
()
parenthèses. Elles indiquent que les opérations qu'elles renferment doivent être eectuées en
in
priorité.
Ne pas confondre le calcul :
2 + 3 X 5 + 4 = 21 avec (2 + 3 ) X (5 + 4) = 45 . Les parenthèses changent l'ordre de
priorité.
[]
les crochets. Pour mettre entre parenthèses une expression déjà entre parenthèses, on se sert
de crochets.
Exemple : 16 X [15(a - b)].
{}
Les accolades. Pour mettre entre parenthèses une expression déjà entre crochets, on se sert
d'accolades.
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1.2.
17
DIFFÉRENTS SIGNES MATHÉMATIQUES
Autres signes :
intersection entre deux membres d'une expression
∪
union entre deux membres d'une expression
∈
( appartient à )
∈
/
( n'appartient pas à )
∀
(quelque soit, pour tout)
∃
(il existe)
(implique que )
⇔
(équivalent) signe de réciprocité
in
fo
m
at
hs
.c
⇒
om
∩
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18
NOMBRES
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 1.
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OPÉRATIONS dans
om
Chapitre 2
R
.c
Valeur absolue
La valeur absolue d'un réel x, noté |x|, est le nombre réel toujours positif :
égal à x si x > 0 : |+2| = 2
at
hs
égal à -x si x < 0 : |-2| = - (-2) = 2
Distance de deux nombres
Soit a et b deux réels.
Le nombre b - a est appelé la distance de a à b. On le note d(a,b) ou encore :
|a - b| = |b - a| = d(a,b).
m
Comme notée au dessus, une distance est toujours positive.
Règle de calculs pour l'addition
Pour additionner deux nombres algébriques (nombres réels) de même signe, on fait la somme des
fo
deux nombres en gardant leur signe commun.
5 + 3 = 8 ; ( - 5) + ( - 10 ) = - 15
On eectue la somme des valeurs absolues de chaque nombre et on garde le signe commun aux
in
deux nombres.
Pour additionner deux nombres algébriques (nombres réels) de signes opposés, on fait la diérence
de leur valeur absolue en gardant le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue.
(+4) + (−10) = −6 ;
que l'on écrit couramment :4
+ (−10) = −6 ;
Le signe + est sous entendu
devant un nombre
(+13) + (−2) = 11 ;
que l'on écrit couramment :(+13)
+ (−2) = 11 ;
Le signe + est sous entendu
devant un nombre
L'absence de signe devant un nombre signie que le nombre est positif (signe +).
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20
CHAPITRE 2.
OPÉRATIONS DANS
R
Somme de plusieurs nombres
Pour eectuer la somme de plusieurs nombres, on eectue la somme des deux premiers, puis on
ajoute le troisième au résultat ainsi obtenu, puis le quatrième, etc...
a + b + c + d = [(a + b) + c] + d
5 + 3 + 8 + 4 = [(5 + 3) + 8] + 4 ⇔ 5 + 3 + 8 + 4 = (8 + 8) + 4 ⇔ 16 + 4 = 20
a+b=b+a
associativité : a + (b + c) = (a + b) + c
a+0=0+a=a
a + (−a) = (−a) + a = 0
(−a)est l'opposé de a
om
Propriétés de l'addition
Propriétés de la diérence
.c
commutativité :
at
hs
Dénition : la diérence de deux nombres algébriques a et b est le nombre c qu'il faut
ajouter à b pour obtenir
a−b=c
a .
Dans une égalité on peut faire passer un terme d'un membre à l'autre en changeant son signe.
a−b=c
a=c+b
m
Emploi des parenthèses
Lorsqu'une parenthèse est précédée du signe + , on supprime les parenthèses sans rien changer
fo
a + (b + c − e) = a + b + c − e
5 + (2 + 3 − 4) = 5 + 2 + 3 − 4
Lorsqu'une parenthèse est précédée du signe - , on supprime les parenthèses en changeant les
signes des facteurs contenus dans les parenthèses
in
a − (b + c − e) = a − b − c + e
5 − (2 + 3 − 4) = 5 − 2 − 3 + 4
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Propriétés de la multiplication
a∗b=b∗a
a∗0=0∗a=0
a∗1=1∗a=a
a ∗ a1 = a1 ∗ a = 1(a 6= 0). a1 est l'inverse de a.
associativité : a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
distributivité :a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c)
om
commutativité :
Le produit de deux nombres algébriques de même signe est un nombre positif dont la valeur absolue
est le produit des valeurs absolues des deux nombres.
(−2) ∗ (−3) = +6;
.c
Le produit de deux nombres algébriques de signes opposés est un nombre négatif dont la valeur
absolue est le produit des valeurs absolues des deux nombres.
at
hs
(−3) ∗ (+5) = −15
Le produit de plusieurs nombres est égal au produit des valeurs absolues de chaque nombre précédé
:
- du signe moins si le nombre de signes moins est impair
- du signe plus si le nombre de signes moins est pair
in
fo
m
+30
(−1)(+2)(−3)(−4) = −24 ; (−1)(+2)(−3)(+5) =
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22
CHAPITRE 2.
OPÉRATIONS DANS
R
Tableau des signes
om
soit le produit des nombres a et b Figure 2.1: Tableau des signes
Si on considère
c comme l'opposé de b
l'égalité (1) équivaut à
a∗0=0
En ajoutant
donc
a ∗ 0 = ab + a(−b)
ab + a(−b) = 0
−(ab)
(2)
c = −b
et
b+c=0
aux deux membres de l'égalité (2) on obtient :
ab + a(−b) − (ab) = −(ab)
a(−b) = −(ab)
Exemple :
alors
at
hs
Or
.c
Explications On a : a(b + c) = ab + ac (1)
soit
5 ∗ (−3) = −(5 ∗ 3) = −15
En considérant a comme l'opposé de
L'égalité (2) équivaut à
dc
alors
a = −d
(−d)(−c) + (−d)(c) = 0
ou à
(−d)(−c) − (dc) = 0.
aux deux membres de l'égalité (3) on obtient
m
En ajoutant
d
(3)
(−d)(−c) − (dc) + dc = dc,
soit
(−d)(−c) = dc
fo
Multiplication d'une somme par un nombre
Pour multiplier une somme par un nombre, il faut multiplier chaque terme de la somme par le
nombre.
in
m(a + b + c) = ma + mb + mc
5(2 + 3 + 4) = 10 + 15 + 20 = 45 ⇔ 5 ∗ 9 = 45
Multiplication d'une somme par une somme
Pour multiplier une somme par une somme, il faut multiplier chaque terme de la première par
chaque terme de la seconde :
(a + b − c)(d + e) = ad + ae + bd + be − cd − ce
Chacune des deux sommes est appelée facteur du produit
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23
Produit nul
Si l'un des deux facteurs d'un produit est nul, le produit est nul.
a∗b=0
si
a=0
ou si
b=0
Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il sut que au moins un des facteurs soit nul.
om
Règle des signes pour le quotient
Le quotient de deux nombres algébriques est un nombre algébrique dont la valeur absolue est le
quotient des valeurs absolues des deux nombres et dont le signe résulte de la règle des signes (RDS
- voir Tableau ci dessus).
a
obéit à la même règle que celle du produit b
a
ou a : b ,
Le quotient de deux nombres a et b se note
b
a
b
q
a
b
= q; −14
= +7;
−2
est le dividende,
le diviseur
le quotient
−12
6
= −2;
b 6= 0 la division
= q ⇔ a = bq
a
si a = 0 ⇔
=q=0
b
IL faut
a
b
at
hs
ab
.c
Le signe du quotient
18
−6
= −3
d'un nombre par zéro est impossible
m
Division d'une somme par un nombre
Pour diviser une somme par un nombre, il sut de diviser chaque terme de la somme par ce nombre
+ mc
+ 10
= 11
2
fo
a
a+b+c
=m
+ mb
m
4+8+10
= 42 + 28
2
Priorité de la multiplication et de la division
in
En l'absence de parenthèses, la multiplication et la division sont prioritaires sur l'addition et la
soustraction.
7 + 2 ∗ 3 = 7 + 6 = 13; 5 ∗ 7 − 12 = 35 − 12 = 23
Attention aux erreurs faites avec la calculatrice !
consultez le chapitre 6 la section 6.1, page 53.
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24
CHAPITRE 2.
2.1
OPÉRATIONS DANS
R
DIVISEURS de NOMBRES ENTIERS
INTRODUCTION
Posons la division du nombre 37 par le chire 3. Le nombre 37 est le dividende, le chire 3 est le
om
diviseur et le chire 1 est le reste.
Figure 2.2 division
- 35 est un multiple de 7 ou
- 35 est divisible par 7 ou
- 7 est un sous multiple de 35 ou
at
hs
- 7 est un diviseur de 35.
.c
Considérons la division sans reste de 35 par 7. Le quotient est 5 et le reste est nul. On dit que :
Un nombre est multiple d'un autre s'il contient cet autre un nombre exact de fois :
Ex : 35 est multiple de 7 car il contient 7 exactement 5 fois.
DÉFINITIONS :
1° DIVISEUR D'UN NOMBRE
m
- Un nombre est diviseur d'un autre s'il est contenu un nombre exact de fois dans cet autre, c'est
à dire que le reste est nul.
Ex : 15 est le diviseur de 105 car 15 est contenu 7 fois dans 105.
fo
Ex : 60 a pour diviseur 1,2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
2° PRINCIPES DE DIVISIBILITÉ
-
Tout nombre qui en divise plusieurs autres divise leur somme. 7 divise les nombres 21,
in
35, 49. Le chire 7 divise leur somme 105. En eet :
21 = 3 fois 7
35 = 5 fois 7
49 = 7 fois 7
En ajoutant membre à membre, on obtient : 21 + 35 + 49 = 3 fois 7 + 5 fois 7 + 7 fois 7 105 =
15 fois 7 ainsi 7 divise 105 puisqu'il est contenu 15 fois dans ce nombre.
-
Tout nombre qui en divise un autre divise les multiples de cet autre.
5 divise 15 ; le
chire 5 divise 60 soit 4 fois 15 . En eet, 60 est la somme de quatre nombres égaux à 15 : 60 =
15 + 15 + 15 + 15
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2.1.
25
DIVISEURS DE NOMBRES ENTIERS
Le chire 5 divisant 15, divise les 4 parties de cette somme et, par conséquent, la somme entière
60.
Si un nombre est divisible par un deuxième nombre, il est divisible par les sous
multiples de ce deuxième nombre. 60 est divisé par 15 ; le nombre 15 divise 4 fois 60 ; le chire
-
5 divise 3 fois 15 mais aussi 3 X 4 fois 15 soit 12 X 15 = 60.
de 3.
-
tout multiple de 4 est un multiple de 2, tout multiple de 9 est un multiple
om
De même
Tout nombre qui en divise deux autres divise leur diérence. 9 divise 99 et 45. Il divise
leur diérence 54. En eet :
99 = 11 fois 9
45 = 5 fois 9
.c
En retranchant membre à membre :
99 - 45 = 11 fois 9 - 5 fois 9
54 = 6 fois 9
at
hs
CARACTÈRES DE DIVISIBILITÉ
On appelle caractère de divisibilité, une règle permettant de reconnaître, sans eectuer la division,
si un nombre est divisible par un autre donné.
- Divisibilité par 2 : Un nombre est divisible par 2 lorsque le chire de ses unités est zéro ou un
chire pair. Les chires pairs sont : 2, 4, 6, 8.
Ex : 10 = 2 X 5 ; donc, 2 divise 10 et, par suite, tous les multiples de 10, c'est à dire tous les
m
nombres terminés par 0.
Ex : Soit le nombre 356, terminé par un chire pair, il est divisible par 2. En eet :
356 = 350 + 6
2 divise 350 qui est terminé par 0, il divise aussi 6 ; divisant 350 et 6, il divise aussi leur somme
in
fo
356.
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26
CHAPITRE 2.
OPÉRATIONS DANS
R
- Divisibilité par 5 : Un nombre est divisible par 5 lorsque le chire de ses unités est un zéro ou
un 5.
Ex : 10 = 5 X 2 ; donc 5 divise 10 et , par suite tous les multiples de 10, c'est à dire tous les
nombres terminés par 0.
Ex : 285 terminé par 5 il est divisible par 5. En eet :
285 = 280 + 5
285. 15, 20, 35 , 45, 275, 625 sont divisibles par 5
om
5 divise 280 qui est terminé par 0, il divise aussi 5 ; divisant 280 et 5, il divise aussi leur somme
- Divisibilité par 4 : Un nombre est divisible par 4 lorsque ces derniers chires à droite sont des
zéros ou forment un nombre divisible par 4.
Ex : 100 = 4 X 25 ; 4 divise 100 donc tous les multiples de 100, c'est à dire tous les nombres
terminés par deux zéros.
4. En eet :
1524 = 1500 + 24
.c
Ex : 1524 : les deux derniers chires forment le nombre 24, divisible par 4. 1524 est divisible par
4 divise 1500 qui est terminé par deux zéros ; il divise 24 ; divisant 1500 et 24 il divise leur somme
at
hs
1524. 300, 1700 , 3200 sont divisibles par 4.
- Divisibilité par 25 : Un nombre est divisible par 25 lorsque ces derniers chires à droite sont
des zéros ou forment un nombre divisible par 25.
Ex : 100 = 25 X 4 ; donc 25 divise 100, et par suite, tous les multiples de 100, c'est à dire tous les
nombres terminés par deux zéros.
Ex : Soit le nombre 1375, dont les deux derniers chires forment le nombre 75, divisible par 25 ;
1375 est divisible par 25. En eet :
m
1375 = 1300 + 75
25 divise 1300 qui est terminé par deux zéros ; il divise aussi 75 ; divisant 1300 et 75, il divise leur
somme 1375.
300, 1700, 3200 sont divisibles par 25.
fo
1375 est divisible par 25 parce que 75 est divisible par 25.
- Divisibilité par 3 : Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme des valeurs absolues de ses
in
chires est divisible par 3.
Ex : 12 est divisible par 3 car la somme : 1 + 2 = 3 est divisible (est un multiple) de 3.
Ex : 2934 est divisible par 3 car la somme : 2 + 9 + 3 + 4 = 18 est divisible (est un multiple) de
3. 2934 : 3 = 978.
- vi par 9 : Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme des valeurs absolues de ses chires
est divisible par 9.
Ex : 27 est divisible par 9 car la somme : 2 + 7 = 9 est divisible (est un multiple) de 9.
Ex : 2934 est divisible par 9 car la somme : 2 + 9 + 3 + 4 = 18 est divisible (est un multiple) de
9. 2934 : 9 = 326.
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2.1.
27
DIVISEURS DE NOMBRES ENTIERS
Ex : 364527 est divisible par 9 car la somme : 3 + 6 + 4 + 5+ 2+ 7 = 27 est divisible (est un
multiple) de 364527 : 9 = 40503. On pourrait même dire la somme 27 est divisible par 9 car la
in
fo
m
at
hs
.c
om
somme 2 + 7 = 9 est divisible par 9 donc 364527 est un multiple de 9.
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28
CHAPITRE 2.
OPÉRATIONS DANS
R
Nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement
deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette dénition
exclut 1, qui n'a qu'un seul diviseur entier positif ;
Formons un tableau de nombres premiers inférieurs à 100. Écrivons tous les nombres de 1 à 100 et
nous supprimerons tous les nombres qui ne sont pas premiers. Les nombres supprimés sont grisés.
Pour cela, nous supprimerons :
- tous les multiples de 2, c'est à dire tous les nombres de 2 en 2 à partir du plus petit qui est 2 X
om
2 = 22 = 4.
- tous les multiples de 3, le plus petit 3 X 2 (multiple de 2) a déjà été grisé. On commence donc à
3 X 3 = 32 = 9, et nous supprimerons tous les nombres de 3 en 3.
- tous les multiples de 4. Or cela est déjà fait puisque ces nombres sont multiples de 2. - tous les
multiples de 5 en commençant à 5 X 5 = 52 = 25, car 5 X 2, 5 X 3, 5 X 4 multiples de 2, 3, 4,
sont déjà supprimés.
.c
- tous les multiples de 6, multiples de 2, sont déjà tous supprimés.
- tous les multiples de 7, en commençant à 7 X 7 = 72 = 49, car 7 X 2, 7 X 3, 7 X 4, 7 X 5, 7 X 6
multiples de 2, 3, 4, 5, 6, sont déjà supprimés.
at
hs
- tous les multiples de 8. Or cela est déjà fait puisque ces nombres sont multiples de 2.
- tous les multiples de 9. Or cela est déjà fait puisque ces nombres sont multiples de 3.
- tous les multiples de 10. Or cela est déjà fait puisque ces nombres sont multiples de 5.
- tous les multiples de 11, en commençant à 11 X 11 = 112 = 121 ; mais 121 dépasse 100. Tous
les multiples de 11 inférieurs à 100 sont déjà supprimés. Pour la même raison, il ne reste aucun
in
fo
m
multiple des nombres supérieurs à 11 ; donc les nombres qui restent sont des nombres premiers.
Figure 2.3 crible d'Ératosthène
Remarque : Le nombre 97, non supprimé dans le tableau est premier car il n'est
divisible que par 1 et par lui-même . Tout nombre qui n'admet aucun diviseur
inférieur à un nombre a donné et qui est inférieur à a2 est un nombre premier.
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2.1.
29
DIVISEURS DE NOMBRES ENTIERS
Reconnaître si un nombre est premier
Pour savoir si un nombre est premier il faut regarder s'il n'est pas divisible par les nombres qui lui
sont inférieurs en faisant les essais avec les nombres premiers.
om
Ex : Soit le nombre 127.
Ce nombre n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13. Or 132 = 169 qui est supérieur à 121. La
remarque ci dessus permet de conclure que 127 est un nombre premier.
Règle : On arrêtera les essais au premier nombre dont le carré est supérieur au nombre donné.
.c
Dire que 127 est inférieur à 132 , c'est dire que 127 est inférieur à 13 fois 13, c'est donc dire que
le quotient de 127 par 13 est inférieur à 13 donc :
au diviseur essayé.
On arrêtera les essais dès que l'on aura trouvé un quotient inférieur
at
hs
Règle (plus commode)
Ex : 173 est il premier ?
Figure 2.4 recherche du diviseur
in
fo
m
Il n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7 , 11. essayons par 13, puis par 17 :
En divisant 173 par 17, le quotient 10 est inférieur au diviseur , il est donc inutile de continuer ;
173 est un nombre premier.
Saïd Chermak
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30
CHAPITRE 2.
OPÉRATIONS DANS
R
.c
om
Les nombres premiers inférieurs à 1000 sont :
at
hs
Figure 2.5 Tableau des nombres premiers inférieur à 1000
Décomposition d'un nombre en facteurs premiers :
Cette opération à pour but de remplacer un nombre donné par une multiplication de
nombre entier.
Exemple : Décomposition de nombre 240 en produit de facteurs premiers :
240 = 2Ö120 (2 est le plus petit nombre premier qui divise le nombre 240)
m
120 = 2Ö60 (2 est le plus petit nombre premier qui divise le nombre 120)
60 = 2Ö30 (2 est le plus petit nombre premier qui divise le nombre 60)
30 = 2Ö15 (2 est le plus petit nombre premier qui divise le nombre 30)
fo
15 = 3Ö5 (3 est le plus petit nombre premier qui divise le nombre 15)
5 = 5Ö1 (5 est un nombre premier, donc la décomposition est terminée)
alors : 240 = 2Ö2Ö2Ö3Ö5 = 23
Ö
3
Ö
5
in
Exemple : Décomposition de nombre 1274 en produit de facteurs premiers :
1274 = 2 x 637 (2 est le plus petit nombre premier qui divise le nombre 1274)
637 = 7 x 91 (7 est le plus petit nombre premier qui divise le nombre 637)
91 = 7 x 13 (7 est le plus petit nombre premier qui divise le nombre 91)
13 = 13 x 1 (13 est nombre premier, la décomposition est terminée)
alors 1274 = 2 x 72 x 13
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2.1.
31
DIVISEURS DE NOMBRES ENTIERS
Pour réaliser pratiquement cette décomposition, on trace un trait vertical à droite du nombre à
décomposer. En appliquant, quand on le peut, les caractères de divisibilité, on cherche le plus
petit diviseur premier du nombre donné. On fait la division et l'on place le quotient trouvé sous le
nombre à décomposer. On opère de même sur ce quotient ... ainsi de suite jusqu'à ce que le dernier
.c
om
quotient soit égal à 1.
P.G.C.D.
at
hs
Figure 2.6 décomposition en facteurs premiers
Le P.G.C.D. (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres est le produit des facteurs premiers
communs au deux nombres. Ces facteurs premiers étant aectés des exposants les plus petits.
1278 = 2 * 32 * 71 276 = 22 * 3 * 23 Exemple : le PGCD de 1278 et 276 noté pgcd(1278 ; 276) =
m
2 * 3 = 6
Nombres premiers entre eux
Deux nombres sont premiers entre eux lorsqu'ils n'ont pas de facteur premier commun, le
fo
seul diviseur commun est 1. Exemple : 10 et 27 sont premiers entre eux mais ne sont pas des
nombres premiers 10 = 2 X 5 27 = 3 X 3 X 3 On dit que le P.G.C.D. de deux nombres premiers
est 1.
in
P.P.C.M
Le P.P.C.M. (Plus Petit Commun Multiple) de deux nombres est le produit de tous les facteurs
communs ou non) des deux nombres, chacun étant aecté de l'exposant le plus élevé
premiers (
qu'il ait dans l'une ou l'autre des deux compositions.
1278 = 2 * 32 * 71
276 = 22 * 3 * 23
Le P.P.C.M. de 1278 et de 276 = 22 * 32 * 23 * 71 = 58 788
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CHAPITRE 2.
OPÉRATIONS DANS
R
Exemples : Trouver le P.G.C.D et le P.P.C.M. de : 378, 1764, 630
378 = 2 x 33 x 7
1764 = 22 x 33 x 72
630 = 2 x 32 x 5 x 7
a) P.G.C.D. = 2 * 32 * 7 = 126.
om
126 est le plus grand nombre contenu à la fois dans 378, 1764, 630. On peut donc écrire : (378 +
1764 + 630) = 126 (3 + 14 + 5)
b) P.P.C.M. = 22 * 33 * 5 * 72 = 26 460
26460 est le plus petit nombre contenant à la fois 378, 1764, 630.
.c
26460 = 70 fois 378
26460 = 15 fois 1764
at
hs
26460 = 42 fois 630
La décomposition en facteur premiers, le P.G.C.D. et le P.P.M.C. seront employés dans la mise en
facteurs de polynômes et dans la simplication des fractions.
Emploi de la calculatrice
in
fo
m
consultez le chapitre 6 la section 6.2, page .53
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om
Chapitre 3
RAPPEL sur les FRACTIONS
.c
Dénitions
Divisons deux nombres entre eux, sans eectuer l'opération de division. C'est un quotient. Ceci
se représente par ce que l'on appelle une fraction, qui est formée des deux nombres écrits l'un au
dessus de l'autre et séparés par un trait. Le nombre du dessus s'appelle le numérateur, celui du
at
hs
dessous, le dénominateur qui ne doit jamais être nul.
Une fraction est une ou plusieurs parties de l'unité divisée en un de nombre de parties égales.
Exemple :
3
;
7
L'unité à été divisée en 7 parties égales, et 3 parties on été choisies.
Quand le numérateur égale le dénominateur la fraction à pour valeur l'unité.
Exemple :
4
4
=1
m
Comparaisons de deux fractions
1. Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand
fo
numérateur.
5
3
5
5
et
. La plus grande est
, on écrira donc
Exemple :
11
11
11
11
>
3
11
2. Si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.
Exemple :
11
11
11
11
et
. La plus grande est
, on écrira donc
5
3
3
3
>
11
5
in
3. Quand les deux exemples ci-dessus ne peuvent s'appliquer, pour comparer des fractions il
faut soit :
- les réduire au même dénominateur,
- les transformer en nombres décimaux en eectuant la division.
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33
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34
CHAPITRE 3.
RAPPEL SUR LES FRACTIONS
Inverse d'un nombre, d'une fraction
si
a 6= 0
l'inverse de a :
1
et
a
ax
1
a
=1
L'inverse d'une fraction est la fraction obtenue en intervertissant numérateur et dénominateur.
Les fractions
3
8
et
sont inverses.
8
3
7
3
a
b
+ 13 =
− cb =
8 3
;
+ 79 = 12
3 7
7
a−c 7
1
6 9
;
−
=
;
b
3
3
3 7
−
3
7
=
9−3
7
=
6
7
Transformations de fractions
(ici l'étoile représente le signe de la multiplication)
a+c
b
om
Additions, soustractions de fractions au même dénominateur : ab + cb =
- Lorsqu'on multiplie le numérateur d'une fraction par 2, 3, 4, ..., n, on rend cette fraction 2, 3, 4,
Exemple :
1
2
1∗3
2
∗3=
=
.c
..., n fois plus grande.
3
2
- Lorsqu'on divise le numérateur d'une fraction par 2, 3, 4, ..., n, on rend cette fraction 2, 3, 4, ...,
n fois plus petite.
9
12
:3=
9:3
12
3
12
at
hs
Exemple :
=
- Lorsqu'on multiple le dénominateur d'une fraction par 2, 3, 4, ..., n, on rend cette fraction 2, 3,
4, ..., n, plus petite
Exemple :
9
12
>
9
12∗3
- Lorsqu'on divise le dénominateur d'une fraction par 2, 3, 4, ..., n, on rend cette fraction 2, 3, 4,
..., n, plus grande
Exemple :
9
12
<
9
9
; car
12:3
12
<
9
4
On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant ou en divisant ses deux termes par un
m
même nombre, en eet si on multiplie le numérateur par n la fraction devient n fois plus
grande et si on multiplie le dénominateur par n la fraction devient n fois plus petite.
Finallement la fraction conserve toujours la même valeur.
=
a∗n
avec
b∗n
b 6= 0
fo
a
b
Simplication de fractions
in
Simplier une fraction c'est la remplacer par une fraction égale ayant des termes les plus petits
possibles.
Pour simplier une fraction, il sut de diviser numérateur et dénominateur par un de leur commun
diviseur commun.
Exemple :
1278
276
=
639∗2
138∗2
=
639
138
Fraction irréductible
Pour rendre une fraction irréductible il sut de diviser numérateur et dénominateur par leur
P.G.C.D.
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35
Elle est irréductible quand on ne peut plus la simplier.
29106
48510
(
=
1278
276
=
29106:9702
48510:9702
1278:6
276:6
=
=
213
;
46
3
5
29106 = 2 ∗ 33 ∗ 72 ∗ 11
48510 = 2 ∗ 32 ∗ 5 ∗ 72 ∗ 11
P.G.C.D.
= 2 ∗ 32 ∗ 72 ∗ 11 = 9702
om
Exemple :
voir rubrique décomposition en facteur premier 2.1 page 31
On peut simplier une fraction que si le numérateur et dénominateur sont des produits.
Exemple :
12+18
1+2
diérent de
obtenu en simpliant 12 et 48 par 12, 18 et 27 par 9 !
48−27
3+4
.c
On doit eectuer les opérations au numérateur, puis celles au dénominateur, et éventuellement
simplier le résultat.
12+18
48−27
=
30
21
=
10
7
at
hs
Réduction au même dénominateur :
Réduire les fractions au même dénominateur, c'est chercher des fractions respectivement égales
aux premières et qui aient toutes le même dénominateur. Cette réduction ne peut se faire de façon
simple qu'en partant de fractions rendues irréductibles par simplication.
1° Forme littérale :
le facteur commun est le produit des dénominateurs.
m
Exemple : Additions de fractions avec un dénominateur diérent :
a
b
+
c
.
d
Le numérateur et le dénominateur de la 1ère fraction est multiplié par le dénominateur de la
deuxième et le numérateur et le dénominateur de la 2ème fraction est multiplié par le dénominateur
de la première fraction. On obtient donc :
+
c
d
=
ad
bd
+
bc
bd
=
ad+bc
;
bd
in
fo
a
b
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36
CHAPITRE 3.
RAPPEL SUR LES FRACTIONS
2° Forme numérique :
le dénominateur commun est le P.P.C.M. des dénominateurs :
13 7
;
15 18
15 = 3 ∗ 5 ; 18 = 2 ∗ 32 ;
2
ppcm(15 ; 18 ) = 2 ∗ 3 ∗ 5 = 90
2
3
8
5
+
=
2∗5
3∗5
8∗3
5∗3
+
=
=
78
7∗5
;
90 18∗5
=
35
90
om
13∗6
15∗6
10+27
34
= 15
15
Ces fractions deviennent :
Attention avant d'eectuer un calcul il faut simplier les fractions :
3
3
− 12
+ 52 ; ici 12
est simpliable car le numérateur et le dénominateur peuvent être divisés par 3.
3
− 12
+ 52 = 21
− 14 + 25 . Maintenant il faut voir que le dénominateur commun est 8.
8
21
8
−
3
12
+
5
2
21
8
=
−
1∗2
4∗2
+
5∗4
2∗4
=
21−20+20
8
=
39
8
Multiplication de fractions
.c
21
8
21
8
at
hs
Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur de la fraction par
le nombre sans changer le dénominateur.
7
5
3∗
3∗7
5
=
=
21
5
Pour multiplier une fraction par une fraction ou pour prendre la fraction d'une fraction, on multiple
a
b
7
2
∗
∗
c
d
5
3
=
=
ac
bd
35
6
m
les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Divisions de fractions
fo
pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première par l'inverse de la seconde :
: dc = ab ∗ dc = ad
bc
: 6 = 75 : 16 = 75 ∗
: 37 = 52 ∗ 73 = 14
15
in
a
b
7
5
2
5
a
b
c
a
b
=
a
b
c
1
a
b
ax
b
=
∗x=
Prenons les
∗
1
c
=
1
6
=
7
30
7
a
; 3
bc
2
=
3
3
de 300¿ :
5
5
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7
3
2
1
=
7
3
∗
∗ 300 =
1
2
=
7
6
3∗300
5
=
3∗5∗60
5
= 3 ∗ 60 = 180¿
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37
Simplier les expressions suivantes
3
;
7
on réduit au même dénominateur , on obtient :
2 − 31 +
2∗21
21
b)
−
1∗7
3∗7
+
3∗3
7∗3
=
42−7+9
21
=
44
21
1+ 14
2
3
om
a)
on réduit le numérateur au même dénominateur et on eectue la division :
1+ 14
2
3
c)
1
6
=
5
4
2
3
=
4
5
−3
∗
3
2
+3
5
4
=
15
8
− 3( 45 + 3) =
1
6
−3
19
5
=
1
6
1
6
− 3( 54 + 31 ) =
− 31 ∗
19
5
=
1
6
−
1
6
− 3( 45 +
3∗19
1∗5
=
1
6
−
3∗5
)
1∗5
57
5
=
=
1
6
1∗5
6∗5
− 3( 19
)
5
−
57∗6
5∗6
=
5−342
30
=
at
hs
1
6
.c
à l'intérieur de la parenthèse on réduit au même numérateur et on eectue la multiplication :
−337
30
x−2
+ 2x+3
3
2
on réduit au même numérateur et on eectue l'addition :
d)
x−2
3
+
2x+3
2
=
2x−4
6
6x+9
6
=
2x−4+6x+9
6
=
8x+5
6
m
Remarques :
+
Que la fraction soit purement numérique ou algébrique il faut veiller au signe - (moins) devant une
fraction ; en général lors du calcul le signe est aecté au numérateur de la fraction qui comporte
souvent des calculs (addition, soustraction, multiplication ...) , il faut alors placer les parenthèses
fo
pour englober ces calculs :
Ex :
=
− x+5−3∗2
8
−(x+5−3∗2)
8
− x+8
2
et
−x−5+3∗2
8
−x+8
l'écriture n'est pas équivalente, attention à la place du signe - !
2
in
ne pas confondre :
=
Saïd Chermak
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38
CHAPITRE 3.
RAPPEL SUR LES FRACTIONS
Exercice de synthèse
des sections P.G.C.D. P.P.M.C. et simplications, réduction au même dénominateur et multiplication et divisions de fractions
18
72
Eectuer l'opération :
+
45
63
−
83
115
2
7
:
1
4
(4; 7; 115) = 22 ∗ 7 ∗ 5 ∗ 23 = 3220
5
7
+ −
781
3220
:
2
7
=
83
115
:
2
7
=
11∗71
22 ∗5∗7∗23
:
h
2
7
+ 75 −
83
115
:
2
7
at
hs
P.P.C.M
1
4
.c
18 = 2 ∗ 9 = 21 ∗ 32
72 = 2 ∗ 36 = 2 ∗ 2 ∗ 18 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 9 = 23 ∗ 32
45 = 9 ∗ 5 = 32 ∗ 5
63 = 9 ∗ 7 = 32 ∗ 7
83 = 83
115 = 5 ∗ 23
2 2∗32
18
45
83
32 ∗5
83
+
−
:
=
+
−
: 27 =
72
63
115
7
23 ∗32
32 ∗7
115
om
Il faut simplier chaque fraction avant de réduire au même dénominateur.
1(5∗7∗23)
4(5∗7∗23)
=
+
5(22 ∗5∗23)
7(22 ∗5∗23)
11∗71
22 ∗5∗7∗23
∗
7
2
=
−
83(22 ∗7)
115(22 ∗7
11∗71
22 ∗5∗23
=
i
:
2
7
=
781
3220
:
2
7
781
920
EMPLOI DE LA CALCULATRICE
in
fo
m
consultez le chapitre 6 la section 6.2, page 53.
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3.1.
39
PROPORTIONS
3.1
PROPORTIONS
On appelle proportion l' égalité de deux rapports :
a
b
Exemples :
=
c 1
;
d 2
=
3 2
;
6 5
=
40
100
a, b, c, d sont les termes de la proportion ; a et d sont les termes extrêmes , b et c les
termes moyens
Comme l'on ne change pas la valeur d'une fraction si on multiplie le numérateur et le dénominateur
a
b
a
b
=
=
c
d
ad
c
et
bd
d
=
bc
ad
soit
bd
bd
=
om
par un même nombre, on peut écrire :
bc
bd
Les dénominateurs étant semblables, l'égalité de ce dernier rapport implique :
.c
Propriété 1
ad = bc
Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, encore
appelé produit en croix.
=
3
6
⇒ 1 ∗ 6 = 2 ∗ 3;
2
5
=
40
100
⇒ 2 ∗ 100 = 5 ∗ 40
at
hs
1
2
Exemples :
Propriété 2
Le produit de deux nombres étant indépendant de leur ordre, on peut écrire :
2 ∗ 100 = 5 ∗ 40 ⇒ 100 ∗ 2 = 40 ∗ 5
ce qui revient à changer de place les termes extrêmes entre eux et les termes moyens entre eux.
2
5
=
40
100
⇒
100
40
5
2
=
fo
m
Étant donné une proportion, on obtient de nouvelles proportions :
en permutant les moyens : 12 = 63 ⇒ 13 = 26 ;
en permutant les extrêmes : 21 = 36 ⇒ 63 = 21 ;
en permutant à la fois les extrêmes et les moyens : 12 = 36 ⇒ 62 = 13 ;
Propriété 3
Soit la proportion
+1=
c
d
+1⇒
in
a
b
a
b
a
b
= dc . Ajoutons 1 aux deux
+ bb = dc + dd c'est à dire
membres, on obtient :
a+b
c+d
=
b
d
Étant donné une proportion, on obtient une nouvelle proportion en ajoutant au numérateur de chaque quotient le dénominateur correspondant
Exemple :
1
2
=
3
6
⇒
1+2
2
=
3+6
6
D'après la propriété 2 on peut écrire :
exemple :
1
2
=
3
6
⇒
1+2
2
Saïd Chermak
=
b
a+b
=
d
c+d
3+6
6
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40
CHAPITRE 3.
RAPPEL SUR LES FRACTIONS
Propriété 4
Soit la proportion
a
b
=
c
d
Soustrayons 1 aux deux membres, on obtient :
a
b
−1=
c
d
−1⇒
a−b
b
=
c−d
c'est à dire :
d
om
a−b
c−d
=
b
d
Étant donné une proportion, on obtient une nouvelle proportion en ajoutant au numérateur de chaque quotient le dénominateur correspondant.
3−6
−1
soit
= −3
6
2
6
b
d
= c−d
D'après la propriété 2 on peut écrire :
a−b
1
3
1−2
3−6
2
6
Exemple :
= 6 ⇒ 2 = 6 ⇒ 1−2 = 3−6
2
a
b
−1=
c
d
−1⇒
1−2
2
=
.c
Exemple :
Propriété 5
8
. Ces quotients exacts sont tous égaux à : 2
4
a
Soit une suite de rapports égaux :
= dc = fe = hg = q ; On peut écrire :
b
a
= q ⇔ a = bq (1)
b
c
= q ⇔ c = dq (2)
d
e
= q ⇔ e = f q (3)
f
g
= q ⇔ g = hq (4)
h
2
1
=
4
2
=
6
3
at
hs
Considérons une suite de rapport :
=
m
En ajoutant membre à membre les égalités (1), (2), (3), (4) on obtient :
a + c + e + g = bq + dq + f q + hq
a + c + e + g = q(b + d + f + h) donc
a
mais comme
= dc = fe = hg = q
b
a+c+e+g
b+d+f +h
=q
fo
q est la valeur commune des rapports donc on peut écrire :
a
c
e
g
a+c+e+g
= = = =
b
d
f
h
b+d+f +h
in
Lorque l'on a une suite de rapports égaux, la somme des numérateurs et la somme
des dénominateurs forment un nouveau rapport égal à chacun des premiers rapports.
2
2+4+6+8
= 24 = 63 = 84 = 1+2+3+4
= 20
=
1
10
un nouveau rapport égal à chaque rapport .
Remarque :
Saïd Chermak
2
n'est pas égal à la somme de chaque rapport, c'est
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3.1.
41
PROPORTIONS
TRANSFORMATIONS DANS UNE PROPORTION
Comme l'on ne change pas la valeur d'une fraction si on multiplie le numérateur et le dénominateur
par un même nombre, on peut écrire :
a
c
ma
nc
ma + nc
ma − nc
= =
=
=
=
b
d
mb
nd
mb + nd
mb − nd
om
m et n pouvant être des réels quelconques.
APPLICATION 1
Calculer deux nombres x et y connaissant leur somme 60 et leur rapport 3
Nous avons :
x + y = 60 ;
x
y
= 3;
ou
x
y
=
3
1
x
3
=
y
1
=
x+y
3+1
=
60
4
= 15
x
3
=
d'où
at
hs
(
x = 15 ∗ 3 = 45
y = 15 ∗ 1 = 15
APPLICATION 2
y
. On peut écrire :
1
.c
Permutons les moyens dans la proportion :
Un ls à 28 ans de moins que son père. Trouver l'âge de chacun sachant que le rapport des âges
3
.
est de
10
Soit x l'âge du père et y celui du ls , nous obtenons :
x − y = 28 ;
y
x
=
3
10
Permutons les extrêmes dans la proportion :
=
10−3
x−y
=
7
28
=
3
. On peut écrire :
y
1
d'où
4
10
= 14 ⇔ x = 10 ∗ 4 = 40
x
3
= 41 ⇔ y = 3 ∗ 4 = 12
y
fo
(
3
y
=
=
m
10
x
10
x
APPLICATION 3
Utilisons la transformation dans une proportion pour écrire une fonction homographique particu-
in
lière.
5
2
=
5∗3
2∗3
=
5x
2x
=
5x−15
2x−6
Ces fonctions seront étudiées ultérieurement.
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42
RAPPEL SUR LES FRACTIONS
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 3.
Saïd Chermak
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om
Chapitre 4
RAPPEL sur les PUISSANCES
On appelle puissance
n
nième
Remarques :
d'un nombre algébrique a le produit de n facteurs égaux à a :
fois
at
hs
a = a ∗ a ∗ a ∗ ... ∗ a n
54 = 5 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 5 = 625
.c
Dénition :
Le produit de deux facteurs égaux à a s'énonce : a puissance deux ou a au carré et s'écrit
2
: a
Le produit de trois facteurs égaux à a s'énonce : a puissance trois ou a au cube et s'écrit :
3
m
a
Signe de an
si
n
3
est positif a est toujours positif : 5
n
3
est nul a est toujours nul : 0 = 0
= 125
fo
si
a
a
a
si
n
est négatif :
a est
an est
in
Ne pas
(−5)2 = 25
3
négatif si n est impair: (−5) = −125
2
2
confondre (−5) = 25 et - 5 = −25
a 6= 0 alors a0 = 1 ; 20 = 1
positif si n est pair:
Posons
N'importe quel nombre élevé à la puissance 0 est égal à 1.
N'importe quel nombre élevé à la puissance 1 est égal à lui même
Produit de Puissances
Le produit de puissance d'un même nombre est une puissance de ce nombre qui a pour exposant
la somme des exposants
Saïd Chermak
43
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44
CHAPITRE 4.
RAPPEL SUR LES PUISSANCES
an ∗ am ∗ ap = an+m+p ; 23 ∗ 27 = 210
NB :
an ∗ a−n = an−n = a0
dont nous connaîtrons la valeur au paragraphe quotient de deux puissances
Puissances de Puissances
produit des deux exposants
3
om
La puissance d'une puissance d'un nombre est une puissance de ce nombre qui a pour exposant le
(an )m = an∗m ; (43 )2 = 43 ∗ 43 = 43∗2 = 46 ; (52 ) = 52 ∗ 52 ∗ 52 = 52+2+2 = 56 = 52∗3
Puissances de produit
ième
ièmes
d'un produit de facteurs est égale au produit des puissances n
de chacun des
.c
La puissance n
facteurs
(abc)3 = a3 b3 c3
at
hs
(ab)n = (ab) ∗ (ab) ∗ ..(nf ois) = an bn
(2 ∗ 3)2 = 22 ∗ 32 = 4 ∗ 9 = 36
Puissances de quotient
ièmes
d'une fraction est une fraction qui a pour numérateur la puissance n
du
ièmes
numérateur et pour dénominateur la puissance n
du dénominateur de la fraction
n
ois
a n
= abn
= a∗a∗a∗...n.f
b
b∗b∗b∗...n.f ois
La puissance n
73
23
=
343
8
m
( 72 )3 =
ième
fo
Quotient de deux puissances d'un même nombre
Le quotient de deux puissances d'un même nombre est égal à la puissance de ce nombre qui a pour
exposant l'exposant du numérateur moins l'exposant du dénominateur.
= am−p
Quel que soit
am+p−p
(∀) m
et
p
car
am−p ∗ap
= am−p de même
ap
am
1
= ap−m
d'où
ap−m ∗am
1
1
= a−(m−p)
ap−m
in
am
ap
am
ap
am
ap
am
ap
=
=
ap
am
ap+m−m
m−p
== a
=
=
=
Puissance nulle
Nous avons déjà écrit :
am
am
= am−m = a0
a0
. Dans la dernière formule remplaçons
mais comme
Saïd Chermak
am
am
=1
alors
p
par
m
a0 = 1
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4.1.
45
PUISSANCES DE 10
Inverse de la puissance nième d'un nombre
L'inverse de la puissance n
ième
d'un nombre est égal à la puissance de ce nombre qui a pour exposant
l'opposé den.
1
an
= a−n
car
1
an
=
a0
an
= a0−n = a−n
Exemples : a1 ∗ a−1 = a1−1 = a0 = 1 ⇒ a−1 =
1
a1
=
1
a
7
an
= an ∗ a−m = an−m ; 223
am
34
= 34−7 = 3−3 = 313
37
a1 = a; 21 = 2
= 27−3 =
om
an+(−n) = 1 ; an ∗ a−n = 1 ⇒ a−n = a1n
10−3 = 1013 = 0, 001 ; 10−1 = 1011 = 0, 1 ; 2−1 =
1
= 0, 5 ; 2−2 = 212 = 14
21
24 en eet 2∗2∗2∗2∗2∗2∗2
=2∗2∗2
2∗2∗2∗
∗ 2 = 24 !
4.1
at
hs
.c
a2 = a ∗ a;
an = a ∗ a ∗ a....(n fois a avec n > 2) ;
32 = 3 ∗ 3 = 9; 25 = 32 ; 24 = 16; 104 = 10 ∗ 10 ∗ 10 ∗ 10 = 10000
10n = 10 ∗ 10 ∗ ....( n fois 10) = 1 suivi de n zéros
PUISSANCES de 10
Elles sont extrêmement importantes, elles permettent :
une écriture plus condensée
d'éviter les erreurs
m
de mettre tous les nombres sous la forme d'un produit d'un nombre compris entre 1 et 10 et
d'une puissance de 10
exemple :
2590000 = 2, 59 ∗ 106 ; 100 = 1; 101 = 10; 102 = 100; 103 = 1000...
On remarque que l'exposant est égal au nombre de zéros qui suivent le chire 1 donc
fo
n
10n = 1 suivi
de
zéros !
12
10 = 1000000000000
10−1 = 0, 1; 10−2 = 0, 01; 10−3 = 0, 001
in
Dans ce dernier cas nous dirons que le chire 1 est au 3ème rang après la virgule ou qu'il est
précédé de 3 zéros !
10−n = 0, 00....01
Dans ce dernier cas nous dirons que le chire 1 est au n ième rang après la virgule ou qu'il est
précédé de n zéros !
- Multiplier un nombre par
4
10n
revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite :
12, 45 ∗
10 = 124500
- Multiplier un nombre par
−3
32, 7 ∗ 10
10−n
revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche :
= 0, 0327
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46
CHAPITRE 4.
RAPPEL SUR LES PUISSANCES
Notation scientique
Écrire un nombre en notation scientique c'est faire le produit d'un chire (non nul à droite de la
virgule) compris entre 0 et 9 par une puissance de 10 !
10n est une écriture scientique.
0, 756 = 7, 56 ∗ 10−1 ; 357, 24 = 3, 5724 ∗ 102
soit : 0 < a 9 , a *
om
Ordre de Priorités de Calcul
Il faut commencer les calculs qui comportent des parenthèses. Celles ci indiquent qu'il faut eectuer
en premier le calcul entre parenthèses.
En l'absence de parenthèses, on eectue les calculs en commençant par ordre de priorité :
- multiplication, division
- addition, soustraction
Exemple :
.c
- puissances
at
hs
3 ∗ 7 − 5 ∗ 22 + 1 = 21 − 5 ∗ 4 + 1 = 21 − 20 + 1 = 2
5+1
A= 3 −
Ici le trait de fraction se comporte comme
1−3
h
i
(5+1)
6
A = 3−
= 3 − −2
= 3 − (−3) = 3 + 3 = 6
(1−3)
in
fo
m
une parenthèse le calcul revient à :
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4.1.
47
PUISSANCES DE 10
Soit l'expression :
x−2
3
2x+3
2
−
on réduit au même numérateur et on eectue la soustraction, ici le trait de fraction se comporte
comme une parenthèse :
−
2x+3
2
=
2x−4
6
−
6x+9
6
=
2x−4−(6x−9)
6
Soit à eectuer le calcul suivant :
=
2x−4−6x−9
6
=
−4x−13
6
1− 32
1
+ 65
3
om
x−2
3
Il faut d'abord eectuer le calcul du numérateur puis du dénominateur et enn eectuer la division.
1− 32
1
+ 56
3
=
2−3
2
2+5
6
=
−1
2
7
6
=
−1
2
∗
6
7
=
−6
14
=
−3
7
.c
CALCUL LITTERAL
L'opposé de : a est -a. La valeur absolue est inchangée seul le signe change :
- s'il était +, il devient -
L'opposé de :
L'opposé de :
L'opposé de :
at
hs
- s'il était -, il devient +
(3 − a) devient −(3 − a) = −3 + a
(−5 − a) devient −(−5 − a) = 5 + a
(a + 1) devient −(a + 1) = −a − 1
Quand on a une succession de parenthèses, il faut commencer les calculs par la parenthèse la plus
intérieure. Les crochets remplissent le même rôle que les parenthèses :
fo
m
[−(x + 2) − (−1 + (1 + 5))] on commence par la parenthèse (1 + 5)
[−(x+2)−(−1+6)] puis on eectue les opérations en supprimant les parenthèses puis les crochets.
[−x − 2 + 1 − 6] = −x − 7
Exemple :
A = −3 − [3 + (7a − 5b + 4)] + [−6 − (3a − b) − 2].
On commence le calcul par les parenthèses les
in
plus intérieures.
A = −3 − [3 + 7a − 5b + 4] + [−6 − 3a + b − 2]
A = −3 − (7a − 5b + 7) + (−3a + b − 8)
A = −3 − 7a + 5b − 7 − 3a + b − 8 = −10a + 6b − 18
Saïd Chermak
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48
RAPPEL SUR LES PUISSANCES
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 4.
Saïd Chermak
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RACINES CARRÉES
Rappel :
x
indique une racine à extraire. Le nombre n indique l'indice de la racine. Quand cet indice
est deux, on le sous-entend :
√
2
16
.c
√
n
om
Chapitre 5
s'écrit plus simplement
√
16.
at
hs
RACINES CARRÉES DES NOMBRES ARITHMÉTIQUES
Soit A un nombre positif (ou arithmétique) donné. On appelle racine carrée de A le nombre
positif a dont le carré est égal à A a=
√
A ⇔ a2 = A
Tout nombre positif admet une racine carrée unique.
√
exemple :
169 = 13
m
RACINES CARRÉES DES NOMBRES ALGÉBRIQUES
Soit A un nombre algébrique donné. On appelle racine carrée de A le nombre positif a dont
le carré est égal à A fo
√
a = A ⇔ a2 = A
√
√
4 = 2; 9 = 3
Soit a un nombre réel positif
√
a
a≥0
est le nombre réel positif tel que
√
( a)2 = a
in
La racine carré d'un nombre négatif n'existe pas : il n'existe, par exemple, aucun nombre dont le
(−9)
√
√
9 = 32 = 3
q
(−3)2 = 3
√
a2 = |a| ∀a (quelque
carré soit égal à
soit a )
Si on élève au carré deux nombres opposés, on obtient un même résultat positif
(+7)2 = (−7)2 = 49
Nous écrirons :
Saïd Chermak
49
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50
√
CHAPITRE 5.
49 = +7
Résoudre :
a2 = 25 ⇔
√
et
√
RACINES CARRÉES
49 = −7
a2 =
√
25 ⇔ |a| = 5
soit
a=5
ou
a = −5
Nous aurions pu aussi écrire (introduction à la rubrique suivante) :
Le produit est nul si un des facteurs est nul, donc :
- soit
(a − 5) = 0 ⇔ a = 5
- soit
(a + 5) = 0 ⇔ a = −5
ou
Règles :
om
a2 − 25 = 0⇔ (a − 5)(a + 5) = 0
.c
- La racine carrée d'un produit de facteurs est égale qu produit des racines carrées de chaque
facteur.
at
hs
√
√ √ √
a ∗ b ∗ c = abc
√
√
√
√ p
√ p
√
√
√
50 =2 3 ∗ 25 − 7 2 ∗ 25 = (2 ∗ 3 ∗ 25) − (7 ∗ 2 ∗ 25) = (2 ∗ 3 ∗ 5) − (7 ∗ 2 ∗ 5) =
2 √75 − 7 √
10 3 − 35 2
√
√
√
√
√
48 = 16 x 3 = 16 x 3 = 4 3
Attention, ne pas commettre l'erreur suivante :
√
a2 + b2 =
√
√
a2 + b2 = a + b
si a et b sont positifs !
qui est erroné ! car
√
√
√
( 32 + 42 6= 32 + 42 = 3 + 4 = 7)
car
p
p
(a2 + 2ab + b2 ) = (a + b)2 = |a + b| = a + b
√
√
( 32 + 42 = 25 = 5)
fo
m
- La racine carrée d'un quotient de deux nombres est égal au quotient des racines de ces nombres
√
pa
= √ab
b
q
q
√
√
√
3
3
3
1
√
√1 = 1
=
=
;
=
4
2
4
2
4
4
- Rendre rationnel le dénominateur d'une fraction
in
Le dénominateur ou le numérateur d'une fraction est rationnel s'il ne contient pas de radical :
a) le dénominateur se présente sous la forme d'un seul radical :
dans ce cas on multiple le numérateur et le dénominateur par ce radical
√
√
a
√ = √a∗ √b = a b
b
b
b∗ b
√
√ √
√
2
2∗
3
√ = √ √ = 6
3
3
3∗ 3
√
2
Chassons le radical de la fraction suivante : √
3 5
√
√ √
√
√2 = √2∗ √5 = 10
10
3 5
3 5∗ 5
Saïd Chermak
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51
b) le dénominateur se présente sous la forme
(a +
√
b)
dans ce cas on multiplie numérateur et dénominateur par
(a +
conjuguée de
√
(a −
√
b)
qui est appelée l'expression
b)
1
Soit la fraction : √
. Pour enlever le radical du dénominateur, il sut de multiplier le numérateur
2−1
√
Le dénominateur est de la forme (a − b)(a + b).
√
√
21(5+ 2)
105+21
21
√ =
√
√
√
√ 2√ √
=
Exemple :
5− 2
(5− 2)(5+ 2)
25+5 2−5 2− 2 2
- PUISSANCE
1
2
1
√
1
.c
2
1
(A 2 )2 = A 2 = A
:
√
105+21 2
23
=
Soit à calculer A 2 .Élevons ce terme au carré.
( 2 + 1)
om
et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur à savoir
√
√
√
1( 2+1)
2+1
√1
√
√
=
=
= 2 + 1.
2−1
2−1
( 2−1)( 2+1)
La racine carrée de A se note :
A = A2
GÉNÉRALISATION DE LA NOTION DE PUISSANCE
√
1
A = A 2 nous
√
1
n
A = An
at
hs
De même que
pouvons écrire
√
n
ainsi que la formule généralisée extrêmement importante :
p
Ap = A n
Les radicaux se traitent donc comme des puissances, en utilisant les mêmes règles de calcul.
Exemples :
√
Démontrer
ABC =
√
a∗
√
b∗
√
c
√
√
√
√
√
1
1
1
1
ABC = (ABC) 2 = A 2 x B 2 x C 2 ⇔ ABC = A x B x C
√
n
√
n
Ap
Bq
Ap
Bq
√
m
m
Calculer
p
An
q
Bm
√
n p
√A
Calculer m
Bq
√
p
n p
n
√A = A q =
m
Aq
Am
=
fo
√
m
p
q
pm−qn
mn
in
An−m = A
CAS PARTICULIER DES RACINES PAIRES ET IMPAIRES
Une racine est paire si son indice est pair :
(2n).
(2n +
√1).
2n
paires :
+A
Une racine est impaire si son indice est impair :
Seuls les nombres positifs ont des racines
Exemple :
√
4
81 = +3
Les nombres négatifs n'ont pas de racine paire :
√
−A
2n
existe
n'existe pas
Les nombres positifs et négatifs ont des racines impaires :
Exemple :
√
3
27 = +3 ;
Saïd Chermak
√
3
√
+A
(2n+1)
et
√
(2n+1)
−A
existent
−27 = −3
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52
RACINES CARRÉES
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 5.
Saïd Chermak
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om
Chapitre 6
6.1
PARENTHÈSES
.c
CALCULATRICE
Attention aux erreurs faites avec la calculatrice !
7+5
, si à la calculatrice vous tapez la séquence suivante : 7 + 5 : 3
3
alors vous faites une erreur car en réalité vous divisez 5 par 3 et vous ajoutez 5 car la division est
at
hs
soit l'opération à eectuer :
prioritaire sur l'addition.
Pour obtenir le bon résultat vous devez employer les parenthèses pour indiquer que la somme est
prioritaire : (7 + 5 ) : 3 pour indiquer à la calculatrice que la somme 7 + 5 soit être divisée par 3 !
6.2
SIMPLIFICATION DE FRACTION
suivantes :
m
En fait les calculatrices modernes (exemple casio graph 100) intégrent plusieurs fonctions dont les
factor : menu cas (F1) trns (3) factor qui décompose un nombre en facteurs premiers :
2
factor(1274) = 2 ∗ 7 ∗ 13
gcd : menu cas (F2) calc (A) gcd qui renvoie le PGCD de deux nombres :
fo
gcd(240, 276) = 12
combine
: menu cas (F1) trns (7) combin qui réduit une fraction : combine(378/1764) = com5
6
781
combine( (18/72 + 45/63 - 83/115) / (2/7) ) =
920
in
bine(1/2+1/3) =
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54
CALCULATRICE
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 6.
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om
Chapitre 7
EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES
EXPRESSION ALGÉBRIQUE
Dénition :
at
hs
7.1
.c
MONÔMES - POLYNÔMES
Une expression algébrique est un ensemble de nombres et de lettres réunis par des signes qui
indiquent des opérations à eectuer sur ces nombres et ces lettres.
Exemple :
3ab2 ;
ax+b
;
2x−1
q
x+1
x−m
Parmi les termes d'une expression algébrique on trouve :
des nombres ou lettres auquels on attribue des valeurs xes et connues, ce sont des constantes :
(3) ; (−2) ; (a) ; (b) ;
...
m
m
des lettres pouvant prendre des valeurs numériques quelconques, ce sont des variables : x ,
la lettre x est plus spécialement appelée inconnue la lettre m est plus spécialement appelée paramètre fo
EXPRESSION ALGÉBRIQUE RATIONNELLE, IRRATIONNELLE, ENTIÈRE
in
Une expression algébrique est dite rationnelle si elle ne contient pas de variable sous un radical ;
dans le cas contraire elle est dite irrationnelle.
Une expression algébrique est dite entière si une variable ne gure pas au dénominateur, dans
le cas contraire elle est dite fractionnaire .
Exemples :
ax+b
) est une expression algébrique entière, rationnelle
(
c
ax+b
(
) est une expression algébrique fractionnaire, rationnelle
√cx
ax+b
(
) est une expression algébrique fractionnaire, irrationnelle
cx
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56
CHAPITRE 7.
EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES
MONÔMES - POLYNÔMES
REMARQUE
La valeur particulière prise par une expression algébrique
particulière a se désigne par
f (x) lorsque l'on donne à x la valeur
f (a).
Soit :
f (x) = 3x2 + 2x − 5
f (1) = 3 ∗ 12 + 2 ∗ 1 − 5 = 3 + 2 − 5 = 0
f (−2) = 3 ∗ (−2)2 + 2 ∗ (−2) − 5 = 12 − 4 − 5 = +3
om
f (a) = 3a2 + 2a − 5
EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES IDENTIQUES
soient les valeurs attribuées aux variables.
7.2
(x2 − y 2 ) ≡ (x + y)(x − y)
at
hs
Soit :
.c
Deux expressions algébriques sont identiques si elles ont la même valeur numérique quelles que
MONÔMES
Dénitions :
On appelle monôme toute expression algébrique dont les éléments ne sont reliés que par des
signes de multiplication.
2 3
exemple : 2a b
parmi les éléments du monôme, on distingue :
m
- le coecient numérique
- la partie littérale
fo
Un monôme est dit réduit lorsqu'il est sous la forme la plus condensée possible.
2 3
5 3
2 3 5 3
2 9 3
exemple : (−4)a b (−2)b c (3)bd = (−4)(−2)(3)a b b bc d = 24a b c d
Sous cette dernière forme le monôme est réduit.
in
Degré d'un polynôme :
par rapport à l'une des variables : c'est le degré ou exposant porté par cette variable dans
l'expression du monôme réduit.
par rapport à l'ensemble des variables : c'est la somme des exposants des variables contenues
dans le monôme.
3 4
Exemple : 4a b
- est du 3ème degré en a
- du 4ème degré en b
- du 7ème degré en a et b.
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7.3.
57
POLYNÔMES
Monômes semblables :
Deux monômes sont dits semblables lorsqu'ils ne dièrent que par leurs coecients.
Exemple :
a3 b5 c2 )
(48a3 b5 c2 ) ; (−12a3 b5 c2 ) ; ( 43
3
om
Somme algébrique de monômes semblables.
La somme algébrique de monômes semblables est un monôme semblable dont le coecient est la
somme des coecients.
15ab2 − 7ab2 + 10ab2 = 18ab2
REMARQUE
La somme de plusieurs monômes
.c
Exemple :
non semblables
at
hs
Produit de monômes
n'est plus un monôme mais un polynôme.
Le produit de deux ou plusieurs monômes est un monôme qui a pour coecient le produit des
coecients et pour partie littérale, la partie littérale formée de toutes les lettres des monômes
facteurs, chacun ayant pour exposant la somme de tous ses exposants dans les divers monômes.
Exemple :
1 7
(− 32 a2 x3 )( 35 ax2 )( 14 a4 b) = − 10
a bx5
Quotient de deux monômes
m
Le quotient de deux monômes est la fraction qui a pour numérateur le monôme dividende et pour
dénominateur le monôme diviseur.
Des simplications sont souvent possibles.
8a2 mx3
2an2 x
= 4 amx
n2
2
;
8a2 mx3
2ax
= 2amx2
fo
Exemples :
Dans ce dernier exemple ou le quotient est un monôme, on dit que le dividende est divisible par le
diviseur.
POLYNÔMES
in
7.3
Dénition :
On appelle polynôme, la somme algébrique de plusieurs monômes.
Exemple :
5a3 b − 10a2 b2 c2 + 7ab − 12a3
Un polynôme contenant deux termes est un binôme Exemple :
5a3 b − 10a2 b2 c2
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58
CHAPITRE 7.
EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES
MONÔMES - POLYNÔMES
Un polynôme contenant trois termes est un trinôme Exemple :
5a3 b − 10a2 b2 c2 + 7ab − 12a3
ainsi que
ax2 + bx + c
Polynôme à une seule variable
Un polynôme à une seule variable est dit ordonnée si les monômes qu'il renferme sont écrits
om
dans l'ordre des puissances :
4
3
2
décroissantes : −14x + x − 2x + −5
2
3
4
croissantes : −5 + x − 2x + x − 14x
Degré d'un polynôme :
Le degré d'un polynôme par rapport à une variable est le degré d'un polynôme de plus haut
degré par rapport à cette variable.
Exemples :
3
a) 5a b −
10a2 b2 c + 7ab − 12a3 + b2
- 3ème degré en a
- 2ème degré en b
- 1er degré en c.
3
2
b)
at
hs
ce polynôme est du :
.c
Le degré d'un polynôme à une seule variable est celui de son monôme de plus haut degré.
x − 5x + 2x − 3
Ce polynôme est du 3ème degré
Polynôme homogène
Un polynôme est homogène par rapport à plusieurs variables quand ses
termes sont tous du même degré par rapport à ces variables.
x4 − 5x2 z 2 + 2xyz 2 − 5yz 3
m
Exemple :
Opérations
fo
Somme
La somme de plusieurs polynômes est le polynôme obtenu en écrivant les polynômes considérés les
uns à la suite des autres avec le signe correspondant.
in
Exemple :
(3a2 b + 7ab2 ) − (2a2 b + 8ab2 )
= 3a2 b + 7ab2 − 2a2 b − 8ab2
= a2 b − ab2 = ab(a − b)
Produit
Le produit de deux polynômes est le polynôme obtenu en multipliant chaque monôme du premier
par chaque monôme du second.
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7.3.
59
POLYNÔMES
Exemple :
(3x2 − 5x + 3)(2x − 1) = 6x3 − 10x2 + 6x − 3x2 + 5x − 3
(3x2 − 5x + 3)(2x − 1) = 6x3 − 13x2 + 11x − 3
om
Figure 7.1 multiplication algébrique
Dans les cas compliqués, on peut poser la multiplication comme pour la multiplication de deux
.c
nombres.
Quotient
at
hs
Quotient d'un polynôme par un monôme : un polynôme étant une somme de monômes, il sut
de diviser chaque monôme composant le polynôme par le monôme diviseur.
12a2 x−15ax2 +3ax
−3ax
= −4a + 5x − 1
Quotient d'un polynôme par un polynôme : on écrit le quotient sous forme de fraction qu'on
essaie ensuite de simplier par des mises en facteurs astucieuses. Les mises en facteurs seront
m
étudiées plus en détails au chapitre suivant.
Exemples :
=
3(4a−b)
(4a−b)(2x−b)
fo
12a−3b
8ax−4ab−2bx+b2
=
x+2y 2
5(x+2y 2 )(x−2y 2 )
=
3
2x−b
1
5(x−2y 2 )
in
x+2y 2
5x2 −20y 4
=
Lorsque les mises en facteurs ne sont pas apparentes, on peut tenter de poser la division comme
une division de nombres. Si cette division se fait sans reste, le problème est résolu, sinon il faudra
rechercher une autre méthode.
Exemple :
donc
35a3 −41a2 +54a−24
7a−4
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= 5a2 − 3a + 6
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CHAPITRE 7.
EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES
MONÔMES - POLYNÔMES
at
hs
.c
om
60
in
fo
m
Figure 7.2 division algébrique
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om
Chapitre 8
DÉVELOPPEMENT ET
.c
FACTORISATION
Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme (ou soustraction ).
a(b + c)
(b + c). Distribuons
Prenons une expression qui est un produit de deux termes :
at
hs
- le premier terme (ou facteur) a , le deuxième terme
le facteur a en
tenant compte de la règle des signes.
1°)
a(b + c) = ab + ac
2°) a(b − c) = ab − ac
Exemple :
7x(3x + 2) = 21x2 + 14x
3x(4x − 5) = 12x2 − 15x
Double distributivité :
+ b)(c − d) = a(c − d) + b(c − d) = ac − ad + bc − bd
Exemple :
4°)(2x
m
3°)(a
fo
− 3)(5x + 1) = 10x2 + 2x − 15x − 3 = 10x2 − 13x − 3
A = (2x − 7)(3x − 1) = 6x2 − 2x − 21x + 7 = 6x2 − 23x + 7
8.1
IDENTITÉS REMARQUABLES
in
CARRÉ d'une SOMME
(a + b)2 = (a + b) ∗ (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
Le carré d'une somme est égal au carré du premier terme + le double produit des deux termes +
le carré du second terme.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(x + 7)2 = x2 + 2 ∗ 7x + 72 = x2 + 14x + 49
(3x + 5)2 = (3x)2 + 2(3x)(5) + (5)2 = 9x2 + 30x + 25
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62
CHAPITRE 8.
DÉVELOPPEMENT ET FACTORISATION
CARRÉ d'une DIFFÉRENCE
(a − b)2 = (a − b) ∗ (a − b) = a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Le carré d'une diérence est égal au carré du premier terme moins le double produit des deux
(2x − 7)2 = (2x)2 − 2(2x)(7) + (7)2 = 4x2 − 28x + 49
2
2
1
x − 3 = 12 − 2 12 x (3) + (3)2 = 41 x2 − 3x + 9
2
DIFFÉRENCE DE CARRÉS
.c
(a − b)(a + b) = a2 − ab + ab − b2 = a2 − b2 ⇒
(a − b)(a + b) = a2 − b2
(5x − 3)(5x + 3) = 25x2 − 9 avec a = 5x et b = 3
(2x − 3)(2x + 3) = 4x2 − 9
om
termes plus le carré du second terme.
Utilisons cette dernière propriété pour eectuer un calcul :
2
2
at
hs
100 − 1 = 10000 − 1 = 9999
99 ∗ 101 = (100 − 1)(100 + 1) =
IDENTITÉS DU TROISIÈME DEGRÉ
m
(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 )
(a + b)3 = a3 + 2a2 b + ab2 + a2 b + 2ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
fo
(a − b)3 = (a − b)(a − b)2
(a − b)3 = (a − b)(a2 − 2ab + b2 )
(a − b)3 = a3 − 2a2 b + ab2 − a2 b + 2ab2 − b3
(a + b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3
in
(a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 − a2 b + ab2 + a2 b − ab2 + b3
(a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3
(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 + a2 b + ab2 + a2 b − ab2 − b3
(a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3
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8.1.
63
IDENTITÉS REMARQUABLES
Développer et simplier les expressions suivantes
(3x − 7)2 − 5(x − 2)(x + 2)
2
2
2
2
= (9x − 42x + 49) − 5(x − 4) = (9x − 42x + 49) − (5x − 20)
2
2
2
=9x − 42x + 49 − 5x + 20 = 4x − 42x + 69
A(x) =
A(x)
A(x)
(3x + 1)2 − (2x − 3)2
A = (9x2 + 6x + 1) − (4x2 − 12x + 9) = 9x2 + 6x + 1 − 4x2 + 12x − 9
A = 5x2 + 18x − 8
B
B
B
B
= (2x − 3)2 − (5x − 9)(2x − 3)
= 4x2 − 12x + 9 − (10x2 − 15x − 18x + 27)
= 4x2 − 12x + 9 − 10x2 + 15x + 18x − 27
= −6x2 + 21x − 18
C
C
C
C
= (5x − 3)2 − 4x(5x − 3)
= 25x2 − 30x + 9 − (20x2 − 12x)
= 25x2 − 30x + 9 − 20x2 + 12x
= 5x2 − 18x + 9
D = (x − 4)2 + (x − 4)(x + 8)
D = x2 − 8x + 16 + x2 + 8x − 4x − 32
D = 2x2 − 4x − 16
E
E
E
E
= (x − 3)(x + 7) − (2x − 7)(x − 3)
= x2 + 7x − 3x − 21 − (2x2 − 6x − 7x + 21)
= x2 + 4x − 21 − 2x2 + 6x + 7x − 21
= −x2 + 17x − 42
F
F
F
F
= 49 − (3x − 5)2
= 49 − (9x2 − 30x + 25)
= 49 − 9x2 + 30x − 25)
= −9x2 + 30x + 24
fo
m
at
hs
.c
om
A =
G = (x + 1)2 − 2(x + 1)(3x − 4)
G = x2 + 2x + 1 − 2(3x2 − 4x + 3x − 4)
G = x2 + 2x + 1 − 2(3x2 − x − 4)
G = x2 + 2x + 1 − 6x2 + 2x + 8
G = −5x2 + 4x + 9
in
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64
CHAPITRE 8.
DÉVELOPPEMENT ET FACTORISATION
I
I
I
I
= 25 − x2 − (5 − x)2
= 25 − x2 − (25 − 10x + x2 )
= 25 − x2 − 25 + 10x − x2
= −2x2 + 10x
J
J
J
J
= 6(4x − 5) − (4x − 5)2
= 24x − 30 − (16x2 − 40x + 25)
= 24x − 30 − 16x2 + 40x − 25
= −16x2 + 64x − 55
L = (3x − 1)2 − (2 − x)2
L = 9x2 − 6x + 1 − (4 − 4x + x2 )
L = 9x2 − 6x + 1 − 4 + 4x − x2
L = 8x2 − 2x − 3
M = (3x + 2)2 − 9
M = 9x2 + 12x + 4 − 9
M = 9x2 + 12x − 5
N
N
N
N
= (3x + 2)2 − (x + 3)(3x + 2) + 15x + 10
= 9x2 + 12x + 4 − (3x2 + 2x + 9x + 6) + 15x + 10
= 9x2 + 12x + 4 − 3x2 − 2x − 9x − 6 + 15x + 10
= 6x2 + 16x + 8
P
P
P
P
= (2a + 3)2 − (a − 5)2
= 4a2 + 12a + 9 − (a2 − 10a + 25)
= 4a2 + 12a + 9 − a2 + 10a − 25
= 3a2 + 22a − 16
Q = (5x − 7)2 − 4(x + 5)2
Q = 25x2 − 70x + 49 − 4(x2 + 10x + 25)
Q = 25x2 − 70x + 49 − 4x2 − 40x − 100
Q = 21x2 − 110x − 51
fo
m
at
hs
.c
om
R = (x + 3)(x − 7) + (x + 2)(x − 7) + (2x + 5)(2x + 8)
R = x2 − 7x + 3x − 21 + x2 − 7x + 2x − 14 + 4x2 + 16x + 10x + 40
R = 6x2 + 15x + 39
in
Voici quelques monômes (1 seul terme ) :
3x ; 8x2 ; −4x3
Voici un binôme (deux termes) du premier degré :
degré de l'exposant de
bx + c
x qui est 1 (sous entendu)
Voici quelques polynômes (plusieurs termes) :
. On dit du premier degré car c'est le
3x4 + 7x − 2 ; 8x2 − x ; −4x2 − 5x + 8
. Ce dernier
polynôme comporte 3 termes, on l'appelle trinôme, de plus le premier terme est du 2ème degré en
x
, on l'appellera trinôme du second degré.
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8.1.
Il est de la forme standardisé :
ax2 + bx + c.
B(x) = (1 − 5x)(2 + 3x) − 3(2x + 5)2
B(x) = (2 + 3x − 10x − 15x2 ) − 3(4x2 + 10x + 25)
B(x) = (2 + 3x − 10x − 15x2 ) − 12x2 − 30x − 75
B(x) = −15x2 − 7x + 2 − 12x2 − 60x − 75 = −27x2 − 67x − 73
in
fo
m
at
hs
.c
om
65
IDENTITÉS REMARQUABLES
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66
CHAPITRE 8.
8.2
DÉVELOPPEMENT ET FACTORISATION
FACTORISATION
Factoriser c'est la transformation d'une somme en produit
Règle : lorsque chaque terme d'un polynôme P est divisible par un monôme, on peut décomposer
le polynôme en un produit de deux facteurs l'un de ces facteurs est le monôme, l'autre est le
polynôme P' obtenu en divisant chaque terme de P par le monôme.
P = 12a2 x − 15ax2 + 3ax
om
Exemple :
Nous voyons que chaque terme de P est divisible par le monôme
en facteur.
Mises en facteur successives
2
2
2
P = w xy + wx z + wy z +
2
2
2
3ax
at
hs
xyz 2
P = (w xy + wx z) + wy z + xyz 2
P = wx(wy + xz) + yz(wy + xz)
P = (wx + yz)(wy + xz)
P = 32x2 y 2 − 50y 4
2
Mettons d'abord 2y en facteur :
P = 2y 2 (16x2 − 25y 2 )
nous pouvons mettre
.c
P = 3ax(4a − 5x + 1)
3ax ;
Appliquons l'identité remarquable
2
(a2 − b2 ) = (a + b)(a − b)
P = 2y (4x + 5y)(4x − 5y)
Pour factoriser, il faut essayer de trouver un facteur commun :
- soit le facteur est apparent
m
- soit penser à utiliser les identités remarquables
fo
ab + ac = a(b + c) le terme a est commun
ab + bc = b(a + c) le terme b est commun
ab + a = (a ∗ b) + (a ∗ 1) = a(b + 1) ; pour vérier on redéveloppe
a2 + ab = (a ∗ a) + (a ∗ b) = a(a + b) ; pour vérier on redéveloppe
2x2 − 10x = 2x(5x − 5) ; pour vérier on redéveloppe
A(x) = (3x − 7)(x + 2) − 5(x + 2) = (x + 2)[(3x − 7) − 5] = (x + 2)(3x − 12) = 3(x + 2)(x − 4)
B(x) = (3x − 1)(x − 2) − (3x − 6)(x + 1) = (3x − 1)(x − 2) − 3(x − 2)(x + 1)
B(x) = (x − 2)[(3x − 1) − 3(x + 1)] = (x − 2)(3x − 1 − 3x − 3) = −4(x − 2)
A(x) = −(x − 5)2 − 3(x − 5)(2x + 3)
A(x) = (x − 5)[−(x − 5) − 3(2x + 3)]
A(x) = (x − 5)(−x + 5 − 6x − 9) = (x − 5)(−7x − 4)
A(x) = (x − 5)(−7x − 4) = −(x − 5)(7x + 4)
in
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8.2.
67
FACTORISATION
B(x) = (x − 2)(3x − 1) − (2 − 6x)(2x + 3)
B(x) = (x − 2)(3x − 1) − 2(1 − 3x)(2x + 3)
B(x) = (x − 2)(3x − 1) + 2(3x − 1)(2x + 3)
B(x) = (3x − 1)[(x − 2) + 2(2x + 3)]
B(x) = (3x − 1)(x − 2 + 4x + 6)
B(x) = (3x − 1)(5x + 4)
C(x) = (2x − 3)2 − 16 de la forme a2 − b2 = (a − b)(a + b)
C(x) = (2x − 3 − 4)(2x − 3 + 4)
C(x) = (2x − 7)(2x + 1)
D(x) = 4x2 − 12x + 9 − 7(2x − 3)(x + 5)
D(x) = (4x2 − 12x + 9) − 7(2x − 3)(x + 5)
avec
a = 2x
et
b = 3.
Soit :
at
hs
D(x) = (2x − 3)2 − 7(2x − 3)(x + 5)
D(x) = (2x − 3)[(2x − 3) − 7(x + 5)]
D(x) = (2x − 3)(2x − 3 − 7x − 35)
D(x) = (2x − 3)(−5x − 38)
D(x) = −(2x − 3)(5x + 38)
(a − b)2
.c
La première parenthèse ressemble à :
om
A = (3x + 1)2 − (2x − 3)2 de la forme a2 − b2 = (a − b)(a + b)
A = [(3x + 1) − (2x − 3)][(3x + 1) + (2x − 3)]
A = (3x + 1 − 2x + 3)(3x + 1 + 2x − 3)
A = (x + 4)(5x − 2)
B
B
B
B
B
= (2x − 3)2 − (5x − 9)(2x − 3)
= (2x − 3)[(2x − 3) − (5x − 9)]
= (2x − 3)(2x − 3 − 5x + 9)
= (2x − 3)(−3x + 6)
= −3(2x − 3)(x − 2)
C
C
C
C
= (5x − 3)2 − 4x(5x − 3)
= (5x − 3)[(5x − 3) − 4x]
= (5x − 3)(5x − 3 − 4x)
= (5x − 3)(x − 3)
in
fo
m
D
D
D
D
D
= (x − 4)2 + (x − 4)(x + 8)
= (x − 4)[(x − 4) + (x + 8)]
= (x − 4)(x − 4) + x + 8)
= (x − 4)(2x + 4)
= 2(x − 4)(x + 2)
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68
CHAPITRE 8.
DÉVELOPPEMENT ET FACTORISATION
E
E
E
E
= (x − 3)(x + 7) − (2x − 7)(x − 3)
= (x − 3)[(x + 7) − (2x − 7)]
= (x − 3)(x + 7 − 2x + 7)
= (x − 3)(−x + 14) ou E = −(x − 3)(x − 14)
F
F
F
F
F
= 49 − (3x − 5)2 de la forme a2 − b2 = (a − b)(a + b)
= [7 − (3x − 5)][7 + (3x − 5)]
= (7 − 3x + 5)(7 + 3x − 5)
= (−3x + 12)(3x + 2)
= −3(x − 4)(3x + 2)
J
J
J
J
= 6(4x − 5) − (4x − 5)2
= (4x − 5)[6 − (4x − 5)]
= (4x − 5)(6 − 4x + 5)
= (4x − 5)(−4x + 11) ou J = −(4x − 5)(4x − 11)
L = (3x − 1)2 − (2 − x)2 de la forme a2 − b2 = (a − b)(a + b)
L = [(3x − 1) − (2 − x)][(3x − 1) + 2 − x]
L = (3x − 1 − 2 + x)(3x − 1 + 2 − x)
L = (4x − 3)(2x + 1)
M = (3x + 2)2 − 9 de la forme a2 − b2 = (a − b)(a + b)
M = (3x + 2 − 3)(3x + 2 + 3)
M = (3x − 1)(3x + 5)
N
N
N
N
N
N
= (3x + 2)2 − (x + 3)(3x + 2) + 15x + 10
= (3x + 2)2 − (x + 3)(3x + 2) + 5(3x + 2)
= (3x + 2)[(3x + 2) − (x + 3) + 5]
= (3x + 2)(3x + 2 − x − 3 + 5)
= (3x + 2)(2x + 4)
= 2(3x + 2)(x + 2)
P
P
P
P
= (2a + 3)2 − (a − 5)2 de la forme a2 − b2 = (a − b)(a + b)
= [(2a + 3) − (a − 5)][(2a + 3) + (a − 5)]
= (2a + 3) − a + 5)(2a + 3 + a − 5)
= (a + 8)(3a − 2)
.c
at
hs
m
fo
Q = (5x − 7)2 − 4(x + 5)2 de la forme a2 − b2 = (a − b)(a + b).
Q = [(5x − 7) − 2(x + 5)][(5x − 7) + 2(x + 5)]
Q = (5x − 7 − 2x − 10)(5x − 7 + 2x + 10)
Q = (3x − 17)(7x + 3)
in
om
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Attention 4 est le carré de 2
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8.2.
69
FACTORISATION
R = (x + 3)(x − 7) + (x + 2)(x − 7) + (2x + 5)(2x + 8)
R = (x − 7)[(x + 3) + (x + 2)] + (2x + 5)(2x + 8)
R = (x − 7)(2x + 5) + (2x + 5)(2x + 8)
R = (2x + 5)[(x − 7) + (2x + 8)]
R = (2x + 5)(3x + 1)I = 25 − x2 − (5 − x)2
I
I
I
I
I
I
Attention 25 est le carré de 5
om
= 25 − x2 − (5 − x)2 de la formea2 − b2 = (a − b)(a + b).
= 52 − x2 − (5 − x)2
= (5 − x)(5 + x) − (5 − x)2
= (5 − x)[(5 + x) − (5 − x)]
= (5 − x)(5 + x − 5 + x)
= (5 − x)(2x) = 2x(5 − x)
.c
Cas particuliers
1°)
at
hs
16x2 − 25 = (4x − 5)(4x + 5)
2
2°) (3x − 2) − 9 = (3x − 2 + 3)(3x − 2 − 3) = (3x + 1)(3x − 5)
2
2
3°)(2x + 1) − (x − 5) = [(2x + 1) + (x − 5)][(2x + 1) − (x − 5)] = (3x − 4)(x + 6)
2
4°)x − 10x + 25 + (2x − 10)(x − 3) = x2 − 10x + 25 + 2(x − 5)(x − 3) = (x − 5)2 + 2(x − 5)(x − 3) =
(x − 5)(x − 5) + 2(x − 5)(x − 3).
Mettons(x − 5) en facteur : (x − 5)[(x − 5) + 2(x − 3)] = (x − 5)[x − 5 + 2x − 6] = (x − 5)(3x − 11)
Factorisez Les expressions suivantes
Solutions :
m
A(x) = 4x2 − 9 ; B(x) = 25x2 − 144 ; C(x) = 9x2 − 16 ; D(x) = (x2 + 12x + 36) ; E(x) =
−2x2 + 28x − 98
fo
A(x) = 4x2 − 9 ⇔ (2x + 3)(2x − 3) ;
B(x) = 25x2 − 144 ⇔ (5x + 12)(5 − 12);
C(x) = 9x2 − 16 ⇔ (3x + 4)(3x − 4);
D(x) = (x2 + 12x + 36) ⇔ (x + 6)2 ;
E(x) = −2x2 + 28x − 98 ⇔ −2(x2 − 14x + 49) ⇔ −2(x + 7)2 ;
in
FORME CANONIQUE
1° Exemple :
Considérons
x2 − 4x + 3
x2 − 4x
comme le début du carré d'une identité remarquable,
x2
le carré de x , (-
4x) est le double produit de (-2x) donc on obtient le premier terme x et le second (- 2) soit
2
l'identité :(x − 2) . Si on développe cette identité on obtient :
x2 − 4x + 4 donc x2 − 4x = (x − 2)2 − 4.
(x2 − 4x) + 3 = [(x − 2)2 − 4] + 3
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L'équation d'origine devient :
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70
CHAPITRE 8.
DÉVELOPPEMENT ET FACTORISATION
x2 − 4x + 3 = (x − 2)2 − 1
qui est la forme canonique (la variable x n'apparaît qu'une seule fois)
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
x2 − 4x + 3 = [(x − 2) − 1][(x − 2) + 1]
x2 − 4x + 3 = (x − 3)(x − 1)
de la forme
Considérons
2x)
x2 − 2x − 8
x2 − 2x
om
2° Exemple :
comme le début du carré d'une identité remarquable,
x2
le carré de
x
,
(-
est le double produit de(−1x) donc on obtient le premier terme x et le second (- 1) soit
(x − 1)2 . Si on développe cette identité on obtient :
l'identité :
at
hs
.c
x2 − 2x + 1donc x2 − 2x = (x − 1)2 − 1. L'équation d'origine devient
x2 − 2x − 8 = [(x − 1)2 − 1] − 8
x2 − 2x − 8 = (x − 1)2 − 9 de la forme a2 − b2 = (a − b)(a + b)
x2 − 2x − 8 = [(x − 1) − 3][(x − 1) + 3]
x2 − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2)
3° Exemple plus complexe :
3x2 + x − 2
m
3x2 + x − 2 = 3(x2 + x3 − 32 )
1
− 23 ]
3x2 + x − 2 = 3[(x + 16 )2 − 36
1
3x2 + x − 2 = 3[(x + 16 )2 − 36
− 24
]
36
25
1
3x2 + x − 2 = 3[(x + 6 )2 − 36 ]
2
2
de la forme a − b = (a − b)(a + b).
3x2 + x − 2 = 3[(x + 16 ) − 56 ][(x + 61 ) + 56 ]
3x2 + x − 2 = 3[(x − 46 )][(x + 1]
3x2 + x − 2 = 3(x − 23 )((x + 1)
3x2 + x − 2 = (3x − 2)((x + 1)
fo
4° Étude du cas général
in
ax2 + bx + c avec a 6= 0
ax2 + bx + c = a(x + ab x + ac )
ax2 + bx + c = a[(x2 +
ax2 + bx + c = a[(x2 +
b 2
)
2a
b 2
)
2a
b 2
)
2a
−
−
ax2 + bx + c = a[(x2 +
−
2
Posons ∆ = b − 4ac alors
b 2
ax2 + bx + c = a[(x2 + 2a
) −
Saïd Chermak
b2
+ ac ]
4a2
b2
4ac
+ 4a
2]
4a2
2
b +4ac
]
4a2
4
]
4a2
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8.2.
71
FACTORISATION
pour pouvoir eectuer l'opération
a2 − b2 = (a − b)(a + b),
il faut que
4
soit positif ou nul :∆
≥0
b 2
)
∆ = 0 ⇒ ax2 + bx + c = a(x + 2a
4
b 2
2
si∆ > 0 ⇒ ax + bx + c = a[(x +
) − 4a
2]
2a
√
√
4
b
b
ax2 + bx + c = a[(x + 2a√) − 2a ][(x √+ 2a ) + 2a4 ]
4
ax2 + bx + c = a(x + b−2a√
)(x + b+2a 4√)
ax2 + bx + c = a(x − −b+2a 4 )(x − −b−2a 4 )
DIVISIBILITÉ PAR (x − a)
P = f (x)
est divisible par
(x − a) il peut se mettre
P = f (x) = (x − a) ∗ g(x)
Faisons x = a dans cette expression :
P = (a − a) ∗ g(a) = 0 ∗ g(a) = 0
est divisible par
(x − a)
sous la forme :
, il s'annule pour
P = f (x) s'annule pour x = a
P = f (x) sous la forme :
P = f (x) = (x − a) ∗ g(x)
, il est divisible par
at
hs
Réciproque : si un polynôme
x = a.
.c
Règle : si un polynôme
om
si
En eet, si P
(x − a),
c'est à
dire que l'on peut mettre
3ième degré .
P = f (x) = 2x3 − 3x2 − x − 2
Vérions sur un exemple du
Soit le polynôme :
16 − 12 − 2 − 2 = 0
x = 2.
En eet :
f (2) =
f (x)
et nous constaterons que le reste est nul.
x−2
in
fo
m
Nous établirons la division
s'annulant pour
Figure 8.1 division d'un polynôme par un monôme
Ce polynôme qui s'annule pour x=2 , peut donc bien se mettre sous la forme :
P = f (x) = 2x3 − 3x2 − x − 2 = (x − 2)(2x2 + x + 1)
Cette règle et sa réciproque sont d'une extrême importance notamment dans la simplication des
opérations sur les monômes et les polynômes.
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72
DÉVELOPPEMENT ET FACTORISATION
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 8.
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om
.c
Deuxième partie
in
fo
m
at
hs
ÉQUATIONS - INÉQUATIONS
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om
.c
at
hs
m
fo
in
Saïd Chermak
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om
Chapitre 9
GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS
DÉFINITIONS
.c
9.1
INTRODUCTION
at
hs
Une égalité est soit vraie soit fausse
7 + 3 = 10 égalité vraie, vériée
7 + 3 = 15 égalité fausse, non vériée
x + 3 = 12 égalité vraie sous certaines conditions suivant la valeur de x.
Si x = 1, l'égalité est fausse, si x = 9 cette égalité est vraie. Ceci s'appelle
inconnue
x
une équation à 1
. La solution, ou racine de cette équation, est l'ensemble des valeurs des variables pour
laquelle cette égalité est vraie.
m
est fausse.
x = 9 est une solution alors que x = 5 n'est pas solution car l'égalité
ÉQUATION
On appelle équation une égalité ente deux expressions algébriques qui n'est vériée que pour
fo
certaines valeurs attribuées aux variables qu'elles contiennent.
Le degré de l'équation est le degré du terme du plus haut degré aectant la variable.
Exemple :
x + 2 = 2x − 4
in
Équation du 1er degré vériée pour
x=6
x2 − 5x + 6 = 0
Équation du 2ème degré vériée pour
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x=2
et pour
75
x = +3.
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76
CHAPITRE 9.
GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS
SOLUTION
La solution ou racine d'une équation, est l'ensemble des valeurs des variables qui vérient cette
équation
Dans les exemples précédents, 6 est racine de la première équation ; 2 et 3 sont les racines de la
seconde.
RÈGLES DE CALCUL
om
9.2
Pour résoudre une équation il est préférable de la mettre sous une forme particulière. Les diverses
ax + b = 0 pour le 1er degré
ax2 + bx + c = 0 pour le 2ème degré
ax3 + bx2 + cx + d = 0 pour le 3ème
degré
.c
formes sont :
1ère règle :
soit une égalité
at
hs
Pour amener une équation dans ces formes on utilise les règles de calcul suivantes :
a = b
alors si on rajoute ou retranche à chaque membre un même nombre on
obtient une autre égalité.
Exemples :
a = b; a + c = b + c; a − c = b − c
x + 3 = −2 ; x + 3 − 3 = −2 − 3 ;x = 5
Pratiquement on revient à dire que l'on peut faire passer un terme d'un membre à l'autre en
m
changeant son signe.
in
fo
x + 3 = −2 ;
x = −2 − 3 ;
x=5
x+a=b
x=b−a
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9.2.
77
RÈGLES DE CALCUL
2ème règle :
soit une égalité
a=b
alors si on multiplie ou divise chaque membre par un même nombre
non nul
on obtient une autre égalité.
Exemple :
x+2
2
=
2x−3
3
Multiplions les deux membres par 6
6(x+2)
2
=
6(2x−3)
3
⇔ 3(x + 2) = 2(2x − 3)
om
Pratiquement on en revient à énoncer la règle déjà vue au chapitre des proportions : dans une
proportion le produit des extrêmes est égal au produit des moyens
x+2
2
3ème règle :
.c
= 2x−3
3
3(x + 2) = 2(2x − 3)
a
avec c 6= 0 ⇒
= cb ou ac = bc
c
On peut élever à une même puissance les deux membres d'une équation ; mais on peut de ce fait,
introduire des solutions étrangères : il est donc nécessaire de vérier si les racines trouvées sont
√
Exemple 1 :
at
hs
bien des solutions de l'équation proposée.
2x2 − 1 = x + 2
(1)
élevons les deux membres de l'équation (1) au carré
2x2 − 1 = x2 + 4x + 4
x2 − 4x − 5 = 0
Les deux racines -1 et 5 vérient l'équation (1), en eet :
2 − 1 = −1 + 2
√
et
√
50 − 1 = 5 + 2
m
√
Exemple 2 :
3x − 5 = x − 3
(2)
levons les deux membres de l'équation (2) au carré
in
fo
3x − 5 = x2 − 6x + 9
x2 − 9x + 14 = 0
Les racines sont +2 et +7. Vérions pour x = 2 :
√
6 − 5 = 2 − 3 ; comme 1 6= −1alors x = 2 n'est pas solution
Vérions pour x = 7 :
√
21 − 5 = 7 − 3 ; comme 4 = 4 alors x = 7 est solution de l'équation
(2)
L'élévation à une puissance est donc un procédé dangereux que l'on devra néanmoins utiliser
lorsque l'équation proposée contient des radicaux. Il faudra toujours vérier si les racines nales
sont bien des solutions de l'équation initiale.
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78
CHAPITRE 9.
GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS
4ème règle :
Équation contenant deux radicaux (carrés)
On élève une première fois les deux membres au carré de façon à ce qu'il ne reste plus qu'un radical
dans la nouvelle expression de l'équation.
On isole ce radical et on élève une seconde fois au carré. On vérie ensuite chacune des racines
om
trouvées.
√
√
( x + 1) = 3x + 1 .
√
Élevons au carré : x + 2 x + 1 = 3x + 1
√
√
Isolons le radical : 2 x = 3x + 1 − x − 1 ⇔ 2 x = 2x
2
2
2
Élevons une seconde fois au carré : 4x = 4x ⇔ x = x ⇔ x − x = 0
x2 − x = 0 ⇔ x(x − 1) = 0
Il y a deux racines : x = 0 et x = 1
.c
Exemple :
Vérications :
x = 0 convient
solution x = 1 convient
solution
La
in
fo
m
pour
√
x = 0 : 0 + 1 = 0 + 1 ⇔ 1 = 1 La
√
x=1 : 1+1= 3∗1+1⇔2=2
at
hs
pour
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om
Chapitre 10
ÉQUATIONS DU 1ER DEGRÉ
RÉSOLUTION ET DISCUSSION
.c
10.1
Une équation du 1er degré à une inconnue est de la forme :
ax + b = 0
vériée.
ax + b = 0
ax + b − b = 0 − b
ax = −b
at
hs
Résoudre cette équation c'est déterminer la ou les valeurs de x pour lesquelles cette égalité est
Cela revient à passer un terme d'un membre dans l'autre membre en changeant son signe. Distinguons 3 cas :
−b
= −b
⇒ x = −b
; Soit S la ou les solutions. S =
a 6= 0; ax
a
a
a
a
cas 2 ) a = 0, et b = 0 ; 0x = 0 ; toutes les valeurs de x conviennent, nous avons
de solutions. S = R
cas 3) a = 0, b 6= 0 ; 0x = −b Ici l'égalité est impossible, il n'y a pas de solution.
S = {Ø} (ensemble vide).
fo
Exemple :
une innité
m
cas 1 )
3(2x − 1) = 5 − 3(7x + 2)
Développons
in
6x − 3 = 5 − 21x − 6 ⇒ 6x − 3 = −21x − 1
Passons les mêmes termes de chaque côté en changeant les signes quand les termes changent de
côté :
6x + 21x = −1 + 3 ⇒ 27x = 2 ⇒ x =
2
27
2
S = { 27
}
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80
CHAPITRE 10.
ÉQUATIONS DU 1ER DEGRÉ
Exemple :
2x − 7 = 3(1 − 3x)
2x − 7 = 3 − 9x
2x + 9x = 3 +7
S = { 10
}
11
Exemple :
(3x − 7)2 − (x − 2)(x + 2) = (2x − 1)(4x + 5)
om
11x = 10
x = 10
11
S = { 29
}
24
at
hs
9x2 − 42x + 49 − (x2 − 4) = 8x2 + 10x − 4x − 5
9x2 − 42x + 49 − x2 + 4 = 8x2 + 6x − 5
8x2 − 42x + 53 = 8x2 + 6x − 5
−42x + 53 = +6x − 5
−42x − 6x = −5 − 53
−48x = −58
−58
x = −48
= 29
24
.c
A priori cette expression n'apparaît pas du 1er degré. Simplions l'écriture
a
= dc ⇔ ad = bc en eectuant le produit en croix. Le produit des
b
extrêmes est égal au produit des moyens termes.
Une propriété intéressante :
= x+8
2
2(2x − 3) = 5(x + 8)
4x − 6 = 5x + 40
4x − 5x = 40 + 6
−x = 46
x = −46
S = {−46}
2x−3
5
in
fo
m
Exemple :
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10.2.
81
ÉQUATIONS PRODUITS
Exemple :
(2x+1)∗2
3∗2
2x+1
− 5(1−x)
= x+2
3
6
2
5(1−x)
(x+2)∗3
= 2∗3
6
om
−
2(2x + 1) − 5(1 − x) = 3(x + 2)
4x + 2 − 5 + 5x = 3x + 6
4x + 5x − 3x = 6 + −2 + 5
6x = 9
x = 96 = 23
S = { 32 }
Équations contenant l'inconnue au dénominateur :
Écarter toutes les valeurs de x qui annulent le dénominateur.
.c
Réduire les deux membres de l'équation au même dénominateur.
Multiplier les deux membres de l'équation par ce dénominateur commun non nul
Résoudre et discuter l'équation obtenue
3x2 +1
3−x
= 2 − 3x
at
hs
Exemple :
3 − x 6= 0 ⇔ x 6= 3
⇔ 3x + 1 = (2 − 3x)(3 − x) = 6 − 2x − 9x + 3x2 = −11x + 5
La division par 0 étant impossible on doit avoir :
3x2 +1
3−x
=
(2−3x)(3−x)
(3−x)
5
x = − 11
5
S = {− 11
}
ÉQUATIONS PRODUITS
m
10.2
2
(ax + b)(cx + d) = 0
A ∗ B = 0 si A = 0 ou B = 0
fo
Un produit est nul si au moins 1 de ces facteurs est nul. Ici
ax + b = 0 ⇔ x =
cx + d = 0 ⇔ x =
−b
a
avec
−d
c
a 6= 0
et
ou
cx + d = 0
c 6= 0
in
(
(ax + b) = 0
S = {− ab ; − dc }
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82
CHAPITRE 10.
Exemple :
(
ÉQUATIONS DU 1ER DEGRÉ
(2x − 3)(x + 7) = 0
2x − 3 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔ x =
x + 7 = 0 ⇔ x = −7
3
2
S = −7; 23
(x − 2)(x + 3) = 0
x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ou x + 3 = 0 ⇔ x = −3
S = {−3; 2}
(x − 3)(2x + 1) − 5(x − 3) = 0
Factorisons par (x − 3)
(x − 3)[(2x + 1) − 5] = 0
(x − 3)(2x − 4) = 0
om
Résoudre :
.c
Résoudre :
a)
x−3=0⇔x=3
ou
b)
at
hs
Un produit est nul si au moins 1 de ces facteurs est nul.
2x − 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x =
S = {2; 3}
Résoudre :
4
2
⇔x=2
5x2 − 7x + (10x − 14)(x − 1) = 0
Le facteur commun n'apparaît pas directement, nous allons eectuer des mises en facteurs intermédiaires.
fo
m
x(5x − 7) + 2(5x − 7)(x − 1) = 0
(5x − 7)[x + 2(x − 1)] = 0
(5x − 7)(x + 2x − 2) = 0
(5x − 7)(3x − 2) = 0
Un produit est nul si au moins 1 de ces facteurs est nul.
a)
5x − 7 = 0 ⇔ 5x = 7 ⇔ x =
7
5
3x − 2 = 0 ⇔ 3x = 2 ⇔ x =
2
3
ou
in
b)
S = { 23 ; 57 }
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10.2.
83
ÉQUATIONS PRODUITS
x2 − 9 = 0
x2 − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0
Résoudre :
Un produit est nul si au moins 1 de ces facteurs est nul.
a)
x−3=0⇔x=3
ou
x + 3 = 0 ⇔ x = −3
S = {−3; 3}
3x3 − 12x = 0
3x(x2 − 4) = 0
3x(x − 2)(x + 2) = 0
Résoudre :
Un produit est nul si au moins 1 de ces facteurs est nul.
3x = 0 ⇔ x = 0
.c
a)
om
b)
ou
−2=0⇔x=2
ou c) x + 2 = 0 ⇔ x = −2
S = {−2; 0; 2}
at
hs
b)x
− 3)2 − 16 = 0
2
2
de la forme a − b = (a − b)(a + b)
[(5x − 3) − 4][(5x − 3 + 4] = 0
(5x − 7)(5x + 1) = 0
Résoudre :(5x
Un produit est nul si au moins 1 de ces facteurs est nul.
7
5
m
5x − 7 = 0 ⇔ 5x = 7 ⇔ x =
b) x + 1 = 0 ⇔ x = −1
S = {−1; 75 }
a)
(3x − 1)2 = (2x − 5)2
(3x − 1)2 − (2x − 5)2 = 0
2
2
de la forme a − b = (a − b)(a + b)
[(3x − 1) − (2x − 5)][(3x − 1) + (2x − 5)] = 0
(3x − 1 − 2x + 5)(3x − 1 + 2x − 5) = 0
(x + 4)(5x − 6) = 0
in
fo
Résoudre :
Un produit est nul si au moins 1 de ces facteurs est nul.
x + 4 = 0 ⇔ x = −4
b) 5x − 6 = 0 ⇔ 5x = 6 ⇔ x =
a)
6
5
S = {−4; 65 }
Résoudre :
4x2 − 12x + 9 = (x − 1)2
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84
CHAPITRE 10.
Au préalable il faut reconnaître l'identité remarquable
2
4x − 12x + 9 = (2x − 3) donc l'expression
(2x − 3)2 = (x − 1)2
(2x − 3)2 − (x − 1)2 = 0
2
2
de la forme a − b = (a − b)(a + b)
[(2x − 3) − (x − 1)][(2x − 3) + (x − 1)] = 0
(2x − 3 − x + 1)(2x − 3 + x − 1) = 0
(x − 2)(3x − 4) = 0
s'écrit :
Un produit est nul si au moins 1 de ces facteurs est nul.
x−2=0⇔x=2
b) 3x − 4 = 0 ⇔ 3x = 4 ⇔ x =
.
a)
4
3
.c
S = { 43 ; 2}
om
2
(a − b)2
ÉQUATIONS DU 1ER DEGRÉ
f (x) = (2x + 3)2 = 9
(2x + 3) − 9 = 0 ; de la forme (a2 − b2 ) = (a + b)(a − b) = 0
[(2x + 3) + 3][(2x + 3) − 3] = 0 ⇔ (2x + 6)(2x) = 0 ;
soitx = 0
−6
soit 2x + 6 = 0 ⇔ 2x = −6 =⇔ x =
= −3
2
Résoudre
S = {−3; 0}
at
hs
2
x2 − 3x = 2x2 + 5x
x2 − 2x2 − 3x − 5x = 0 ⇔ −x2 − 8x = 0
−x(x + 8) = 0 ⇔ 2 solutions :
x = 0;
x + 8 = 0 ⇔ x = −8
S = {−8; 0}
in
fo
m
Résoudre
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10.2.
85
ÉQUATIONS PRODUITS
(2x − 1)2 − (x + 3)2
2
2
de la forme a − b = (a + b)(a − b)
[(2x − 1) + (x + 3)][(2x − 1) − (x + 3)] = 0
(3x + 2)(x − 4) = 0
−2
a) 3x + 2 = 0 ⇔ 3x = −2 ⇔ x =
3
b) x − 4 = 0 ⇔ x = 4
S = { −2
; 4}
3
(x + 1)2 − 3x(x + 1) = 0
(x + 1)[(x + 1) − 3x)] = 0 ⇔ (x + 1)(−2x + 1) = 0 ;
a) x + 1 = 0 ⇔ x = −1 ;
−1
b) −2x + 1 = 0 ⇔ −2x = −1 ⇔ x =
= 12
−2
S = {−1; 12 }
(2 − x)(3 + x) = 2(3 − 2x)(2 − x)
3 + x = 2(3 − 2x) ⇔ 3 + x = 6 − 4x ;
3 − 6 + x + 4x = 0 ⇔ −3 + 5x = 0 ;
5x = 3 ⇔ x = 53
at
hs
Résoudre
S = { 35 }
Résoudre
.c
Résoudre
om
Résoudre
(x − 2)2 = 0
Il faut surtout pas développer car dans ce cas on obtient une équation du second degré plus longue
à résoudre. Il faut voir que :
m
(x − 2)2 = 0 ⇔ (x − 2)(x − 2) = 0
Un produit est nul si au moins 1 de ces facteurs est nul.
in
fo
(x − 2) = 0 ⇔ x = 2
S = {2}
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86
ÉQUATIONS DU 1ER DEGRÉ
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 10.
Saïd Chermak
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om
Chapitre 11
RÉSOLUTION D'INÉQUATIONS
ORDRE ET OPÉRATIONS
.c
11.1
ORDRE ET ADDITIONS
de cette inégalité.
a<b⇔a+c<b+c
exemple :
at
hs
On peut ajouter ou retrancher le même réel aux deux membres d'une inégalité sans changer le sens
a<7⇔a−3<7−3
a<7⇔a+5<7+5
m
ORDRE ET MULTIPLICATION
On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par le même réel strictement positif
sans changer le sens de cette inégalité.
fo
a 0
a 0
On doit changer le sens d'une inégalité si on multiple ou on divise ses deux membres par le même
in
réel strictement négatif.
a bc avec c < 0
a cb avec c < 0
exemple :
a < 7 ⇔ −4a > −4 ∗ 7
a
7
a < 7 ⇔ −3
> −3
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87
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88
CHAPITRE 11.
11.2
INTERVALLES DE
RÉSOLUTION D'INÉQUATIONS
R
Etant donné deux nombres a et b tels que a < b, l'ensemble des nombres
compris entre a et b s'appelle un intervalle et se note (a,b).
Les nombres a et b en constituent les
fermé. Il est ouvert
Les innis ( -∞ ou +
dans le cas contraire
∞ ) ne sont jamais compris dans les bornes. Du côté de l'inni, l'intervalle
om
est dit
bornes. Si celles ci font partie de l'intervalle, celui ci
est toujours ouvert .
x ≤ a ⇔ x ∈] − ∞; a]
comme a est compris (égalité) l'intervalle est fermé (crochet tourné
vers le nombre a).
x < a ⇔ x ∈] − ∞; a[
comme a est exclu (intervalle strict) l'intervalle est ouvert (crochet
tourné vers l'extérieur).
x ≥ a ⇔ x ∈ [a; +∞[ comme a est compris (égalité) l'intervalle est fermé.
x > a ⇔ x ∈]a; +∞[ comme a est exclu (intervalle strict) l'intervalle est ouvert.
a ≤ x ≤ b ⇔ x ∈ [a; b] comme a et b sont compris (égalité) l'intervalle est fermé
.c
côtés.
a < x ≤ b ⇔ x ∈]a; b]
comme a est exclu et comme b est compris l'intervalle est semi
at
hs
ouvert
des 2
a < x ) alors l'intervalle est ouvert.
(≤ ou ≥)
alors l'intervalle est fermé.
in
fo
m
Lorsque l'inégalité est au sens large
Figure 11.1:
Saïd Chermak
diérents intervalles
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11.3.
89
INÉQUATION
11.3
INÉQUATION
Une inéquation du premier degré à une inconnue est une inéquation pouvant après application des
règles de simplication énoncées plus haut, être ramenée à une des formes suivantes :
ax + b ≤ 0
ou
ax + b < 0
ou
ax + b ≥ 0
ou
ax + b > 0
x pour lesquelles l'inéquation
om
Résoudre cette inéquation, c'est déterminer l'ensemble des valeurs de
est vériée.
Cet ensemble de solutions lorsqu'il existe est un intervalle ou une réunion d'intervalles.
Si on doit résoudre
ax + b ≤ 0
il faut appliquer les règles suivantes :
de cette inégalité.
ax + b ≤ 0 ⇔ ax + b − b ≤ −b
ax + b ≤ 0 ⇔ ax ≤ −b
11.4
at
hs
On peut écrire
.c
On peut ajouter ou retrancher le même réel aux deux membres de l'inégalité sans changer le sens
SIGNE DU PREMIER DEGRÉ
Soit une expression du 1er degré :
ax + b ≤ 0
Pour résoudre cette inéquation, il faut isoler x :ax
≤ −b
Pour diviser les 2 membres de cette inégalité par un nombre, il faut savoir :
a > 0 , alors il n'y a pas de changement de sens du signe d'inégalité
négatif a < 0, alors il y a changement de sens du signe d'inégalité.
- si ce nombre est positif
a>0
x≤
−b
a
a<0
x≥
−b
a
fo
m
- si ce nombre est
si
in
si
a = 0 alors ax + b ≤ 0 ⇔ 0x ≤ −b
b > 0 alors S = {Ø}, si b < 0 alors S = R
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90
CHAPITRE 11.
RÉSOLUTION D'INÉQUATIONS
Prenons un exemple numérique :
2x − 7 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 7 ⇔ x ≥
7
2
7
,
2
x
est négatif après
7
,
2
x
est positif.
om
Ici nous avons divisé par le nombre positif 2. Avant
Figure 11.2 Tableau de signes
2x − 7 ≥ 0
7
, par exemple 5 et
2
3. Le résultat est positif ce que traduit le tableau.
En cas de doute, vérions et choisissons une valeur quelconque supérieure à
remplaçons
x
par 5. On obtient
2∗5−7 =
7
, par exemple 0 et remplaçons
2
−7, le résultat est un nombre négatif.
0∗0−7=
Prenons un deuxième exemple numérique :
7 − x ≥ 0 ⇔ −x ≥ −7 ⇔ x ≤ 7
x
par 0. On obtient
.c
De même choisissons une valeur inférieure à
at
hs
Ici nous avons divisé par le nombre négatif -1. Il faut changer le signe de l'inéquation.
m
Figure 11.3: Tableau de signes
7−x≥0
En cas de doute, vérions et choisissons une valeur quelconque supérieure à 7 , par exemple 9
x
par 9. On obtient
7 − 9 = −2.
Le résultat est négatif ce que traduit le tableau.
fo
et remplaçons
De même choisissons une valeur inférieure à 7 , par exemple 1 et remplaçons
par 1. On obtient
le résultat est un nombre positif.
in
7 − 1 = 6,
x
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11.5.
91
INÉQUATIONS ET TABLEAU DE SIGNES
11.5
INÉQUATIONS ET TABLEAU DE SIGNES
Déterminer le signe d'une expression c'est déterminer les intervalles sur lesquels cette expression
est positive et ceux sur lesquels elle est négative.
Ces résultats sont consignés dans un tableau comportant des signes + et - appelé tableau de signes.
ax + b,
avec a non nul, s'annule et change de signe en
On retiendra le tableau de signes suivant :
−∞
x
signe de (ax+b)
x=
b
a
0
∞
signe de (-a)
−b
a
om
L'expression
signe de (a)
Le signe de certaines expressions est immédiat :
- Comme un carré est toujours positif alors
- si
x>
- si
x<0
0 alors
alors
x+
x+
5
,
x
5
,
x
x2 + 5, 3x2 + 1,
et
3
sont toutes des expressions
x2 +2
at
hs
positives
.c
Table 11.1 signe de (ax + b)
x+6+
x−2+
7
x+2
,
, sont toutes des expressions positives.
x+1 x+3
5
sont toutes des expressions négatives.
x−1
Le signe de certains produits et de certains quotients nécessitent un tableau de signes. On étudiera
le signe de chaque expression que l'on portera dans le même tableau et on appliquera ensuite la
règle des signes.
Prenons des exemples d'inéquations dont la résolution nécessite un tableau de signes.
m
Exemple 1
in
fo
(2x − 6)(1 − x)(x + 5) ≥ 0
Figure 11.4 Tableau de signe de
(2x − 6)(1 − x)(x + 5) ≥ 0
s =] − ∞; −5] ∪ [1;3]
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92
CHAPITRE 11.
RÉSOLUTION D'INÉQUATIONS
Exemple 2
x(2x+8)
2−x
≥0
2−x 6= 0 car la division par zéro est impossible.
donc Df = R − 2.
Cette inéquation est dénie pour tout réel x tel que
L'ensemble de dénition de cette inéquation est
.c
om
Comme pour l'exemple précédent on doit dresser un tableau de signes.
Figure 11.5: Tableau de signe de
≥0
at
hs
S =[−4, 0]∪]2, +∞[
x(2x+8)
2−x
Vous remarquerez la double barre (en 2) qui représente la valeur interdite.
Exemples particuliers
3x−2
≥
x−5
en croix on a supposé
- L'inéquation
du signe de
x−5
1 n'est pas équivalente à l'inéquation 3x − 2 ≥ x − 5 car en faisant le produit
x − 5 > 0, ce qui n'est pas évidemment le cas. Le sens de l'inégalité dépend
que l'on ne connaît pas.
m
Pour résoudre cette inéquation il faut procéder ainsi :
Pour tout x de
≥1⇔
3x−2−(x−5)
x−5
3x−2
x−5
≥0⇔
≥1⇔
3x−2−x+5
x−5
3x−2
x−5
−1≥0
soit :
≥0
fo
3x−2
x−5
D = R − 5,
≥1⇔
2x+3
x−5
≥0
in
3x-2
x−5
Figure 11.6 Tableau de signe de 2x+3
≥0
x−5
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11.5.
93
INÉQUATIONS ET TABLEAU DE SIGNES
L'ensemble des solutions est :
S =
] − ∞, − 23 ]∪]5, +∞[
x2 −3x+7
≥ 1 est équivalente à x2 − 3x + 7 ≥ x2 + 2 car on peut dans ce cas multiplier
x2 +2
2
les deux membres de cette inégalité par le même réel strictement positif x + 2 ( un carré est
L'inéquation
toujours positif, additionné à un nombre positif, le résultat est positif ) sans changer de sens.
−3x + 7 ≥ 2, dont l'ensemble des solutions
est :
S
=] − ∞; 53 ]
- L'inéquation
x 6= 3
(x − 3)(3x + 7) ≤ (x − 3)(x + 1)
car en divisant les deux membres de l'inégalité par
x−3
on
que l'on ne connaît pas.
.c
x−3
3x + 7 ≤ x + 1 même pour
a supposé x − 3 > 0, ce qui
n'est pas équivalente à
n'est pas évidemment le cas.
Le sens de l'inégalité dépend du signe de
om
Après simplication on obtient l'inéquation équivalente
Pour résoudre cette inéquation il faut procéder ainsi :
- L'inéquation
at
hs
(x − 3)(3x + 7) ≤ (x − 3)(x + 1) ⇔ (x − 3)(3x + 7) − (x − 3)(x + 1) ≤ 0
(x − 3)(3x + 7) ≤ (x − 3)(x + 1) ⇔ (x − 3)[(3x + 7) − (x + 1)] ≤ 0
(x − 3)(3x + 7) ≤ (x − 3)(x + 1) ⇔ (x − 3)(2x + 6) ≤ 0
S = [−3; 3]
(−x2 − 5)(2x − 7) ≥ (−x2 − 5)(x + 1)
est équivalente à l'inéquation
2x − 7 ≤ x + 1
car on peut dans ce cas diviser les deux membres de cette inégalité par le même réel strictement
2
négatif (−x − 5) mais en changeant de sens.
m
2x − 7 ≤ x + 1 ⇔ 2x − 7 − x − 1 ≤ 0
2x − 7 ≤ x + 1 ⇔ x − 8 ≤ 0 ⇔ x ≤ 8
L'ensemble des solutions de cette inéquation est : S =
] − ∞; 8]
fo
REMARQUES :
On ne peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inéquation par une expression contenant
l'inconnu que si cette expression est strictement positive ou négative. Pensez à changer de sens si
in
l'expression est strictement négative.
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94
CHAPITRE 11.
11.6
RÉSOLUTION D'INÉQUATIONS
EXERCICES
Résoudre
(1+x)2 (5−x)
1−2x
≤0
Le dénominateur doit être
6= 0
1 − 2x 6= 0
−2x 6= −1 ⇔ 2x 6= 1 ⇔ x 6=
1
2
.c
om
Étudions le signe de chaque monôme dans un tableau de signes
Df = [−1]∪] 12 ; +5]
Résoudre
(x+1)2 (x−2)
(2-x)(3−2x)
(1+x)2 (5−x)
1−2x
≤0
(x+1)2 (x−2)
(2-x)(3−2x)
≥0
at
hs
Figure 11.7 Tableau de signes
≥0
6 0
=
2 − x 6= 0 ⇔ −x 6= −2 ⇔ x 6= 2
3 − 2x 6= 0 ⇔ −2x 6= −3 ⇔ x 6=
m
Le dénominateur doit être
3
2
in
fo
Étudions ce polynôme dans un tableau de signes
Figure 11.8 Tableau de signes
Df =[−1]∪] 32 ; 2[∪]2; +∞[
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11.6.
95
EXERCICES
Résoudre x2 (1 − x) = 0
x2 = 0 ⇔ x = 0 ;
1 − x = 0 ⇔ −x = −1 ⇔ x = 1 ;
S = 0; 1
om
Résoudre x2 (1 − x) ≤ 0
at
hs
.c
Dressons le tableau de signes
Figure 11.9 Tableau de signes de
Df = [0] ∪ [1; +∞[
(x−1)
(x+1)
a)
(x−1)
(x+1)
>2
(x−1)−2(x+1)
(x+1)
−x−3
x+1
m
Résoudre
>2⇔
>0⇔
(x+1)2 (x−2)
(2-x)(3−2x)
≥0
>0
−x − 3 = 0 ⇔ −x = 3 ⇔ x = −3
+ 1 = 0 ⇔ x = −1
in
fo
b)x
Figure 11.10 Tableau de signes de
(x−1)
(x+1)
>2
Dressons le tableau de signes.
Df =] − 3; −1[
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96
CHAPITRE 11.
Résoudre
−5x+3
2x+1
−5x+3
2x+1
−2≥0⇔
−9x+1
2x+1
≥0
RÉSOLUTION D'INÉQUATIONS
≥2
−5x+3−2(2x+1)
2x+1
≥0
−9x + 1 = 0 ⇔ −9x = −1 ⇔ x = 91 ;
b) 2x + 1 = 0 ⇔ 2x = −1 ⇔ x = −2 ;
Dressons le tableau de signes.
9x + 1
2x + 1
f (x)
1
1
1
2
9
+
+
0
0
+
1
+
+
.c
x
om
a)
+
0
Df =] −1
; 1]
2 9
Résoudre
2x+3
x+4
2x+3−3(x+4)
x+4
≥0⇔
≥3
−5x+3
2x+1
at
hs
Figure 11.11 Tableau de signes de
−x−9
x+4
≥2
≥0
−x − 9 = 0 ⇔ −x = 9 ⇔ x = −9 ;
b) x + 4 = 0 ⇔ x = −4 ;
m
a)
in
fo
Dressons le tableau de signes.
Figure 11.12 Tableau de signes de
2x+3
x+4
≥3
Df = [−9; 4[
Résoudre (x − 5)(x + 3)(1 − x) ≥ 0
Étudier le domaine de dénition de l'inéquation :
Saïd Chermak
P (x) → (x − 5)(x + 3)(1 − x) ≥ 0
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11.6.
97
EXERCICES
Ici P(x) est un produit de polynômes. Le signe du polynôme dépend du signe du produit. Étudions
le signe de chaque monôme et reportons ce signe dans un tableau de signes
x − 5 = 0 ⇔ x = 5 ; x + 3 = 0 ⇔ x = −3 ; 1 − x = 0 ⇔ −x = −1 ⇔ x = 1
1
x
3
0
0
x
+
P (x)
+
+
+
+
0
0
1
+
5
5
x+3
1
1
+
+
+
om
x
0
Df =] − ∞; −3] ∪ [1; 5]
(x−5)(x+3)
(1−x)
≥0
at
hs
Résoudre P (x) →
.c
Figure 11.13 Tableau de signes de (x − 5)(x + 3)(1 − x) ≥ 0
Étudier le domaine de dénition de l'inéquation :
P (x) →
(x−5)(x+3)
(1−x)
≥0
Ici P(x) est un quotient de polynômes. Le signe du polynôme dépend du signe du quotient. Étudions
le signe de chaque monôme et reportons ce signe dans un tableau de signes
Attention au dénominateur, il faut exclure la valeur pour laquelle celui ci s'annule. Ceci apparaîtra
par une double barre dans le tableau des signes (en dernière ligne).
in
fo
m
x − 5 = 0 ⇔ x = 5 ; x + 3 = 0 ⇔ x = −3 ; 1 − x = 0 ⇔ −x = −1 ⇔ x = 1
Figure 11.14 Tableau de signes de
(x−5)(x+3)
(1−x)
≥0
Df =] − ∞; −3]∪]1; 5]
NB : voir la diérence de crochets par rapport à l'exercice précédent.
Rappel : Pour un polynôme du 1er degré de la forme
ax + b = 0, ce dernier s'annule pour x = −a ,
dans le tableau on place à droite de cette valeur d'annulation le signe de
de
x, donc à gauche le signe
−x.
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98
CHAPITRE 11.
Résoudre P (x) :
2
(5−x)
−
1
x+2
RÉSOLUTION D'INÉQUATIONS
≤0
Étudier le domaine de dénition de l'inéquation :
P (x) =
2
(5−x)
−
1
x+2
≤0
Ici il s'agit d'une diérence de quotient de polynômes. Réduisons au même dénominateur.
2
(5−x)
P (x) =
2x+4−5+x
(5−x)
−
1
x+2
≤ 0 ⇔ P (x) =
2(x+2)
(5−x)
−
3x−1
(5−x)(x+2)
≤ 0 ⇔ P (x) =
1(5−x)
x+2
≤0
≤0
om
P (x) =
Étudions le signe de chaque monôme et reportons ce signe dans un tableau de signes. Attention ici il
y a plusieurs monômes au dénominateur, il faut exclure les valeurs pour lesquelles le dénominateur
s'annule. Ceci apparaîtra par une double barre dans le tableau des signes (en dernière ligne).
1
1
2
5
at
hs
x
.c
5 − x = 0 ⇔ −x = −5 ⇔ x = 5 ;
x + 2 = 0 ⇔ x = 2;
3x − 1 = 0 ⇔ 3x = 1 ⇔ x = 13 ;
5
x
+
x+2
x
3
0
1
P (x)
+
3
+
+
+
+
+
0
+
+
0
+
m
Figure 11.15 Tableau de signes de
+
1
0
2
(5−x)
−
1
x+2
≤0
in
fo
Df =] − 2; 13 [∪]5; +∞[
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om
Chapitre 12
NOTION DE FONCTIONS
NOTION DE FONCTION
Une fonction
f
.c
12.1
est un processus qui, à un nombre
f (x).
Notation : f : x 7→ f (x) (on lit : fonction f
Vocabulaire : x
f (x)
est un antécédent de
est l'image de
x
f(x)
at
hs
x fait correspondre un autre et unique nombre
x
par la fonction
f
qui à
associe
f (x)
Propriété : un nombre peut avoir qu'une seule image
un nombre peut avoir plusieurs antécédents
Exemple : à un nombre on associe le carré de ce nombre.
m
Notons cette fonction par une lettre,
Cette fonction peut se noter :
f
par exemple.
f : x 7→ x2
Le carré de 7 est 49 . Dans le langage des fonctions, on le traduit par :
fo
49 est l'image de 7 par la fonction
f.
On écrit
7 est un antécédent de 49 par la fonction
f.
f (7) = 49
in
Remarque : 49 a plusieurs antécédents : 7 et -7.
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100
12.2
CHAPITRE 12.
NOTION DE FONCTIONS
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION
Dans un repère, la courbe représentative d'une fonction
(x; f (x))
ou encore
(x; y)
est formée de tous les points dont les
avec
y = f (x)
at
hs
.c
om
coordonnées sont de la forme
f
Figure 12.1 graphe d'une fonction quelconque
Comment lire sur un graphique :
Énoncé : f est la fonction dénie par le graphique ci-dessous :
1. lire l'image de 5
in
fo
m
2. lire les antécédents de 4
Figure 12.2 lecture sur un graphique
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12.2.
101
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION
Solution :
1. On repère sur l'axe des abscisses (axes des antécédents) le nombre dont on cherche l'image
2. On construit à partir du nombre un chemin en pointillés comme ci dessous
3. On lit la valeur de l'image sur l'axe des ordonnées.
f (5) = −2
at
hs
.c
om
Réponse : L'image de 5 est -2. Soit
Figure 12.3 Lire une image d'un nombre
On repère le nombre 4 sur l'axe des ordonnées.
on construit à partir du nombre un chemin en pointillés comme ci dessous
On lit les valeurs des antécédents sur l'axe des abscisses (axe des x)
in
fo
m
Réponse : 4 a pour antécédent : -1 ; -2,3 ; et 7
Figure 12.4 Lecture de l'antécédent
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102
12.3
CHAPITRE 12.
NOTION DE FONCTIONS
CALCUL de L'IMAGE et de L'ANTÉCÉDENT
CALCULER L'IMAGE D'UN NOMBRE ET UN ANTÉCÉDENT D'UN NOMBRE PAR UNE
FONCTION DÉTERMINÉE PAR UNE FORMULE
Comment calculer l'image d'un nombre
√
Calculer l'image des nombres -6 et
Solution : La fonction
f
5
est dénie par
par la fonction
f : x 7→ 3x2 + 2
om
Exemple :
f (x) = 3x2 + 2
p
√
f (−6) et l'image du nombre 5 est f ( 5)
f (−6) = 3 ∗ (−6)2 + 2 ⇔ f (−6) = 3 ∗ 36 + 2 ⇔ f (−6) = 108 + 2 ⇔ f (−6) = 110
p
p
p
p
√
f ( 5) = 3 ∗ ( 5)2 + 2 ⇔ f ( 5) = 3 ∗ 5 + 2 ⇔ f ( 5) = 15 + 2 ⇔ f ( 5) = 17 Conclusion
l'image de -6 par la fonction
√
l'image de
5
f
par la fonction
f
est 110
est 17
Exemple :
at
hs
Comment calculer un antécédent d'un nombre
:
.c
L'image du nombre -6 est
Calculer l'antécédent du nombre 8 par la fonction
g : x 7→ −5x − 2
g joue le même rôle que la fonction f vue précédemment.
Solution : La fonction g est dénie par g(x) = −5x − 2
Ici la fonction
On doit résoudre l'équation
on a donc :
g(x) = 8
m
−5x − 2 = 8 ⇔ −5x = 8 + 2 ⇔ −5x = 10 ⇔ x =
10
−5
⇔x = −2
g
est -2
in
fo
Conclusion : L'antécédent du nombre 8 par la fonction
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12.4.
103
TABLEAU DE VALEURS D'UNE FONCTION
12.4
TABLEAU DE VALEURS D'UNE FONCTION
Un tableau de valeurs permet de connaitre les valeurs prises par une fonction f
pour certaines
valeurs de la variable .
Exemple
Énoncé : On considère la fonction h dénie par
h : x 7→ 3x2 + 2x − 5
x
-2
-1
0
h(x)
Solution : On calcule l'image de chaque nombre
3
om
Recopier et compléter le tableau de valeurs.
at
hs
.c
h(−2) = 3 ∗ (−2)2 + 2 ∗ (−2) − 5 ; h(−1) = 3 ∗ (−1)2 + 2(−1) − 5
h(−2) = 3 ∗ 4 − 4 − 5 ; h(−1) = 3 ∗ 1 − 2 − 5
h(−2) = 3 ; h(−1) = −4
h(0) = 3 ∗ 02 + 2 ∗ 0 − 5 ; h(3) = 3 ∗ 32 + 2 ∗ 3 − 5
h(0) = −5 ; h(3) = 3 ∗ 9 + 6 − 5 ⇔ h(3) = 28
x
-2
-1
0
3
h(x)
3
-4
-5
28
La fonction h met en relation le nombre 3 et 28
in
fo
m
h : 37→28
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104
NOTION DE FONCTIONS
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 12.
Saïd Chermak
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om
Chapitre 13
FONCTION LINÉAIRE
.c
DÉFINITION ET NOTATION
Soit a un nombre xé. On appelle fonction linéaire de coecient a le processus opératoire
qui au nombre x associe le produit ax .
ax
Exemple 1 : la fonction
Exemple 2 :
f : x 7→ −3x est une fonction linéaire
f : x 7→ 7x
f (−2) = 7 ∗ (−2) = −14
Soit la fonction
de coecient
qui a x associe
-3
alors :
-14 est l'image de -2 par la fonction
f (4) = 7 ∗ 4 = 28
f :7→ ax (On lit la fonction f
at
hs
Une fonction linéaire de coecient a se note
f
; on note
; on note
m
28 est l'image de 4 par la fonction
f
f (−2) = −14
f (4) = 28
f (12) = 7 ∗ 12 = 84
fo
84 est l'image de 12 par la fonction
f
; on note
f (12) = 84
x
-2
4
12
f (x)
-14
28
84
Une fonction linéaire traduit une relation de proportionnalité
in
Exemple 1 : mouvement uniforme
Lors du test d'une voiture roulant à vitesse constante sur un circuit, les mesures ont permis de
réaliser le tableau suivant :
Figure 13.1 relation de proportionnalité
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105
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106
CHAPITRE 13.
le coecient de proportionnalité est :
Si
t
est la durée du parcours, le calcul
640
4
FONCTION LINÉAIRE
= 160
160t
représente la distance parcourue par la durée
t
Cette situation de proportionnalité est associée à une fonction linéaire de coecient 160.
On note cette fonction
t 7→ 160t
Exemple 2 : périmètre d'un carré
1
2
3
4
5
10
4,1
4
8
12
16
20
40
16,4
om
Coté d'un carré en cm
Périmètre de ce carré en cm
On dit qu'un tableau est un tableau de proportionnalité si les termes de la deuxième ligne s'obtiennent en multipliant ceux de la première par un même nombre. Ce nombre s'appelle le coecient
de proportionnalité.
REPÉRAGE DANS LE PLAN
.c
Un repère orthogonal du plan est formé de deux droites graduées, perpendiculaires et de même
at
hs
origine.
m
Figure 13.2 repère cartésien orthonormé
Un point peut être représenté par deux nombres relatifs appelés les coordonnées du point
Coordonnées du point A : A (-4 ; 2) (abscisse, ordonnée). Le premier nombre est toujours l'abscisse.
in
fo
Le tableau ci dessus est un tableau de proportionnalité. le coecient multiplicateur est 4.
Figure 13.3 fonction croissante y = 4x
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in
fo
m
at
hs
.c
om
107
Saïd Chermak
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108
CHAPITRE 13.
13.1
FONCTION LINÉAIRE
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE
f (x) = ax
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère
Exemple :
la représentation graphique de la fonction linéaire
f : x 7→ −3x est la droite D
passant par l'origine
A(2; −6)
f (2)= −3 ∗ 2 = −6
En eet
La droite
D
D
a alors pour équation
y = −3x
et on dit que -3 est le coecient directeur de la
ou pente de la droite représentative de la fonction. Il indique
l'inclinaison
de la droite
at
hs
.c
droite
om
du repère et par le point
Figure 13.4 équation y = −3x
in
fo
m
Exemple : Mouvement uniforme (suite)
Figure 13.5 mouvement uniforme
Saïd Chermak
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13.1.
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE
F (X) = AX
109
INTERPRÉTATION DU COEFFICIENT DIRECTEUR D'UNE DROITE
Donner le sens de variation d'une fonction linéaire
La variation d'une fonction linéaire
dénie par
f (x) = ax
dépend du signe du coecient a :
a > 0 : f est croissante
a < 0 : f est décroissante
Cas où le coecient directeur est positif :
On considère la fonction
f
dénie par :
a>0
om

f
f : x 7→ 2x
La droite (d) est la représentation graphique de la fonction
le coecient directeur de la droite (d) est : 2
Soit
A
f
un point quelconque de la droite (d). Si on augmente de 1 son abscisse et si on augmente
B
de la droite. Ici la fonction
.c
de 2 son ordonnée, on obtient les coordonnées d'un nouveau point
m
at
hs
est croissante
fo
Figure 13.6 fonction croissante y = 2x
in
Nous pouvons dresser le tableau suivant :
Saïd Chermak
1
x
1
+
f (x)
Figure 13.7 Tableau de variation y = 2x
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110
CHAPITRE 13.
Cas où le coecient directeur est négatif :
On considère la fonction
f
dénie par :
FONCTION LINÉAIRE
a<0
g : x 7→ −2, 5x
le coecient directeur de la droite (D) est : -2,5
Soit
C
un point quelconque de la droite D. Si on augmente de 1 son abscisse et si on diminue de
2,5 son ordonnée, on obtient les coordonnées d'un nouveau point
D
de la droite. Ici la fonction est
at
hs
.c
om
décroissante.
Figure 13.8 fonction décroissante y = −2, 5x
Nous pouvons dresser le tableau suivant :
1
m
x
1
+
f (x)
fo
Figure 13.9 Tableau de variation y = −2, 5x
Parmi les expressions de fonctions linéaires suivantes, indiquer celles qui dénissent des fonctions
x
; h(x) = −0, 5x
décroissantes.f (x) = −2, 5x ;g(x) =
3
in
f (x) le coecient a = −2, 5 est < 0 , négatif donc la fonction est décroissante
g(x) le coecient a = 31 est > 0 , positif donc la fonction est croissante
h(x) le coecient a = −0, 5 est < 0 , négatif donc la fonction est décroissante
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om
Chapitre 14
LES FONCTIONS AFFINES
.c
INTRODUCTION 1
Exemple : le prix de location d'une voiture est de 20 euros puis de 0,10 euro du kilomètre eectué.
at
hs
On peut alors compléter le tableau suivant :
nombre de kilomètres parcourus
100
120
250
320
500
prix payé en euros
30
32
45
52
70
Lorsque l'on parcourt x kilomètres, le prix y vaut :
14.1
y = 0, 10x + 20
DÉFINITION
Étant donné deux nombres réels a et b , le procédé qui à tout nombre x fait correspondre
le nombre
ax + b s'appelle une fonction ane. On note : x 7→ ax + b
ax + b ). On dit que ax + b est l'image de x.
m
le nombre
(qui se lit : qui à x associe
On considère la fonction ane f(x) = a.x + b. Tout réel x a une image par cette fonction f ,
c'est à dire que quelque soit la valeur donnée à x , on peut calculer
fo
f se fera donc sur l'intervalle
f (x). L'étude
de la fonction
] − ∞; +∞[
Cas particuliers : les fonctions linéaires sont un cas particuliers des fonctions anes. En eet, si
b = 0,
alors la fonction s'écrit :x
7→ ax
. Dans le cas où
a = 0,
la fonction s'écrit:
x 7→ b.
C'est une
in
fonction constante.
14.2
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
La représentation graphique de la fonction ane
x 7→ ax + b
est la droite d'équation
y = ax + b.
a est le coecient directeur de la droite, b est l'ordonnée à l'origine.
1. cours les fonctions anes issu du site l'ile des mathématiques
Saïd Chermak
111
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112
CHAPITRE 14.
LES FONCTIONS AFFINES
Exemple :
Traçons la représentation graphique de la fonction
f
f (x) = 2x + 6
.
y = 2x + 6
Comme f (−2) = 2×(−2)+6 = −4+6 = 2, alors (d1) passe par le point de coordonnées (−2; 2).
Comme f (1) = 2 × 1 + 6 = 2 + 6 = 8, alors (d1) passe par le point de coordonnées (1; 8). (en
est une fonction ane, sa représentation graphique est la droite (d1) d'équation
vert sur le dessin)
g(x) = −x + 3
om
Traçons la représentation graphique de la fonction
y = −x + 3.
Comme g(3) = −3 + 3 = 0, alors (d2) passe par le point de coordonnées (3; 0). Comme g(−1) =
−(−1) + 3 = 1 + 3 = 4, alors (d2) passe par le point de coordonnées (−1; 4). (en rouge sur le
g est une fonction ane, sa représentation graphique est la droite (d2) d'équation
dessin)
Traçons la représentation graphique de la fonction
h(x) = x
passe par O. Commeh(3)
= 3,
.c
h est une fonction linéaire, sa représentation graphique est la droite (d3) d'équation
alors (d3) passe par le point de coordonnées
le dessin)
y = x.
Elle
(en bleu sur
j(x) = 5
at
hs
Traçons la représentation graphique de la fonction
(3; 3).
j est une fonction ane (constante), sa représentation graphique est la droite (d4) d'équationy
(en violet sur le dessin)
in
fo
m
5
Saïd Chermak
Figure 14.1 diérents coecients directeurs
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=
14.2.
La fonction linéaire dénie par
b=0
(exemple :
f (x) = ax
est une fonction ane de la forme
f (x) = ax + b
avec
f (x) = b
est une fonction ane de la forme
f (x) = ax + b
avec
f (x) = 2x)
La fonction constante dénie par
f (x) = 5 Quelque soit la valeur donnée a x , y reste constant)
et enn nous avons x = b (exemple : x = 4 Quelque soit la valeur donnée a y , x reste constant)
(exemple :
at
hs
.c
om
a=0
113
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
in
fo
m
Figure 14.2 y = 2x
Saïd Chermak
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114
14.3
CHAPITRE 14.
LES FONCTIONS AFFINES
PROPORTIONNALITÉ DES ACCROISSEMENTS :
2
Qu'est qu'un accroissement ?
Dans une situation donnée nous parlons d'accroissement lorsqu'entre une valeur de départ (valeur initiale) et une valeur d'arrivée (valeur nale), nous constatons une augmentation ou une
diminution. Lorsqu'il n'y a aucun changement nous disons que la valeur est stable ou encore que
om
l'accroissement est nul (égal à 0).
Un accroissement est calculé en faisant : valeur nale - valeur initiale
Une augmentation est appelée accroissement positif alors qu'une diminution est appelée accroissement négatif.
Pour symboliser cette notion, appelons
correspondant est donc
x0
la valeur initiale et
x1 − x0.
x0 = 2 et x1 = −3
x0 = −2 et x1 = 3
, l'accroissement est
, l'accroissement est
−3 − 2 = −5 (accroissement négatif ).
3 − (−2) = 3 + 2 = 5 (accroissement positif )
at
hs
Pour une fonction ane :
Soit la fonction ane
la valeur nale. L'accroissement
.c
Par exemples :
x1
f (x) = ax + b.
Si
x
Choisissons une valeur initiale arbitraire
augmente (ou diminue) que devient son image
x0
et une valeur nale toute aussi arbitraire
f (x) ?
x1 .
x1 − x0 .
Les images de ces valeurs sont : f (x0 ) = ax0 + b et f (x1 ) = ax1 + b.
L'accroissement sur les images est f (x1 ) − f (x0 ) c'est à dire :
(ax1 + b) − (ax0 + b) = ax1 + b − ax0 − b donc :
f (x1 ) − f (x0 ) = ax1 − ax0 et :
m
L'accroissement est donc :
f (x1 ) − f (x0 ) = a(x1 − ax0 ) ⇔
=a
différence des ordonnées
est appelé taux d'accroissement.
différence des abscisses
fo
Cette fraction
f (x1 )−f (x0 )
(x1 −ax0 )
Observons bien ce résultat. Il montre que l'accroissement des images (c'est à dire
(f (x1 ) − f (x0 ))
est obtenu en multipliant l'accroissement des valeurs par le coecient directeur a de la fonction
in
ane.
f (x) = 2x + 1 et que la valeur
f (1) − f (3) = 2(1 − 3) = −4.
Exemple : si la fonction ane est
l'accroissement des images est :
de x passe de 3 à 1 alors
Quelques soient les valeurs initiales et nales de x , l'accroissement des images est 2 fois l'accroissement des valeurs de x . Ce qui correspond à une situation de proportionnalité, le coecient
de proportionnalité étant le coecient directeur de la fonction ane :
2. paragraphes issus du site http ://mathsgeo.net/
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14.3.
115
PROPORTIONNALITÉ DES ACCROISSEMENTS :
Les accroissements des images sont proportionnels aux accroissements des antécédents.
Le coecient de proportionnalité est le coecient directeur de la fonction ane.
Notez bien : si vous connaissez deux nombres et leurs images par une fonction ane inconnue, en
utilisant la propriété ci dessus, vous pouvez calculer simplement le coecient directeur de cette
fonction ane.
om
On en déduit les formules permettant de calculer le coecient directeur d'une fonction ane f :
f (x1 )−f (x2 )
A partir de deux nombres x1 et x2 et de leurs images par f : a =
x1 −x2
Sur une représentation graphique :
= 2x + 1
ya −yb
xa −xb
et représentons la dans un repère d'axe
(x0 x)
et
(y 0 y)
:
in
fo
m
at
hs
Reprenons la fonction anef (x)
a=
.c
A partir deux points A et B de la représentation graphique de f :
Figure 14.3 y = 2x + 1
Un autre exemple est représenté : lorsque x passe de -2 à 4, les images passent de -3 à 9. A un
accroissement de
4 − (−2) = 6
correspond un accroissement de
9 − (−3) = 12.
ce qui correspond
à 6 multiplié par le coecient directeur 2.
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116
14.4
CHAPITRE 14.
LES FONCTIONS AFFINES
MÊME COEFFICIENT DIRECTEUR
f (x) = ax + b et g(x) = ax + b0 . Ces deux fonctions anes ont même coecient
Soient les fonctions
directeur a . Nous avons la propriété suivante : Si deux fonctions anes ont même coecient
directeur alors elles sont représentées par deux droites parallèles.
Ce qui peut encore s'énoncer dans un repère du plan : Si deux droites ont même coecient directeur
om
alors elles sont parallèles.
Réciproquement :
Si deux fonctions anes sont représentées par des droites parallèles alors elles ont le même coecient directeur. Ou encore dans un repère du plan : Si deux droites sont parallèles alors elles ont
même coecient directeur.
soit D1 d'équation
Trouver l'équation de D2 // D1 et passant par le point
A = (3; 1)
Solution : une droite étant la représentation graphique d'une fonction ane a une équation de
la forme
y = ax + b
at
hs

y = 2x − 1.
.c
Exercice : Déterminer l'équation d'une droite parallèle à une autre droite :
- deux droites parallèles ont même coecient directeur donc
- D2 est une droite d'équation
y = 2x + b
- pour trouver b on se place sur le point A où l'on a
- l'équation de D2 en A devient ainsi 1 = 2
Ö
x=3
et
y=1
3 + b d'où b = -5
y = 2x − 5
in
fo
m
- D2 a donc pour équation
D2//D1 ⇒ a = 2
Figure 14.4 y = 2x + 5(rouge)
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14.5.
117
DROITES REPRÉSENTATIVES PERPENDICULAIRES
14.5
DROITES REPRÉSENTATIVES PERPENDICULAIRES
Si , dans un repère orthonormal, deux fonctions anes sont représentées par des droites perpen0
0
diculaires alors leurs coecients directeurs a et a sont tels que aa = −1
Réciproquement :
om
0
Si, dans un repère orthonormal, les coecients a et a de deux droites représentatives est tel que
aa0 = −1 alors ces deux droites sont perpendiculaires.
Exercice : Déterminer l'équation d'une droite perpendiculaire à une autre droite

Méthode : le principe est identique au cas précédent. On utilise le fait que si deux droites sont
perpendiculaires, les coecients directeurs a et a' de leur équation sont liés par la relation
a × a0 = −1
f (x) = 2x − 5. Pour obtenir une droite perpendiculaire à cette fonction, nous devons avoir les
1
0
0
coecients directeurs des droites tels que axa = −1 soit a = 2 et a = −
2
.c
Soit
Nous aurons la droite perpendiculaire représentée par la fonction
g(x) = − 21 x + b.
Suivant la
à
f (x) = 2x − 5
(par exemple :
at
hs
valeur donnée à b on obtiendra une famille de droites parallèles entre elles et perpendiculaires
f (x) = −0, 5x − 2 ; f (x) = −0, 5x ;
...)
Faisons passer ces droites par un point A(0 ;2). Quelle est l'équation de cette droite
L'équation générale est
.Au point A, nous obtenons
2 = −0, 5x0 + b ⇔ b = 2
donc
in
fo
m
h(x) = −0, 5x + 2
y = −0, 5x + b
h(x) ?
Figure 14.5 h(x) = −0, 5x + 2 (bleu)
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118
CHAPITRE 14.
LES FONCTIONS AFFINES
APPARTENANCE À UNE DROITE
Appartenance d'un point à une droite représentative :
f (x) = ax + b. Pour que le point P (xP , yP ) appartienne
sentative de f , il sut que yP = axP + b.
1
Exemple : f (x) = 3x − 1 ; (D) la droite représentative de f , A(2; ) et B(1; 2).
2
- L'équation de la droite représentative est y = 3x − 1. Nous avons :
(
yA = 12
3xB − 1 = 3Ö2 − 1 = 5
Comme
yA
est diérent de
3xA − 1
alors A n'est pas un point de (D)
yB = 2
3xB − 1 = 3Ö1 − 1 = 2
yB = 3xB − 1
alors B est un point de (D)
in
fo
m
at
hs
Comme
.c
- Pour B nous avons :
(
à la droite repré-
om
Soit la fonction ane
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Figure 14.6 appartenance à une droite y = 3x − 1
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14.5.
119
DROITES REPRÉSENTATIVES PERPENDICULAIRES
Exercice : Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points connus :
- déterminer l'équation de la droite D passant par
Solution
(x2 ; y2 )
A = (−1; 3)
et
B = (2; 1)
utilisant le taux de variation : la droite passant par deux points
A = (x1 ; y1 )
et
B =
a pour coecient directeur :
y2 −y1
x2 −x1
=
1−3
2−(−1)
= − 32
om
a=
C'est le taux de variation de la fonction entre les points A et B.
D
y = − 23 x + b
2
En A l'équation devient 3 = − × (−1) + b d'où b = 3 −
3
2
7
Ainsi, D a pour équation : y = − x +
3
3
a une équation de la forme
2
3
=
7
3
m
at
hs
.c
La droite
passant par deux points
in
fo
Figure 14.7 droite de la fonction y = − 32 x + 73
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120
CHAPITRE 14.
LES FONCTIONS AFFINES
Exercice : Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points connus :
- déterminer l'équation de la droite
D2
l'équation de la droite

D1
passant par
passant par
A = (2; −3)
A = (2; −3) et C = (0, 5; −1, 5)
B = (0; −7)
et déterminer
et
Solution utilisant le taux de variation :
la droite passant par deux points
a=
y2 −y1
x2 −x1
=
−1,5−(−3)
0,5−2)
=
1,5
−1,5
A = (x1 ; y1 )
et
C = (x2 ; y2 )
a pour coecient directeur :
= −1
om
C'est le taux de variation de la fonction entre les points A et C.
y = −1x + b = −x + b
En A l'équation devient −3 = (−1) × (2) + b d'où b = −3 + 2 = −1
Ainsi, D1 a pour équation : y = −x − 1
La droite passant par les deux points A = (x1 ; y1 ) et B = (x2 ; y2 ) a pour
a=
y2 −y1
x2 −x1
D1
=
a une équation de la forme
−7−(−3)
0−2)
=
−4
−2
=2
coecient directeur :
.c
La droite
C'est le taux de variation de la fonction entre les points A et C.
y = 2x + b
En A l'équation devient −3 = (2) × (2) + b d'où b = −3 − 4 = −7
Ainsi, D2 a pour équation : y = 2x − 7
D2
a une équation de la forme
in
fo
m
at
hs
La droite
Figure 14.8 y = 2x − 7
Exercice :
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14.5.
121
DROITES REPRÉSENTATIVES PERPENDICULAIRES
- déterminer l'intersection au point I de D1 et D2 sachant que
l'équation de D1 est
l'équation de D2 est

y = −x + 5
y = x2 + 2
Solution par équation aux abscisses :
−x + 5 = x2 + 2 D'où
5 − 2 = x2 + 2 ⇔ 3 = 3x
⇔x=2
2
On reporte dans l'équation de D1 y = −2 + 5 et y = 3
La solution cherchée est donc le point I = (2; 3)
fo
m
at
hs
.c
om
Au point d'intersection on a :
in
Figure 14.9 intersection de y = −x + 5 et de y = x2 + 2
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122
CHAPITRE 14.
14.6
LES FONCTIONS AFFINES
Signe du binôme a.x + b.
Déterminer le ou les antécédents de 0 par le fonction f. Pour les trouver, il nous faut résoudre
l'équation
f (x) = 0.
a.x = −b équivaut à x = −b/a
Donc l'unique antécédent de 0 par la fonction f est −b/a. Cette trouvaille est riche de conséquences.
f (x) = 0
équivaut à
a.x + b = 0
équivaut à :
En eet :
variation de
f
est décroissante. Positionnons
f.
b
a
1
x
f (x)
dans le tableau de
1
+
.c
0
−b/a
om
Quand a est négatif, la fonction
−b/a
est le point où
at
hs
Figure 14.10 Tableau de valeurs pour fonction ane décroissante
f (x)
change de signe...
−b/a,
Donc lorsque x est situé avant
−b/a, f (x)
f (x)
f (−b/a) = 0.
donc avant
alorsf (x) est plus petit que
f (−b/a) = 0.
donc après
est positif.
De même lorsque x est situé après
−b/a, f (x)
est plus grand que
alors
−b/a,
est négatif.
b
a
1
m
x
+
ax + b
+1
0
fo
Figure 14.11 Tableau de signes pour fonction ane décroissante
Quand a est positif, la fonction f est croissante. Positionnons là encore−b/a dans le tableau de
f.
in
variation de
x
1
f (x)
b
a
1
+
0
Figure 14.12 Tableau de valeurs pour fonction ane croissante
−b/aest
le point oùf (x) change de signe...
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14.6.
Lorsque
x
est plus petit que−b/a, alors
−b/a, f (x)
Lorsque
après
123
SIGNE DU BINÔME A.X + B.
x
f (x) est également plus petit que f (−b/a) = 0. donc avant
est négatif.
est plus grand que−b/a, alors
−b/a, f (x)
f (x)
est également plus grand que
f (−b/a) = 0.
donc
est positif.
Conclusion : nous connaissons le signe du binôme
a.x + b en fonction de x . Cela est résumé par
x
ax + b
1
b
a
0
om
le tableau de signe suivant :
+1
+
in
fo
m
at
hs
.c
Figure 14.13 Tableau de signes pour fonction ane croissante
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124
CHAPITRE 14.
14.7
ÉTUDE DE FONCTION
LES FONCTIONS AFFINES
3
Étude de la fonction ane f (x) = 1, 5.x + 2
Une page est consacrée à l'étude des fonctions anes en générale. A beaucoup, cela paraitra
sans doute trop abstrait et peu parlant.C'est pourquoi, nous étudierons deux fonctions anes
particulières. Voici l'une d'entre elle...
Ici,a
= 1, 5
et
f
dénie par : pour tout réel x
b = 2.
Courbe représentative.
(] − ∞; +∞[), f (x) = 1, 5.x + 2
om
Étudions la fonction ane
La courbe représentative de la fonction f est la droite D d'équation
y = 1, 5.x + 2.
Traçons cette
.c
courbe.
f (0) = 1, 5 × 0 + 2 = 2, alors
f (1) = 1, 5 × 1 + 2 = 3, 5, alors la droite
Pour tracer une droite, il faut en connaitre deux points. Comme
M (0; 2).
N (1; 3, 5). Ce qui
De même, vu que
passe par le point
donne la courbe suivante :
D
m
at
hs
droite D passe par le point
la
fo
Figure 14.14 f (x) = 1, 5.x + 2
Variations de la fonction f.
in
Vu que tout réel x a une image par cette fonction f, l'étude de celle-ci se fera donc sur l'intervalle
] − ∞; +∞[.
Soient x et y deux réels tels que
diérence
x < y.
Classiquement, intéressons-nous au signe de la
f (y) − f (x).
f (y) − f (x) = (1, 5.y + 2) − (1, 5.x + 2) = 1, 5.y + 2 − 1, 5.x − 2 = 1, 5.y − 1, 5.x = 1, 5.(y − x)
Comme
y
est plus grand que
x
alors le facteur
y−x
est positif.
En tant que produit de deux facteurs positifs, la diérence est elle aussi positive. Ainsi :
3. issu du site http ://tanopah.jo.free.fr/seconde
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14.7.
Si
125
ÉTUDE DE FONCTION
x<y
alors
f (y) − f (x) > 0 ⇔ f (x) < f (y).
donc la fonction
f
est croissante sur
R
. Ce que
om
l'on résume par le tableau de variation suivant :
Figure 14.15 Tableau de variation de f (x) = 1, 5.x + 2
Signe du binôme 1, 5.x + 2.
f (x) = 0.
1, 5.x + 2 = 0
faut résoudre l'équation :
f(x) = 0 équivaut à
x = −4/3
équivaut à
.c
Pour parvenir à nos ns, déterminons le ou les antécédents de 0 par f. Pour les trouver, il nous
1, 5.x = −2
équivaut à
x = −2/1, 5
équivaut à
at
hs
Donc l'unique antécédent de 0 par la fonction f est -4/3. Or la fonction f est croissante. Positionnons
-4/3 dans son tableau de variation.
Donc :
m
Figure 14.16 Tableau de valeur de f (x) = 1, 5.x + 2
−4/3, alors f (x) est également plus petit que f (−4/3) = 0. donc avant
−4/3, f (x) = 1, 5.x + 2 est négatif. Lorsque x est plus grand que −4/3, alors f (x) est également
plus grand que f (−4/3) = 0. donc après −4/3, f (x) = 1, 5.x + 2 est positif.
Conclusion : Le signe du binôme 1, 5.x + 2 en fonction de x est donc :
in
fo
Lorsque x est plus petit que
Figure 14.17 Tableau de signes de f (x) = 1, 5.x + 2
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126
CHAPITRE 14.
LES FONCTIONS AFFINES
Étude de la fonction ane f (x) = −2.x + 1
Étudions la fonction ane
= −2
et
dénie par : pour tout réel
x, f (x) = −2.x + 1
b = 1.
Courbe représentative.
La courbe représentative de la fonction
f
est la droite
D
om
Ici,a
f
d'équation
y = −2.x + 1.
Traçons cette courbe. Pour tracer une droite, il faut en connaitre deux points.
f (0) = −2 × 0 + 1 = 1, alors la droite D passe par le point M (0; 1). De même, vu que
f (1) = −2 × 1 + 1 = −1, alors la droite D passe par le point N (1; −1). Ce qui donne la courbe
Comme
at
hs
.c
suivante :
m
Figure 14.18 y = −2x + 1
fo
Variations de la fonction f.
Vu que tout réel
x
f
a une image par cette fonction , l'étude de celle-ci se fera donc sur l'intervalle
in
] − ∞; +∞[.
Soient
x
et
y
deux réels tels que
x < y.
Classiquement, intéressons-nous au signe de la diérence
f (y) − f (x).
f(y) - f(x) = (-2.y + 1) - (-2.x
Comme
y
x<y
x alors le facteur x − y est négatif. En tant que produit de du nombre
négatif x − y , la diérence est donc négative. Ainsi :
est plus grand que
positif 2 et du facteur
Si
+1) = −2.y + 1 + 2.x − 1 = −2.y + 2.x = 2.(x − y)
alors
f (y) − f (x) < 0 ⇔ f (x) > f (y).
donc la fonction f est décroissante sur
R
.
Ce que l'on résume par le tableau de variation suivant :
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14.7.
127
ÉTUDE DE FONCTION
Signe du binôme −2.x + 1.
om
Figure 14.19 Tableau de variations pour y = −2x + 1
Pour parvenir à nos ns, déterminons le ou les antécédents de 0 par f.
Pour les trouver, il nous faut résoudre l'équation f(x) = 0.
équivaut à
−2.x + 1 = 0
équivaut à
Donc l'unique antécédent de 0 par la fonction
f
équivaut à
x = (−1)/(−2)
équivaut à
est 0,5. Or la fonction
f
est décroissante. Posi-
at
hs
tionnons 0,5 dans son tableau de variation.
−2.x = −1
.c
f (x) = 0
x = 0, 5
Donc :
m
Figure 14.20 Tableau de valeurs pour y = −2x + 1
Lorsque x est inférieur à 0,5, alors
est positif.
f (x) est supérieur à f (0, 5) = 0. donc avant 0,5, f (x) = −2.x + 1
Lorsque x est supérieur à 0,5, alors
f (x) est inférieur à f (0, 5) = 0. donc après 0,5, f (x) = −2.x + 1
fo
est négatif.
in
Conclusion : Le signe du binôme -2.x + 1 en fonction de x est donc :
Saïd Chermak
Figure 14.21 Tableau de signes pour y = −2x + 1
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128
LES FONCTIONS AFFINES
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 14.
Saïd Chermak
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om
Chapitre 15
SYSTÈMES d'ÉQUATIONS LINÉAIRES
ÉQUATION LINÉAIRE À DEUX INCONNUES
.c
15.1
Une équation linéaire à deux inconnues est une équation de la forme :
ax + by = c
a, b, c
sont des nombres réels donnés avec
(a; b) 6= (0; 0)
et
x
at
hs
où
(x; y)
(E) : 3x + 2y = 5
solution de cette équation est un couple
On considère l'équation
qui vérie l'égalité
et
y
sont les inconnues. Une
ax + by = c.
1° Trouver 3 solutions de l'équation (E).
2° Combien cette équation admet elle de solutions ?
3° On ne peut énumérer toutes les solutions, on va donc les représenter graphiquement en associant
à chaque couple solution(x; y) le point du plan de coordonnées
(x; y).
m
a) Exprimer y en fonction de x dans l'équation (E).
b) On appelle D l'ensemble des points dont les coordonnées vérient l'équation (E).
Quelle est la nature de D ? Tracer D. Retrouver les solutions précédentes.
fo
On considère la droite D1 d'équation
(E1) : y =
−3
x
5
+4
et la droite D2 d'équation
(E2) : x =
7
2
Proposer une écriture de (E1 ) et de (E2 ) sous forme d'équation linéaire à deux inconnues. Ces
formes sont elles uniques ?
Propriété : Toute équation linéaire du type
ax + by = c,
où
a, b, c
sont des nombres réels donnés
(a; b) 6= (0; 0) et (x; y) le couple inconnu, est l'équation d'une droite D. Lorsque a et b ne sont
ax + by = c sous l'une des formes :y = mx + p ou
x = k.
in
avec
pas simultanément nuls, on peut toujours écrire
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130
CHAPITRE 15.
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES
En eet :
- si
b 6= 0,
alors
ax + by = c,
est équivalent à
y = −ax + c
, la droite D admet le réel
− ab
comme
coecient directeur.
- si
b=0
avec
a 6= 0
et
ax + by = c,
est équivalent à
x=
c
, la droite D est parallèle à l'axe des
a
ordonnées.
Le système peut être résolu graphiquement ou algébriquement.
Réciproquement l'équation de toute droite peut se ramener à une équation linéaire du type :ax
(a; b) 6= (0; 0)
om
avec
in
fo
m
at
hs
.c
by = c
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+
15.2.
131
SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS LINÉAIRES
15.2
SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS LINÉAIRES
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un système de la forme :
(
(S) =
ax + by = c
a0 x + b0 y = c0
où a, a', b, b', c, et c' sont des nombres réels donnés avec
et
(a0 ; b0 ) 6= (0; 0)
et (
x
et
) est le couple des inconnues.
Une solution de ce système est un couple
(
Résoudre graphiquement le système
(x; y)
om
y
(a; b) 6= (0; 0)
vériant simultanément les deux équations.
3x + 2y = 5 (1)
-x + 2y = 9
(2)
Dans le cas général, en utilisant l'interprétation graphique faîte précédemment, indiquer le nombre
.c
de solutions que peut avoir un tel système.
INTERPRÉTATION GRAPHIQUE :
at
hs
(
ax + by = c (1)
soit le système (S) :
ax + by = c (2)
0 0
avec (a; b) 6= (0; 0) et (a ; b ) 6= (0; 0).
- Le plan étant muni d'un repère
D2
→
− →
−
(O, i , j ),
(x; y) de nombres réels
appartient à D1 et D2 .
Résoudre (S) revient donc à étudier la
. Un couple
les équations
est solution de
(S)
(1)
et
(2)
position relative des droites
déterminer s'il existe des point de coordonnées
(x; y)
D1 et
M (x; y)
dénissent 2 droites
si, et seulement si, le point
D1
et
D2
, c'est à dire à
appartenant simultanément à ces 2 droites.
in
fo
m
Il peut se présenter 3 cas distincts
Figure 15.1 Solutions en fonction des positions des droites
b0 = 0
Alors, l'une des droites D1 et D2 , au moins, est parallèle à l'axe des ordonnées. Il
ce cas de savoir si D1 et D2 sont sécantes, ou parallèles disjointes, ou confondues.
b) cas où
b=0
ou
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est aisé dans
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132
CHAPITRE 15.
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES
MÉTHODES NUMÉRIQUES DE RÉSOLUTION DANS LE CAS D'UNE SOLUTION UNIQUE
RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE de SUBSTITUTION :
La méthode consiste à exprimer
x
(respectivement
y ) en fonction de y
(respectivement de
x ) dans
une des deux équations puis à reporter cette expression dans l'équation restante.
(2)
on a
Remplaçons
y
om
D'après
y = 7x − 2
par sa valeur dans
5x + 3(7x-2) = 4
y = 7x-2
(
5x + 21x − 6 = 4
y = 7x-2
(
26x = 10
y = 7x − 2
(1)
at
hs
(
.c
Exemple :
(
5x + 3y = 4 (1)
7x-y = 2
(2)
(
5
x = 13
y = 7x − 2
m
(
5
x = 13
5
-2
y = 7x 13
5
13
9
13
in
fo
on en déduit :
(
x=
y=
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15.2.
133
SYSTÈME DE DEUX ÉQUATIONS LINÉAIRES
RÉSOLUTION PAR LA MÉTHODE DE COMBINAISON LINÉAIRE
Cette méthode consiste à transformer le système an d'éliminer successivement chacune des inconnues en combinant les deux équations. Pour cela on peut multiplier les membres d'une (ou des
deux) équation(s) par un nombre non nul puis ajouter ou retrancher membre à membre les deux
Exemple :
(
3x-2y = 5
(1)
5x + 4y = 1 (2)
(
3x-2y = 5(*2)
5x + 4y = 1
(
6x-4y = 10
5x + 4y = 1
(1)
par 2
.c
On peut éliminer par addition en multipliant l'équation
om
équations ainsi obtenues.
Par addition des deux égalités membre à membre, on en déduit que
x=1
et
y = −1
in
fo
m
at
hs
Soit
11x = 11
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134
CHAPITRE 15.
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES
CAS DE RÉSOLUTION DANS LE CAS OÙ LE SYSTÈME N'A PAS une SOLUTION UNIQUE
(
On considère le système (S) :
4x-6y = 9
6x-9y = 2
a) Combien le système admet il de solutions ?
om
b) Multiplier la première équation par 3 et la deuxième équation par 2.
c) Conclure.
On obtient
12x-18y = 27
12x − 18y = 4
Ce système n'admet aucune solution.
(
2x + 6y = 8
3x + 9y = 12
at
hs
On considère le système (S) :
.c
(
a) Combien le système admet il de solutions ?
b) Multiplier les deux équations par des nombres bien choisis an de rendre les coecients de x
égaux.
c) Conclure.
On multiple la première équation par 3 et la deuxième équation par 2.
(
6x + 18y = 24
6x + 18y = 24
⇔ 6x + 18y = 24
m
On obtient :
in
fo
Ce système admet une innité de couples solution.
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15.3. MISE EN ÉQUATION DE PROBLÈMES CONDUISANT À UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS135
15.3
MISE EN ÉQUATION DE PROBLÈMES CONDUISANT À UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS
Exemples :
1) En terrasse : Deux cocas, trois oranginas : 11,2¿ , trois cocas, cinq oranginas : 19,9¿ om
Combien coûte le coca ? l'orangina ?
Mise en équations du problème. Soit x le prix d'un coca et y le prix d'un orangina.
(
On en déduit le système suivant :
2x + 3y = 11, 2
3x + 5y = 17, 9
(
dont la solution est
x = 2, 3
y = 2, 2
2) Au restaurant : Des personnes ont toutes pris le même menu. Si elles donnent chacune 12¿,
.c
il manque au total 9¿ ; si elles donnent chacune 14¿, le restaurant leur rend 3¿. Retrouver le
nombre de convives ainsi que le prix du repas par personne.
Mise en équation du problème. Soit x le nombre de convives e y le prix total de l'addition.
12x = y -9
14x = y + 3
(
at
hs
(
On en déduit le système suivant :
dont la solution est
Donc le nombre de convives est 6 et le prix de repas
x=6
y = 81
81
¿ soit 13,50¿.
6
3) Une boîte contient des boules rouges et des boules noires. Si l'on ajoute une boule rouge, les
boules rouges représentent alors 25% du contenu de la boîte. Si l'on retire une boule rouge, les
boules rouges représentent alors 20% du contenu de la boîte. Combien y a-t-il de boules rouges et
de boules noires dans la boîte ?
m
Mise en équation du problème. Soit x le nombre de boules rouges et y le nombre de boules noires.
x + 1 = 0, 25(x + y + 1)
x − 1 = 0, 20(x + y -1)
(
x + 1 = 0, 25x + 0, 25y + 0, 25
x-1 = 0, 2x + 0, 2y -0, 2
(
0, 75x-0, 25y = -0, 75
0, 8x-0, 2y = 0, 8
in
fo
(
en multipliant la première équation par 4 et la deuxième par 5, on obtient le système suivant :
(
3x-y = -3
4x-y = 4
On en déduit la solution
Saïd Chermak
(
x=7
y = 24
Soit 7 boules rouges et 24 boules noires.
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136
15.4
CHAPITRE 15.
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES
EXERCICES
SYSTÈME de 2 ÉQUATIONS À 2 INCONNUES
(
3x + 5y = 41 (1)
x + 2y = 16 (2)
x par la valeur obtenue dans l'équation (1).
(
-y
= 41-48
x = 16-2y
(
⇔
(
48-6y + 5y = 41 (1)
⇔
x = 16-2y
(2)
−y = −7
x = 16 − 2y
y=7
(1)
⇔
x = 16 − 2 ∗ 7 (2)
(
(1)
⇔
(2)
y=7
x=2
(
(
48 − y = 41 (1)
x = 16-2y
(2)
y=7
x = 16 − 2y
(1)
(2)
.c
(
3(16-2y) + 5y = 41 (1)
⇔
x = 16-2y
(2)
at
hs
(
om
Par la méthode de substitution : exprimons x en fonction de y dans l'équation (2) et remplaçons
SYSTÈME de 2 ÉQUATIONS À 2 INCONNUES
(
3x + 5y = 41 (1)
x + 2y = 16 (2)
Même exercice que ci dessus par la méthode de combinaisons linéaires : utilisation de multiplications, divisions, additions et soustractions. Ici nous allons éliminer x par addition mais au préalable
(2) par le réel −3. On obtient :
(
3x + 5y = 41
(1)
3x + 5y = 41
additionnons l'équation
⇔
-3x − 6y = -48
(2)
x + 2y = 16 [*(−3)]
(1) et (2).
fo
(
m
nous allons multiplier l'équation
5y − 6y = 41 − 48 ⇔ −y = −y ⇔ y = 7
Remplaçons y par sa valeur dans l'une ou l'autre des équations : remplaçons y dans la deuxième
équation. On obtient :
in
−3x
( − 6 ∗ 7 = −48 ⇔ −3x − 42 = −48 ⇔ −3x = −6 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2
x=2
noté (x; y) = (2; 7)
y=7
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15.4.
137
EXERCICES
SYSTÈME de 3 ÉQUATIONS À 3 INCONNUES


x + 2y + 3z = 20 (1)
2x + 3y + z = 20 (2)


3x + y + 2z = 14 (3)
Résolution par la méthode du pivot de GAUSS : la méthode consiste à éliminer par additions et
om
multiplications 1 inconnue dans la 2ième équation d'abord puis à éliminer une inconnue dans la
3ième équation an d'obtenir un système triangulaire de la forme suivante.


αx + βy + γz = δ
0x + β 0 y + γ 0 z = δ 0


0x + 0y + γ 00 z = δ 00
.c
(1)
(2)
(3)
Nous allons transformer l'équation (2). Faisons l'addition de la ligne 2 et de la ligne 1 ( multipliée
par - 2), et remplaçons la ligne 2 par le résultat obtenu.
at
hs
Nous allons transformer l'équation (3). Faisons l'addition de la ligne 3 et de la ligne 1 ( multipliée
par - 3), et remplaçons la ligne 3 par le résultat obtenu.
La 1ère équation restant inchangée. Voici la notation :




x + 2y + 3z = 20 (1)
x + 2y + 3z = 20 (1)
(2)
2x + 3y + z = 20 (2)L2 ← −2L1 + L2 ⇔ 0x − y -5z = -20




0x-5y -7z = -46
(3)
3x + y + 2z = 14 (3)L3 ← −3L1 + L3
m
Maintenant il ne reste plus qu'à éliminer y dans la 3ième équation.
Nous allons transformer l'équation (3). Faisons l'addition de la ligne 3 et de la ligne 2 ( multipliée
par - 5), et remplaçons la ligne 3 par le résultat obtenu. Les deux premières équations restant
fo
inchangées.
in




x
+
2y
+
3z
=
20
(1)

x + 2y + 3z = 20 (1)
⇔ 0x − y -5z = -20
0x − y -5z = -20
(2)
(2)




0x-5y -7z = -46
(3)L3 ← −5L2 + L3
0x-0y + 18z = 54 (3)
Nous avons obtenu le système triangulaire cherché.
18z = 54 ⇔ z =
54
18
=3
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138
CHAPITRE 15.
SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES
Portons cette valeur dans l'équation (2), on obtient :
−y − 5 ∗ 3 = −20 ⇔ −y = −20 + 15 ⇔ −y = −5 ⇔ y = 5
Portons la valeur de
z
et de
y
dans l'équation (1), on obtient :
x + 2 ∗ 5 + 3 ∗ 3 = 20 ⇔ x = 20 − 10 − 9 = 1
om
Pour vérier il sut de remplacer ces valeurs dans les équations d'origines !
in
fo
m
at
hs
.c


x = 1
S= y=5


z=3
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om
Chapitre 16
SYSTÈMES d'INÉQUATIONS
16.1
LES INÉQUATIONS
.c
LINÉAIRES
d'inégalité.
at
hs
- Une inéquation est un énoncé algébrique qui comporte une ou plusieurs variables et un symbole
- Une inéquation est aux inégalités ce qu'une équation est aux égalités. On utilisera pour une
inéquation les signes :
> signiant : plus grand que ...
< signiant : plus petit que ...
≥signiant : supérieur ou égal à ...
≤ signiant : inférieur ou égal à ...
m
Voici quelques exercices pour tenter de trouver ces relations d'inégalités :
Traduction en inéquations
fo
- Pour traduire une information en une inéquation, on doit :
1° identier la ou les variables dans les situations données ;
2° établir les expressions algébriques à comparer ;
in
3° écrire l'inéquation en choisissant le symbole d'inégalité approprié ;
- Les valeurs qui vérient une inéquation sont appelées des solutions de l'inéquation. L'ensemble
de ces valeurs est appelé l'ensemble-solution.
Exemples :
1° Je cherche un fournisseur de service Internet. La compagnie A peut me fournir 30 heures de
connexion pour un maximum de 15¿.
Variable : coût total de connexion
Traduction
(x)
x ≤ 30
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140
SYSTÈMES D'INÉQUATIONS LINÉAIRES
.c
om
CHAPITRE 16.
Figure 16.1 relations d'inégalités
at
hs
2° Julien et Virginie aimeraient bien acheter un jeu vidéo. Ils ont remarqué qu'ils possèdent ensemble un total de moins de 60¿. Comment mathématiser cette situation ?
Variables : argent de Julien
argent de virginie
(y)
x + y < 60
in
fo
m
Traduction :
(x),
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16.2.
141
RÈGLES DE TRANSFORMATION DES INÉQUATIONS
16.2
RÈGLES DE TRANSFORMATION DES INÉQUATIONS
1° Règle d'addition ou de soustraction
- L'addition ou la soustraction d'une même quantité aux deux membres d'une inéquation conserve
le sens de cette inéquation.
x>y
x+5>y+5
(
;
z<y
z − 10 < y − 10
om
(
2° Règle de multiplication ou de division
positif conserve le sens de l'inéquation.
(x + 5) > y − 10 ⇔ (x + 5) ∗ 2 > (y − 10) ∗ 2 ⇔
.c
- La multiplication ou la division de deux membres d'une inéquation par un nombre strictement
x+5
3
>
y−10
3
- La multiplication ou la division de deux membres d'une inéquation par un nombre strictement
at
hs
négatif inverse le sens de l'inéquation.
(x + 5) > y − 10 ⇔ (x + 5) ∗ (−2) < (y − 10) ∗ (−2) ⇔
x+5
−3
<
y−10
−3
Remarques : Ces modications transforment les inéquations en inéquations équivalentes donc leur
in
fo
m
ensemble-solution ne change pas.
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142
CHAPITRE 16.
16.3
SYSTÈMES D'INÉQUATIONS LINÉAIRES
INÉQUATIONS LINÉAIRES À UNE VARIABLE
- Elles sont du type :
x>
x<
x≥
x≤
constante
constante
constante
constante
om
On pourra représenter l'ensemble-solution sur une droite numérique. Si on a les signes >
ou
, on utilise un point vide sur la droite et dans les deux autres cas, on utilise un point plein.
18 − 4x ≥ x + 33
18 − 18 − 4x ≥ x + 33 − 18
−4x ≥ x + 15
−4x − x ≥ x − x + 15
−5x ≥ 15
−5x
15
≤ −5
−5
x ≤ −3
at
hs
Résoudre l'inéquation :
.c
Exemple 1 :
On représente donc l'ensemble-solution comme suit :
m
Figure 16.2 inéquation : 18 − 4x ≥ x + 33
Exemple 2 :
+3>5
fo
Résoudre l'inéquation :x
in
x>5−3
x>2
Saïd Chermak
Figure 16.3 inéquation :x + 3 > 5
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<
16.4.
143
INÉQUATIONS LINÉAIRES À DEUX VARIABLES
16.4
INÉQUATIONS LINÉAIRES À DEUX VARIABLES
- Tous les points dont les coordonnées vérient une inéquation sont situés du même côté de la
droite correspondant à l'équation formée à partir de cette inéquation.
- On représente la droite frontière du demi-plan par une ligne droite pleine lorsque l'équation fait
partie de l'inéquation (
(< ou >).
≤ ou ≥ ) ou
par une ligne droite pointillée lorsque l'équation en est exclue
Habituellement, on colorie ou on hachure ce demi-plan.
at
hs
.c
lorsque cette droite correspond à un trait pointillé.
om
- Un demi-plan est fermé lorsque sa droite frontière est représentée par un trait plein et ouvert
Figure 16.4 inéquation : régionnement du plan
Exemple :
Les ingénieurs forestiers classient parfois les forêts selon leur densité. On qualie une forêt de m
dense lorsqu'on y dénombre plus de 1000 arbres par hectare. On s'intéresse au nombre de conifères
(x) et de feuillus (y) par hectare qui peuplent une forêt de l'Abititi dans le but de classier cette
forêt.
Condition de densité :
x + y > 1000
fo
Pour représenter cette inéquation et son ensemble-solution, on suggère de se ramener à la forme
y > ax + b
y = ax + b en pointillé car on a le signe >.
forme y > ax + b permet d'obtenir directement
. Ensuite, on trace l'équation
Le fait d'écrire l'inéquation sous la
le taux de
variation et l'ordonnée à l'origine des fonctions ce qui peut accélérer le tracé de ces droites.
in
- Procédure pour déterminer l'ensemble-solution d'une inéquation du premier degré à deux variables.
1° Écrire l'inéquation sous la forme
y > ax + b, y < ax + b, y ≥ ax + b ou y ≤ ax + b.
2° Tracer la droite frontière d'équation y = ax + b d'un trait plein ou pointillé selon que l'équation
fait partie ou non de l'inéquation.
3° Colorier ou hachurer le demi-plan au-dessous de la droite si le symbole est
la droite si le symbole est
Saïd Chermak
<,
ou au-dessus de
>.
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144
16.5
CHAPITRE 16.
SYSTÈMES D'INÉQUATIONS LINÉAIRES
LES SYSTÈMES D'INÉQUATIONS
SYSTÈME D'ÉQUATIONS
Le point d'intersection de 2 équations représentées par des droites nous donne les coordonnées de
la solution de ce système d'équations. On l'appelle couple-solution.
Exemples :
y = 2x + 3
4x + y − 5 = 0 ⇔ y = −4x + 5
- Par comparaison : 2x + 3 = −4x + 5 ⇔ 6x = 2 ⇔ x =
1
alors
3
( 1; 8 ) 3 3
y = 2( 31 ) + 3 =
+ 2x + 3 − 5 = 0 ⇔ 6x − 2 = 0 ⇔ x =
1
alors
3
.c
- Par substitution : 4x
1 8
Couple-solution :( ; )
3 3
om
Pour la résolution, on utilise les méthodes de résolution : comparaison, substitution.
y = 2( 31 ) + 3 =
8
3
at
hs
SYSTÈME D'INÉQUATIONS
8
Couple-solution :
3
Lorsque l'on utilise plutôt des inéquations dans un système, on va trouver la région du plan
qui vérie simultanément toutes les inéquations. La diculté réside toujours dans la traduction
mathématique des énoncés.
Exemple : Quatre saisons et peu de vents .
... au moins 2 fois plus d'instruments à cordes que d'instrument à vents ...
m
... moins de 30 musiciens et musiciennes ...
Si x représente le nombre d'instruments à cordes et y le nombre d'instruments à vent, les inéquations
deviennent :
fo
x ≥ 2y
x + y ≤ 30
Pour pouvoir résoudre, il faudra procéder graphiquement. Pour cela, on vous suggère d'isoler
la variable y de chaque côté et de produire une table de valeurs pour chacune des inéquations
rencontrées.
in
- pour la première inéquation :x
- pour la deuxième inéquation :
Saïd Chermak
≥ 2y ⇔ y ≤
x
2
x
0
2
y
0
1
x + y ≤ 30 ⇔ y ≤ 30 − x
x
0
30
y
30
0
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145
LES SYSTÈMES D'INÉQUATIONS
.c
om
16.5.
at
hs
Figure 16.5 inéquations simultanées
La zone qui vérie les 2 solutions en même temps sera appelée l'ensemble-solution du système
d'inéquations. Cet ensemble-solution sera représenté dans le plan par un polygone de contraintes.
système.
m
Tous les points se retrouvant dans l'ensemble solution seront eux-mêmes couples-solutions du
De même tous les points se situant sur une ligne pleine frontière seront des couples-solutions.
Par contre si les droites frontières sont tracées en pointillé, ils ne font pas partie de l'ensemble-
in
fo
solution.
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146
16.6
CHAPITRE 16.
SYSTÈMES D'INÉQUATIONS LINÉAIRES
SYSTÈME D'INÉQUATIONS LINÉAIRES À 2 INCONNUES
x + y ≤ 10. Cette inéquation admet
(1; 1), (0; 0), (2; 9), ... La liste de solutions dans R est
- Une inéquation de ce type pourrait se présenter comme :
plusieurs solutions : par exemple les couples
innie, c'est la raison pour laquelle lorsqu'il y a un système d'inéquations la résolution ne peut
Pour cette inéquation traçons la droite
d'équation
x + y = 10
écrite sous sa forme réduite :
An de tracer cette droite déterminons au moins 2 points :
La droite passera donc par ces points
x
0
10
y
10
0
(0; 10)
et
.c
y = −x + 10.
D1
om
être que graphique, c'est l'utilisation du plan.
(10; 0).
Il faut dénir un plan avec un repère.
at
hs
Déterminons graphiquement les couples solutions de l'inéquation. La droite
D1
partage le plan en
deux demi-plan P1 et P2. L'ensemble des solutions appartient à l'un des demi-plan, jamais une
solution sera dans un demi-plan et une autre solution dans l'autre demi-plan.
Pour déterminer le demi-plan qui correspond à l'ensemble des solutions il faut prendre un point
quel-conque du plan et déterminer s'il vérie l'inéquation. Si la droite ne passe pas par l'origine
nous choisirons le point qui permet de simplier les calculs, le point O de coordonnées :
Dans l'inéquation remplaçons
(0; 0)
x et y par 0. On obtient : 0+0 ≤ 10. Ce point vérie l'inéquation donc
le demi plan qui le contient comprend l'ensemble des solutions. Tous les points [couple-solution(x ;
in
fo
m
y)] de ce demi plan sont solutions. Il faut hachurer la partie qui ne convient pas.
Figure 16.6 inéquation x + y ≤ 10
A cette inéquation ajoutons des conditions supplémentaires
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16.6.
SYSTÈME D'INÉQUATIONS LINÉAIRES À 2 INCONNUES
147


x ≥ 0
y≥0


x + y ≤ 10
Hachurons tous les x négatifs, puis les y négatifs. L'ensemble solution est la partie triangu-
m
at
hs
.c
om
laire non hachurée.
in
fo
Figure 16.7 inéquation x + y < 10
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148
16.7
CHAPITRE 16.
SYSTÈMES D'INÉQUATIONS LINÉAIRES
RÉSOLUTION D'UN SYSTÈME D'INÉQUATIONS
om

X + Y ≤ 10



X + 3Y ≤ 24

0 ≤ X≤ ≤ 8



0≤Y ≤6
Procédons comme l'exercice ci dessus mais en traçant 4 droites. Il faut dénir un plan avec un
repère.
- Pour la première inéquation traçons la droite
y = −x + 10.
D1
d'équation
x + y = 10
x
0
10
y
10
0
(0; 10)
(10; 0).
droite D2 d'équation 2x + 3y = 24
et
at
hs
La droite passera donc par ces points
- Pour la deuxième inéquation traçons la
−2x
=
+8
y = −2x+24
3
3
réduite :
écrite sous sa forme
An de tracer cette droite déterminons au moins 2 points :
.c
réduite :
écrite sous forme
m
An de tracer cette droite déterminons au moins 2 points :
0
12
y
8
0
(12; 0).
- Pour la troisième inégalité traçons la droite D3 d'équation x = 8.
- Pour la quatrième inégalité traçons la droite D4 d'équation y = 6.
Les droites D1 et D2 se coupent au point (6; 4)
et
fo
La droite passera donc par ces points
(0; 8)
x
Résolvons ce système en suivant la démarche du premier exemple, en prenant le point d'origine
(0; 0)
pour déterminer les parties de plan qui sont solutions. Les parties non concernées sont
in
O
hachurées.
- Dans l'inéquation 1 remplaçons
x et y
par 0. On obtient :
0 + 0 ≤ 10. Ce point vérie l'inéquation
donc le demi plan qui le contient comprend l'ensemble des solutions. Tous les points [couplesolution(x ; y)] de ce demi plan sont solutions. Il faut hachurer la partie qui ne convient pas.
- Dans l'inéquation 2 remplaçons
x
ety par 0. On obtient :
2 ∗ 0 + 3 ∗ 0 ≤ 24.
Ce point vérie
l'inéquation donc le demi plan qui le contient comprend l'ensemble des solutions. Tous les points
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149
RÉSOLUTION D'UN SYSTÈME D'INÉQUATIONS
at
hs
.c
om
16.7.
Figure 16.8 inéquation avec conditions
[couple-solution(x ; y)] de ce demi plan sont solutions. Il faut hachurer la partie qui ne convient
m
pas.
- Pour la double inégalité
qui est
x≥8
0 ≤ x ≤ 8,
0 ≤ y ≤ 6,
fo
- Pour la double inégalité
qui est
y ≥ 6.
il faut éliminer en hachurant tout ce qui est
x≤0
et tout ce
y≤0
et tout ce
. On ne conserve que la zone comprise entre 0 et 8.
il faut éliminer en hachurant tout ce qui est
On ne conserve que la zone comprise entre 0 et 6.
L'ensemble des solutions est la partie non hachurée, l'hexagone (6 cotés de points O, A, B, C, D,
in
E).
Tous les couples-solutions de cette inéquation est donc dans cette zone non hachurée. Les segments
de droites font aussi partie du système car non exclues
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(≤).
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150
SYSTÈMES D'INÉQUATIONS LINÉAIRES
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 16.
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om
Chapitre 17
TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
FONCTION CARRÉE
Étudions la fonction
.c
17.1
y = x2
−∞
et
+∞
et consignons ce résultat dans un
at
hs
Donnons à x diérentes valeurs comprises entre
tableau de variations.
x
x2
x2
1 5 4
+1 25 16
+1
3
9
2
4
1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
4 5 +1
16 25 +1
+1
0
m
Figure 17.1 Tableau de variation de la fonction y = x2
Quelque soit la valeur attribuée à x , y est toujours positif.
de
−∞
à 0 la fonction décroit, de 0 à
+∞
la fonction croit
la fonction montre en son sommet un minimum
y=0
pour
x = 0,
sa représentation graphique est
in
fo
une parabole. L'axe y'y est axe de symétrie.
Figure 17.2 graphe de la fonction y = x2
Saïd Chermak
151
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152
17.2
CHAPITRE 17.
FONCTION
TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
f (x) = ax2
Étudions la fonction y = 3x2 .
Donnons à x diérentes valeurs comprises entre
−∞
+∞
et
et consignons ce résultat dans un
tableau de variations.
x2
3x2
1
1
3
0
0
0
1
1
3
0
2 3 4 5 +1
4 9 16 25 +1
12 27 48 75 +1
+1
.c
x2
1 5 4 3 2
+1 25 16 9 4
+1 75 48 27 12
+1
om
x
at
hs
Figure 17.3 Tableau de variation de la fonction y = 3x2
Quelque soit la valeur attribuée à x , y est toujours positif.
de
−∞
à 0 la fonction décroit, de 0 à
+∞
la fonction croit
la fonction montre en son sommet un minimum
y=0
pour
x = 0,
sa représentation graphique est
in
fo
m
une parabole. L'axe y'y est axe de symétrie.
Figure 17.4 minimum de la fonction y = 3x2
Saïd Chermak
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17.2.
FONCTION
F (X) = AX 2
153
Étudions la fonction y = −3x2 .
Donnons à x diérentes valeurs comprises entre
−∞
+∞
et
et consignons ce résultat dans un
tableau de variations.
3x2
0
0
0
0
1
1
3
1
2 3 4 5 +1
4 9 16 25 +1
12 27 48 75 1
om
1 5 4 3 2 1
9 4 1
x2 +1 25 16
3x2 1 75 48 27 12 3
x
1
.c
Figure 17.5 Tableau de variation de la fonction y = −3x2
de
−∞
at
hs
Quelque soit la valeur attribuée à x , y est toujours négatif.
à 0 la fonction croit, de 0 à
+∞
la fonction décroit
la fonction montre en son sommet un maximum
y = 0 pour x = 0, sa représentation graphique est
in
fo
m
une parabole. L'axe y'y est axe de symétrie.
Figure 17.6 maximum de la fonction y = −3x2
Saïd Chermak
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154
CHAPITRE 17.
TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
Étudions la fonction y = −3x2 + 4 .
Donnons à x diérentes valeurs comprises entre
−∞
+∞
et
et consignons ce résultat dans un
tableau de variations.
−∞
à 4 la fonction croit, de 4 à
+∞
la fonction décroit
la fonction montre en son sommet un maximum
y = 4 pour x = 0, sa représentation graphique est
om
de
une parabole. L'axe y'y est axe de symétrie.
√
√
Le graphe coupe l'axe x'x en deux points :
−233
et
+233
. Entre ces deux abscisses la fonction est
at
hs
.c
positive.
fo
m
Figure 17.7 graphe de la fonction y = −3x2 + 4
Étudions la fonction y = −2x2 + 8x − 6 .
in
Mettons ce trinôme sous une forme particulière que nous allons étudier dans les prochains paragraphes. Mettons -2 en facteur :
−2x2 + 8x − 6 = −2(x2 +
x2 − 4x
8x
−2
est le début du carré
−
6
)
−2
= −2(x2 − 4x+3).(I)
(x − 2)2 = x2 − 4x + 4
par conséquent (I) peut s'écrire :
donc
x2 − 4x = (x − 2)2 − 4
−2[(x − 2)2 − 4+3] = −2[(x − 2)2 − 1]
Donnons à x diérentes valeurs comprises entre
−∞
et
+∞
soit :
−2(x − 2)2 + 2
et consignons ce résultat dans un
tableau de variations.
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FONCTION
F (X) = AX 2
x
(x
2(x
2)
2
155
1
+1
2
2)
2(x
2
2) + 2
2(x
2
2) + 2
1
1
1
9
0
1
2
3
4
5
4
1
0
1
4
9
18
8
16
6
2
0
2
0
2
0
8
18
6
16
1
+1
+
1
1
2
1
1
om
17.2.
Figure 17.8 Tableau de variation de fonction y = −2x2 + 8x − 6
−∞
à 2 la fonction croit, de 2 à
+∞
la fonction décroit
la fonction montre en son sommet un maximum
une parabole. L'axe y'y est axe de symétrie.
1 et 3 . Entre ces deux abscisses la fonction est positive.
in
fo
m
at
hs
Le graphe coupe l'axe x'x en deux points :
y = 2 pour x = 2, sa représentation graphique est
.c
de
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156
17.3
CHAPITRE 17.
TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
GÉNÉRALITÉS
Soit f(x) un trinôme du second degré. Il est tel que
f (x)
Avant de factoriser
On a établi que
f (x) = ax2 + bx + c
avec
a 6= 0
.
on va s'appuyer sur des exemples pour expliquer la méthode utilisée.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
On en déduit quea
2
+ 2ab = (a + b)2 − b2
x2 + 2x = (x + 1)2 − 1
car
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1
x2 − 6x = (x − 3)2 − 9
car
(x − 3)2 = x2 − 6x + 9
x2 + 5x = (x + 5)2 −
x2 − x = (x − 1)2 −
om
Ce résultat général peut être illustré par les exemples suivants :
25
4
1
4
3x2 + 6x = 3(x2 + 2x) = 3[(x + 1)2 − 1].
.c
Il faut dans ce cas mettre 3 en facteur pour retrouver le
forme précédente.
Il faut préalablement rappeler que :
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
on parle de diérence de carrés.
at
hs
C'est cette forme qui apparaitra dans les exemples qui vont suivre pour eectuer une factorisation
lorsque cette dernière sera possible.
Factoriser en s'appuyant sur les résultats précédents les expressions suivantes :
exemple 1
x2 + 2x − 8 = (x + 1)2 − 1 − 8
2
2
x + 2x − 8 = (x + 1) − 9
car
x2 + 2x = (x + 1)2 − 1
on reconnaît la forme
m
La factorisation est immédiate. En eet
On en conclut que
2
a −b
2
résultat établi plus haut.
où
a = (x + 1)
et
b=3
(x + 1)2 − 9 = [(x + 1) − 3][(x + 1) + 3]
x2 + 2x − 8 = (x − 2)(x + 4)
fo
exemple 2
x2 − 6x − 7 = (x − 3)2 − 9 − 7 car x2 − 6x = (x − 3)2 − 9x2 − 6x − 7 = (x − 3)2 − 16 on
2
une diérence de carrés d'où x − 6x − 7 = [(x − 3) − 4][(x − 3) + 4) On obtient donc :
reconnaît
in
x2 − 6x − 7 = (x − 7)(x + 1)
exemple 3
25
+4
4
25
5)2 − 4 + 16
4
5)2 − 49 = (x + 52
x2 + 5x + 4 = (x + 5)2 −
2x2 + 5x + 4 = (x +
2x2 + 5x + 4 = (x +
on a donc :
− 32 )(x + 25 + 32 )
x2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)
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17.3.
157
GÉNÉRALITÉS
exemple 4 conduisant à une factorisation impossible
x2 − 2x + 5 = (x − 1)2 − 1 + 5 = (x − 1)2 + 4
Cette expression est une somme et non pas une diérence de carrés.
Autrement dit le trinôme
x2 − 2x + 5
ne peut pas être factorisé.
om
exemple 5 a 6= 1
Jusqu'à présent nous n'avons traité que les trinômes dont le coecient de
Prenons pour exemple le trinôme
2
3x − 8x + 5
x2
est égal à 1.
Pour ramener cette écriture à une écriture équivalente aux précédentes, il sut de mettre 3 en
facteur. On peut donc écrire :
at
hs
.c
3x2 − 8x + 5 = 3(x2 − 38 x + 53 )
x2 − 38 x = (x − 43 )2 − 16
9
16
2
2
on a donc 3x − 8x + 5 = 3[(x − 4) −
+ 53 ]
9
3x2 − 8x + 5 = 3[(x − 4)2 − 16
+ 15
]
9
9
1
2
2
3x − 8x + 5 = 3[(x − 4) − 9 ]
3x2 − 8x + 5 = 3(x − 34 − 13 )(x − 34 + 31 )
5
2
2
On en déduit que 3x −8x+5 = 3(x− )(x−3) que l'on peut aussi écrire 3x −8x+5 = (3x−5)(x−3)
3
en multipliant le premier terme entre parenthèses par le facteur 3.
Remarque :
Avant de factoriser les trinômes du second degré proposés on a successivement obtenu les formes
suivantes :
(x + 1)2 − 9 ; (x − 3)2 − 16 ; (x + 25 )2 −
9
;
4
(x − 1)2 + 4 ; 3[(x − 43 )2 − 19 ]
m
Ces expressions (ne comportant qu'une seule fois l'inconnue) portent le nom de forme canonique.
in
fo
La factorisation n'est possible que lorsque cette dernière est une diérence de carrés.
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158
17.4
CHAPITRE 17.
TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
FORME CANONIQUE
La forme générale de l'équation du second degré est :
ax2 + bx + c = 0
avec
a 6= 0
sinon l'équation se réduit à une équation du premier degré.
fo
m
at
hs
.c
om
La forme canonique est une forme ou l'inconnue n'apparaît qu'une fois
in
Figure 17.9 forme canonique 2nd degré
en posant
4 = b2 − 4ac
Saïd Chermak
. Cette expression notée
4
(lire delta) est appelée discriminant .
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17.5.
159
DISCUSSION
17.5
DISCUSSION
ax2 + bx + c = a
h
x+
b 2
2a
−
i
4
(I)
4a2
Trois cas sont alors à considérer :
4 = b2 − 4ac > 0
4
est positif on peut extraire la racine carrée et l'équation peut se mettre sous la forme de la
diérence de deux carrés.
ax2 + bx + c = (x +
de la forme
b 2
)
2a
−(
√
b2 −4ac 2
√
)
4a2
⇔ (x +
b 2
)
2a
√
−(
b2 −4ac 2
)
2a
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
ax2 + bx + c = (x +
b
2a
√
+
b2 −4ac
)(x
2a
+
b
2a
√
−
.c
Si
om
1ER CAS
b2 −4ac
) (II)
2a
Ce polynôme du 2ème degré est donc mis sous la forme d'un produit de deux binômes du 1er degré.
at
hs
Il y aura donc 2 racines. Ce produit s'annule pour :
La première que l'on notera x1 :
√
2 −4ac
b
(x + 2a
+ b 2a
) = 0 (I)
√
√
√
2
2
b
−4ac
− b 2a
= −b− 2ab −4ac = −b−2a 4 notée
x = − 2a
√
x1 = −b−2a 4
m
La deuxième que l'on notera x2 :
√
2 −4ac
b
(x + 2a
− b 2a
) = 0 (II)
√
√
√
2
2
b
−4ac
x = − 2a
+ b 2a
= −b+ 2ab −4ac = −b+2a 4 notée
√
x2 = −b+2a 4
in
fo
L'équation a 2 racines condensée souvent en une seule formule :
√
x = −b±2a ∆
√
√
−b− 4
−b+ 4
S ={ x1 =
; x2 =
}
2a
2a
2
On peut aussi écrire : ax + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) en remplaçant dans l'expression (II) :
√
√
b
b2 −4ac
b
b2 −4ac
+
par −x1 et
−
par −x2
2a
2a
2a
2a
2ÈME CAS
4 = b2 − 4ac = 0
L'équation devient :
(x +
b
)(x
2a
+
b
)
2a
= (x +
b 2
)
2a
Il y a une seule racine, appelée racine double :
On peut aussi écrire :
Saïd Chermak
=0
b
x = − 2a
ax2 + bx + c = a(x − x1 )2
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160
CHAPITRE 17.
TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
3ÈME CAS
4 = b2 − 4ac < 0
l'équation :
2
−4ac
− b 4a
>0
2
positif
2
ax + bx + c = a
h
x+
b 2
2a
−
4
4a2
i
om
Dans ce cas :
comprend deux termes positifs, la somme ne peut
être nulle, c'est impossible. L'équation proposée n'a pas de racines. On dit que l'ensemble S de solutions est vide.
at
hs
.c
On le note S={Ø}
m
NOTA
Si les coecients a et c de l'équation du 2ème degré
ax2 + bx + c = 0
sont de signes
contraires, cette équation admet deux racines distinctes.
fo
En eet, si a et c sont de signes contraires :
in
ac < 0
−4ac > 0
b2 − 4ac > 0 ⇒ 4 > 0
et l'équation admet 2 racines distinctes.
Cette équation ( a et c de signes contraires) est susante, elle n'est pas nécessaire ; en eet
l'équation peut avoir a et c de même signe et admettre deux racines distinctes.
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17.6.
161
INTERPRÉTATION GRAPHIQUE
INTERPRÉTATION GRAPHIQUE
at
hs
.c
om
17.6
Figure 17.10 Interprétation graphique du trinôme du second degré
Exemple 1 :
x1 =
discriminant
4
m
2x2 − 3x + 1 = 0
a = 2 et c = 1 sont de même signe, calculons le
4 = b2 − 4ac = (−3)2 − 4 ∗ 2 ∗ 1 = 9 − 8 = 1
4 > 0 il y a deux racines distinctes :
√
−(−3)− 1
=
2∗2
√
1
= −(−3)+
=
2∗2
1 = 2(x − 21 )(x
√
−b− 4
2a
√
−b+ 4
2a
2
4
=
1
2
4
4
=1
− 1) = (2x − 1)(x − 1)
fo
x2 =
2x2 − 3x +
=
in
Exemple 2 :
2x2 − x + 1 = 0
a = 2 et c = 1 sont de même signe, calculons le discriminant 4
4 = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 ∗ 2 ∗ 1 = 1 − 8 = −7
2
le discriminant 4 = b − 4ac < 0 , l'équation n'a pas de racine.
Exemple 3 :
2x2 − x − 1 = 0
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162
CHAPITRE 17.
a = 2 et c = −1 sont de signe contraire, calculons
4 = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 ∗ 2 ∗ (−1) = 1 + 8 = 9
4 > 0 il y a deux racines distinctes :
x1 =
√
−b− 4
2a
√
−b+ 4
2a
=
√
−(−1)− 9
2∗2
√
−(−1)+ 9
2∗2
=
−2
4
TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
le discriminant
4
= − 12
om
x2 =
=
= 44 = 1
2x2 − x − 1 = 2(x − (− 12 )(x − 1) = 2(x + 12 )(x − 1) = (2x + 1)(x − 1)
Exemple 4 :
Exemple 5 :
x2 + 2x + 1 = 0
at
hs
.c
x2 + 2x − 1 = 0
a = 1 et c = −1 sont de signe contraire, calculons le discriminant 4
4 = b2 − 4ac = (2)2 − 4 ∗ 1 ∗ (−1) = 4 + 4 = 8
4 > 0 il y a deux racines distinctes :
√
√
√
√
√
8
−2− 4∗2
−2−2 2
x1 = −b−2a 4 = −2−
=
=
=
−1
−
2
2∗1
2
2
√
√
√
√
√
−b+ 4
8
2
x2 = 2a = −2+
= −2+2 4∗2 = −2+2
= −1 + 2
2∗1
2
√
√
√
√
2
x + 2x − 1 = [x − (−1 − 2)][x − (−1 + 2)] = (x + 1 + 2)(x + 1 − 2)
4
4 = b − 4ac = (2) − 4 ∗ 1 ∗ 1 = 4 − 4 = 0
4 = 0 il y a une seule racine :
2
b
= − 2∗1
= −1
x = − 2a
2
x + 2x + 1 = [x − (−1)]2 = (x + 1)2
calculons le discriminant
2
in
fo
m
2
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17.7.
163
SOMME ET PRODUIT DES RACINES
17.7
SOMME ET PRODUIT DES RACINES
Dénition : quand
4 = b2 − 4ac > 0
l'équation du 2ème degré admet deux racines.
Établissons la somme de ces racines :
√
√
x1 + x2 = −b−2a 4 + −b+2a 4 = −2b
= − ab
2a
racines :
de la forme
4ac
4a2
=
(a − b)(a + b) = a2 − b2
c
a
S = x1 + x2 = − ab
om
Établissons le produit de ces
√
√
x1 ∗ x2 = ( −b−2a 4 ) ∗ ( −b+2a 4 )
√ 2
2
2
2
4)
= b −(b4a2−4ac) =
= (−b) −(
2a
P = x 1 ∗ x2 =
c
a
Application : Calculer deux nombres connaissant leur somme S et leur produit P.
Il sut de former l'équation :
x2 − Sx + P = 0.
.c
cherchés.
Les racines de cette équation sont les nombres
at
hs
Exemple 6 :
Trouver deux nombres dont la somme soit 15 et le produit 36.
x2 − 15x + 36 = 0
4 = b2 − 4ac = (−15)2 − 4 ∗ 1 ∗ 36 = 225 − 144 = 81
Ces deux nombres sont racines de l'équation :
x1 =
x2 =
√
−b− 4
2a
√
−b+ 4
2a
=
=
√
−(−15)− 81
2∗1
√
−(−15)+ 81
2∗1
=
15−9
2
=3
=
15+9
2
= 12
m
Exemple 7 : Résoudre 7x2 − 3x = 0
in
fo
7x2 − 3x = 0 ⇔ x(7x − 3) = 0
7x2 − 3x = 0 ⇔ x = 0 ou x = 37
S = {0; 37 }
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164
CHAPITRE 17.
TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
Exemple 8 : Résoudre 3x2 − 12 = 0
3x2 − 12 = 0 ⇔ 3(x2 − 4) = 0
3x2 − 12 = 0 ⇔ 3(x + 2)(x − 2)
3x2 − 12 = 0 ⇔ x = −2
ou
x=2
om
S = {−2; 2}
Exemple 9 : Résoudre 3x2 − 7x + 4 = 0 ;
3x2 − 7x + 4 = 0 ; a = 3 ; b = −7 ; c = 4
4 = (−7)2 − 4x3x4 = 1
4>0
x1 = −(−7)−1
2x3
S = {1; 43 }
alors l'équation admet deux racines distinctes.
= 1 ; x2 =
−(−7)+1
2x3
=
4
d'où
3
.c
comme
c
4
donc à
a
3
at
hs
Une des racines étant égale à 1 alors l'autre racine est égale à
Exemple 10 : Résoudre 13 x2 − 2x + 3 = 0 ;
1 2
x
3
− 2x + 3 = 0 ; a = 3, b = −2, c = 3
4 = (−2)2 − 4x 13 x3 = 4 − 4 = 0
comme
4=0
alors l'équation admet une racine double :
S=3
x=
−2
2x 13
=3
m
Exemple 11 : Résoudre 2x3 − 4x2 + 2 = 0 ;
Mettons x en facteur pour ramener cette équation à un second degré
fo
2x(x2 − 2x + 1) = 0 ⇔ x = 0
Calculons le discriminant :4
comme
4=0
ou
(x2 − 2x + 1) = 0
= b2 − 4ac = (−2)2 − 4x1x1 = 0
alors l'équation admet une racine double
− 2x + 1 = (x − 1)
−b
2a
=
−(−2)
2x1
=1
2
in
Ce résultat est immédiat carx
2
x=
S = {0; 1}
Exemple 12 : Résoudre x3 − 25x = 0 ;
Mettons x en facteur pour ramener cette équation à un second degré
x(x2 − 25) = 0 ⇔ x = 0
2
(x
ou
(x2 − 25) = 0
− 25) = 0 ⇔ (x + 5)(x − 5) = 0 ⇔ x = −5
ou
x=5
S = {−5; 0; 5}
Saïd Chermak
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17.7.
165
SOMME ET PRODUIT DES RACINES
Exemple 13 : Résoudre 2x2 − 5x − 3 = 0
4 = b2 − 4ac = (−5)2 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49
√
−b− 4
=
2a
√
x2 = −b+2a 4 =
1
S = { − ;3 }
2
x1 =
5−7
2x2
5+7
2x2
=
=
−2
= − 21
4
12
=3
4
om
Exemple 14 : Résoudre −3x2 + 4x + 4 = 0
√
−b− 4
=
2a
√
x2 = −b+2a 4 =
2
S = {− ; 2}
3
x1 =
−4−8
2x(−3)
=
−12
−6
=2
−4+8
2x(−3)
=
4
−6
= − 23
Exemple 15 : Résoudre x2 + 2x − 5 = 0
√
4=
√
24 =
√
√
4x6 = 2 6
at
hs
4 = b2 − 4ac = (2)2 − 4(1)(−5) = 4 + 20 = 24 ;
√
√
√
6
=
−1
−
x1 = −b−2a 4 = −2−2
6
2x1
√
√
√
−b+ 4
−2+2 6
x2 = 2a = 2x1 = −1 + 6
√
√
S = {−1 −
6; −1 + 6 }
.c
4 = b2 − 4ac = (4)2 − 4(−3)(4) = 16 + 48 = 64
Exemple 16 : Résoudre 3x2 + 8x + 5 = 0
4 = b2 − 4ac = (8)2 − 4(3)(5) = 64 − 60 = 4 ;
−8−2
2x3
−8+2
2x3
4=
√
4=2
= − 10
= − 53
6
m
√
−b− 4
=
2a
√
−b+ 4
x2 = 2a =
5
S = {− ; −1 }
3
=
−6
6
= −1
fo
x1 =
√
Exemple 17 : Résoudre−2x2 + 4x − 8
Étudions ce trinôme du second degré.
in
∆ = b2 − 4ac = 42 − 4(−2)(−8) = −48 ;
s = {Ø}
Pas de racines dans
R.
Exemple 18 : Résoudre 3x2 + 21x + 30 = 0
4 = b2 − 4ac = (21)2 − 4(3)(30) = 81 ;
x1 =
x2 =
S =
√
−b− 4
2a
√
−b+ 4
2a
=
=
{−5; −2 }
−21−9
2x3
−21+9
2x3
Saïd Chermak
√
√
4 = 81 = 9
= − 30
= −5
6
=
−12
6
= −2
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166
CHAPITRE 17.
TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
Exemple 19 : Résoudre 3(x + 5)(x + 2) = 0
Développons. On obtient :
3(x2 + 5x + 2x + 10) = 3x2 + 21x + 30 ;
Nous sommes revenus au problème précédent mais nous pouvons aussi remarquer que cette forme
d'écriture correspond à :
et on en déduit que
x2 = −2
Mais encore que 3(x + 5)(x + 2) = 0 est du 1er degré.
nul : x + 5 = 0 ⇔ x = −5 et x + 2 = 0 ⇔ x = −2 !
−x1 = +5
et que
−x2 = +2
soit
et
Un produit est nul si un des facteurs est
Exemple 20 : Résoudre 2x2 + 7x − 4 = 0
4 = b2 − 4ac = (7)2 − 4(2)(−4) = 81 ;
=
=
− 46
=
4
2
= 12
4
4=
√
81 = 9
−4
.c
√
x1 = −b−2a 4 = −7−9
2x2
√
−b+ 4
−7+9
x2 = 2a = 2x2
1
S = { −4;
}
2
√
om
x1 = −5
a(x − x1 )(x − x2 )
at
hs
Exemple 21 : Résoudre 2(x + 4)(x − 12 ) = (x + 4)(2x − 1)
Développons. On obtient :
2x2 + 8x − x − 4 = 2x2 + 7x − 4
Nous sommes revenus au problème précédent.
On peut aussi s'apercevoir qu'en distribuant le facteur 2 aux termes de la deuxième parenthèse on
obtient les termes à droite du signe d'égalité !
in
fo
m
2(x + 4)(x − 21 ) = (x + 4)2(x − 12 ) = (x + 4)(2x − 1)
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17.8.
167
SIGNE DU TRINÔME DU 2ÈME DEGRÉ
17.8
SIGNE DU TRINÔME DU 2ème DEGRÉ
4 = b2 − 4ac < 0
h
2
l'équation : ax + bx + c = a
x+
si
b 2
2a
−
4
4a2
i
comprend deux termes positifs entre les crochets,
Un trinôme dont le discriminant est négatif ou nul :
om
donc le signe de l'équation ne dépend que du facteur a .
2
si 4 = b − 4ac = 0
b 2
2
comprend un carré ( toujours positif ) donc le signe de
L'équation : ax + bx + c = a x +
2a
l'équation ne dépend que du facteur a .
4≤0
coecient a de son terme de plus au degré.
est quelque soit x du signe du
4 = b2 − 4ac > 0
2
L'équation : ax + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) et son signe dépend du
x1 )(x − x2 ). Pour étudier ce produit établissons un Tableau de signes et
1
x
x
(x
a(x
x1
0
+
x1 )(x
x2 )
+
0
signe de a
0
signe de
x1 < x2 .
1
+
+
0
x2 )
(x −
+
x2
x1 )(x
supposons
x2
x1
at
hs
x
signe du produit
.c
si
a
0
+
signe de a
Figure 17.11 signe du trinôme du second degré
Un trinôme du second degré dont le discriminant est positif
4>0
est :
(x < x1 )
m
du signe du coecient a pour les valeurs de la variable à l'extérieures à l'intervalle des racines
ou
(x > x2 )
et du signe de -a les valeurs de la variable intérieures à l'intervalle des racines
(x1 < x < x2 )
fo
Exemple 22 :
f (x) = 3x2 − 2x − 5
√
4 = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 ∗ 3 ∗ (−5) = 64 ; 4 = 8
√
−b− 4
2a
√
−b+ 4
2a
=
√
−(−2)− 64
2∗3 √
−(−2)+ 64
2∗3
in
x1 =
=
2−8
6
2+8
6
= −1
x2 =
=
=
=
5
f (x) > 0 ⇒] − ∞; −1[∪] 3 ; +∞[
f (x) < 0 ⇒] − 1; 53 [
f (x) = 0 pour x = −1 et x = 35
5
3
Exemple 23 :
f (x) = −4x2 + 8x − 5
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168
CHAPITRE 17.
TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
4 = b2 − 4ac = 82 − 4(−4)(−5) = 64 − 80 = −16
Le trinôme est du signe de −4 donc négatif.
Exemple 24 :
f (x) = 9x2 − 24x + 16
(3x − 4)2 soit on détermine le discriminant :
4 = b2 − 4ac = (−24)2 − 4 ∗ 9 ∗ 16 = 576 − 576 = 0
b
x = − 2a
= − −24
= 43
2∗9
4 2
2
2
2
On peut aussi écrire : ax + bx + c = a(x − x1 ) ⇔ 9x − 24x + 16 = 9(x − )
3
om
soit on reconnait le carré
Le trinôme est du signe de 9 donc positif.
.c
Exemple 25 :
at
hs
f (x) = −4x2 + 8x − 4
4 = b2 − 4ac = 82 − 4(−4)(−4) = 64 − 64 = 0
2
2
2
2
On peut aussi écrire : ax + bx + c = a(x − x1 ) ⇔ −4x + 8x − 4 = −4(x − 1)
Le trinôme est du signe de -4 donc négatif.
Exemple 26 :
f (x) = 4x2 − 3 = 0
Ici le trinôme est incomplet. On peut calculer le discriminant
diérence de carré.
4
mais on peut voir que c'est une
m
√
√
√
f (x) = 4x2 − 3 = (2x)2 − ( 3)2 = (2x + 3)(2x − 3)
Il y a 2 racines :
√
√
3 = 0 ⇔ 2x = − 3 ⇔ x = − 23
√
√
√
2x − 3 = 0 ⇔ 2x = + 3 ⇔ x = + 23
2x +
√
√
√
3
3
[∪]
; +∞[
2
2
√ √
⇒] − 23 ; 23 [
√
√
3
3
pour x = −
et x =
2
2
fo
f (x) > 0 ⇒] − ∞; −
f (x) < 0
in
f (x) = 0
Exemple 27 :
f (x) = 4x2 − x = 0
Ici le trinôme est incomplet. On peut calculer le discriminant
4mais
on peut voir que l'on peut
factoriser.
f (x) = 4x2 − x = x(4x − 1)
équation produit.
Il y a 2 racines :
x=0
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17.8.
169
SIGNE DU TRINÔME DU 2ÈME DEGRÉ
4x − 1 = 0 ⇔ 4x = 1 ⇔ x = 41
f (x) = 4x2 − x = 0 ⇔ f (x) = 4(x − 0)(x − 14 )
1
le trinôme est du signe de -a donc ici négatif et
4
1
sera positif à l'extérieur des racines :f (x) > 0] − ∞; 0[∪] − ; +∞[
4
Entre les racines 0 et
Mise en équations de petits problèmes
om
4
1 ) Quel nombre entier faut il ajouter au numérateur et au dénominateur de la fraction
pour
7
4
obtenir une fraction égale à ?
5
2 ) Peut on trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme vaut 129 ?
3 ) Peut on trouver trois nombres consécutifs impairs dont la somme vaut 66 ?
Solution
4+x
7+x
=
4
5
En eectuant le produit en croix, on obtient :
5(4 + x) = 4(7 + x) ⇔ 20 +5x = 28+ 4x ⇔ 5x − 4x =
at
hs
28 − 20
.c
1 ) soit x ce nombre. Traduisons plus simplement l'énoncé :
soit le nombre cherché
x=8
2 ) Soit x le premier nombre, x + 1 et x + 2 les nombres suivants. on a donc :
x + (x + 1) + (x + 2) = 129
3x + 3 = 129 ⇔ 3x = 126 ⇔ x = 42
en eet : 42 + 43 + 44 = 129
2x + 1, et les suivants
Leur somme : 2x + 1 + (2x + 3) + (2x + 5) = 66
57
.
soit en simpliant : 6x + 9 = 66 ; on en déduit x =
6
sont
2x + 3
et
2x + 5
m
3 ) le premier nombre impair s'écrit :
in
fo
La réponse à la question est donc non car x n'est pas un nombre entier.
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170
17.9
CHAPITRE 17.
TRINÔME DU SECOND DEGRÉ
EXTREMA DU TRINÔME
Le trinôme du second degré s'écrit :
ax2 + bx + c = a
h
x+
b 2
2a
−
b2 −4ac
4a2
i
=a
h
x+
b 2
2a
−
4
4a2
i
Dans l'expression entre crochets, seule la variable x varie. Intéressons nous au terme
−∞
à
b 2
.
2a
+∞.
Ce carré est toujours positif ou nul lorsque
4
vaut alors − 2 .
4a
b
x + 2a
=0
b
x = − 2a
la fonction
2
a4
4
4
2
ax + bx + c = a (0) − 4a2 = − 4a2 = − 4a
Pour la valeur particulière
soit pour
b
x = − 2a
.
Le terme entre crochets
om
Faisons varier x de :
x+
prend la valeur :
.c
si a est positif alors nous obtenons un minimum 4
at
hs
si a est négatif alors nous obtenons un maximum 4
b
le sommet de la fonction a pour coordonnées (− ; − ) quelque soit la valeur de
2a
4a
voir la représentation graphique (17.6) page 161
4
b
= −4, 5; − 2a
= 3, 5
f (x) = 2x2 − 14x + 20 ⇒ − 4a
4
b
f (x) = −3x2 − 12x − 9 ⇒ − 4a
= +3; − 2a
= −2
4
b
f (x) = −3x2 − 12x − 13 ⇒ − 4a
= −1; − 2a
= −2
in
fo
m
4
b
= +2; − 2a
= +3, 5
f (x) = 2x2 − 14x + 26, 5 ⇒ − 4a
Figure 17.12 diérents extrema du second degré
Saïd Chermak
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om
Chapitre 18
18.1
.c
INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
DÉFINITION
at
hs
Une inéquation du second degré à une inconnue est une inéquation qui peut se mettre sous
l'une des quatre formes suivantes :
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≤ 0
6=
0 car si
a=0
alors l'inéquation est du premier degré
m
avec a
Dans certains cas, on sait résoudre ce genre d'inéquations :
Exemple 1.
4x2 + 28x + 49 > 0
fo
Résoudre l'inéquation :
On constate que :
4x2 + 28x + 49 = (2x + 7)2
x
in
2
Or, pour tout réel , on a : (2x + 7) ≥0 et, plus précisément : (2x
7
x = − 2 . On en déduit l'ensemble des solutions de cette équations :
+ 7)2 =0
uniquement pour
S =] − ∞; − 72 [∪] − 72 ; +∞[
Exemple 2.
Résoudre l'inéquation :
2x2 − 9 ≤ 0
L'inéquation est équivalente à :
x(2x − 9) ≤ 0
On dresse un tableau de signes :
Saïd Chermak
171
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172
CHAPITRE 18.
1
x
x(2x
0
1
9
0
x
2x
INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
+
2
+
+
9
+
0
9)
+
+
0
om
Figure 18.1 signes de 2x2 − 9 ≤ 0
En tenant compte du fait que l'inégalité de l'inéquation est une inégalité large, les solutions sont :
S = 0; 29

.c
Les exemples précédents nous permettent de faire deux observations :
Pour résoudre une inéquation du second degré, il convient de savoir déterminer le signe d'un
trinôme du second degré ;

La détermination du signe d'un trinôme du second degré est d'autant plus aisée qu'on a pu, si
at
hs
cela est possible, le factoriser.
1
x
x
x
(x
0
+
x2
0
x1 )(x
x2 )
x1 )(x
x2 )
+
0
signe de a
0
signe de
a
0
+
+
+
+
signe dea
m
a(x
x1
1
x2
x1
in
fo
Figure 18.2 signe du trinôme
Saïd Chermak
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18.2.
173
MÉTHODE
Résoudre une inéquation du second degré :
18.2
MÉTHODE
et on applique la règle du signe d'un produit
18.3
·
EXEMPLES
Exemple 3 :
2x2 + 9x − 5 ≤ 0·
.c
Résoudre l'inéquation :
Solution :
4 = b2 − 4ac = 92 − 4(2)(−5) = 121
x2 =
√
−b− 4
2a
√
−b+ 4
2a
=
=
√
−9− 121
2∗2
√
−9+ 121
2∗2
=
−20
=
4
2
= 21
4
−5
at
hs
x1 =
om
2
2
s'il n'y a pas de racine, 4 = b − 4ac < 0 , ou si la racine est nulle 4 = b − 4ac = 0 le trinôme
P (x) = ax2 + bx + c est du signe de a .
2
s'il y a des racines, 4 = b − 4ac > 0 on factorise le trinôme, on étudie le signe de chaque facteur
=
2(x + 5)(x − 21 ) ≤ 0 ⇔(x + 5)(2x − 1) ≤ 0
x + 5 > 0 ⇔ x > −5
2x − 1 > 0 ⇔ x > 12
L'inéquation devient donc :
On étudie le signe de
On étudie le signe de
fo
m
Cela permet de construire le tableau suivant :
Figure 18.3 signe de 2(x + 5)(x − 21 ) ≤ 0
in
D'où la solution de l'inéquation :
Saïd Chermak
−5 ≤ x ≤
1
1
c'est à dire S = [-5 ; ]
2
2
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174
CHAPITRE 18.
INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Exemple 4 :
Résoudre l'inéquation
3x2 − 2x − 1 > 0
Solution :
4 = b2 − 4ac = (−2)2 − 4(3)(−1) = 16
x2 =
√
−b− 4
2a
√
−b+ 4
2a
=
=
√
−(−2)− 16
2∗3
√
−(−2)+ 16
2∗3
=
−2
6
=
6
6
= − 13
=1
om
x1 =
3[x − (− 13 )](x − 1) > 0 ⇔(3x + 1)(x − 1) > 0
3x + 1 > 0 ⇔ x > − 31
x−1>0⇔x>1
L'inéquation devient donc :
On étudie le signe de
On étudie le signe de
.c
Cela permet de construire le tableau suivant :
1
x
1
3x + 1
+
+
at
hs
x
0
1
+
1
3
1
(3x + 1)(x
0
1)
+
0
+
+
Figure 18.4 signe de l'inéquation 3[x − (− 13 )](x − 1) > 0
ou bien on étudie le signe du polynôme
3x2 − 2x − 1
3x2 − 2x − 1est du signe de 3 à l'extérieur de ses racines −1/3 et 1 il est du signe de -3 à l'intérieur
m
des racines. On retrouve directement la dernière ligne du tableau ci dessus
in
fo
S = −∞; − 13 [∪]1; +∞[
Saïd Chermak
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18.3.
175
EXEMPLES
Exemple 5 :
−2x2 − x + 10 > 0
2
2
Le discriminant 4 vaut : 4 = (−1) − 4 × (−2) × 10 = 1 + 80 = 81 = 9
2
. Le trinôme −2x − x + 10 > 0 s'annule donc pour :
√
1−9
−8
x1 = −b−2a 4 = 2∗(−2)
= −4
=2
Résoudre l'inéquation :
Sur
√
−b+ 4
2a
=
1+9
2∗(−2)
10
−4
=
] − ∞; − 25 [∪]2; +∞[
= − 52
le trinôme
−2x2 − x + 10
om
x2 =
ne s'annule pas et est du signe de a ( -2 ) :
il prend donc des valeurs strictement négatives ;
Sur
] − 52 ; 2[
le trinôme
−2x2 − x + 10
ne s'annule pas et est du signe de - a : il prend donc des
valeurs strictement positives ;
Pour -
5
et 2, le trinôme
2
−2x2 − x + 10
s'annule.
−2x2 − x + 10 > 0
s'écrit :
.c
Finalement, l'ensemble des solutions de l'inéquation
S =] − 25 ; 2[
Nous aurions pu aussi , une fois obtenu les racines, factoriser le polynôme :
−2x2 − x + 10 > 0 ⇔ −2[x − (− 52 )](x − 2) > 0 ⇔ −(2x − 5)(x − 2) > 0
at
hs
Le tableau de signes issu de cette factorisation :
1
x
x
2
5
2
2
0
+
2x + 5
+
0
2)(2x + 5)
0
+
+
m
(x
1
+
Figure 18.5 signes de l'inéquation : −2x2 − x + 10 > 0
Remarque : à titre de vérication partielle (seulement !), on peut considérer une valeur simple de
fo
l'ensemble obtenu et calculer son image par la fonction f.
Par exemple ici, on peut considérer
On a bien
x=0
. Il vient alors :
f (0) = −2 × 0 − 0 + 10 = 10
.
f (0) > 0
in
Exemple 6 :
2x2 − 3x + 2 < 0
8x2 + 8x + 2 est du signe de
Résoudre l'inéquation
∆=0
donc
a donc
8x2 + 8x + 2
est positif ou nul
Exemple 7 :
8x2 + 8x + 2 ≤ 0
2x2 − 3x + 2 est strictement
Résoudre l'inéquation
∆<0
donc
Saïd Chermak
du signe de a donc
e-classe.com
2x2 − 3x + 2
est positif.
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176
CHAPITRE 18.
INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Exemple 8 :
−x2 − 3x + 10 < 0
√
4 = (−3)2 − 4(−1)(10) = 9 + 40 = 49 ; 4 = 7
∆ > 0 donc −x2 − 3x + 10 est du signe de a à
Résoudre l'inéquation
l'extérieur des racines et du signe de - a à
l'intérieur.
om
2
. Le trinôme −x − 3x + 10 < 0 s'annule donc pour :
√
x1 = −b−2a 4 = −(−3)−7
= −4
=2
2∗(−1)
−2
√
10
x2 = −b+2a 4 = 3+7
= −2
= −5
−2
2
−x − 3x + 10 admet comme racines 2 et - 5
−x2 − 3x + 10 > 0 lorsque x appartient à ] − 5; 2[
−x2 − 3x + 10 < 0 lorsque x appartient à ] − ∞; −5[∪]2; +∞[
−x2 − 3x + 10 = 0 lorsque x = −5 ou x = 2
.c
Donc
Nous aurions pu aussi , une fois obtenu les racines, factoriser le polynôme :
−x2 − 3x + 10 < 0 ⇔ −(x + 5)(x − 2) < 0
at
hs
Le tableau de signes issu de cette factorisation :
1
x
x
2
5
0
2
+
x+5
(x
2)(x + 5)
+
0
0
1
+
+
+
in
fo
m
Figure 18.6 signes de l'inéquation −x2 − 3x + 10 < 0
Saïd Chermak
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18.3.
177
EXEMPLES
Exemple 9 :
Résoudre dans
R
l'inéquation :
(x−5)2 (x2 +2)
3−x
≥0
Cette inéquation est une fraction rationnelle ( polynôme au numérateur et polynôme au dénominateur). Elle existe (est calculable) pour tout dénominateur diérent de zéro donc :
3 − x 6= 0 ⇔ x 6= 3
Quelque soit x (∀x) (x − 5)2 ≥ 0 c'est un carré ! et égal à 0 pour x = 5.
(∀x) (x2 + 2) > c'est la somme d'un carré et d'un nombre
positif.
om
Quelque soit x Finalement le signe de cette fraction rationnelle ne dépend que du signe du dénominateur puisque
le numérateur est soit nul soit positif.
Exemple 10 :
Résoudre dans
R
l'inéquation :
x2 −3
4x2 +3x−1
≥1
.c
3−x>0⇔x<3
S =] − ∞; 3[
La division par 0 étant impossible nous devons éliminer les valeurs qui annulent le dénominateur
Calculons le discriminant du dénominateur :
x1 =
x2 =
√
−b− 4
2a
√
−b+ 4
2a
=
=
−3−5
2∗4
−3+5
2∗4
=
=
√
4=5
at
hs
4 = 32 − 4(4)(−1) = 9 + 16 = 25;
−8
= −1
8
2
= 14
8
Ces deux valeurs sont à rejeter :
Df =] − ∞; −1[∪] − 1; 14 [∪] 14 ; +∞[.
La fraction rationnelle peut désormais s'écrire
−1≥0⇔
x2 −3−1(4x2 +3x−1)
4x2 +3x−1
≥0⇔
x2 −3−4x2 −3x+1
4x2 +3x−1
≥0
≥0
m
2 −3
x2 −3
≥ 1 ⇔ 4x2x+3x−1
4x2 +3x−1
2 −3x+1
x2 −3
≥ 1 ⇔ −3x
4x2 3x−1
4x2 +3x−1
Calculons le discriminant du numérateur :
fo
4 = (−3)2 − 4(−3)(−2) = 9 − 24 = −16
Le numérateur n'a pas de racine, ce trinôme est du signe de a donc toujours négatif. La fraction
ne dépend que du signe du trinôme du dénominateur qui est :
− ∞; −1[∪] 41 ; +∞[
1
de ] − 1; [
4
- positif de]
in
- négatif
nalement la fraction rationnelle est :
- négative de
- positive de
] − ∞; −1[∪] 41 ; +∞[
] − 1; 41 [
Bien entendu, nous aurions pu établir un tableau de signes en factorisant le dénominateur.
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178
INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 18.
Saïd Chermak
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om
.c
Troisième partie
in
fo
m
at
hs
ANALYSE
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179
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om
.c
at
hs
m
fo
in
Saïd Chermak
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om
Chapitre 19
GÉNÉRALITÉS sur les FONCTIONS
19.1
DÉFINITION
f
est une relation d'un ensemble E (partie de R) vers un ensemble R
at
hs
Une fonction numérique .c
Ce chapitre fait suite au Chapitre Notions de Fonctions
qui à tout élément x de E associe au plus un nombre réel appartenant à l'ensemble F
f : E −→ F
f : x 7→ f (x)(se
lit : soit la fonction f qui à x associe f de x )
f,
il est noté
f(x).
in
fo
m
Ce nombre réel s'appelle image de x par
Figure 19.1 dénition d'une fonction
À tout élément x de l'ensemble E (ensemble de départ, partie de R, contient donc des réels). On
dénit une relation qui va relier les éléments de E aux éléments de l'ensemble F (ensemble
d'arrivée, partie de
R,
contient donc des réels). Cette relation s'appelle une fonction .
Tout élément x de E (ensemble de départ) admet au plus un élément dans l'ensemble
d'arrivée F . Cet élément de F s'appelle une image de x par f c'est
f (x), à contrario
on dira que l'image de F à pour antécédent l'élément de E .
Saïd Chermak
181
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182
CHAPITRE 19.
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
Admet au plus un élément signie que l'élément x de E admet une image mais peut
ne pas en avoir, mais certainement pas plus d'une image.
19.2
NOTATION
La fonction se note f , l'image de x par f notée
f (x) est un nombre réel et non une fonction.
Soit la fonction f dénie par
f (x)
om
On écrira donc :
= expression (exemple :f (x)
= 2x + 1)
Soit la fonction qui à x associe le double de ce nombre :
f : x 7→ 2x
f (3) = 2(3) = 6. On remplace x par 3. Le réel 6 est l'image de 3 par
.c
Calculons le double de 3 :
la fonction f , le réel 3 est l'antécédent du réel 6 par la fonction f .
Si on écrit :
f (x) = 18,
le réel est 18 et l'on doit chercher l'antécédent x par la fonction f .
18
2
=9
at
hs
f (x) = 18 ⇔ 2x = 18 ⇔ x =
L'antécédent est le réel 9, l'image est le réel 18.
Déterminer la valeur (l'image) du polynôme
A(x) = 5x2 −4x−7 pour les valeurs suivantes :−1; 3;
√
√
2; − 5 ;
Exemple :
m
A(−1) = 5(−1)2 − 4(−1) − 7 ⇐⇒ A(−1) = 5 + 4 − 7 = 2 ;
A(3) = 5(3)2 − 4(3) − 7 ⇐⇒ A(3) = 5x9 − 4x3 − 7 = 45 − 12 − 7 = 26 ;
√
√
√
√
√
√
A( 2) = 5( 2)2 − 4( 2) − 7 ⇐⇒ A( 2) = 5x2 − 4 2 − 7 = 3 − 4 2 ' −2, 65 ;
√
√
√
√
√
√
A(− 5) = 5(− 5)2 − 4(− 5) − 7 ⇐⇒ A(− 5) = 5x5 + 4 5 − 7 = 18 + 4 5 ' 26, 94 ;
f : x −→ 1, 196x
fo
Soit la fonction
, on peut dire soit la fonction f qui à x prix hors taxe
associe le prix ttc. La fonction f est dénie par
f (x) = 1, 196x.
Calcul du prix d'un article hors taxe de 1000¿.
in
f (1000) = 1, 196 ∗ 1000 = 1196¿.
Saïd Chermak
Le réel 1000 a remplacé la valeur x .
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19.3.
183
ENSEMBLE DE DÉFINITION D'UNE FONCTION
19.3
ENSEMBLE DE DÉFINITION D'UNE FONCTION
1° ) Soitf (x)
= 7.
Cette fonction est une fonction constante car pour n'importe quelle valeur de x le résultat (l'image de x par f ) sera toujours 7.
f (−3) = 7 ; f (1) = 7 ; f (10) = 7
2° ) soit
f (x) = x2 + 3x + 7.
C'est une fonction polynôme (elle comprend plusieurs termes appelés
om
monômes), fonction polynôme de degré 2 car le plus grand coecient de x est 2.
f (−3) = 32 +3∗3+1 = 10 ; f (−1) = (−1)2 +3(−1)+1 = −1 ; f ( 12 ) = ( 12 )2 +3( 21 )+1 =
11
;f (0)
4
=1
Existe t-il une valeur à laquelle on ne puisse pas calculer l'image de x ?
Non, dans cette fonction on peut remplacer x par n'importe quelle valeur, on trouvera toujours
une image de x par f .
.c
La fonction f est dénie pour toute valeur de x , son domaine de dénition est
des réels).
3° ) soit
R (l'ensemble
2x−1
C'est une fonction rationnelle, un rapport entre deux polynômes. Calculons
x−5
quelques images.
2∗0−1
0−5
=
−1
−5
=
at
hs
f (0) =
f (x) =
1
;
5
f (5) =
2∗5−1
5−5
=
9
.
0
Ce calcul est interdit, une division par 0 est impossible.
f (x) = 2x−1
n'est pas dénie
x−5
appartenant à R à l'exception de 5.
Dans ce cas, on dira que la fonction f dénie par x :
= 5, son domaine de dénition est toutes les valeurs
pour x
fo
m
√
f (x) = x − 2. C'est la fonction racine carrée. Calculons quelques images.
√
√
√
√
√
f (2) = 2 − 2 = 0 = 0 ; f (11) = 11 − 2 = 9 = 3 ; f (0) = 0 − 2.
√
Ce calcul est interdit, on ne peut extraire la racine 2 d'un nombre négatif. Dans ce cas, on dira
√
que la fonction f dénie par x : f (x) =
x − 2 n'est pas dénie pour x = 2. L'ensemble
de dénition d'une fonction f ou domaine de dénition d'une fonction f , noté Df est
l'ensemble des valeurs prises par x pour lesquelles f (x) est calculable ( ou est déni, ou existe).
Si la fonction s'appelle g ou h ou ... alors le domaine sera noté Dg , Dh D ... .
4° ) Soit
in
N'est pas calculable :
- la division par 0. Dans le cas d'une division nous devrons nous assurer que le dénominateur est
non nul.
- la racine carré d'un nombre négatif. Dans ce cas, on devra s'assurer que le radicande est positif
ou nul.
- le logarithme d'un nombre inférieur ou égal à 0. Pour cette opération, on devra s'assurer que le
nombre sera supérieur à 0 ( fonction étudiée dans un chapitre ultérieur).
Le domaine de dénition de f est l'ensemble des valeurs de
existe.
Df x ∈ R
tel que
Saïd Chermak
f (x)
R
prises par x tel quef (x)
existe.
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184
CHAPITRE 19.
19.4
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
ÉCRITURE DU DOMAINE DE DÉFINITION
- fonction polynôme :
f : x 7→ 3x2 − 12 x + 7 ;
Cette fonction est dénie pour toute valeur de x appartenant à l'ensemble 2 des réels.
Df = R
om
.
- fonction rationnelle :
3x−5
; Il faut que
x−2
domaine de dénition :
f : x 7→
Df = R − 2ou
bien
x − 2 6= 0 ⇔ x 6= 2 ;
Df =] − ∞; 2[∪]2; ∞[
ou
car la division par 0 est impossible. Écrivons le
Df = R\{2} (R
privé de 2).
x−5
; Il faut que le dénominateur soit 6= 0 (car la division par 0 est impossible), ce qui
x2 +7
est toujours le cas ici car un carré est toujours positif et on additionne à ce carré un chire positif.
Écrivons le domaine de dénition :Df
=R
.
f : x 7→
√
x − 3;
at
hs
- fonction racine carrée :
.c
f : x 7→
Il faut s'assurer que le radicande est positif soitx
dénition :
Df = [3; ∞[ ;
− 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3.
Écrivons le domaine de
Toutes les valeurs supérieurs ou égales à 3 conviennent, toutes seules inférieurs à 3 sont à rejeter.
f (1) =
√
n'a pas de sens, on ne peut extraire la racine carrée que d'un nombre positif.
√
√
x − 1 + 10 − x ;
m
f : x 7→
1 − 3 = −2
Il faut que simultanément les deux radicandes soient positifs.
x−1≥0⇔x≥1
10-x ≥ 0 ⇔ x ≤ 10
par conséquentDf
= [1; 10]
fo
(
√
f : x 7→
x+2
;
x2 -7x+6
Il faut que simultanément le radicande et le dénominateur soient positifs. Pour l'équation du second
in
degré il faut chercher les racines qui annulent ce polynôme.
4 = b2 − 4ac = 72 − 4(1)(6) = 49 − 24 = 25 ;
(
x1 =
x2 =
√
−b− 4
2a√
−b+ 4
2a
=
=
7−5
2x1
7+5
2x1
=
=
2
= 1;
2
12
=6
2
(
√
4 = 5;
x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2
x2 − 7x + 6 6= 0 ⇔ x 6= 1; x 6= 6
Df = [−2; 1[∪]1; 6[∪]6; ∞[
aussi écrire Df = [−2; ∞[ \
par conséquent
que l'on peut
Saïd Chermak
{1 ; 6} ou
Df = [−2; ∞[
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-{1 ; 6}
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19.5.
185
COURBE REPRÉSENTATIVE DE LA FONCTION
19.5
COURBE REPRÉSENTATIVE DE LA FONCTION
Soit un plan muni d'un repère (O, i , j ) et un point M (x, y) caractérisé par ses coordonnées, x
son abscisse et y son ordonnée. Tout point du plan est caractérisé par des coordonnées (x,
Cf représentative
y = f (x).
y). La courbe
m
at
hs
.c
om
y) tel que
d'une fonction f est l'ensemble M du plan de coordonnées (x,
Figure 19.2 graphe d'une fonction
fo
FONCTION AFFINE
Une fonction ane est une fonction
f : x 7→ ax + b ; la représentation graphique de la fonction f(x)
in
= ax + b est toujours une droite.
Soit
f : x 7→7→ x − 3
comme sa représentation graphique est toujours une droite, il sut de
déterminer 2 points pour tracer la droite. Dressons un petit tableau de valeurs pour déterminer
ces points :
x
0
3
6
f(x)
-3
0
1
Dans le plan plaçons deux de ces points et traçons la droite les reliant.
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186
CHAPITRE 19.
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
FONCTION LINÉAIRE
C'est une fonction ane à laquelle on attribue la valeur 0 au paramètre b soit donc
f (x) = ax.
f (0) = 0.
Si on dresse un tableau de valeurs pour cette fonction, on s'aperçoit que pour x = 0 alors
at
hs
.c
om
La représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
m
Figure 19.3 fonction linéaire et ane
FONCTION CARRÉE
fo
Une fonction ane est une fonctionf
: x 7→ x2
. Dressons un petit tableau de valeurs pour
déterminer ces points :
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
in
x
f(x)
Nous pouvons remarquer que pour les valeurs positives ou négatives de x ,
valeur.f (−3)
f (x)
prend la même
= f (3) = 9.
On dit que cette fonction est paire , sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe
des ordonnées.
Dans le plan, plaçons tous les points correspondants aux abscisses
x = 1, x = 2, x = 3, ...
et par
symétrie d'axe y'Oy plaçons les points d'abscisses x = -1 , x = -2, x = -3, ... et traçons la courbe
joignant tous ces points.
C'est la représentation graphique de
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f (x) = x2
, on l'appelle une parabole.
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19.5.
187
COURBE REPRÉSENTATIVE DE LA FONCTION
opposé
−x ∈ Df
,
f (−x) = f (x)
la fonction est paire de symétrie d'axe y'Oy.
at
hs
.c
om
x ∈ Df son
in
fo
m
Figure 19.4 fonction carrée
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188
19.6
CHAPITRE 19.
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
SENS DE VARIATION D'UNE FONCTION
Supposons que la fonction f est dénie sur un intervalle I , et soient deux réels a et b
∈
I, b
∈
I .
at
hs
.c
om
éléments de I ; a
Figure 19.5 sens de variation d'une fonction croissante
sur la gure ci dessus on s'aperçoit que lorsque x croit, f(x) croit. Si a < b si f(a) < f(b) dans ce
in
fo
m
cas la fonction est strictement croissante.
Figure 19.6 sens de variation d'une fonction décroissante
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19.7.
189
TABLEAU DE VARIATION D'UNE FONCTION
Sur la gure ci dessus on s'aperçoit que lorsque x croit, f(x) décroit. Si a f(b) dans
ce cas la fonction est strictement décroissante. Pour connaître le sens de variation nous pouvons
calculer le taux de variation d'une fonction sur un intervalle I par la formule :
(x0 )
4y
= f (x)−f
4x
x−x0
Ici le symbole
4
signie variation.
om
Si sur l'intervalle le taux est positif alors : la fonction est croissante,
si ce taux est négatif alors la fonction est décroissante sur cet intervalle.
Par la suite on déterminera le sens de variation d'une fonction grâce au calcul sur les dérivées.
TABLEAU DE VARIATION D'UNE FONCTION
f : x 7→ x4 − 2x2 − 4
Figure 19.7 y = x4 − 2x2 − 4
in
fo
m
at
hs
Soit la fonction
.c
19.7
Sur l'intervalle -2 ; -1 la fonction décroit, puis croit sur l'intervalle -1 ; 0 puis décroit de nouveau
sur l'intervalle 0 ; 1 puis croit à nouveau sur l'intervalle 1 ; 3. Voici le tableau de variations :
Figure 19.8 Tableau de variation fonction y = x4 − 2x2 − 4
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190
CHAPITRE 19.
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
Quand la fonction est croissante puis décroissante elle passe par un maximum relatif, quand la
fonction décroit puis croit elle passe par un minimum relatif, on dit aussi qu'elle passe par un
extremum. Le pluriel de maximum est maxima, celui de minimum est minima et celui de extremum
est extrema.
Quand on dispose du graphique de la fonction, par lecture on peut en tirer des renseignements, par
des antécédents.
Exemple 1 :f (x)
= 3, 5.
On trace la droite d'équationy
= 3, 5
om
exemple chercher pour quelles valeurs de x la fonction prend une certaine valeur, c'est la recherche
donc parallèle à l'axe des x , les abscisses des points
d'intersections de cette droite avec le graphe de la fonction sont les solutions (valeurs) de x Exemple 2 :f (x)
= 2.
On trace la droite d'équation
.c
recherchées. Soit S les solutions S = { -0,54 ; 0,54 ; 1,3 }
y = 2, donc parallèle à l'axe des x . Comme cette droite n'a aucun
Exemple 3 :
at
hs
point commun avec le graphe de la fonction, il n' y a aucune solution. S = { Ø }
f (x) > 3, 5
Cette inéquation revient à chercher les abscisses des points de la courbe situés au dessus de 3,5.
Graphiquement il sut de noter les abscisses de l'intervalle des points de la courbe situés au dessus
de 3,5.
in
fo
m
S =] − 0, 54; 0, 54[∪]1, 3; 1, 6]
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19.8.
191
EXEMPLES D'ÉTUDE DU SIGNE D'UNE FONCTION
19.8
EXEMPLES D'ÉTUDE DU SIGNE D'UNE FONCTION
soit la fonction :
f (x) = (x − 3)(x2 + 7)
Ici la fonction est un produit de facteurs, il faut étudier séparément le produit de chaque facteur.
Dans un premier abord nous allons donner diérentes valeurs à x pour visualiser le comportement
soit
x=2
alors
f (x) = (x − 3)(x2 + 7)
om
de cette fonction.
devient
f (2) = (2 − 3)(22 + 7) = (−1)(11) = −11
devient
f (3) = (3 − 3)(32 + 7) = (0)(16) = 0
devient
f (8) = (8 − 3)(82 + 7) = (5)(71) = 355
donc f < 0 , f est négative
soit
x=3
alors
f (x) = (x − 3)(x2 + 7)
soit
x=8
alors
f (x) = (x − 3)(x2 + 7)
at
hs
donc f > 0 , f est positive
.c
donc f = 0 , f est nulle
GÉNÉRALISATION
Il faut étudier séparément le produit de chaque facteur et appliquer la règle des signes.
Reprenons la fonction :
(x − 3)
Le premier facteur
Le deuxième facteur
- soit
(x2 + 7)
x ≥ 0.
x = −3
x = 3,
s'annule pour
comporte un second degré en x. Le carré d'un nombre est toujours
x2 = (−3)2 ⇒ x2 = 9,
alors
2
positif pour x > 3 et négatif pour x < 3.
On peut donner n'importe quelle valeur à x, ce résultat est toujours vrai.
m
positif ou nul,
f (x) = (x − 3)(x2 + 7)
2
2
x=0
alors
x = (0) ⇒ x = 0,
- soit
x=7
alors
x2 = (7)2 ⇒ x2 = 49,
fo
- soit
nombre positif,
nombre nul,
x>0
x=0
nombre positif,
x>0
(x2 + 7) ≥ 0 + 7
soit
(x2 + 7) ≥ 7
. Le
in
Rajoutons 7 aux résultats déjà obtenu. Il est évident que
2
nombre (x + 7) est donc positif.
Soit le produit ab, avec b positif, le résultat de ce produit est positif si a est positif et par conséquent
le résultat de ce produit est négatif si a est négatif.
RÉDACTION
La fonction
f (x)
f (x)
est du signe de
est positive,f (x)
> 0,
(x − 3)
si et seulement
f (x) ≥ 0 ⇔ (x − 3) ≥ 0 ⇔ x ≥ 3.
Saïd Chermak
(x2 + 7) est toujours strictement positif. La fonction
si (ssi) (x − 3) est positif, (x − 3) > 0 que l'on écrit :
car
Voici son tableau de signes :
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192
CHAPITRE 19.
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
Figure 19.9 Tableau de variation fonction :f (x) = (x − 3)(x2 + 7)
Soit la fonction
om
Exemple 2
f (x) = (1 − x)(−x2 − 2).
Elle comprend deux termes, le premier du premier degré, le second terme est du deuxième degré.
Le premier terme ne présente pas de dicultés. Le deuxième terme comprend le signe moins devant
(−x2 − 2) = −(x2 + 2)
2
or (x + 2) est toujours
positif donc−(x
+ 2)
2
est toujours négatif donc(−x
− 2) < 0.
Voici son
at
hs
tableau de signes :
2
.c
le carré. Nous pouvons écrire :
Figure 19.10 Tableau de signes fonction : f (x) = (1 − x)(−x2 − 2
m
Nous pouvons aussi raisonner sans le tableau de signes.
= (1−x)(−x2 −2) peut s'écrire f (x) = (1−x)[−(x2 +2)] = f (x) = −(1−x)(x2 +2)
2
2
La fonction f (x) = (1 − x)(−x − 2) est du signe de−(1 − x) car (x + 2) est toujours strictement
2
positif (x + 2) > 0.
La fonction f (x) est positive,f (x) ≥ 0, si et seulement si (ssi)−(1 − x) est positif, −(1 − x) ≥ 0
fo
La fonctionf (x)
que l'on écrit :
in
f (x) ≥ 0 ⇔ −(1 − x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
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19.9.
193
RÉSUMÉ
19.9
RÉSUMÉ
Dénition d'une courbe représentative :
On appelle courbe représentative de la fonction
appartenant au domaine de dénition de
f
f
l'ensemble des points
avec x .
om
Propriété
Un point
M (x; f (x))
A(xa ; ya ) appartient à la courbe représentative de la fonction f
ya
f (xa ) =
.c
Propriété
si et seulement si
Toute courbe ne représente pas une fonction . Seules les courbes ayant avec toutes les droites
verticales une unique intersection représentent des fonctions .
at
hs
Dénition algébrique d'un extremum
On dit que la fonction
f
dénie sur I un intervalle admet un maximum en a élément de I si et
seulement si pour tout x de I :
On dit que la fonction
f
f (x) < f (a)
dénie sur I un intervalle admet un minimum en a élément de I si et
seulement si pour tout x de I :
f (x) > f (a)
m
Conséquence graphique d'un extremum
f
Si la fonction f
admet un maximum en a , alors sa courbe a un sommet en a .
admet un minimum en a , alors sa courbe a un creux en a fo
Si la fonction
Dénition algébrique des variations
On dit qu'une fonction
f
dénie sur un intervalle I est croissante sur cet intervalle si et seulement
in
si pour tout x et y de I tels que
On dit qu'une fonction
f
x<y
on a alors
f (x) < f (y)
dénie sur un intervalle I est décroissante sur cet intervalle si et seulement
si pour tout x et y de I tels que
x<y
on a alors
f (x) > f (y).
Conséquence graphique des variations
La courbe d'une fonction croissante monte.
La courbe d'une fonction décroissante descend.
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194
GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 19.
Saïd Chermak
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om
Chapitre 20
.c
FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
20.1
(
f
FONCTIONS AFFINES
R→R
x 7→ ax + b
a et b sont deux nombres donnés non (a non nul).
m
Df = R
a>0
in
fo
1er cas :
at
hs
Nous allons résumer les propriétés de quelques fonctions de référence
f
x
f (x)
1
+
0
Figure 20.1 Tableau fonction ane croissante
est strictement croissante sur
Saïd Chermak
b
a
1
R
195
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196
FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
om
CHAPITRE 20.
a<0
at
hs
2ème cas :
.c
Figure 20.2 fonction ane y = 3x − 2
1
x
f (x)
b
a
1
+
0
Figure 20.3 Tableau fonction ane décroissante
est strictement décroissante sur
R
m
f
in
fo
Représentation graphique
Figure 20.4 graphe de la fonction y = − 23 x + 73
Saïd Chermak
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20.2.
197
FONCTION CARRÉE
20.2
FONCTION CARRÉE
Propriétés
(
f
R→R
x 7→ x2
om
Df = R
f est paire (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées y'y, dans un repère orthonormé)
f
est strictement décroissante sur
] − ∞; 0]
x
1
x2
et
f
est strictement croissante sur
0
+1
.c
0
[0; +∞[
at
hs
Figure 20.5 Tableau variation y = x2
in
fo
m
La courbe représentative est une parabole.
Saïd Chermak
Figure 20.6 Graphe fonction y = x2
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198
20.3
CHAPITRE 20.
FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
FONCTION CUBE
Propriétés
(
f
R→R
x 7→ x3
f est impaire
est strictement croissante sur
[0; +∞[
x
x3
1
0
0
+1
.c
f
om
Df = R
at
hs
Figure 20.7 Tableau variation fonction cube
in
fo
m
Le point 0 origine est centre de symétrie du graphe
Saïd Chermak
Figure 20.8 graphe fonction y = x3
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20.4.
199
FONCTION RACINE CARRÉE
20.4
FONCTION RACINE CARRÉE
Propriétés
(
f
R+ → R
√
x 7→ x
est strictement croissante sur
[0; +∞[
x
px
+1
+1
0
0
.c
f
om
Df = R+ = [0; +∞[
√
at
hs
Figure 20.9 Tableau variation y =
x
in
fo
m
Le point 0 origine est centre de symétrie du graphe
Saïd Chermak
Figure 20.10 graphe de la fonction racine carrée
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200
20.5
CHAPITRE 20.
FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
FONCTION INVERSE
Propriétés
(
f
R∗ → R
x 7→ x1
est impaire
est strictement décroissante sur
] − ∞; 0[∪]0; +∞[
1
0
x
1
0
+1
+1
.c
f
f
om
Df = R∗ =] − ∞; 0[∪]0; +∞[
x
1
at
hs
0
Figure 20.11:
Tableau de variation
y=
1
x
La courbe représentative est une hyperbole.
in
fo
m
Le point 0 , l'origine est centre de symétrie du graphe.
Saïd Chermak
Figure 20.12 graphe de la fonction y = x1
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20.6.
201
FONCTION VALEUR ABSOLUE
20.6
FONCTION VALEUR ABSOLUE
Propriétés
(
f
R→R
x 7→ |x|
est paire
est strictement décroissante sur
] − ∞; 0]
x
jxj
1
1
et
f
est strictement croissante sur
0
[0; +∞[
+1
+1
.c
f
f
om
Df = R=] − ∞; +∞[
0
at
hs
Figure 20.13 Tableau de variation fonction |x|
in
fo
m
L'axe des ordonnées est axe de symétrie du graphe( repère orthonormé).
Saïd Chermak
Figure 20.14 graphe de la fonction y = |x|
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202
FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 20.
Saïd Chermak
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om
Chapitre 21
TANGENTE A UNE COURBE
Rappel :nous avons vu les notions de coecient directeur au chapitre 13 Fonction Linéaire et au
at
hs
.c
chapitre 14 Fonctions Anes.
La droite
D
D
a alors pour équation
y = −3x
et on dit que -3 est le coecient directeur de la
ou pente de la droite représentative de la fonction. Il indique
fo
droite
m
Figure 21.1 coecient directeur négatif
21.1
l'inclinaison
de la droite.
INTERPRÉTATION DU COEFFICIENT DIRECTEUR
in
D'UNE DROITE
Donner le sens de variation d'une fonction linéaire
La variation d'une fonction linéaire

a > 0 : f est croissante

a < 0 : f est décroissante
f
dénie par
Cas où le coecient directeur est positif :
On considère la fonction
Saïd Chermak
f
dénie par :
f (x) = ax
dépend du signe du coecient a :
a>0
f : x 7→ 2x
203
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204
CHAPITRE 21.
TANGENTE A UNE COURBE
f
La droite (d) est la représentation graphique de la fonction
Le coecient directeur de la droite (d) est : 2
Soit
A
un point quelconque de la droite (d). Si on augmente de 1 son abscisse et si on augmente
de 2 son ordonnée, on obtient les coordonnées d'un nouveau point
B
de la droite. Ici la fonction
at
hs
.c
om
est croissante
Figure 21.2 coecient directeur positif
m
Nous pouvons dresser le tableau suivant :
1
x
1
+
fo
f (x)
in
Figure 21.3 Tableau de variation fonction ane croissante
Cas où le coecient directeur est négatif :
On considère la fonction
f
dénie par :
a<0
g : x 7→ −2, 5x
Le coecient directeur de la droite D est : -2,5
Soit
C
un point quelconque de la droite D. Si on augmente de 1 son abscisse et si on diminue de
2,5 son ordonnée, on obtient les coordonnées d'un nouveau point
D
de la droite. Ici la fonction est
décroissante.
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INTERPRÉTATION DU COEFFICIENT DIRECTEUR D'UNE DROITE
205
om
21.1.
Nous pouvons dresser le tableau suivant :
.c
Figure 21.4 coecient directeur négatif
1
at
hs
1
x
+
f (x)
Figure 21.5 Tableau de variation fonction ane décroissante
m
Précédemment au chapitre 14 nous avions vu la représentation graphique de la fonction ane
x 7→ ax + b
qui est la droite d'équation
y = ax + b.
a est le coecient directeur de la droite,
in
fo
b est l'ordonnée à l'origine.
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206
CHAPITRE 21.
TANGENTE A UNE COURBE
Exemple :
représentation graphique de la fonction
représentation graphique de la fonction
représentation graphique de la fonction
at
hs
.c
om
représentation graphique de la fonction
f (x) = 2x + 6 . (en vert sur le dessin)
g(x) = −x + 3 (en rouge sur le dessin)
h(x) = x (en bleu sur le dessin)
y = 5 (en violet sur le dessin)
Figure 21.6 diérents coecients directeurs
Solutions graphiques
Cherchons graphiquement le coecient directeur de diérentes droites
y = ax + b
m
de la forme
Coefficient directeur a =
y = 2x − 1
in
fo
Coecient directeur de la droite
différence des ordonnées
différence des abscisses
Figure 21.7 Coecient directeur a=2
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INTERPRÉTATION DU COEFFICIENT DIRECTEUR D'UNE DROITE
Coecient directeur de la droite
207
y = −2x + 3
om
21.1.
Figure 21.8 Coecient directeur a = −2
y = 0, 5x − 2
at
hs
.c
Coecient directeur de la droite
Figure 21.9 Coecient directeur a = 0, 5
y = −1/3x + 2
in
fo
m
Coecient directeur de la droite
Saïd Chermak
Figure 21.10 Coecient directeur a = − 13
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208
21.2
CHAPITRE 21.
TANGENTE A UNE COURBE
CALCUL DE LA TANGENTE
y = 2x2 − 6x + 1
at
hs
.c
om
Représentons le graphe de la fonction
no
Figure 21.11 notion de tangente
A(x0 ; y0 ) ; Soit la droite D d'équation y = ax + b ; au
y0 = ax0 + b on obtient le système de deux équations :
m
Soit un point A de coordonnées
l'équation de la droite D s'écrit :
⇔ y -y0 = ax-ax0 + b-b
soit
y − y0 = a(x − x0 )
fo
(
y = ax + b
y0 = ax0 + b
point A
Ce résultat est l'équation d'une droite de coecient directeur a et passant par le point
A(x0 ; y0 ).
in
Le coecient directeur est :
a=
Soit le graphe ci-dessus, La courbe
y -y0
f (x)-f (x0 )
=
x-x0
x-x0
Cf = 2x2 − 6x + 1 et la droite D d'équation y = −x − 1 passant
par les points A et C.
-f (x0 )
y -y0
= f (x)
. Quand la droite D pivote
x− x0
x−x0
sur le point A(2 ;-3), le point C(0,5 ;-1,5) se rapproche du point A, l'abscisse x du point C se
Le coecient directeur (pente) de la droite AC est
rapproche de l'abscisse
x0
a=
du point A, la droite AC qui était sécante à la courbe
position limite qui devient une droite tangente à la courbe
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Cf
Cf
prend une
au point A .
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21.2.
209
CALCUL DE LA TANGENTE
La pente de la tangente à la courbe au point A est la limite du rapport
tend vers
x0 . 1
f (x)-f (x0 )
, lorsque x x-x0
Cf au point A(x0 ; y0 ).
y (x0 ) . Ceci s'écrit :
Ce rapport est le coecient directeur de la tangente T à la courbe
f (x0 )
et s'écrit
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
(se lit f prime de
x0
est égal à la limite quand
x
f (x0 )
ou
0
f (x) − f (x0 )
x-x0
tend vers
om
Cette limite s'appelle nombre dérivé de
0
xo
du rapport
f (x) − f (x0 )
sur
x − x0 )
Il faut que cette limite existe et et fournit une valeur bien déterminée c'est à dire que f '(x) soit un
nombre diérent de
Le nombre
f 0 (x)
±∞.
étant la pente de la tangente, on en déduit l'équation de la Tangente T :
Faisons varier la fonction
f
en donnant une variation h à
Calculons le nombre dérivé :
f 0 (x0 ) = limh→0
f (x0 +h)−f (x0 )
que nous pouvons aussi écrire :
(x0 +h)-x0
f 0 (x0 ) = limh→0
f (x0 +h)−f (x0 )
(II)
h
Exemples :
x0 ;
la fonction varie de :
f (x0 + h) −
at
hs
f (x0 ).
.c
(x0 )
(x0 )
f 0 (x0 ) = limx→x0 f (x)−f
= y−f
⇔ y − f (x0 ) = f 0 (x0 ) (x − x0 )
x-x0
x−x0
y = f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) . (I)
m
déterminer les nombres dérivés en un point
x0
des fonctions suivantes :
Exemple 1 :
f (x) = 6x
fo
soit la fonction linéaire
f (x0 +h)−f (x0 )
h
. Appliquons la formule ci dessus
6h
=6
h→0 h
f 0 (x) = lim
Exemple 2 :
in
soit la fonction ane
f (x0 +h)−f (x0 )
h
f (x) = 7x − 3
. Appliquons la formule ci dessus
7h
=7
h→0 h
f 0 (x) = lim
Exemple 3 :
2
soit la fonction carrée : f (x) = x
(x0 +h)2 −x20
x20 +2x0 h+h2 −x20
f (x0 +h)−f (x0 )
=
=
h
h
h
=
2x0 h+h2
h
1. est très très proche de x0 : la diérence entre x − x0 est presque nulle, elle tend vers 0
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210
=
CHAPITRE 21.
TANGENTE A UNE COURBE
h(2x0 +h)
h
h(2x0 + h)
= 2x0
h→0
h
f 0 (x0 ) = lim
Exemple 4 :
f (x0 +h)−f (x0 )
h
=
f (x) = 2x2 − 6x + 1
om
soit la fonction trinôme du second degré :
2(x0 +h)2 −6(x0 +h)+1−(x20 −6x0 +1)
h
=
2x20 +4x0 h+2h2 −6x0 −6h+1−2x20 −+x0 −1)
h
=
2h2 +4x0 h−6h
h
h(2h+4x0 −6)
h
==
= 4x0 − 6 + 2h
.c
f 0 (x0 ) = lim 4x0 − 6 + 2h = 4x0 − 6
h→0
x0 = 1. Pour ce faire
= 4(1) − 6 = −2.
remplaçons
x0
par 1 dans
f 0 (x0 ) = 4x0 − 6
:
at
hs
Calculons f ' pour
0
on obtient : f (1)
Ce coecient est négatif, à cet endroit la courbe est décroissante.
Exemple 5 : soit la fonction inverse
f (x0 +h)−f (x0 )
h
=
x0 −x0 −h
(x0+h )x0
h
=
=
1
− x1
x0+h
0
h
−h
hx0 (x0 +h)
=
=
f (x) =
1
x
1(x +h)
1(x0 )
− x (x0 +h)
(x0+h )x0
0 0
h
−1
x0 (x0 +h)
−1
−1
= 2
h→0 x0 (x0 + h)
x0
m
f (x) = lim
Exemple 6 : à titre d'exemple, cherchons l'équation de la tangente de la fonction
: (voir paragraphe : 21.2 page 208)
fo
6x + 1
f (x) = 2x2 −
x0 = 2
par application de la formule :
y = f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) .
in
Au point A d'abscisse :
x0 = 2 : f 0 (2) = 4(2) − 6 = 8 − 6 = 2
2
Calculons f au point x0 = 2 : f (2) = 2(2) − 6(2) + 1 = 8 − 12 + 1 = −3
0
équation de la tangente T : y = f (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) = 2(x − 2) − 3 = 2x − 4 − 3 = 2x − 7
Calculons
f0
au point
revoir l'exercice sur l'équation des droites anes
Au point d'abscisse 1 (exemple 4 ci ci-dessus)
0
Calculons
au point x0 = 1 : f (1) = −2
2
Calculons
au point x0 = 1 : f (1) = 2(1) − 6(1)
0
équation de la tangente T : y = f (x0 ) (x − x0 )+f
f'
f
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+ 1 = 2 − 6 + 1 = −3
(x0 ) = −2(x−1)−3 = −2x+2−3 = −2x−1
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21.2.
211
CALCUL DE LA TANGENTE
Exemple 7 :
f (x) 7→ x2 − 3x
Déterminer le coecient directeur de la tangente T à la courbe
f 0 (x) = 2x − 3 ;
Cf
au point d'abscisse
x0 = 1.
Calculons la dérivée
f (1) = 2(1) − 3 = −1
Équation de la tangente à la courbeCf au point d'abscisse x0 .
y − y0 = a(x − x0 ) ; y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) ⇔ y = f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
at
hs
.c
om
Le coecient directeur en 1 est
Figure 21.12 Tangente à la courbe f (x) = x2 − 3x
Exemple 8 :
f : x 7→ x3 − 2x + 7
in
fo
m
Cherchons l'équation T de la tangente au pointx0 = 4 ;
y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) ⇔ y − f (4) = f (4)(x − 4)
f 0 (x) = 3x2 − 2 ; f 0 (4) = 3(4)2 − 2 = 46
f 0 (4) = 64 − 8 + 7 = 63
y − 63 = 46(x − 4) ⇔ y = 46x − 121
Figure 21.13 Tangente à la courbe f (x) = x3 − 2x + 7
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212
CHAPITRE 21.
Cf
et 3 droites tangentes à cette courbe
at
hs
.c
om
Soit une courbe
TANGENTE A UNE COURBE
m
Figure 21.14 Trois tangentes
Sur un même graphe nous pouvons avoir plusieurs tangentes tracées.
x = −1 coecient directeur de la droite bleue : 0 d'équation y = −0, 5 ;
Une tangente au point x = −2 coecient directeur de la droite verte : -1 d'équation y = −x − 1, 5 ;
Une tangente au point x = +2 coecient directeur de la droite rouge : 0 d'équation y = 3 ;
in
fo
Une tangente au point
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21.2.
213
CALCUL DE LA TANGENTE
INTERPRÉTATION DU NOMBRE DÉRIVÉ
à la courbe
Cf
d'équation
y = f (x)
Le coecient directeur de la tangente T
0
au point M d'abscisse x0 est égal à f (x0 ). Avec une tangente
at
hs
.c
om
horizontale on aura un maximum relatif ou minimum relatif, son coecient directeur est égal à 0.
Figure 21.15 interprétation du nombre dérivé
sur le graphe on lit :
m
f (2) = 3 ; f 0 (2) = 0 ;
f (−1) = 0, 5 ; f 0 (−1) = 0 ;
f (−2) = 0 ; f 0 (−2) = −1 ;
Les tangentes permettent de tracer la courbe
f (x) = 3x2 − x + 1
de manière plus précise.
au point
x0 = −1 ;
fo
Calculer la tangente T à
Cf
in
y − y0 = a(x − x0 ) ; y − f (x0) = f 0 (x0 )(x − x0 ) ⇔ y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 )
0
T : y − f (−1) = f (−1)(x − (−1)) ;
f 0 (x) = 6x − 1 ; f 0 (−1) = −6 − 1 = −7 ; f (−1) = 3 + 1 + 1 = 5
y − 5 = −7(x+) ⇔ y − 5 = −7x − 7 ⇔ y = −7x − 2
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214
CHAPITRE 21.
Exercice g(x) =
TANGENTE A UNE COURBE
4x2 −36x
x−12
4x2 −36x
et étudiez le sens de variations de la fonction sur l'intervalle
(x−1)2
0
0)
2
4x −36x
u
est de la forme
⇒ g 0 (x) = (u v−uv
;
x−12
v
v2
2
0
Démontrer que
g 0 (x) =
[0; 10].
g(x) =
u(x) = 4x − 36x ⇒ u (x) = 8x − 36
v(x) = x − 12 ⇒ v 0 (x) = 1
(8x−36)(x−12)−1(4x2 −36x)
(x−12)2
=
g 0 (x) =
4(2x2 −36x+108−x2 +9x)
(x−12)2
4(x2 −24x+108)
(x−12)2
=
4[(2x−9)(x−12)−(x2 −9x)
(x−12)2
om
g 0 (x) =
Étudions le trinôme du second degré :
x1 =
x2 =
√
−b− 4
2a
√
−b+ 4
2a
=
=
24−12
2
24+12
2
√
4 = 12
.c
4 = b2 − 4ac = 242 − 4(1)(108) = 144;
=6
= 18
g 0 (x)
at
hs
2
est donc négatif entre les racines car du signe de (−a). Sur l'intervalle [0; 10] (x − 2) est
0
positif, donc g (x) dépend du signe du monôme−(x−6) car le monôme (x−18) est toujours négatif.
g 0 (x) ≥ 0 ssi −(x − 6) ≥ 0 ⇔ x − 6 ≤ 0 ⇔ x ≤ 6
g 0 (x) ≤ 0 ⇔ x ≥ 6
m
Dressons le tableau de variations.
−36x
Figure 21.16 Tableau de variation de g(x) = 4xx−12
fo
2
FONCTION DÉRIVÉE
in
21.3
Soit une fonction
f
dénie sur tout un ensemble
réel x de cet ensemble
I,
I
donc calculable sur cet intervalle. Si pour tout
f 0 (x) alors on dit que la fonction est
f
il existe un nombre dérivé
dérivable sur cet intervalle.
La dérivée d'une fonction
f
est une fonction qui, à tout nombre pour lequel
f
admet un nombre
dérivé, associe ce nombre dérivé.
La fonction
f : x 7→ f 0 (x)
f
s'appelle la fonction dérivée de .
Le calcul des fonctions dérivées fait l'objet d'un chapitre particulier.
Saïd Chermak
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om
Chapter 22
DÉRIVÉES
PRÉSENTATION
.c
22.1
INTRODUCTION
at
hs
Les physiciens, les économistes ... s'intéressent aux variations d'une fonction en réponse à diérentes
valeurs prises par la variable indépendante
22.2
x
sur un intervalle donné.
RAPPEL
Le calcul dérivé est un outil qui nous permet donc de calculer un taux de variation pour une
variation innitésimale de la variable
La variation de
est très faible, notons
m
de 0.
x
x.
4x
cette variation quand cette variation de
x
est proche
Si ce taux de variation est positif sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle.
Si ce taux de variation est négatif sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle.
f
fo
Le taux de variation d'une fonction
Taux
f (b)−f (a)
b−a
étant une très faible variation de
Taux
=
x,
[a; b]
est égal à :
f 0.
le taux s'écrit :
f (x+4x)−f (x)
4x
in
4x
=
sur un intervalle
Exemple : Soit la fonction
f (x) = x2
étudiée sur l'intervalle
[1; 3].
f (b)−f (a)
;
b−a
=
f (b) → f (3) = 3 = 9 ; f (a) → f (1) = 12 = 1 ; (b − a) → 3 − 1 = 2
9−1
= 82 = 4
Taux =
2
Calculons le taux de variations : Taux
2
Saïd Chermak
215
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216
CHAPTER 22.
f
Regardons comment se comporte une fonction
x 7→ f (x) ; faisons
l'on note 4x → 0.
Soit :
Taux
=
x
avec
4x
proche de zéro
f (x+4x)−f (x)
(x)
= f (x+4x)−f
x+4x−x
4x
Nombre dérivé en x0 .
une fonction dénie sur un intervalle contenant
Dans la formule
f (x+4x)−f (x)
remplaçons
4x
f (x0 +h)−f (x0 )
admet une limite lorsque
h
h
x
par
x0
et
x0 .
4x
par
h,
on dit que
f
est dérivable en
x0
.c
f
varie.
x + 4x (x → x + 4x)
à
DÉFINITION D'UN NOMBRE DÉRIVÉ
Soit
x
om
que
varier x qui passe de
lorsque la variable
DÉRIVÉES
tend vers 0.
Cette limite est appelée nombre dérivé de
f
en
x0 .
Il est noté
f 0 (x0 ).
On a donc :
at
hs
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
h
f 0 (x0 ) = lim
Exemples : déterminer les nombres dérivés en
f (x) = 7x − 3
x0
des fonctions suivantes
. Appliquons la formule ci ci-dessus
7h
=7
h→0 h
f 0 (x) = lim
f (x) = x2
f (x0 +h)−f (x0 )
h
= h(2xh0 +h)
=
(x0 +h)2 −x20
h
=
x20 +2x0 h+h2 −x20
h
=
2x0 h+h2
h
h(2x0 + h)
= 2x0
h→0
h
f 0 (x0 ) = lim
in
fo
m
f (x0 + h) − f (x0 )
[7(x0 + h) − 3] − (7x0 − 3)
7x0 + 7h − 3 − 7x0 + 3
7h
=
=
=
h
h
h
h
Saïd Chermak
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si
22.3.
217
FONCTION DÉRIVÉE
INTERPRÉTATION GRAPHIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ
Le nombre dérivé
f 0 (x0 )
f
s'il existe, est le coecient directeur de la tangente à la courbe représen-
au point
M (x0 ; f (x0 ))
at
hs
.c
om
tative de la fonction
Figure 22.1 Taux d'accroissement
m
Coefficient directeur a =
x0 )
de ce rapport est égal au nombre dérivé :
fo
La limite (quand x tend vers
différence des ordonnées
f (x) − f (x0 )
=
différence des abscisses
x − x0
f 0 (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
On en déduit l'équation de la Tangente T :
in
y − f (x0 ) = f 0 (x0 ) (x − x0 ).
22.3
FONCTION DÉRIVÉE
La fonction dérivée de la fonction
la fonction
0
f (x)étant
0
f
est :
0
f : x 7→ f (x)
x0 par x.
f sera f 0 (x).
le nombre dérivé obtenu en remplaçant
Le nombre dérivé en
Saïd Chermak
x0 : f 0 (x0 ),
la dérivée de
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218
CHAPTER 22.
DÉRIVÉES
TABLEAU DES DÉRIVÉES USUELLES
f =u+v
f =k∗u
f =u∗v
f = u2
f = un
f = v1
f = uv
f = ln(u)
f = eu
f 0 = u0 + v 0
f 0 = k ∗ u0
f 0 = u0 v + v 0 u
f 0 = 2u ∗ u0
f 0 = nun−1 ∗ u0
0
f 0 = − vv2
0
0u
f 0 = u v−v
v 20
f 0 = uu
f 0 = u0 ∗ eu
om
f 0 (x) = 0
f 0 (x) = a
f 0 (x) = 2x
f 0 (x) = 3x2
f 0 (x) = nxn−1
f 0 (x) = − x12
f 0 (x) = x1
f 0 (x) = ex
f (x) = b
f (x) = ax + b
f (x) = x2
f (x) = x3
f (x) = xn
f (x) = x1
f (x) = ln (x)
f (x) = ex
.c
Table 22.1 dérivées usuelles
at
hs
Exemples :
f (x) = 3 → f 0 (x) = 0 ; f (x) =
f (x) = x → f 0 (x) = 1 ;
f (x) = x2 → f 0 (x) = 2x
f (x) = x5 → f 0 (x) = 5x5−1 = 5x4
f (x) = x10 → f 0 (x) = 10x10−1 = 10x9
f (x) =
f (x) = ln x → f 0 (x) =
f (x) = ex → f 0 (x) = ex .
→ f 0 (x) = 0 ; f (x) =
π
7
→ f 0 (x) = 0 ; f (x) = ln 7 → f 0 (x) = 0
→ f 0 (x) = − x12
m
1
x
1
2
1
. La fonction ln (logarithme népérien sera étudiée ultérieurement.
x
ex
fo
La fonction
(fonction exponentielle sera étudiée ultérieurement.
f (x) = x2 + x + 7 → f 0 (x) = 2x + 1 + 0 = 2x + 1
f (x) = 7x3 → f 0 (x) = 7 ∗ (3x2 ) = 21x2
in
f (x) = 8 ln x + 7x + 5 → f 0 (x) = 8 ∗
f (x) = (3x + 7) ∗ ln x
de la forme
1
x
de la forme
de la forme
f = k ∗ u.
+7∗1+0=
8
x
f =u+v
Ici
k=7
+7
f = uv → f 0 = u0 v + v 0 u
Posons :
u(x) = 3x + 7 → u0 (x) = 3
v(x) = ln(x) → v 0 (x) =
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1
x
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22.3.
219
FONCTION DÉRIVÉE
donc
f 0 (x) = u0 v + v 0 u = 3 ∗ ln(x) + x1 (3x + 7)
f (x) = u2 (x) = u(x) ∗ u(x) = u0 (x) ∗ u(x) + u0 (x) ∗ u(x) = 2u0 (x)u(x)
f (x) = u3 → f 0 (x) = 3u2 u0
f (x) = u5 → f 0 (x) = 5u4 u0
f (x) = (x2 + 3x + 1)2
Posons
de la forme
f = u2
u(x) = x2 + 3x + 1 → u0 (x) = 2x + 3
f (x) = (ln x)2
Posons :
f (x) =
de la forme
u(x) = ln x → u0 (x) =
1
de la forme
3x+7
Posons :
3x+1
de la forme
2x−8
Posons :
f=
1
v
f 0 (x) = 2 ∗ ln x ∗
1
x
=
2 ln x
x
0
→ f 0 = − vv2
f=
u
v
→ f0 =
u0 v+v 0 u
v2
u(x) = 3x + 1 → u0 (x) = 3
m
f (x) =
1
donc
x
v(x) = 3x + 7 → v 0 (x) = 3
3
f 0 (x) = − (3x+7)
2
f = u2
at
hs
.c
f = u2 → f 0 = 2uu0 → f 0 (x) = 2(x2 + 3x + 1)(2x + 3)
om
v(x) = 2x − 8 → v 0 (x) = 2
3(2x−8)−2(3x+1)
(2x−8)2
=
6x−24−6x−2
(2x−8)2
=
−26
(2x−8)2
fo
f 0 (x) =
in
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220
CHAPTER 22.
22.4
DÉRIVÉES
EXERCICES SUR LES DÉRIVÉES
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
EXERCICE 1
2.
3.
4.
5.
f (x) = x2 + x − 8 →f 0 (x) = 2x + 1
f (x) = −5x2 →f 0 (x) = −5 ∗ 2x = −10x
f (x) = x3 + 2x − 6 → f 0 (x) = 3 ∗ −1
+ 2 = ce −3
+2
x2
x2
+7
f (x) = −2 ln(x) + 7x − 1 → f 0 (x) = −2 ∗ x1 + 7 = −2
x
2 x
2 x
0
f (x) = − 3 e − x + 9 → f (x) = − 3 e − 1
om
1.
1.
.c
EXERCICE 2
0
f (x) = ln(x2 + 5) de la formef = ln u → f 0 (x) = uu
2
0
0
Posons : u(x) = x + 5 → u (x) = 2x donc f (x) =
2x
x2 +5
f (x) = −5e(2x+3) de la forme f = −5e(u) → f 0 (x) = −5u0 e(u)
0
0
(2x+3)
Posons : u(x) = 2x + 3 → u (x) = 2 donc f (x) = −5 ∗ 2e
= −10e(2x+3)
3.
5
1
de la forme f = 5∗ →
x2 +2
u
2
0
Posons : u(x) = (x + 2) → u (x) =
4.
f (x) =
5.
f (x) =
at
hs
2.
f (x) =
7
de la forme f
ex +3
x
Posons : u(x) = e + 3 →
0
= 7 ∗ u1 → f 0 = 7 ∗ (− uu2 )
x
u0 (x) = ex donc f 0 (x) = − (e7∗e
x +3)2
−3
de la forme
ln(2x−1)
f = −3 ∗ u1 → f 0 =
2
u(x) = ln(2x − 1) → u0 (x) = 2x−1
m
Posons :
2
3∗ 2x−1
[ln(2x−1)]
2
=
6
(2x−1)
[ln(2x−1)]2
fo
f 0 (x) =
0
f 0 = 5 ∗ (− uu2 )
10x
2x donc f 0 (x) = − (x5∗2x
2 +2)2 = − (x2 +2)2
=
−(−3)u0
u2
6
(2x−1)[ln(2x−1)]2
EXERCICE 3
f = uv → f 0 = u0 v + v 0 u → f 0 (x) = 1 ln(x) +
f (x) = x ln(x)
2.
f (x) = (2x − 1)ex de la forme f = uv → f = u0 v + v 0 u

u = 2x − 1 → u0 = 2
0
x
x
Posons :
donc f (x) = 2e + e (2x − 1)
0
x
v = e x →
v =e
in
1.
de la forme
1
x
∗ x = ln(x) + 1
f 0 (x) = ex (2 + 2x − 1) = ex (2x + 1)
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ex −5
de la forme
ex +2
Posons :
f 0 (x) =
4.
f (x) =
de la forme
f 0 (x) =
ex (ex +2)−ex (ex −5)
(ex +2)2
2x+1
x+3
=
v
w
f = ln (u) → f 0 =
v 0 w−w0 v
w2
→ u0 =
v0 = 2
w0 = 1
u0
u
donc
u0 (x) =
2(x+3)−1(2x+1)
(x+3)2
2x+6−2x+1
(x+3)2
=
f 0 (x) =
7
(x+3)2
7
(x+3)2
2x−1
x+3
=
7
(x+3)2
∗
x+3
2x−1
=
7
(x+3)(2x−1)
m
f (x) = −2x3 + x − 2 ⇒ f 0 (x) = −6x2 + 1 ;
g(x) = 2x2 − 3x + π1 ⇒ g 0 (x) = 4x − 3 ; remarque : π1 est une constante
2
h(t) = t2 + 13 ⇒ h(t) = 12 t2 + 31 ⇒ h0 (t) = 2tt = t ;
3
2
2
y(x) = x3 − x2 + x5 + 15 ⇒ y 0 (x) = 3x3 −2x
+ 51 ⇒ y 0 (x) = x2 − x + 15 ;
2
√
u(x) = 4 x + x1 − π 2 ⇒ u0 (x) = 4 2√1 x − x12 ⇒ u0 (x) = √2x − x12 ;
fo
=
v = 2x − 1 →



w = x + 3 →
EXERCICE 4 :
donc
2 ln(x)
x
f (x) = ln 2x−1
x+3



u=


nalement
u0 v+v 0 u
v2
→ f 0 = 2uu0
n
u(x) = ln (x) → u0 (x) = x1 donc
1
x
Posons :
→ f0 =

u = ex − 5 → u0 = ex
v = ex + 2 → v 0 = ex
f 0 (x) = 2 ln (x) ∗
u0 (x) =
u
v
x
ex [(ex +2)−(ex −5)]
= (ex7e+2)2
(ex +2)2
[ln (x)]2 de la forme f = u2
Posons :
5.
f=
om
f (x) =
.c
3.
221
EXERCICES SUR LES DÉRIVÉES
at
hs
22.4.
in
EXERCICE 5 :
f (x) = (x2 + 1)(−2x3 + 3x − 7)
0
0
0
de la forme f = uv ⇒ f = u v + uv ;
u(x) = x2 + 1 ⇒ u0 (x) = 2x ;
v(x) = (−2x3 + 3x − 7) ⇒ v 0 (x) = −6x2 + 3 ;
f 0 (x) = 2x(−2x3 + 3x − 7) + (x2 + 1)(−6x2 + 3)
f 0 (x) = -4x4 + 6x2 -14x-6x4 − 6x2 + 3x2 + 3 ;
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;
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222
CHAPTER 22.
f 0 (x) = −10x4 + 3x2 − 14x + 3 ;
2
3
Autre méthode - développer f (x) = (x + 1)(−2x + 3x − 7)
f (x) = −2x5 + 3x3 − 7x2 − 2x3 + 3x − 7 ;
f (x) = −2x5 + 3x3 − 7x2 + 3x − 7 ;
f 0 (x) = −10x4 + 3x2 − 14x + 3.
f (x) = (2x2 − x + 4)2
2
0
de la forme u = 2uu ;
u(x) = 2x2 − x + 4 ⇒ u0 (x) = 4x − 1 ;
f 0 (x) = 2(2x2 − x + 4)(4x − 1) = 2(4x − 1)(2x2 − x + 4).
1
g(x) = 3x+6
0
1
de la forme f =
⇒ f 0 = − uu2 ;
u
u(x) = 3x + 6 ⇒ u0 (x) = 3 ;
3
g 0 (x) = − (3x+6)
2 ;
.c
;
om
DÉRIVÉES
g(x), au lieu
0
0
⇒ g 0 = u v−uv
;
v2
g0 =
d'appliquer de la forme
at
hs
Remarque : reprenons le calcul de la dérivée de
0
− uu2 on peut appliquer la forme :
g=
u
v
g=
1
u
on arrive au même résultat :
u(x) = 1 ⇒ u0 (x) = 0 ;
v(x) = 3x + 6 ⇒ v 0 (x) = 3 ;
0
0
3
= 0(3x+6)−1(3)
= − (3x+6)
g 0 (x) = u v−uv
2.
v2
(3x+6)2
h(x) =
2x+1
3x−6
m
0
0
h = uv ⇒ h0 = u v−uv
v2
0
u(x) = 2x + 1 ⇒ u (x) = 2 ;
v(x) = 3x − 6 ⇒ v 0 (x) = 3 ;
15
h0 (x) = 2(3x−6)−3(x2+1)
= 6x−12−6x−3
= − (3x−6)
2.
(3x−6)2
(3x−6)2
fo
de la forme
1
−3x2 +12
+ 31
0
1
⇒ f 0 = − uu2 ;
de la forme f =
u
u(x) = −3x2 + 12 ⇒ u0 (x) = −6x ;
(−6x)
6x
f 0 (x) = − (−3x
2 +12)2 = + (−3x2 +12)2 ;
f (x) =
in
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⇒
22.4.
223
EXERCICES SUR LES DÉRIVÉES
EXERCICE 6 :
3
x2 +2
f = uk = f = k( u1 )
0
f 0 = k(− uu2 ) ;
u(x) = x2+ 2 ⇒ u0 (x) = 2x ;
= − (x26x
f 0 (x) = 3 (x−2x
2 +2)2
+2)2
de la forme
5
g(x) = −3x+12
+ 3x+12
5
1
g(x) = 5( −3x+12
) + ( 15 )( 3x+12
);
1
k
⇔ f = k( u1 ) et f = uk ⇔ f = ( k1 )u ;
de la forme f =
u −(−3)
15
3
g 0 (x) = 5 (−3x+12)
+ 51 (−3) = (−3x+12)
2
2 − 5 .
√
f (x) = (x2 + 2) x
0
0
0
de la forme f = uv ⇒ f = u v + uv ;
√
f 0 (x) = 2x x + 2√1 x (x2 + 2) ;
√
√
2
2
2x x(2 x)+(x2 +2)
√
√ +2 ;
f 0 (x) =
= 4x 2+x
2 x
x
f 0 (x) =
2 +2
5x√
2 x
=
at
hs
.
√
4
5 x
√ +2
2 x
=
√
√
5 x5 +2 x
.
2x
√
g(x) = (x3 + 2x)( x + 1)
√
g 0 (x) = (3x2 + 2)( x + 1) +
g 0 (x) =
g 0 (x) =
g 0 (x) =
√
√
1
√
(x3 + 2x) = 3x2 x + 2 x +
2 x
√
√
√
√
√
√
3x2 x)(2 x)+(2 x)(2 x)+(3x2 )(2 x)+2(2 x)+x3 +2x
√
;
2 x
√√
√
√
√
3
2
x
7x +6x x+6x+4
6x3 +4x+6x2 x+4 x+x3 +2x
√
√
=
;
2 x
2 x
√
√
3
7x3 ( x)
(3x)( x)
7x
3x
√ + 3x2 + √
√ √ + 3x2 + √ √ + 2 ;
+ 2 = (2
2 x
x
x) x
( x)( x)
fo
√
√
g 0 (x) = 27 x2 x + 3x2 + 3 x + 2
x3 √
+2x
;
2 x
.
f (x) = 4(2x − 5)3 ;
3
0
2 0
de la forme f = 4u ⇒ f = 4(3)u u ;
u(x) = (2x − 5) ⇒ u0 (x) = 2 ;
f 0 (x) = 4(3)(2x − 5)2 (2) = 24(2x − 5)2
in
3x2 + 2 +
m
;
om
f (x) =
.c
Saïd Chermak
.
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224
CHAPTER 22.
DÉRIVÉES
EXERCICE 7
f (x) =
x2 −3
x2 +1
0
0
f = uv ⇒ f 0 = u v−uv
;
v2
u(x) = x2 − 3 ⇒ u0 (x) = 2x ;
v(x) = x2 + 1 ⇒ v 0 (x) = 2x ;
2
2 −3)
3
3 +6x
= 2x +2x−2x
=
f 0 (x) = 2x(x +1)−2x(x
(x2 +1)2
(x2 +1)2
de la forme
f (x) =
8
.
(x2 +1)2
2
3x2 −x+1
0
f (x) = 4e4−5x
u
0
0 u
de la forme f = 4e ⇒ f = 4u e ;
u(x) = 4 − 5x ⇒ u0 (x) = −5 ;
f 0 (x) = 4(−5)e4−5x = −20e4−5x .
at
hs
5ex
(A faire après le cours sur les exponentielles )
4−ex
u0 v−uv 0
u
0
);
de la forme f = 5( ) ⇒ f = 5(
v
v2
x
0
x
u(x) = e ⇒ u (x) = e ;
f (x) =
m
x
0
x
v(x) = 4 −
ex ⇒xv (x) x= x−e ;
)−(−e )(e )
f 0 (x) = 5 e (4−e(4−e
=
x )2
5(4ex −e2x +e2x )
(4−ex )2
=
20ex
.
(4−ex )2
f (x) = (2 − x) ln(3x − 2)
0
0
0
de la forme f = uv ⇒ f = u v + uv ;
u(x) = 2 − x ⇒ u0 (x) = −1 ;
3
u0
v(x) = ln(3x − 2) ⇒ v 0 (x) = 3x−2
de la forme ln u =
;
u
3
0
f (x) = −1[ln(3x − 2)] + (2 − x)( 3x−2 ) = − ln(3x − 2) +
ln(3x−2)
ln(3x−2)
f 0 (x) = 6−3x−(3x−2)
= −(3x−6)−(3x−2)
.
(3x−2)
(3x−2)
in
fo
.c
f = 2( u1 ) ⇒ f 0 = 2(− uu2 ) ;
u(x) = 3x2 − x + 1 ⇒ u0 (x) = 6x − 1 ;
−12x+2
f 0 (x) = − (3x2(6x−1)
2 −x+1)2 = (3x2 −x+1)2 .
de la forme
om
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3(2−x)
;
3x−2
infomaths.com 2012
22.4.
225
EXERCICES SUR LES DÉRIVÉES
EXERCICE 8
3
ln(5−x)
f (x) =
0
f = 3( u1 ) ⇒ f 0 = −3( uu2 ) ;
−1
de la forme ln w =
u(x) = ln(5 − x) ⇒ u0 (x) = 5−x
−1 3
5−x
f 0 (x) = −3 [ln(5−x)]
= (5−x)[ln(5−x)]
2
2 .
de la forme
f (x) = (2x − 3)e5x
0
0
0
de la forme f = uv ⇒ f = u v + uv ;
u(x) = (2x − 3) ⇒ u0 (x) = 2 ;
v(x) = e5x ⇒ v 0 (x) = 5e5x ;
f 0 (x) = 2e5x + 5(2x − 3)e5x = e5x (2 + 10x − 15) ;
f 0 (x) = e5x (10x − 13).
f (x) = ln(e2x+3 + 5) ( à voir après
u0
0
;
de la forme f = ln u ⇒ f =
u
u(x) = e2x+3 + 5 ⇒ u0 (x) = 2e2x+3
2x+3
f 0 (x) = e2e
2x+3 +5 ;
.c
w0
;
w
at
hs
le cours sur les exponentielles et logarithmes)
Remarque : ln(u) doit être positif, ce qui est le cas :
f (x) = ln[ln(7x + 3)]( à voir après le
u0
0
de la forme f = ln u ⇒ f =
;
u
7
u(x) = ln(7x + 3) ⇒ u0 (x) = 7x+3
;
f 0 (x) =
7
eu + 5 > 0.
cours sur les logarithmes)
>0
ou
ln(7x + 3) > ln(1)
soit
7x + 3 > 1 ⇒ 7x > 1 − 3 ;
1
2(x2 +1)
fo
i(x) =
m
7
7x+3
= (7x+3)[ln(7x+3)]
;
ln(7x+3)
Remarque : il faut que ln(7x + 3)
x > − 27 .
om
0
i = 21 ( u1 ) ⇒ i0 = − 21 uu2
u(x) = x + 1 ⇒ u0 (x) = 2x ;
x
i0 (x) = − 2(x1(2x)
2 +1)2 = − (x2 +1)2 .
;
in
de la forme
2
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226
CHAPTER 22.
DÉRIVÉES
EXERCICE 9
j(x) =
x2 −3x+1
2x2 +1
0
0
j = uv ⇒ j 0 = u v−uv
;
v2
u(x) = x − 3x + 1 ⇒ u0 (x) = 2x − 3 ;
v(x) = 2x2 + 1 ⇒ v 0 (x) = 4x ;
2 +1)−4x(x2 −3x+1)
3
2 −4x3 +12x2 −4
= 4x +2x−6x
;
j 0 (x) = (2x−3)(2x (2x
2 +1)2
(2x2 +1)2
de la forme
2
6x2 +2x−7
.
(2x2 +1)2
om
j 0 (x) =
√
h(x) =
x
−x2 −1
0
0
h = uv ⇒ h0 = u v−uv
v2
u(x) = x ⇒ u0 (x) = 2√1 x ;
v(x) = −x2 − 1 ⇒ v 0 (x) = −2x ;
de la forme
√
h (x) =
0
h (x) =
h0 (x) =
f (x) =
√
1
√
(−x2 −1)+2x x
2 x
(−x2 −1)2
=
√
√
(−x2 −1)+(2 x)(2x x)
√
(2 x)(−x2 −1)2
2
√ 3x −1
.
(2 x)(−x2 −1)2
√
√
√
(2x x)(2 x)
1
√
√
(−x2 −1)+
2 x
2 x
(−x2 −1)2
=
(−x2 −1)+4x2
√
;
(2 x)(−x2 −1)2
4x + 8 √
u0
de la forme f =
u ⇒ f 0 = 2√
;
u
0
u(x) = 4x + 8 ⇒ u (x) = 4 ;
2
4
= √4x+8
=√ 2
=
f 0 (x) = 2√4x+8
4(x+2)
h(x) =
3
4(x+1)2
1
√ √
( 4)( (x+2)
m
1
.
(x+2)
.
f (x) = 3x2 − 7x + 8
f 0 (x) = 6x − 7.
√
f (x) = x(x2 + 7)
0
0
0
de la forme f = uv ⇒ f = u v + uv ;
√
u = x ⇒ u0 (x) = 2√1 x ;
v(x) = x2 + 7 ⇒ v 0 (x) = √
2x ;
1
0
2
√
f (x) = 2 x (x + 7) + 2x x
fo
=√
0
h = 34 ( u1 ) ⇒ h0 = − 43 ( uu2 ) ;
u(x) = (x + 1)2 ⇒ u0 (x) = 2(x + 1) ;
3(2)(x+1)
3(x+1)
3
h0 (x) = − 4[(x+1)
2 ]2 = − 2(x+1)4 = − 2(x+1)3
de la forme
;
at
hs
0
;
.c
in
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om
Chapitre 23
LIMITES DE FONCTIONS
DÉFINITION
.c
23.1
Dans une première approche, abordons les limites de façon intuitive. Soit la fonction dénie
2x + 3.
Quelle valeur prend
f (x)
f (x) =
quand x tend (s'approche) vers 2 en donnant à x des
at
hs
valeurs de plus en plus proches de 2. On peut s'approcher de 2 par valeurs inférieures ( 1,9 ; 1,99 ;
1,999 ) ou par valeurs supérieures ( 2,1 ; 2,01 ; 2,001 ...) que l'on note :
lim f (x) = 2 x 2, 001 + 3 ' 7
x→2,001
lim f (x) = 2 x 1, 999 + 3 ' 7
x→1,999
f (x)
étant dénie en 2, la limite de
m
Ici la fonction
f (x)
quand x tend vers 2 est :
lim f (x) = 2 x 2 + 3 ' 7
x→2
Comme la fonction est dénie pourx
= 2,
nous avons aecté la valeur 2 à x et nous avons
fo
eectué le calcul ci dessus. Le résultat obtenu est un nombre, on dit que la fonction tend vers une
limite nie 7.
f (x) = 2x2 − 5x + 1.
Quelle est la limite de f (x) quand x tend vers 0. Comme
limx→0 f (x) = 2x2 − 5x + 1 = f (0) = 2(0)2 − 5(0) + 1 = 1
in
Soit
cette fonction est dénie en 0, alors
On peut calculer la limite de cette fonction rationnelle car elle est dénie en 4.
lim f (x) =
x→4
x+1
= f (4) = 5
x−3
Lorsque x tend vers un nombre a la fonction tend vers un nombre ni l (la lettre L
minuscule) :
lim f (a) = l
x→a
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227
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228
CHAPITRE 23.
Soit la fonction rationnelle
s'annule pour cette valeur.
f (x) = x+1
x−3
Df = R 3.
LIMITES DE FONCTIONS
. Cette fonction n'est pas dénie en 3 car le dénominateur
Il n'y a pas de problème pour calculer une limite de cette fonction pour une valeur où cette fonction
est dénie ( par exemple pour x qui tend vers 5), mais pour x qui tend vers 3, valeur pour
4
laquelle la fonction n'est pas dénie, on ne peut plus remplacer x par 3 car on aurait f (3) =
0
. La division par 0 est impossible.
limx→3 f (x).
Il ne sera plus question de donner à x om
Il faut donc trouver un moyen de calculer
la valeur 3 mais de s'en approcher le plus possible soit :
- par valeurs inférieures pour x tendant vers 3 par valeurs inférieures (2,99 ; 2,999 ; 2,99999...)
que l'on note :
lim f (x)
x→3−
.c
- par valeurs supérieures pour x tendant vers 3 par valeurs supérieures (3,01 ; 3,001 ; 3,000...01)
que l'on note :
at
hs
lim f (x)
x→3+
Intéressons nous à certains types de limites.
soitf (x)
= x2 + x + 1 .
Df =] − ∞; +∞[.
Calculons quelques limites de cette fonction.
lim f (0) = 1
m
x→0
lim f (3) = 13
x→3
f (x) au voisinage de ses bornes de dénition. Donnons à
6
20
10...0
x des valeurs positives très grandes (10 , 10
, 10
), la fonction trinôme prendra des valeurs
fo
Intéressons nous au comportement de
très très grandes que l'on écrit :
lim f (x) = +∞ + ∞ + 1 = ∞
in
x→+∞
Le chire 1 est négligeable devant l'inni.
Donnons à x des valeurs négatives très grandes (
−106 , −1020 , −1010...0
), la fonction trinôme
prendra des valeurs très très grandes que l'on écrit :
lim f (x) = +∞ − ∞ + 1 =???
x→−∞
dans ce dernier cas la fonction carré positive les valeurs, mais que peut on dire de l'opération
∞ − ∞,
en fait on abouti à une indétermination encore appelée Formes Indéterminées (F.I.)
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23.2.
229
FORMES INDÉTERMINÉES
23.2
FORMES INDÉTERMINÉES
Les formes :
+∞ − ∞ =???
∞
∞
0
0
0 x ∞ =???
=???
om
=???
Ces 4 résultats sont des formes indéterminées (F.I.).
LIMITES de FONCTIONS de RÉFÉRENCE
quelque soit l'exposant (pair ou impair)
at
hs
x 7→ xn =⇒ limx→+∞ f (x) = +∞
.c
23.3
x 7→ xn =⇒ limx→−∞ f (x) = +∞
si l'exposant est pair sinon
x 7→ xn =⇒ limx→−∞ f (x) = −∞
si l'exposant est impair.
f :x→
1
;
x
Df =] − ∞; 0[∪]0; +∞[
Étudions les limites aux bornes de l'intervalle. Dressons un tableau de valeurs an de mieux
visualiser les variations
-100000
-1000
-10
10
1000
100000
-0,00001
-0,001
-0,1
0,1
0,001
0,00001
m
x
1
x
1
tend vers 0.
x
in
fo
Quand x tend vers l'inni,
lim f (x) = 0−
x→−∞
lim f (x) = 0+
x→+∞
x
1
x
-0,1
-0,001
-0,00001
0,00001
0,001
0,00001
-10
-1000
-10000
1000000
1000
100000
lim f (x) = +∞
x→0+
lim f (x) = −∞
x→0−
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230
CHAPITRE 23.
LIMITES DE FONCTIONS
Conclusions :
- 1 nombre divisé par l'inni tend vers 0
- 1 nombre divisé par un nombre qui tend vers 0 tend vers
∞.
Bien entendu, nous devons respecter la règle des signes.
Soit la fonction
f : x 7→
1
xn
limx→−∞ f (x) = 0−
limx→0+ f (x) = +∞
limx→0− f (x) = +∞
si n est pair,
limx→0− f (x) = −∞
si n est impair
f : x 7→ ln (x) ; Df =]0; +∞[
(attention ici 0 du côté positif seulement)
at
hs
limx→0+ f (x) = −∞
.c
limx→+∞ f (x) = ∞
om
limx→+∞ f (x) = 0+
f : x 7→ e(x) ; Df =] − ∞; +∞[
limx→−∞ f (x) = 0+
in
fo
m
limx→+∞ f (x) = +∞
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23.4.
231
OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
23.4
OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
SOMME
g(x)
et leur somme
limx→a f (x)
limx→a g(x)
limx→a (f + g)(x)
L
L
L
+∞
-∞
+∞
L'
+∞
-∞
+∞
-∞
-∞
L+L'
+∞
-∞
+∞
-∞
?F.I.
PRODUIT
g(x)
et leur produit
limx→a f (x)
limx→a g(x)
limx→a (f x g)(x)
L(6= 0)
+
−∞
L
L'
+
− ∞(RdS)
L x L'
?F.I.
+
− ∞ (RdS)
at
hs
RdS = Règle des Signes
QUOTIENT
+
−∞
+
−∞
+
−∞
0
.c
Soient les fonctions :f (x),
om
Soient les fonctions :f (x),
Soient les fonctions :f (x),
g(x)
L(6=
L
L'(6=
L
L0
0)
0)
0
+
− ∞(RdS)
L
+
−∞
0
+
−∞
0
L'
+
− ∞(RdS)
0
+
−∞
+
−∞
?F.I.
?F.I.
in
fo
m
limx→a f (x)
limx→a g(x)
limx→a ( fg )(x)
et leur quotient
Saïd Chermak
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232
CHAPITRE 23.
23.5
LIMITES DE FONCTIONS
INDÉTERMINATION
Techniques pour lever l'indétermination pour :
Un polynôme
f : x 7→ 2x2 + 3x − 1
om
- soit
lim f (x) = +∞ + ∞ − 1 = ∞
x→+∞
lim f (x) = +∞ − ∞ − 1 = F.I.???
x→−∞
qui est une forme indéterminée. Dans une fonction polynomiale lorsque l'on a une forme indéter-
.c
minée en l'inni on va factoriser par le monôme du plus haut degré.
at
hs
f (x) = 2x2 + 3x − 1 = x2 (2 + x3 − x12 )
3
1
limx→−∞ x2 (2 + x3 − x12 ) = ∞(2 + ∞
−∞
) = ∞(2 + 0 − 0) = ∞
3
- soit f : x 7→ x − 3x − 7
limx→+∞ f (x) = +∞ − ∞ − 7 = F.I.???. Levons l'indétermination
1
1
−∞
) = ∞(2 − 0 − 0) = ∞
limx→+∞ f (x) = x3 − 3x − 7 = x3 (1 − x32 − x73 ) = ∞(1 − ∞
Une fraction rationnelle
1° ) Soit
f (x) =
limx→+∞ f (x) =
3x−7
x+8
∞
=
∞
F.I.
m
Levons l'indétermination en l'inni en factorisant au numérateur et au dénominateur par le terme
de plus haut degré.
f (x) =
3x+7
x+8
=
x(3+ x7 )
x(1+ x8 )
=
(3+ x7 )
(1+ x8 )
(3+ x7 )
(1+ x8 )
fo
limx→+∞ f (x) = limx→+∞
2° ) Soit
f (x) =
limx→+∞ f (x) =
=
3
1
=3
3x−7
5x2 +8
∞
= F.I.
∞
in
Levons l'indétermination en l'inni en factorisant au numérateur et au dénominateur par le terme
de plus haut degré.
limx→+∞ f (x) =
3x−7
5x2 +8
Saïd Chermak
= limx→+∞
x(3− x7 )
5x2 (1+ x8 )
= limx→+∞
3x
5x2
e-classe.com
= limx→+∞
3
5x
=0
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23.5.
233
INDÉTERMINATION
3° ) Soit
f (x) =
limx→+∞ f (x) =
5x3 −7
2x2 −8x+1
∞
= F.I.
∞
Levons l'indétermination en l'inni en factorisant au numérateur et au dénominateur par le terme
de plus haut degré.
limx→+∞ f (x) =
5x3 −7
2x2 −8x+1
= limx→+∞
5x3
2x2
= limx→+∞
5x
2
=∞
f (x) =
5x−1
;
x−2
om
4° ) Soit la fonction rationnelle
Df =] − ∞; 2[∪]2; +∞[
limx→2+ (5x − 1) = 9
limx→2+
5x−1
x−2
=
9
0+
= +∞
limx→2−
5x−1
x−2
=
9
0−
= −∞
1° ) Soit
f (x) =
limx→+∞ f (x) =
ln(x)
x
ln(x)
x
at
hs
FONCTION LOGARITHME
.c
limx→2+ (x − 2) = 0+
=0
Le numérateur de cette fraction est beaucoup plus petit que le dénominateur. Sur le graphique ci
in
fo
m
dessous on s'aperçoit bien des variations des 2 fonctions.
Saïd Chermak
Figure 23.1 limite de f (x) = ln(x)
x
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234
CHAPITRE 23.
2° ) Soit
f (x) =
limx→+∞ f (x) =
ln(x)
xn
ln(x)
xn
=0
pour
LIMITES DE FONCTIONS
n>0
limx→0 f (x) = x ln (x) = 0
limx→0 f (x) = xα ln (x) = 0
pour
α>0
ex
x
=∞
at
hs
.c
limx→∞
om
FONCTION EXPONENTIELLE
Figure 23.2 limx→∞ ex
m
x
=∞
Le numérateur de cette fraction est beaucoup plus grand que le dénominateur. Sur le graphique ci
dessus on s'aperçoit bien des variations des 2 fonctions.
fo
limx→−∞ xex = 0
avec
α>0
in
limx→−∞ xα ex = 0
Saïd Chermak
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23.5.
235
INDÉTERMINATION
EXEMPLES
1° ) Soit
f (x) = ln (x) + 7x − 5 ; Df =]0; ∞[ ;
limx→0 f (x) = −∞ + 0 − 5 = −∞
2° ) Soit
f (x) = ln (x) − 7x − 5 ; Df =]0; ∞[ ;
limx→∞ f (x) = +∞ − ∞ − 5 = F.I.
Levons l'indétermination en mettant x en facteur :
ln(x)
x
5
x
limx→∞ f (x) = ∞(−7) = −∞
3° ) Soit
f (x) = ex − 7x + 3
at
hs
limx→∞ f (x) = ∞ − ∞ = F.I.
.c
−7−
f (x) = x
5
limx→∞ ln(x)
= 0 − 7 − 0 = −7
−
7
−
x
x
om
limx→∞ f (x) = +∞ + ∞ − 5 = ∞
Levons l'indétermination en mettant x en facteur :
x
f (x) = x( ex − 7+ x3 )
x
in
fo
m
limx→∞ f (x) = x( ex − 7 + x3 ) = ∞(∞ − 7 + 0) = +∞
Saïd Chermak
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236
CHAPITRE 23.
23.6
LIMITES DE FONCTIONS
NOTIONS d'ASYMPTOTES
at
hs
.c
om
ASYMPTOTE HORIZONTALE
Figure 23.3 Asymptote horizontale
Soit la fonction
f (x) =
5x−1
déjà étudié.
x−2
Quand x tend vers l'inni, le graphe se rapproche de plus en plus de la droite horizontale (que
l'on peut noter b ) qui a ici la valeur 5. On écrit donc :
limx→∞ f (x) = b,
m
dans ce cas la droite
y=b
est asymptote à la courbe
f (x)
en
∞.
Si nous devons étudier la position de cette courbe par rapport à la droite asymptote, il faut
simplement étudier le signe de la diérence entre la courbe et l'asymptote c'est à dire :
f (x) − b.
fo
Ici la diérence est positive car la courbe est au dessus de la droite asymptote horizontale.
Exemple :
Soit
f (x) = 3 −
ln(x)
;
x
in
La droite d'équation
Quand
limx→∞ f (x) = 3 ;
y = 3 est une asymptote
limx→∞ f (x) = b
ou
limx→−∞ f (x) = b
horizontale à la courbe
alors
y=b
Cf
graphe de
f (x).
est l'équation d'une asymptote horizon-
tale.
- si
f (x) − b > 0
alors la courbe est au dessus de l'asymptote,
- si
f (x) − b < 0
alors la courbe est au dessous de l'asymptote.
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23.6.
237
NOTIONS D'ASYMPTOTES
ASYMPTOTE OBLIQUE
Quand x tend vers l'inni, le graphe se rapproche de plus en plus de la droite oblique (que l'on
peut noter y = ax + b
limx→∞ f (x) = ax + b
). L'écart entre les deux graphes tend vers zéro. On écrit donc :
, dans ce cas la droite
y = ax + b
est asymptote à la courbef (x) en
∞.
Si nous devons étudier la position de cette courbe par rapport à la droite asymptote, il faut
Quand
limx→∞ f (x) − (ax + b) = 0
ou
om
simplement étudier le signe de la diérence entre la courbe et l'asymptote c'est à dire :f (x)−(ax+b).
limx→−∞ f (x) − (ax + b) = 0
d'une asymptote oblique.
alors
f (x) − b > 0
alors la courbe est au dessus de l'asymptote oblique,
- si
f (x) − b < 0
alors la courbe est au dessous de l'asymptote oblique.
est l'équation
f (x) = 2x − 7 +
3
x+8
fo
m
at
hs
.c
- si
y = ax + b
Figure 23.4 Asymptote oblique
in
limX→∞ [f (x) − (2x − 7)]) = limx→∞
y = 2x − 7
3
x+8
=0
est une asymptote à la courbe
Saïd Chermak
f (x)
en +∞, en fait il est est de même pour -∞ !
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infomaths.com 2012
238
CHAPITRE 23.
LIMITES DE FONCTIONS
.c
om
ASYMPTOTE VERTICALE
Soit la fonction
at
hs
Figure 23.5 asymptote verticale
f (x) =
limx→2+ f (x) = ∞
5x−1
déjà étudié.
x−2
limx→2− f (x) = −∞
alors la droite d'équation x = 2 (droite verticale
5x−1
courbe Cf , graphe de la fonction f (x) =
2 .
x−2
ou
d'abscisse 2 ) est une asymptote verticale à la
Le plus souvent , quand une fonction n'est pas dénie en 1 point, elle admet une asymptote
in
fo
m
verticale en ce point.
Saïd Chermak
e-classe.com
infomaths.com 2012
om
Chapitre 24
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
I . On appelle PRIMITIVE de la fonction f, une
F dénie sur un intervalle I du domaine de dénition Df , et qui a pour dérivée la
fonctionf ainsi quelque soit x qui appartient à l'intervalle du domaine de dénition ( ∀x ∈ I ),
F 0 (x) = f (x) . Sur l'exemple suivant, si F 0 (x) = f (x) alors
F :7→ x2 − 5x + 7 est une primitive de f :7→ 2x − 5
G :7→ x2 − 5x + 3 est aussi une primitive de f (x) ! car G0 (x) = f (x) Ainsi, une fonction admet
non pas une primitive, mais des primitives, en eet : si F et G sont des primitives d'une même
fonction f sur Df , alors : ∀x ∈ Df , F (x) = G(x) + k , k ∈ R, ainsi les primitives d'une même
Soit
f
DÉFINITION
.c
24.1
une fonction dénie sur un intervalle
at
hs
fonction
fonction sont toutes égales, mais à une constante additive près.
D'une manière générale une primitive de
sera
F (x) :7→ x2 − 5x + C
qui représente l'ensemble
f (x).
m
des primitives de
f (x)
C représente n'importe quel réel. Si on xe une condition initiale, on peut déterminer LA primitive
tel que F(0) = 5.
F (x) remplaçons x par 0. F (x) = x2 −5x+C = 5 ⇒ F (0) = 0 x 2−5 x 0+C = 5 ⇔ C = 5
2
la primitive sera F (x) = x − 5x + 5.
Dans
fo
et
TABLEAU des PRIMITIVES USUELLES
in
24.2
Dérivée
a
n
x
− x12
1
x
x
e
1
√
2 x
Saïd Chermak
a∈R
n 6= −1
x 6= 0
Primitive
Dérivée
Primitive
ax
au0 + bv 0
u0 un
0
− uu2
au + bv
xn+1
n+1
1
x
ln |x|
ex
√
x
239
u0
u
0 u
ue
e-classe.com
un+1
n+1
1
u
ln |u|
eu
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240
CHAPITRE 24.
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
Les résultats de ces tableaux s'établissent en vériant que l'on a bien
F' = f
sur l'intervalle
considéré.
x
2
+C
f (x) = x ⇒ F (x) =
f (x) = x2 ⇒ F (x) =
f (x) = x−3 ⇒ F (x) =
f (x) = − x12 = −x−2 ⇒ F (x) = − x−2+1 =
f (x) =
f (x) = ex ⇒ F (x) = ex + C
x2
2
+C
x3
3
+C
x−2
−2
+ C = − 2x12 + C
−2+1
1
x
⇒ F (X) = ln |x| + C
1
√
2 x
1
x
−1
2
⇒ F (x) =
1
2
f (x) =
f (x) = u0 + v 0 ⇒ F (x) = (u + v) + C
f (x) = au0 ⇒ F (x) = au + C
f (x) = x2 +
f (x) = 5ex
f (x) = −3x2 +
2
− 2 ⇒ F (x) =
de la forme au'
7
x
1
x
+C
−1 +1
2
−1
+1
2
x
1
= x2 =
√
x+C
at
hs
1
x
=
1
2x 2
=
soit ln(x) si x > 0 ou soit ln(−x) si x < 0
=
−x−1
−1
om
⇒ F (x) =
f (x) =
.c
1
2
x3
3
+ ln |x| − 2x + C
⇒ F (x) = 5ex + C
3
⇒ F (x) = − 3x3 + 7 ln |x| + C = −x3 + 7 ln |x| + C
Primitives de fonctions composées (partie droite du tableau) :
f (x) = 2(2x + 7)3
Posons
u4
4
u(x) = 2x + 7 ; u0 (x) = 2
⇒ F (x) =
(2x+7)4
4
= (x2 + x + 7) ; u0 (x) = (2x + 1)
in
g = u0 u2 ⇒ G =
f (x) = u0 u3
g(x) = (2x + 1)(x2 + x + 7)2 ;
posonsu(x)
alors
+C
fo
F =
m
u3
3
⇒ G(x) =
(x2 +x+7)3
3
+C;
h(x) =
ln(x)
x
posons
u(x) = ln(x) ; u0 (x) =
f (x) =
3
;
3x+9
posons
u(x) = 3x + 9 ; u0 (x) = 3 ; f = u0 u ⇒ F = ln |u| ⇒ F (x) = ln |3x + 9| + C
=
1
x
ln(x) ;
Saïd Chermak
1
;
x
h = u0 u ⇒ H =
u2
2
⇒ H(x) =
e-classe.com
(ln x)2
2
+C;
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2 +3
f (x) = 2xex
;
u(x) = x2 + 3 ; u0 (x) = 2x ;
posons
f = u0 eu ⇒ F = eu ; F (x) = ex
2 +3
+C;
g(x) =
−2x
;
(x2 +1)2
posons
u(x) = x2 + 1 ; u0 (x) = 2x ;
g=
241
TABLEAU DES PRIMITIVES USUELLES
−u0
u2
⇒G=
1
u
⇒ G(x) =
1
x2 +1
om
24.2.
+C;
f (x) = e3x−1 ;
u(x) = 3x − 1 ; u0 (x) = 3
posons
.c
f (x) = 13 3e3x−1 ; f = 31 u0 eu ⇒ F (x) = 13 e3x−1 + C
Exercice :
f (x) = 23 x2 + 3x − 2
3
2
F (x) = 32 x3 + 3 x2 − 2x + C =
f (x) = 3x −
F (x) =
3x2
2
7
x
+5
f (x) = 5e5x−1
+
3x2
2
− 2x + C
m
⇒ F (x) = ln |x2 + 5| + C = ln(x2 + 5) + C
fo
u0
u
2x3
9
2x
x2 +5
f (x) =
f=
dénie par :
− 7 ln(|x|) + 5x + C
F (x) = e5x−1 + C
f
at
hs
Calculer une primitive de la fonction
car
x2 + 5
est toujours positif
∀x.
f (x) = e3x−2
u(x) = 3x − 2 ⇒ u0 (x) = 3 ;
de la forme
f 0 = 13 u0 eu ⇒ F = 13 eu
in
Posons
F (x) = 31 e3x−2 + C .
f (x) =
x+1
x2 +2x+5
Posons
u(x) = x2 +2x+5 ⇒ u0 (x) = 2x+2 = 2(x+1) ; de la forme f 0 = 2
F (x) = 2 ln(|x2 + 2x + 5|) + C ; x2 + 2x + 5
est positif du signe de
ax2
u0
u
car
⇒ F = 2 ln |u|+C
4<0
donc
F (x)
s'écrit :
F (x) = 2 ln(x2 + 2x + 5) + C
Saïd Chermak
sans le signe de valeur absolue.
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242
CHAPITRE 24.
24.3
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
CALCUL INTÉGRAL
DÉFINITION
Soit
f
une fonction continue sur un intervalle
I,
On appelle intégrale de a à b de la fonction
primitive de
f
dans
I.
F (b) − F (a)
a et b deux éléments de
f,
le nombre réel
où
F
est une
I.
´b
om
f (x)dx qui se lit somme de a à b de f (x)dx ou intégrale de a à
a
b de f (x)dx . On dit que la variable x est muette, elle peut être remplacée par n'importe
´b
´b
´b
quelle lettre non encore utilisée
f
(x)dx
=
f
(t)dt
=
f (v)dv .
a
a
a
On note ce nombre
.c
On peut adopter la notation suivante :
´b
f (x)dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a) , où a et b représentent les bornes d'intégration.
´a1
(3 + ex )dx = [3x + ex ]10 = (3 x 1 + e1 ) − (3 x 0 + e0 ) = 3 + e − 1 = 2 + e.
0
Propriétés
a
f (x)dx = [F (x)]aa = F (a) − F (a) = 0
at
hs
´a
Inversion des bornes d'intégration
´b
a
f (x)dx = −
´a
b
f (x)dx
Relation de CHASLES
´b
´c
f (x)dx +
´a
f (x)dx
a
c
´ab
b
f (x)dx = [F (x)]a = F (b) − F (a)
´ac
f (x)dx = [F (x)]ca = F (c) − F (a)
a
´b
f (x)dx = [F (x)]bc = F (b) − F (c)
c
´b
f (x)dx = F (c) − F (a) + F (b) − F (c) = −F (a) + F (b) = F (b)-F(a)
a
fo
m
f (x)dx =
Linéarité
´b
´b
´b
(αf (x) + βg(x))dx = α a f (x)dx + β a g(x)dx
´1
´1
+ 5ex )dx = 2 0 xdx + 5 0 ex dx
in
´a1
(2x
0
Ordre
si
f (x) ≤ g(x)
sur I alors
- Positivité
si
f (x) ≥ 0
sur I alors
´b
a
´b
a
f (x)dx ≤
´b
a
avec
α
et
β∈R
g(x)dx
f (x)dx ≥ 0
(propriété intéressante pour le calcul d'aire).
Saïd Chermak
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24.3.
243
CALCUL INTÉGRAL
Valeur moyenne
´b
1
vm = b−a
f (x)dx)
a
´5
(2x + x1 )dx = [x2 + ln(x)]52 = [25 + ln(5)] − [4 + ln(2)] = 21 + ln 5 − ln 2 = 21 + ln 25 ;
2
1
(21
5−2
+ ln 52 ) = 7 + 31 ln 25 .
Exercice : Calculer les intégrales suivantes
.c
´2
(2x − x3 + 1)dx
´−1
2
(2x − x3 + 1)dx = [x2 − 3 ln(|x|) + x]2−1 = (4 − 3 ln 2 + 2) − (1 − 3 ln | − 1| − 1) = 6 − 3 ln 2
−1 ´
2
I = 0 e3x−1 dx
´ 2 1 3x−1
´2
0
Posons u(x) = 3x − 1 ; u (x) = 3 ; I =
e
dx ⇔ I = 13 0 e3x−1 dx
0 3
I = 31 [e3x−1 ]20 = 31 [e6−1 − e−1 ] = 31 [e5 − e−1 ]
at
hs
Intégration par parties
´b
a
om
vm =
u0 (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba −
en eet :
´b
a
u(x)v 0 (x)dx
(uv)0 = u0 v + v 0 u ⇒ u0 v = (uv)0 − v 0 u
(1).
Calculons la primitive de cette expression (1) :
´b
´b 0
0
[u
(x)v(x)dx
=
u(x)v(x)dx
−
(v (x)u(x))dx
a
a
a
´b 0
´
b
[u (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ba − a (v 0 (x)u(x))dx
a
in
fo
m
´b
Saïd Chermak
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244
CHAPITRE 24.
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
Exemples intégration par parties avec ln x :
´2
ln(x)dx
=
1 ln(x)dx ; Posons :
1
1
u0 (x) = 1 ⇒ u(x) = x
v(x) = ln(x) ⇒ v 0 (x) = x1
´2
´2
ln(x)dx = [x ln(x)]21 − 1 ( x1 x)dx = [x ln(x)]21 − [x]21 = (2 ln 2 − ln 1) − (2 − 1) = 2 ln(2) − 1
1
Quand dans une intégrale il y a ln(x), on posera toujours v = ln(x) car on connaît sa dérivée
v 0 (x) = x1 .
om
´2
Exemples intégration par parties avec ex :
´1
xex dx ; Posons :
u(x) = x ⇒ u0 (x) = 1 ;
v 0 (x) = ex ⇒ v(x) = ex ;
´1 x
´
´
xe dx de la forme uv 0 = uv − u0 v
0
´1
´1 x
xe dx = [xex ]10 − 0 1ex dx
0
´1 x
xe dx = [xex ]10 − [ex ]10 = [1(e1 ) − 0(e0 )] − (e1 − e0 ) = 1.
0
x
x
Quand dans une intégrale il y a e , on posera toujours v = e
at
hs
.c
0
.
car on connaît sa primitive
v(x) = ex
EXERCICE : Calculer les intégrales suivantes
I=
´3
1
(x + 4) ln(x)dx
Posons :
1
x
m
v(x) = ln(x) ⇒ v 0 (x) =
2
in
fo
u0 (x) = (x + 4) ⇒ u(x) = x2
´ 0
´
I de la forme
u v = uv −
´3
2
I = 1 (x + 4) ln(x)dx = [( x2
´3
2
I = 1 (x + 4) ln(x)dx = [( x2
´3
2
I = 1 (x + 4) ln(x)dx = [( x2
Saïd Chermak
+ 4x
uv 0
+ 4x) ln(x)]31 −
+ 4x) ln(x)]31 −
´3
2
1
( x2 + 4x)( x1 )dx
1
( x2 + 4)dx
´3
+ 4x) ln(x)]31 − [ x2 + 4]31
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24.3.
245
CALCUL INTÉGRAL
´0
J=
−1
(2x − 1)ex dx
Posons :
u(x) = (2x − 1) ⇒ u0 (x) = 2
om
v 0 (x) = ex ⇒ v(x) = ex
´ 0
´
J de la forme
uv = uv − u0 v
´0
´0
J = −1 (2x − 1)ex dx = [(2x − 1)ex ]0−1 − −1 2ex dx
´0
J = −1 (2x − 1)ex dx = [(2x − 1)ex ]0−1 − 2[ex ]0−1 = [−1 − (−2 − 1)e−1 ] − [2e0 − 2e−1 ] = −1 +
at
hs
EXERCICES
.c
3e−1 − 2 + 2e−1
´0
J = −1 (2x − 1)ex dx = −1 + 3e−1 − 2 + 2e−1 = −3 + 5e−1
Calculer les intégrales :
´3
1
dt
1 2t−1
I=
J=
K=
L=
M=
N=
´5
t−1
dt
4 4t2 −8t−12
´2
e−5t+2 dt
0
´0
´e
m
et
dt
−2 et +1
1
(2x + 1) ln(x)dx
0
(x + 3)ex dx
fo
´1
Réponses :
´3
0
1
dt de la forme uu
1 2t−1
in
I=
Posons :
u(t) = 2t − 1 ⇒ u0 (t) = 2
´3
´3
2
I = 1 ( 21 ) 2t−1
dt = 12 1
2
2t−1
I = 21 [ln 5 − ln 1] = 21 ln 5
´ 5 t−1
J = 4 4t2 −8t−12
dt de la forme
Saïd Chermak
dt ⇒ I = 12 [ln(|2t − 1|)]31
u0
u
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246
CHAPITRE 24.
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
Posons :
u(t) = 4t2 − 8t − 12 ⇒ u0 (t) = 8t − 8 = 8(t − 1)
´5
dt ⇒ J = 18 [ln |4t2 − 8t − 12|]54
J = 18 4 4t28t−8
−8t−12
J = 81 [(100 − 40 − 12) − (64 − 32 − 12)] = 28
´2
K=
0
e−5t+2 dt
de la forme
u0 eu
om
u(t) = −5t + 2 ⇒ u0 (t) = −5
´2
K = − 51 0 −5e−5t+2 dt
K = − 15 [e−5t+2 ]20 = − 51 [e−8 − e2 ]
L=
´0
.c
0
et
dt de la forme uu
−2 et +1
Posons :
at
hs
u(t) = et + 1 ⇒ u0 (t) = et
´0 t
L = −2 ete+1 dt = [ln(et + 1)]0−2
sans le symbole valeur absolue car
et + 1 > 0
L = ln 2 − ln(e−2 + 1)
M=
´e
1
(2x + 1) ln(x)dx
m
Posons :
ne peut être résolue que par une intégration par parties
u0 (x) = 2x + 1 ⇒ u(x) = x2 + x
in
fo
v(x) = ln(x) ⇒ v 0 (x) = x1
´ 0
´
de la forme
u v = [uv] − uv 0
´e
M = [(x2 + x) ln x]e1 − 1 (x2 + x) x1 dx
´e
M = [(x2 + x) ln x]e1 − 1 (x + 1)dx
M = [(x2 + x) ln x]e1 − [ 12 x2 + x]e1
M = (e2 + e) ln e − [( 12 e2 + e) − ( 21 + 1)]
M = 12 e2 +
3
2
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24.3.
247
CALCUL INTÉGRAL
N=
´1
0
(x + 3)ex dx
ne peut être résolue que par une intégration par parties
Posons :
v 0 (x) = ex ⇒ v(x) = ex
´ 0
´
de la forme
uv = [uv] − u0 v
´1
N = [(x + 3)ex ]10 − 0 1ex dx
N = [(x + 3)ex ]10 − [ex ]10 = [(1 + 3)e1 − (3e0 )] − [e1 − e0 ]
in
fo
m
at
hs
.c
N = 4e − 3 − e + 1 = 3e − 2
om
u(x) = x + 3 ⇒ u0 (x) = 1
Saïd Chermak
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248
PRIMITIVES ET INTÉGRALES
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 24.
Saïd Chermak
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LOGARITHMES
COURS FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
DÉFINITION 1
at
hs
25.1
.c
Ce cours intervient après les cours sur les primitives.
om
Chapter 25
Soit une fonction f continue sur un Intervalle I , elle admet sur cet intervalle des primitives
1
F . En particulier si nous prenons la fonction inversef : x 7→
et si nous prenons l'intervalle
x
d'étude I =]0; ∞[ alors la fonction inverse admet des primitives F et en particulier une primitive
F qui s'annule en 1,
F (1) = 0
,cette fonction F s'appelle logarithme népérien. La fonction
logarithme népérien est la fonction F qui a x associe ln(x) et qui est la primitive de la
1
fonction sur l'intervalle I =]0; ∞[ :
x
m
F : x 7→ ln(x)
On peut aussi donner une autre dénition de la fonction logarithme népérien : la fonction logarithme népérien est la fonction notée ln qui à x associe ln(x) :
continue sur cet intervalle elle admet pour dérivée la fonction inverse
fo
f : x 7→ ln(x),
dénie sur ]0; ∞[,
fonction logarithme népérien s'annule pour
1
, la
x
x = 1: ln(1) = 0.
in
En résumé :
f : x 7→ ln(x),
∗
1° )Df =]0; ∞[= R+
, les valeurs négatives n'existent pas , les valeurs prises par x sont toujours
supérieures à 0.
2° )
1
comme x est positif car compris entre ]0; ∞[ alors la dérivée est positive ce qui
x
1
entraîne que la fonction ln est croissante. (ln x)' =
>0
x
(ln x)' =
3° )ln 1
=0
Soit deux réels a et b strictement positifs tels que
Saïd Chermak
249
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0<a≤b
alors :
infomaths.com 2012
250
CHAPTER 25.
0 < a ≤ b ⇔ ln a ≤ ln b
LOGARITHMES
L'ordre est conservé car la fonction ln est strictement croissante. De
om
cette croissance stricte nous dressons le tableau de variations :
Figure 25.1: fonction ln
Attention, la double barre verticale pour exprimer que 0 est exclu du domaine de dénition.
] − ∞; ∞[
.
admet une et une seule image dans l'intervalle
Tout élément f(x) dans l'intervalle ouvert
seul antécédent dans l'intervalle ouvert
]0; ∞[
]0; ∞[.
vers l'intervalle ouvert
] − ∞; ∞[
admet un et un
On qualie la fonction ln de bijection de
] − ∞; ∞[
at
hs
l'intervalle ouvert
]0; ∞[
.c
Tout élément x dans l'intervalle ouvert
ouvert
Dans ce tableau de variations, on remarque que pour les variations de x allant de
fonction ln prend que des valeurs négatives comprises entre]
− ∞; 0[.
]0; 1[la
Pour x inférieur à 1
le logarithme est négatif, pour x supérieur à 1 le logarithme est positif.
ln 0,7 < 0 ; ln 1,3 > 0
Dans le tableau de variations, l'intervalle des valeurs prises par f est :
ceci vient du
m
fait que soit :
] − ∞; ∞[,
et pour un cas particulier x on peut écrire :
fo
0 < a ≤ b ⇔ ln a ≤ ln b,
(
0 < x ≤ 1 ⇔ ln x ≤ ln 1
0 < x ⇔ ln x ≤ 0
L'ordre est conservé car la fonction ln est strictement croissante.
Par dénition ln1= 0, par
in
conséquence :
Saïd Chermak
(
x ≥ 1 ⇔ ln x ≥ 1
x ≥ 1 −→ ln x ≥ 0
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251
APPLICATION DE LA DÉFINITION
25.2
APPLICATION DE LA DÉFINITION
f (x) = ln(x − 3)
Soit la fonction :
Pour que f(x) soit dénie, il faut que
Df =]3; +∞[.
Si x = 2 alors ln(2 − 3) = ln(−1)
f (x)
et donc n'est pas calculable .
f (x) = ln(x2 + 3)
Soit la fonction :
Pour que
ln(x − 3) soit calculable donc il faut que x − 3 > 0 soit x > 3.
soit dénie, il faut que
ln(x2 + 3)
om
25.2.
soit calculable donc il faut que
x2 + 3 > 0
ce qui
est toujours le cas. Un carré est toujours positif, la somme d'un carré et d'un nombre positif sera
toujours positif.
Df =] − ∞; +∞[= R.
f (x) = ln(x − 2) − ln(5 − x)
f (x) soit dénie, il faut que ln(x − 2)
Soit la fonction :
donc il faut que :
ln(5 − x)
soient calculables
x−2>0⇔x>2
5−x>0⇔x<5
m
at
hs
(
et que simultanément
.c
Pour que
Figure 25.2: Domaine de dénition de
ln(x − 2) − ln(5 − x)
Df =]2; 5[
in
fo
Il faut considérer l'intersection de ces 2 intervalles, par conséquent
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252
CHAPTER 25.
LOGARITHMES
f (x) = ln(x + 3) − ln(x + 7)
Pour que f(x) soit dénie, il faut que
ln(x + 3)
et que simultanément
ln(x + 7)
soient calculables
donc il faut que :
.c
om
(
x + 3 > 0 ⇔ x > −3
x + 7 > 0 ⇔ x > −7
Figure 25.3: Domaine de dénition
ln(x + 3) − ln(x + 7)
Soit à résoudre
Df =] − 3; ∞[
at
hs
Il faut considérer l'intersection de ces 2 intervalles, par conséquent
ln(x − 3) = ln(x + 2)
Il faut d'abord que les 2 membres soient calculables. Il faut donc déterminer l'ensemble de dénition
de cette égalité. Il faut que :
in
fo
m
(
x−3>0⇔x>3
x + 2 > 0 ⇔ x > −2
Figure 25.4: Domaine de dénition
ln(x − 3) = ln(x + 2)
Il faut considérer l'intersection de ces 2 intervalles, par conséquent
Comme la fonction ln est une bijection alors avec
a>0
et
b>0
Df =]3; ∞[
alors :
ln a = ln b ⇔ a = b
sur l'intervalle ouvert
solutions
]3; ∞[
alors
x − 3 = x + 2 ⇒ −3 = 2.
Ce qui impossible donc il n'y a pas de
/
S = {O}
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25.2.
253
APPLICATION DE LA DÉFINITION
Soit à résoudre
ln(6x − 3) = ln(x + 2)
Il faut d'abord que les 2 membres soient calculables. Il faut donc déterminer l'ensemble de dénition
de cette égalité. Il faut que :
6x − 3 > 0 ⇔ x > 63 ⇔ x >
x + 2 > 0 ⇔ x > −2
1
2
.c
om
(
ln(6x − 3) = ln(x + 2)
at
hs
Figure 25.5: Domaine de dénition
Il faut considérer l'intersection de ces 2 intervalles, par conséquent
Comme la fonction ln est une bijection alors avec
ln a = ln b
⇔
a = b
sur l'intervalle ouvert
] 21 ; ∞[
a>0
et
b>0
Df =] 12 ; ∞[
alors :
6x − 3 = x + 2 ⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1
1
l'intervalle ouvert ] ; ∞[ donc S = { 1 }
2
alors
in
fo
m
Le chire 1 appartient à
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254
CHAPTER 25.
Soit à résoudre
LOGARITHMES
ln(x − 2) < ln(3 − x)
Il faut d'abord que les 2 membres soient calculables. Il faut donc déterminer l'ensemble de dénition
de cette égalité. Il faut que :
x−2>0⇔x>2
3−x>0⇔x<3
.c
om
(
(x − 2) < (3 − x)
at
hs
Figure 25.6: Domaine de dénition
Df =]2; 3[
x−2<3−x
Il faut considérer l'intersection de ces 2 intervalles, par conséquent
0 < a < b alors ln a < ln b.
2x < 5 ⇔⇔ x < 25
Pour tout x de
Df
on a :
fo
m
Si
Figure 25.7: Domaine de dénition
=]2; 3[
alors cette solution est valide. Tous les
in
Cette solution appartenant à l'intervalle ouvert Df
5
5
réels compris entre ]2; [ sont solutions. S =]2; [
2
2
ln(x − 2) < ln(3 − x)
Soit à dériver :
f (x) = 3x2 − 7x + 8 ln(x)
f '(x) = 6x - 7 + 8( x )
f (x) = (x − 3) ln(x)
de la forme f = uv ⇔ f '(x) = u'v + v 'u.
v(x) = ln(x) ⇔ v '(x) = x1
Soit à dériver :
f '(x) = ln(x) + x1 (x − 3) ⇔ f '(x) =
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Posons :
u(x) = x − 3 ⇔ u' = 1
x ln(x)+x−3
x
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25.3.
255
PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
25.3
PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Historiquement les logarithmes népériens ont été inventé par l'écossais John Néper pour alléger les
calculs, pour transformer des multiplications en somme et des divisions en soustraction.
si
a<0
exemple
:
om
axb > 0 alors
si a > 0 et b > 0 ⇒ ln(axb) = ln a + ln b ;
exemple : ln(3x5) = ln 3 + ln 5
Soit deux réels a et b tels que
b < 0⇒ ln(axb) = ln(−a) + ln(−b) ;
:ln[(−3)x(−5)] = ln(−(−3)) + ln(−(−5)) = ln 3 + ln 5
et
DÉMONSTRATIONS
.c
ln(axb) = ln a + ln b; a > 0, Df =]0; ∞[
soit G(x) = ln(ax)
1
= x1
G'(x) = a x ax
1
comme la fonction ln . La diérence de deux primitives est
x
une constante car la dérivation d'une constante est 0, donc :
at
hs
La fonction G est une primitive de
G(x) = ln x + C (C = constante)
ln(ax) = ln x + C relation (1)
Posons une valeur particulière
ln( a * 1 ) = ln 1 + C
⇔
x = 1,
on obtient :
ln a = C relation (2)
Remplaçons dans C (1) par (2) : ln(ax) = ln x + ln a.
En remplaçant x par b, on obtient : ln (a * b ) = ln a + ln b
1° ) ln
2° )
1
= − ln b
b
a
= ln a −
b
n
ln
ln b
lna = n ln a (n ∈ Z)
√
1
ln a =
ln a
2
fo
3° )
m
Conséquences :
4° )
Démonstration : ln
1
b
= − ln b
avec
b>0
in
ln 1 = 0
(b x 1b = 0
ln b + ln 1b = 0 ⇔ − ln b = ln 1b
ln 13 = − ln 3
ln
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256
CHAPTER 25.
LOGARITHMES
ln ab = ln a − ln b avec b > 0
a
= ln(a ∗ 1b )
En eet : ln
b
ln ab = ln a + ln 1b ⇔ ln ab = ln a − ln b
ln 15
= ln 5 + ln 13 = ln 15 − ln 3
3
Démonstration :
ln an = n ln a (n∈ Z)
Considérons deux cas : n > 0 et n < 0
n
n
1°)n > 0 ; ln a = ln(a ∗ a ∗ a...n fois)= ln a + ln a + ln a...n fois donc lna = n ln a
1
3
n
−n
exemple : ln2 = ln 8 = 3 ln 2 2°) n < 0 ; ln a = ln( −n ) = − ln(a
) Posons−n = m,
a
om
Démonstration :
alors :
on obtient
.c
1
1
1
1
) = − ln(am ) ⇔ ln( a−n
) = −m ln a ⇔ ln( a−n
) = −(−n) ln a ⇔ ln( a−n
) = n ln a
ln( a−n
1
−3
3
exemple : ln 2
= ln 23 = − ln 2 = −3 ln 2.
√
ln a = 12 ln a
√
√
1
ln a = ln a 2 ⇔ ln a = 21 ln a ou encore
√ √
√
√
√
√
ln a = ln( a ∗ a) ⇔ ln a = ln a + ln a ⇔ ln a = 2 ln a ⇔ ln a = 21 ln a
√
1
5 = ln 5 2 = 21 ln 5
exemple : ln
at
hs
Démonstrations :
m
Dressons un tableau de ces propriétés :
fo
Table 25.1: Tableau des propriétés de la fonction ln
ÉTUDE DES LIMITES DE LA FONCTION LN
in
25.4
limx→∞ ln x = ∞
limx→0+ ln x = −∞
Démonstrations : limx→∞ ln x = ∞
soit n un entier naturel
ln 3n = n ln 3
limn→∞ ln 3n = limn→∞ n ln 3
n
Soit x ∈ R,x ≥ 3 comme la fonction
limx→∞ ln x ≥ limn→∞ ln 3n
Saïd Chermak
ln est strictement croissante alors ln x≥ ln
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3n
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25.5.
257
TABLEAU DE VARIATION
limx→∞ ln x ≥ limn→∞ ln 3n donc limx→∞ ln x = ∞
Démonstrations :
limx→0+ ln x = −∞
limx→∞ ln x = ∞
limx→0+ ln x = limx→∞ ln( x1 )
+
Rappel :0
signiant
x > 0,
;
on se rapproche de 0 par valeurs supérieures
limx→0+ ln x = −∞
om
limx→0+ ln x = limx→∞ − ln x
Précédemment nous avons établi que la fonction logarithme était une bijection de
alors si on doit résoudre l'équation :
ln x = m,
]0; ∞[−→ R,
nous pouvons armer que cette équation admet
une solution unique x appartenant à l'intervalle
]0; ∞[.
.c
Pour déterminer le nombre de Néper, le nombre e il sut de résoudre l'équation ln x = 1. La
solution est x = e ; e = 2,71828... Ce nombre est irrationnel, on ne peut le mettre sous forme
de fraction.
∗
Df = R+
at
hs
Soit à résoudre : ln x = 7 ;
ln x = 7 ∗ 1 ⇔ ln x = 7 ∗ ln e ⇔ ln x = ln e7 ⇔ x = e7
Soit à résoudre : ln ( x - 3 ) = 2
Il faut que :
x − 3 > 0 ⇔ x > 3 ⇒ Df =]3; ∞[
ln(x − 3) = 2 ∗ 1 ⇔ ln(x − 3) = 2 ln e ⇔ ln(x − 3) = ln e2 ⇔ x = e2
ln x = a
m
GÉNÉRALISATION
fo
ln x = a ln(e) ⇔ ln x = ln(e)a ⇔ x = ea
TABLEAU DE VARIATION
in
25.5
Figure 25.8: Tableau de variation de la fonction ln
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258
LOGARITHMES
GRAPHE DE LA FONCTION LN
at
hs
.c
om
25.6
CHAPTER 25.
Figure 25.9: graphe de la fonction ln
LIMITES PARTICULIÈRES
.
in
fo
m
limx→∞ lnxx = 0; la fonction ln(x) croit moins vite que la variable x .
limx→∞ lnxnx = 0;n ∈ N∗ alors la fonction ln(x) croit moins vite que la variable xn
limx→0+ x ln x = 0;
limx→0+ xn ln x = 0;n ∈ N∗
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25.6.
259
GRAPHE DE LA FONCTION LN
DÉRIVÉE COMPOSÉE
(ln |u| =
u0
; u > 0
u
u0
;u 6= 0
u
f (x) = ln(x2 + 7) ;
forme f (x) = ln u ⇒ f '(x) =
Soit à dériver
Df = R
de la
2x
x2 +7
f (x) = ln( x+3
);
x+5
Soit à dériver
Df =] − 3; ∞[
de la forme
f (x) = ln w ⇒ f 0 (x) =
w0
u
; w de la forme
w
v
f 0 (x) =
u0 v−v 0 u
v2
=
(x+5)−(x+3)
(x+5)2
=
2
;
(x+5)2
at
hs
Dérivée du numérateur de :
.c
( x+3 )0
f 0 (x) = (x+5
x+3 ; Posons :
)
x+5
(
u(x) = x + 3 u0 (x) = 1
v(x) = x + 5 v 0 (x) = 1
om
(ln u)0 =
Finalement on obtient :
w0
w
=
2
(x+5)2
(x+3)
(x+5)
=
2
(x+5)2
x+5
x+3
=
2
(x+5)(x+3)
in
fo
m
f 0 (x) =
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260
LOGARITHMES
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPTER 25.
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om
Chapter 26
FONCTION EXPONENTIELLE
INTRODUCTION À LA RÉCIPROCITÉ D'UNE FONC-
.c
26.1
TION
R+
et associons son carré at
hs
Prenons un réel x qui prend ses valeurs dans l'intervalle
+
est dans l'ensemble d'arrivée R .
L'image de 3 par cette fonction carrée est 9 :
L'image de 7 par cette fonction carrée est 49
x2
qui
3 7→ 9
: 7 7→ 49
Recherchons un antécédent. Quel est le réel positif x qui donne pour carré la valeur 25 ?
Pour déterminer cet antécédent, il sut de prendre la racine carrée de
Supposons x et y positifs,
x ∈ R+
,
y ∈ R+
,
2
y =x ⇔x=y
x2
qui a ici la valeur 25.
. On dit que la fonction carrée
in
fo
m
et la fonction racine carrée sont des bijections réciproques l'une de l'autre. L'ensemble de départ
+
+
+
et l'ensemble d'arrivée sont tous les deux dans l'intervalle R . La fonction carrée de R vers R
+
+
réalise une bijection et sa bijection réciproque R vers R est la fonction racine carrée.
Résolvons dans
R+
Figure 26.1: réciprocité des fonctions
la fonction
f : x 7→ x2 = 25
Passons par la fonction réciproque de la fonction carré,
x=
√
x2
et
√
x2
25 = 5.
Cette introduction va nous permettre de comprendre le lien entre la fonction logarithme et la
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261
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262
CHAPTER 26.
FONCTION EXPONENTIELLE
fonction exponentielle qui vont avoir le même type de comportement que la fonction carrée et la
fonction racine carrée dénies ci dessus.
Composons successivement la fonction carrée et la fonction racine carrée.
- Prenons un réel x qui prend ses valeurs dans l'intervalle
R+
si nous extrayons la racine carrée du résultat alors nous retrouvons le réel positif x :
- Prenons un réel x qui prend ses valeurs dans l'intervalle
2
√x et
x2 = x
et associons son carré R+
et associons la racine carrée et
√
( x)2 = x. Ceci
−1
et si nous la composons avec sa réciproque (f
)
s'appelle l'involution. Nous avons une fonction
f
om
si nous élevons le résultat au carré alors nous retrouvons le réel positif x :
alors on retrouve la valeur de départ.
Soit une bijection f, et sa réciproque
f −1 :
f [f −1 (x)] = x ou f −1 [f (x)] = x
√
√
( x)2 = x ou x2 = x
in
fo
m
at
hs
.c
Nous allons retrouver ces mêmes mécanismes avec la fonction logarithme et exponentielle.
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26.2.
263
DÉFINITION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE.
26.2
DÉFINITION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE.
On appelle fonction exponentielle de x, notée exp(x), le réel unique appartenant à l'intervalle
]0; +∞[
dont le logarithme népérien est x : ln [ exp( x ) ] = x.
La fonction logarithme népérien est une bijection de l'intervalle
R+ vers R+ , ]0; +∞[ vers ]−∞; +∞[
f : x 7→ exp(x)
y = exp(x) ⇔ x = ln(y)
x ∈ R soit ] − ∞; +∞[ et y ∈R+
∗ soit ]0; +∞[
Quelque soit x (∀x) exp(x) est toujours positif
om
, elle admet une bijection réciproque appelée fonction exponentielle notée exp.
: exp(x) > 0
CONSÉQUENCES
m
at
hs
.c
ln 1 = 0 ⇔ exp(0) = 1
ln(e) = 1 ⇔ exp(1) = e
ln[exp(x)] = x
exp[ln(x)] = x
in
fo
Figure 26.2: réciprocité des fonctions exp et ln
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264
CHAPTER 26.
FONCTION EXPONENTIELLE
NOUVELLE NOTATION
Pour tout entier relatif n ,
ln(en ) = n ln(e)
relation (1)
n
comme ln (e) = 1 alors ln (e ) = n
n
exp(n) = exp ( ln (e ) en se servant de la relation (1) donc nous en déduisons une nouvelle notation
:
en f : x 7→ exp(x)
ou
f : x 7→ ex
qui se lit :
exponentielle de x.
soit la fonction f qui à x associe
om
exp(n) =
Dorénavant l'écriture retenue sera la deuxième notation plus pratique d'écriture.
et
y ∈ R∗+
soit
]0; +∞[
in
fo
m
at
hs
y = ex ⇔ x = ln(y)
x ∈ R soit ] − ∞; +∞[
ln 1 = 0 ⇔ e0 = 1
ln e = 1 ⇔ e1 = e
ln(ex ) = x
eln(x) = x
.c
RÉSUMÉ (NOUVELLE NOTATION)
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26.2.
265
DÉFINITION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE.
PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
1° ) Démonstrations :
Appliquons les propriétés algébriques des logarithmes
d'où
4°) Démonstrations :
na = ln(ena )
par conséquent :
.c
−b = ln(e−b )
(
−b = − ln eb
−b = ln e1b
que
at
hs
na = ln(ea )n mais on peut aussi écrire
na = ln(ea )n = ln(ena ) ⇔ (ea )n = ena
1
−b
3°) Démonstrations : (e ) = b
e
:
om
ea+b = ea ∗ eb quelque soit a et b (∀a, ∀b)
a
b
Posons : a = ln(e ) ; b = ln(e ) et additionnons a et b, on obtient :
a + b = ln(ea ) + ln(eb ) mais comme ln(c x d) = ln(c) + ln (d) on peut écrire
a + b = ln(ea ∗ eb ) relation (3)
x
mais on peut toujours écrire en tenant compte de la formule ln(e ) = x
a + b = ln(ea+b ) relation (4)
a+b
en comparant les relations (3) et (4) , on peut donc écrire : e
= ea ∗ eb
a n
na
2° ) Démonstrations : (e ) = e
a
a
Posons : a = ln(e ) ; na = n ln(e ).
− ln(eb ) = ln( e1b ) ⇔ (e−b ) =
(ea−b ) =
1
eb
ea
eb
ea−b = ea+(−b)
ea−b = ea xe−b ⇔ (ea−b ) = ea x e1b ⇔ ea−b =
ea
eb
Calculer :
1° )
m
EXERCICES D'APPLICATIONS
in
fo
e3 xe2 = e3+2 = e5
2
−2
2° )(e5) xe
= e10 xe−2 = e8
3x
3° ) e
− 1xe1 − x = e3x − 1 + 1 − x = e2x
2x−1
e
2x−1−(1−x)
4° ) 1−x = e
= e2x−1−1+x = e3x−2
e
x
2
2
5° ) f (x) = (3e − 5) de la forme (a + b)
f (x) = (3ex )2 − 2(3ex )(5) + 52 = 9e2x − 30ex + 25
x
6° ) Résoudre f (x) = e − 7
ex − 7 = 0 ⇔ ex = 7 ⇔ ln(ex ) = ln 7 ⇔ x = ln 7
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266
CHAPTER 26.
26.3
ln
FONCTION EXPONENTIELLE
SENS DE VARIATION
ex = x ; x ∈ R,
et quelque soit
x(∀x) ex
est toujours positif :
ex > 0
Pour étudier le sens de variations, calculons la dérivée de cette fonction et étudions le signe de
cette dérivée.
u0
u
=1⇔
(ex )0
ex
égalité des deux dérivées de la forme (ln U)' = (x)'
= 1 ⇔ (ex )0 = ex
om
ln ex = x;
(ln ex )' = (x)'
La fonction exponentielle est la seule fonction qui admet pour dérivée sa propre fonction. La
x
x
x
x
fonction e admet pour dérivée e qui est positive e > 0, la fonction e est donc toujours croissante
R.
TABLEAU DE VARIATION
at
hs
26.4
.c
sur
] − ∞; +∞[
soit
R
vers
]0; +∞[
soit
R∗+
in
fo
m
La fonction exponentielle réalise une bijection de
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26.5.
267
GRAPHE DE LA FONCTION
26.5
GRAPHE DE LA FONCTION
Dans la gure ci dessous apparaît trois graphes :
g(x) = ln(x)
et
f (x) = x
qui est l'axe de symétrie des deux
h(x) = exp(x)
at
hs
.c
om
autres graphes,
Figure 26.3: graphes fonctions exponentielle et ln
CONSÉQUENCES
Quel que soit a et b
b
e =e ⇔a=b
exemples :
a )
(∀a, ∀b)
m
1° )
a
e3x−1 = ex+8 ⇔ 3x − 1 = x + 8 ⇔ 2x = 9 ⇔ x =
2
9
2
e3x −1 = ex−3 ⇔ 3x2 − 1 = x − 3 ⇔ 3x2 − x + 2 = 0
4 = b2 − 4ac = 12 − 4(3)(2) = −23, le discriminant est négatif
fo
b )
donc aucune solution.
S = { Ø }
2°
in
)ea ≤ eb ⇔ a ≤ b
e3x-1 ≤ex+8 ⇔ 3x − 1≤x + 8 ⇔ 2x≤9 ⇔ x≤ 29
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268
26.6
CHAPTER 26.
FONCTION EXPONENTIELLE
LIMITES
at
hs
.c
om
limx→∞ ex = ∞
limx→−∞ ex = 0
x
x
Démontrons limx→∞ e = ∞ , pour cela démontrons que pour tout réel x, e ≥ x.
x
Soit la fonction h(x) = e − x et étudions son sens de variations.
h'(x) = ex − 1 ⇒ h'(x) ≥ 0 ⇔ ex − 1 ≥ 0 ⇔ ex ≥ 1 ⇔ ln ex ≥ ln 1
x ≥ ln 1 ⇔ x ≥ 0
Finalement : h'(x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 0, la fonction h(x) sera donc décroissante sur ] − ∞; 0[ et croissante
sur [0; +∞[. Elle présente un minimum, de valeur 1, pour x = 0.
Figure 26.4: tableau de variation
h(x) = ex − x
R, h(x) ≥ 1 soit h(x) > 0 ⇔ h(x) = ex − x > 0 ⇔ ex > x.
limx→∞ ex > limx→∞ x ⇔ limx→∞ ex = ∞
Pour tout x de
limx→−∞ ex = 0
Posons X = −x, si x → −∞ alors X → +∞
1
= e1X
ex = e−x
limx→−∞ ex = limX→+∞ e1X
1
x
comme limx→∞ e = ∞ alors limX→+∞ X = 0
e
m
Démontrons
donc
limx→−∞ ex = 0
fo
AUTRES LIMITES
ex
= +∞
x
ex
= +∞ avec n > 0 Ceci s'explique car le numérateur croît beaucoup plus vite que le
xn
dénominateur.
in
limx→+∞
limx→+∞
limx→−∞ xex = 0
limx→−∞ xn ex = 0
avec n > 0
DÉRIVÉE COMPOSÉE
(eu )0 = u0 eu
exemple : soit à dériver
f '(x) = (2x − 5)ex
f (x) = ex
2 −5x+1
2 −5x+1
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26.6.
269
LIMITES
EXERCICE DE SYNTHÈSE
Soit à étudier
f (x) = x − 2+e1−x
DOMAINE DE DÉFINITION
Df = R
soit
] − ∞∞; +∞[
om
LIMITES
Déterminons les limites aux bornes de l'ensemble de dénition.
1° ) calculons la limite de
f (x) = x(1 −
2
x
+
at
hs
.c
f (x) en + l'inni :


limx→+∞ x − 2 = +∞
limx→+∞ 1 − x = −∞ donc limx→+∞ f (x) = +∞ + 0 = +∞


limx→+∞ e1−x = 0
2° ) calculons la limite de f (x) en - l'inni :
f (x) = x − 2 + e1−x


limx→−∞ x − 2 = −∞
limx→−∞ 1 − x = +∞ donc limx→+∞ f (x) = −∞ + ∞ =???


limx→−∞ e1−x = +∞
Levons l'indétermination en réécrivant f (x) :
1−x
f (x) = x(1 − x2 + e x )
1−x
e
) car e x
xex
=
e1 x e−x
mais comme
x
1
e1−x
alors
ex
x
e−x =
=
e1
xex
=
e
xex
Intéressons nous à ce dernier terme :
e
xex
m
limx→−∞ xex = 0− donc limx→−∞
limx→−∞ x2 = 0
=
L'intérieur de la parenthèse tend vers
e
0−
= −∞
(1 − 0 − ∞) = −∞.
Finalement :
fo
limx→−∞ f (x) = (−∞)x(−∞) = +∞
ASYMPTOTE
Une droite asymptote à une courbe est une droite telle que, lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend
in
vers l'inni, la distance de la courbe à la droite tend vers 0.
La courbe def (x)
= x − 2 + e1−x
admet elle une asymptote ?
Cette fonction comprend 2 termes
(x − 2)
et
e1−x
. Soustrayons le premier de la fonction :
1−x
f (x) − (x − 2) = e
limx→+∞ f (x) − (x − 2) = limx→+∞ e1−x = 0
Comme limx→+∞ f (x) − (x − 2) = 0 alors la droite d'équation y = x − 2 est asymptote horizontale
au graphe de la fonction, f (x), car l'écart de la position de cette droite avec la fonction f (x)
1−x
1−x
tend vers 0, mais comme e
est toujours supérieur à 0 (e
> 0), le graphe de la fonction sera
toujours au dessus de la droite asymptotique.
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270
CHAPTER 26.
FONCTION EXPONENTIELLE
SENS DE VARIATIONS
Étudions la dérivée de la fonction
f (x) = x − 2 + e1−x
ce qui implique que la fonction est
in
fo
m
at
hs
.c
om
f '(x) = 1 + (−1)e1−x = 1 − e1−x
f '(x) ≥ 0 ⇔ 1 − e1−x ≥ 0 ⇔ 1 ≥ e1−x ou
e1−x ≤ 1 ⇔ ln e1−x ≤ ln 1 ⇔ 1 − x ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ou x ≥ 1
La dérivée est négative pour x ≤ 1 et positive pour x ≥ 1
décroissante pour x ≤ 1et croissante pour x ≥ 1.
1−x
Tableau de variation de f (x) = x − 2 + e
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26.6.
271
LIMITES
in
fo
m
at
hs
.c
om
GRAPHE DE LA FONCTION
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272
FONCTION EXPONENTIELLE
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPTER 26.
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om
.c
Part IV
in
fo
m
at
hs
PROBABILITÉS
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om
.c
at
hs
m
fo
in
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om
Chapter 27
27.1
.c
LES PROBABILITÉS ÉLÉMENTAIRES
DÉFINITIONS
at
hs
Une épreuve aléatoire est une épreuve dont le résultat dépend du hasard. Chacun des résultats
possibles s'appelle une éventualité (ou une issue).
L'ensemble
Ω
(Oméga) de tous les résultats
possibles d'une épreuve aléatoire s'appelle l'univers de l'expérience.
partie de l'univers
Ω
:
A⊂Ω
(A inclus dans
On dénit une loi de probabilité sur
Ω
(Oméga) en associant, à chaque éventualité
compris entre 0 et 1 tel que la somme de tous les
P : P (Ω) → [0, 1]
pi
xi
, un réel
pi
soit égale à 1.
fo
m
A → P (A)
L'évènement A est une
Ω).
27.2
VOCABULAIRE DES ÉVÉNEMENTS :
in
Un événement élémentaire est un événement possédant un seul élément.
Par exemple, lançons un dé, l'univers
Ω
est :
Ω
= ( {1}, { 2}, {3}, {4}, {5}, {6} ).
Notons l'événement A , obtenir un résultat pair : A = {2, 4, 6},
A ⊂ Ω.
Prenons chaque élément séparément : {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} alors chaque élément est un
événement élémentaire. Un événement élémentaire ne possède qu'un seul élément.
Deux évènements A, B, sont disjoints ou incompatibles (évènements incompatibles c'est à dire que
la réalisation simultanée de A et B est impossible) si et seulement si leur intersection est vide
A ∩ B = Ø.
Il n'y a aucun élément en commun entre l'ensemble A et l'ensemble B.
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275
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276
A∩B (lire A inter B ou A et B est constitué des éventualités qui appartiennent
à la fois à A et à B.
.c
L'évènement
LES PROBABILITÉS ÉLÉMENTAIRES
om
CHAPTER 27.
L'événement contraire d'un événement A est l'événement
Ω
qui n'appartiennent pas à A .
m
at
hs
pas à A. Ce sont tous les éléments de l'univers
A constitué des éléments de Ω n'appartenant
(A ∪ A) = Ω
L'évènement A∪B (lire A union B ou A ou B est constitué des éventualités qui appartiennent
conséquence :
soit à A, soit à B, soit aux deux ensembles.
/ , donc on peut écrire : P(A ∪ A) = P(A) + P(A) = 1
A sont incompatibles (A∩A) = O
fo
Les évènements A et
P(A) = 1-P(A)
CALCUL DES PROBABILITÉS
in
27.3
La probabilité d'un événement d'un univers ni
élémentaires qui le constituent.
Ω
est la somme des probabilités des évènements
La probabilité de
Ω
est 1, c'est la probabilité de l'événement
certain.
P(Ω) = 1.
Pour tout évènement A :
0 ≤ P(A) ≤ 1.
L'équiprobabilité correspond au cas où tous les évènements élémentaires ont la même probabilité
d'un événement élémentaire est :
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27.3.
277
CALCUL DES PROBABILITÉS
1
nombre d0 éléments de Ω
Lançons un dé : nous avons autant de chances d'avoir : 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6, alors nous
sommes dans une situation d'équiprobabilité.
Ω
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
La probabilité du 1 est égal à la probabilité du 2 qui est égal à .... qui est égal la probabilité
om
du 6 .
P (Ω) = 1.
Chaque probabilité élémentaire est égal à p , soit :
p + p + p + p + p + p = 1 ⇔ 6p = 1 ⇔ p = 16
P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = 1 car
Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments de cet ensemble.
Ici, le cardinal de
Ω
(noté card ) est : 6
.c
La probabilité est un nombre réel compris entre 0 et 1 qui est le rapport du nombre de cas favorables
sur le nombre de cas possibles. La probabilité de l'évènement A : [p(A)] est le rapport entre le
cardinal de A sur le cardinal de
Ω
:
P(A) =
card
(A ∪ B) =
at
hs
Pour tout événement A :
nombre de cas favorables card(A)
nombre d0 éléments de A
=
=
0
nombre d éléments de Ω
nombre de cas possibles
card(Ω)
card(A) + card(B) - card(A
obtient :
card(A∪B)
card(Ω)
=
∩ B),
card(A)
card(Ω)
+
en divisant chaque membre par card(Ω), on
card(B)
card(Ω)
−
card(A∩B)
card(Ω)
m
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Pour tous événements disjoints ou incompatibles A, B :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
fo
Pour tous événements A, B :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
in
Pour tout événement A :
P(A) = 1 − P(A)
Exemple 1 :
soit une pièce truquée, la probabilité d'obtenir face
P(F) = 0, 45
alors la probabilité d'obtenir pile
P(P) = 1 − P(F) = 1 − 0, 45 = 0, 55 (Pile et Face sont deux évènements contraires).
/ = 1 − P(Ω) =
Le contraire de P(Ω) = 1 (évènement certain) est alors l'évènement impossible P(O)
1 − 1 = 0.
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278
CHAPTER 27.
LES PROBABILITÉS ÉLÉMENTAIRES
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
at
hs
Soit un ensemble
.c
om
Exemple 2 :
A={2,4,6} qui correspond (obtenir un nombre pair)
B={4,5}
C={1,3} qui correspond (obtenir un nombre impair inférieur à 5)
ensembles.
∀
aux deux sous
m
A ∪ C={1,2,3,4,6}
∀ (quel que soit) A et B card (A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A∩B)
card(A ∪ B) = card(A) + card(B)−card(A ∩ B) = 3 + 2 − 1 = 4
(A∪B)={2,4,5,6} car les ensembles ne sont pas disjoints . Le chire 4 est commun
∪ C) = card(A) + card(C) - card(A∩C)
card(C)−card(A ∩ C) = 3 + 2 − 0 = 5
(quel que soit) A et C card (A
card(A
∪ C) =
card(A) +
fo
Si les ensembles A et C sont disjoints, les évènements A et C sont incompatibles deux à deux,
A∩C=Ø
alors card(A
∪ C) =
card(A) + card(C)
in
Exemple 3 :
Prenons un lancé de dé : soit
Ω
= {1,2,3,4,5,6}
Ω = {1}∪{2}∪{3}∪{4}∪{5}∪{6}
P (Ω)= P1+P2+P3+P4+P5+P6
P1+P2+P3+P4+P5+P6 = 1.
L'énoncé du problème indique que la probabilité d'obtenir un résultat pair est deux fois plus
grand que d'obtenir un résultat impair.
Le dé est truqué.
Nous ne sommes pas dans un cas
d'équiprobabilité.
soit P2 = probabilité d'un nombre pair
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27.4.
279
INTERPRÉTATION DE L'ÉNONCÉ
soit P1 = probabilité d'un nombre impair
donc on peut écrire P1+P2+P1+P2+P1+P2 = 1
3 x p1 + 3 x p2 = 1 mais comme p2 = 2 x p1 alors 3p1 + 3 x 2 x p1 = 9 x p1 = 1
P1 = P3 = P5 =
P2 = P4 = P6 =
2
9
INTERPRÉTATION de L'ÉNONCÉ
Application n°1 :
om
27.4
1
;
9
Avant de résoudre un problème, il faut avant tout avoir en tête la traduction des évènements
suivants :
Soit un article présentant un défaut A et un défaut B
E : l'article présente les deux défauts : E = A ∩ B
L'évènement F : l'article présente au moins 1 défaut : F = A ∪ B
L'évènement G : l'article présente 0 défaut (ni A ni B) : G = A ∩ B
L'évènement H : l'article présente seulement le défaut A : H = A ∩ B
L'évènement K : l'article présente 1 et un seul défaut :K = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
at
hs
.c
L'évènement
(ces deux
intersections sont incompatibles entr'elles).
A
A∩B
A∩B
A
B
B
A∩B
A∩B
A
A
B
2 défauts
1 défaut
B
1 défaut
0 défaut
Soit une caisse comprenant 100 articles qui peuvent présenter le défaut A ou le défaut B ou les 2
m
défauts. On dresse le tableau suivant des deux défauts:
A
A
4
8
12
6
82
88
10
90
100
fo
B
B
Les articles présentant le défaut A : 10. Les articles ne présentant pas le défaut A : 90.
in
Les articles présentant le défaut B : 12. Les articles ne présentant pas le défaut B : 88.
(A ∩ B) :
P (A) = 0, 9
Les articles ne représentant aucun défaut
Calculons
P (A)
:
P (A) =
Calculons
P (A)
:
P (B) =
10
100
12
100
= 0, 1
et
= 0, 12
et
82.
P (B) = 0, 88
Calculons la probabilité que l'article ait les deux défauts (A
P (A ∩ B) =
4
100
∩ B)
:
= 0, 04
Calculons la probabilité que l'article ait au moins 1 défaut, c'est à dire le défaut A ou le défaut B
∪ B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
ou les deux défauts : (A
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280
CHAPTER 27.
LES PROBABILITÉS ÉLÉMENTAIRES
P (A ∪ B) = 0, 1 + 0, 12 − 0, 04 = 0, 18
Calculons la probabilité que l'article n'ait aucun défaut :
P (A ∩ B) =
82
100
(A ∩ B)
= 0, 82
que nous aurions pu calculer en cherchant le contraire de au moins 1 défaut :
P (A ∩ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − 0, 18 = 0, 82
La probabilité qu'un article présente le défaut A,
défaut B,
om
Application n°2 :
P (A) = 0, 15
P (B) = 0, 25.
La probabilité qu'il présente au moins 1 défaut est de 0,35.
l'article présente les deux défauts ?
Quelle est la probabilité pour que
.c
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B)
P (A ∩ B) = 0, 15 + 0, 25 − 0, 35 = 0, 05
et la probabilité qu'il présente le
Dans le type d'exercice que vous rencontrerez, vous aurez les informations suivantes :
E
et
F.
Calculez
P (E ∩ F ), P (E ∩ F ),
en déduire
at
hs
Soit deux évènements
P (E).
Dans l'énoncé, les
valeurs seront données pour calculer ces évènements.
Il faudra rédiger de la manière suivante :
E = (E ∩ F ) ∪ (E ∩ F ) donc P (E) = P (E ∩ F ) + P (E ∩ F )
(E ∩ F ) sont incompatibles.
on sait que l'évènement
évènements
(E ∩ F )et
E
E∩F
E∩F
E
in
fo
m
F
F
car les
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om
Chapter 28
PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
DÉFINITION
.c
28.1
La probabilité conditionnelle d'un évènement A, sachant qu'un autre évènement B de probabilité
non nulle s'est réalisé (ou probabilité de A, sachant B) est le nombre noté P(A|B) déni par :
Le réel
P (A∩B)
mais s'écrit aussi
P (B)
P (A|B) =
P (A∩B)
P (B)
at
hs
PB (A) =
PB (A) se lit probabilité de A, sachant B se note aussi parfois P(A|B) et se lit de manière
identique.
En faisant le produit en croix, on en tire la relation :
P (A ∩ B) = PB (A) x P (B)
(1).
La probabilité conditionnelle de B sachant A est le nombre noté :
PA (B)
ou P(B|A), déni par
PA (B) =
P (A∩B)
.
P (A)
En faisant le produit en croix, on en tire la relation :
P (A ∩ B) = PA (B) x P (A)
(2)
m
Des relations (1) et (2) on peut écrire une relation très utile :
P (A ∩ B) = PB (A) x P (B) = PA (B) x P (A)
La probabilité conditionnelle d'un évènement
non nulle s'est réalisé (ou probabilité de
de même nous pouvons calculer :
et
PA (B)
P (A|B)
déni par :
P (A∩B)
et
P (B)
PA (B) =
PB (A)
:
P (A∩B)
(3)
P (A)
in
PB (A) =
sachant qu'un autre évènement B de probabilité
sachant B) est le nombre noté
P (A∩B)
P (A)
fo
PA (B) =
A,
A,
28.2
PROBABILITÉS TOTALES
A
B
B
A = A ∩ B) ∪ (A ∩ B) (2ième
Saïd Chermak
A∩B
A∩B
A
A∩B
A∩B
ligne du tableau)
281
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282
CHAPTER 28.
PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B) (4) car les évènements B et B
ième
Calculons à l'aide du tableau P (B) : (3
ligne du tableau)
P (B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B)
La relation (1) : P (A ∩ B) = PB (A) x P (B) (1)
La relation (3) :
PB (A) =
P (A∩B)
P (B)
sont incompatibles
⇔ P (A ∩ B) = P(B) (A) x P (B)
P (A) = PB (A) x P (B) + PB (A) x P (B) 1
28.3
ARBRE de PROBABILITÉ
om
Finalement des relations (1) et (3) on peut écrire la relation (4) :
Un arbre de probabilité est un schéma permettant de résumer une expérience aléatoire connaissant
.c
des probabilités conditionnelles.
On nomme arbre de probabilité un graphe orienté et pondéré obéissant aux règles suivantes :
La somme des probabilités des branches issues d'un même sommet donne 1.
at
hs
La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
La pondération de la branche allant du sommet A vers le sommet B est la probabilité condition-
PA (B).
nelle de B sachant que A est déjà réalisé
P (A )
A
PA (B )
b
B
> P (A \ B )
b
B
> P (A \ B )
b
B
> P (A \ B )
b
B
> P (A \ B )
b
PA (B)
m
b
fo
P (A)
A
PA (B )
b
PA (B)
On retrouve alors la propriété de la probabilité conditionnelle :
in
P (A ∩ B) = P (A) x PA (B)
P (A ∩ B) = P (A) x PA (B)
P (A ∩ B) = P (A) x PA (B)
P (A ∩ B) = P (A) x PA (B)
(produit des chemins).
(produit des chemins)
(produit des chemins)
(produit des chemins)
Remarques
Ne pas confondre :
1. Formule de BAYES
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28.3.
283
ARBRE DE PROBABILITÉ
PB (A) =
P (A∩B)
et
P (B)
P (A∩B)
P (A)
PB (A) =
P (A∩B)
P (B)
⇔ P (A ∩ B) = P (B) x PB (A)
PA (B) =
P (A∩B)
P (A)
⇔ P (A ∩ B) = P (A) x PA (B)
PA (B) =
C'est l'énoncé du problème qui vous conduira à utiliser une des deux formes.
PA (B) = 0, 625 ; PA (B) = 0, 5
P (A ∩ B), P (A ∩ B). En déduire P (B).
P(A) = 0,8 ;
Calculer
Calculer
Solution :
om
Exercice
PB (A).
évènements A et B sont incompatibles.
PB (A) ; PB (A) =
P (A∩B)
P (B)
0,5
0,6
=
=
5
6
car les
at
hs
Calculons
.c
P (A ∩ B) = PA (B) x P (A) = 0, 625 x 0, 8 = 0, 5
P (A ∩ B) = PA (B) x P (A) = PA (B) x (1 − P (A) = 0, 5 x (1 − 0, 8) = 0, 1
On sait que B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ⇒ P (B) = P (A ∩ B) + P (A∩) = 0, 5 + 0, 1 = 0, 6
Nous obtenons l'arbre ci-dessous :
P
P (A)
= 0; 8
A (B ) = 0; 625
b
> P (A
\
B)
= 0; 5
b
B
> P (A
\
B)
= 0; 3
b
B
> P (A
\
b
B
> P (A
\
A (B ) = 0; 375
P
m
B
b
P
A (B ) = 0; 5
A
B
= 0; 1
b
= 0; 2
P
A (B ) = 0; 5
B)
= 0; 1
in
fo
P (A)
b
A
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284
PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPTER 28.
Saïd Chermak
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om
Chapter 29
ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS
INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENTS
.c
29.1
ARBRE DÉPENDANT
at
hs
Dire que deux évènements sont indépendants signie que :
P (A ∩ B) = P (A) x P (B)
PB (A) = P (A)
ou
on a donc :
PA (B )=P(B)
Exemple : dressons 2 arbres :
- le premier avec des événements dépendants
m
- le second avec des événements indépendants
A
b
B
b
B
b
B
b
B
0; 8
b
0; 6
0; 2
0; 4
A
0; 5
b
0; 5
in
fo
b
P (A) = 0, 6;
PA (B) = 0, 8;
PA (B) = 0, 5
Arbre dépendant ci dessus, on voit bien que la probabilité de la branche
AB
est diérente de la
brancheAB, donc suivant l'évènement A la probabilité dépend de l'événement A :
PA (B) 6= PA (B)
Dans l'arbre ci dessus les événements sont dépendants
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286
CHAPTER 29.
ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS
ARBRE INDÉPENDANT
Deux évènements sont indépendants si la probabilité de A n'est pas conditionnée par la probabilité
de B ou réciproquement.
PB (A) = P (A)
ou
PA (B) = P (B)
0; 8
b
B
b
B
b
B
b
B
> P (A
A
= 0; 48
b
0; 8
> P (A
A
b
\
B)
= 0; 32
at
hs
.c
0; 2
om
0; 2
P (A) = 0, 6 ;
PA (B) = 0, 8 ;
PA (B) = 0, 8 ;
B)
b
0; 6
0; 4
\
Dans l'arbre indépendant ci dessus, on voit bien que la probabilité de la branche AB est égale à la
AB donc quelque soit l'évènement A, la probabilité de
PA (B) = PA (B) = P (B)
En eet P (B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B) = 0, 48 + 0, 32 = 0, 8
branche
B ne change pas !
Dans cet arbre les événements sont indépendants.
m
Remarques
Si les évènements sont indépendants :
PA (B) = P P(A∩B)
et PA (B) = P (B). Ces deux expressions étant égales, nous pouvons écrire :
(A)
P (A∩B)
P (A)
= P (B) ⇔ P (A ∩ B) = P (A) x P (B)
fo
de même nous pouvons écrire
PB (A) = P P(A∩B)
⇔ P (A ∩ B)
(B)
= P (B) x P (A)
in
EXERCICE 1
Un représentant de commerce doit visiter successivement trois ville A, B, C.
1°) A l'aide d'un arbre, déterminer tous les itinéraires permettant de visiter les trois villes.
2°) Le représentant choisit au hasard l'un de ces itinéraires.
a) calculer la probabilité que, sur cet itinéraire, les villes B et C se suivent dans cet ordre.
b) Calculer la probabilité que cet itinéraire commence par la ville B et se termine par la ville C.
c) Calculer la probabilité que, sur cet itinéraire, la ville C soit située avant la ville B.
Solution :
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29.1.
287
INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENTS
1°) La première ville étant choisie , il reste deux choix possibles pour la ville suivante; la deuxième
ville étant à son tour choisie il reste 1 seul choix pour la dernière,soit :
3 x 2 x 1 = 6 choix possibles
2°a) sur le graphe nous comptons 2 chemins pour que les villes B et C se suivent :
P1 =
2
6
=
1
3
= 0, 33
b) sur le graphe nous comptons 1 chemin pour que la ville commence par B et se termine par C :
1
6
= 0, 16
om
P2 =
c) sur le graphe nous comptons 3 chemins pour que la ville C commence avant la ville B :
P3 =
3
6
= 0, 5
EXERCICE 2
1
nombre de sorties
82
2
3
4
5
6
120
153
207
265
173
at
hs
numéro sorti
.c
On a lancé 1000 fois un dé pipé (truqué). Les résultats sont consignés dans le tableau
On prendra comme probabilité de sortie d'un numéro la fréquence d'apparition de ce numéro.
1°) On lance le dé une fois.
Calculer la probabilité de chacun des événement suivants
A : le résultat est inférieur ou égal à 3 ;
B : le résultat est strictement supérieur à 5 ;
C : le résultat est multiple de 3 ;
m
2°) Pierre et Cécile jouent avec le dé.
Pierre parie sur l'obtention d'un résultat pair.
Pierre a-t-il autant de chance que Cécile de gagner?
fo
Solution
1° A )
82+120+153
355
= 1000
= 0, 355
1000
173
B ) P =
= 0, 173
1000
153+173
326
C ) P =
= 1000
= 0, 326
1000
500
120+207+173
2° ) P2 + P4 + P6 =
= 1000
1000
in
P =
= 0, 5
Pierre a autant de chance de gagner que Cécile!
EXERCICE 3
Une classe de 36 élèves âgés de 16, 17 ou 18 ans comprend 22 garçons dont 18 âgés de 17 ans et 3
âgés de 18 ans; on dénombre d'autres part 6 lles âgées de 18 ans et une seule de 16 ans.
1°) Reproduire et compléter le tableau d'eectifs suivant
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288
CHAPTER 29.
Âge\Sexe
Garçons
Filles
ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS
Totaux
16 ans
17 ans
18 ans
Totaux
2
°)
36
On choisit un élève au hasard parmi les 36 élèves. Tous les élèves ont la même probabilité
om
d'être choisis.
Dans ce qui suit, les résultats seront donnés sous forme de fraction irréductible.
a) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : L'élève choisi a 17 ans ;
B : L'élève choisi est une lle ;
C : L'élève choisi est une lle de 17 ans ;
∩
∪
B et A
B.
.c
b) Dénir par une phrase en français les événements : A
Calculer P(A inter B) et P(A∪B)
at
hs
Solution
2° a)
Âge\Sexe
Garçons
Filles
Totaux
16 ans
1
1
2
17 ans
18
7
25
18 ans
3
6
9
Totaux
22
14
36
25
36
+
14
36
−
7
36
=
32
36
=
8
;
9
in
fo
m
25
;
P (A) = 36
7
P (B) = 14
= 18
;
36
7
P (C) = 36 .
b) A ∩ B >L'élève est une lle de 17 ans
A ∪ B > L'élève a 17 ans ou l'élève est une lle.
7
; P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =
P (A ∩ B) = 36
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289
INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENTS
EXERCICE 4
P (A) = 0, 3 ; P (B) = 0, 4 ; P (A ∪ B) = 0, 48;
Question classique : les évènements A et B sont ils indépendants ?
vériée :
om
∀ A et B la relation ci dessous est toujours
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B)
P (A ∩ B) = 0, 3 + 0, 4 − 0, 48 = 0, 22 (1)
si les évènements sont indépendants :
P (A ∩ B) = P (B) x P (A) = 0, 4 x 0, 3 = 0, 12
(2)
Nous voyons que les équations (1) et (2) ne sont pas égales donc les évènements A et B ne sont
pas indépendants.
.c
Attention aux erreurs faîtes entre les évènements indépendants et dépendants !
ci-dessous l'arbre dépendant correspondant à l'exercice
P
A (B ) = 0; 733
b
= 0; 3
B
> P (A
\
B)
= 0; 22
at
hs
P (A)
A
b
B
> P (A
\
b
B
> P (A
\
b
B
> P (A
\
b
P
A (B ) = 0; 267
P
A (B ) = 0; 257
b
A
B)
B
= 0; 08
= 0; 18
b
P (A)
= 0; 7
A (B ) = 0; 743
B)
= 0; 52
m
P
EXERCICE 5
fo
Une urne contient 5 boules rouges et 15 boules blanches. On eectue deux tirages successifs avec
remise des deux boules. Soit l'évènement A tirer 2 boules rouges, l'évènement B tirer au moins 1
boule rouge, l'évènement C tirer une boule rouge.
in
Quelles sont les probabilités de A , de B et de C ?
Ici nous avons une remise donc la probabilité est la même à chaque tirage. Les évènements A et
B sont indépendants.
Obtenir une boule rouge :
5
5
25
1
)( 20
) = 400
= 16
= 0, 0625
P (A) = ( 20
Pour P (B), on s'aperçoit dans l'arbre ci dessous que d'obtenir au moins une boule rouge correspond
aux 3 premières branches de l'arbre. Le complément de ces 3 évènements est le dernier évènement
correspondant à n'obtenir que 2 boules blanches, ceci tel que si nous prenons le complément des 2
boules blanches nous obtiendrons les 3 évènements correspondants à obtenir au moins une boule
rouge donc :
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290
CHAPTER 29.
ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS
Obtenir au moins une boule rouge :
P (B) = 1 − P (B) x P (B) = 1 − (0, 75) x (0, 75) = 0, 4375
Probabilité de tirer une boule rouge :
P (C) = P ({R, B} ∪ P ({B, R}) = P (R ∩ B) ∪ P (B ∩ R) = 0, 25 x 0, 75 + 0, 75 x 0, 25
P (C) = 2(0, 25 x 0, 75) = 0, 375
b
R
b
B
b
R
0; 25
b
0; 75
b
0; 25
b
> BR
b
> BB
at
hs
0; 75
EXERCICE 6
B
> RB
.c
0; 75
B
> RR
om
0; 25
R
Un tireur à l'arc tire 10 fois de suite sur un cible . La probabilité de toucher la cible est
P (T ) = 0, 8.
D'un tir à l'autre le tireur garde constante sa probabilité. Les 10 tirs sont indépendants les uns
des autres.
Soit X la variable qui associe le nombre de tirs réussis.
Quelle est la probabilité
P (X = 10)
Quelle est la probabilité
P (X = 1)
pour que ce tireur atteigne 1 fois la cible ?
Quelle est la probabilité
P (X ≥ 1)
pour que ce tireur atteigne au moins 1 fois la cible ?
m
pour que ce tireur atteigne 10 fois la cible ?
Si le tireur tire n fois de suite , quel est le nombre minimum de tirs pour que la probabilité P(N),
qu'il atteigne au moins une fois la cible, dépasse 0,999 ?
Solutions :
Probabilité P (X = 10):
fo
-
P(X = 10) = P(T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T)
P(X = 10) = P(T) x P(T) x P(T) x P(T) x P(T) x P(T) x P(T) x P(T) x P(T) x P(T)
in
P(X = 10) = 0, 810 ' 0, 107
-
Probabilité P (X = 1) :
admettons que le tireur ne touche la cible
qu'au premier tir alors on obtient
qu'au second tir alors on obtient
qu'au
3ième
tir alors on obtient
P(T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T) = 0, 8 x 0,29
P(T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T) =0, 8 x 0, 29
P(T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T ∩ T) = 0,8 x 0, 29
.....
et ainsi de suite jusqu'au dernier tir, donc nous faisons dix fois cette opération donc nalement :
9
−6
P (X = 1) = 10 x 0, 8 x 0, 2 ' 4.10
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29.1.
291
INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENTS
Bien entendu, il existe une démarche plus simple de traiter ce genre de problème mais il faut
étudier d'abord le dénombrement, les combinaisons, puis la loi binomiale ... ce qui sera fait
dans un cours prochain !
-
Probabilité P (X ≥ 1) :
nous pouvons avoir la même démarche que ci-dessus, mais un raison-
nement plus astucieux nous conduit comme précédemment à chercher l'évènement contraire. Le
contraire de au moins 1 est aucun , c'est à dire que le tir soit raté 10 fois donc :
Soit le plus petit entier : n = 5 tirs pour
P (N ) ≥ 0, 999!
.c
EXERCICE 7
A et B sont deux évènements indépendants tels quep(A)
PA (B), P (A ∩ B)
et
P (A ∪ B).
= 0, 2
et
at
hs
Solution :
om
P (X = 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − 0, 210 ' 0, 99!
n
- Probabilité P(N) : P (N ) = P (X1) = 1 − 0, 2 donc
P (N ) ≥ 0, 999 ⇒ 1 − 0, 2n ≥ 0, 999 ⇒ −0, 2n ≥ −0, 001 ⇔ 0, 2n ≤ 0, 001
⇔ n ≥ 4, 29
ln(0, 2)n ≤ ln 0, 001 ⇔ n ln 0, 2 ≤ ln 0, 001 ⇔ n ≥ lnln0,001
0,2
p(B) = 0, 1.
Calculer
PB (A),
PB (A) = P (A) = 0, 2 ;
PA (B) = P (B) = 0, 1 ;
P (A ∩ B) = P (A) x P (B) = 0, 2 x 0, 1 = 0, 02 ;
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0, 2 + 0, 1 − 0, 02 = 0, 28.
EXERCICE 8
m
A et B sont deux évènements tels que
PA (B), P (A ∪ B)
p(A) = 0, 4
et
p(B) = 0, 5.
Calculer
P (A ∩ B), PB (A),
lorsque :
les évènements A et B sont incompatibles,
les évènements A et B sont indépendants.
fo
Solution :
Dans le cas incompatible :
in
/ =0;
P (A ∩ B) = P (O)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0, 4 + 0, 5 − 0 = 0, 9
PB (A) =
PA (B) =
P (A∩B)
P (B)
P (A∩B)
P (A)
=
0
0,5
=0
;
=
0
0,4
=0
;
;
Dans le cas indépendant :
P (A ∩ B) = P (A) x P (B) = 0, 4 x 0, 5 = 0, 20 ;
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0, 4 + 0, 5 − 0, 2 = 0, 7
PB (A) =
P (A∩B)
PA (B) =
P (A∩B)
P (A)
P(B)
=
0,2
0,4
= 0, 5
;
=
0,2
0,5
= 0, 4
.
Saïd Chermak
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;
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CHAPTER 29.
ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS
EXERCICE 9
Indiquer dans chaque cas si les évènements A et B sont indépendants.
1)
2)
3)
P (A) = 0, 62 ; P (B) = 0, 4 et P (A ∩ B) = 0, 248
S
P (A B) = 0, 58 ; P (A) = 0, 4 et P (B) = 0, 3
PB (A) = 0, 25 ; P (A) = 0, 1 et P (A ∪ B) = 0, 5
Solution :
cas 1 :
P(A) x P(B) = 0, 62 x 0, 4 = 0, 248
P (A ∩ B) = 0, 248 donc les deux évènements
sont indépendants.
cas 2 :
.c
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 0, 4 + 0, 3 − 0, 58 = 0, 12
P(A) x P(B) = 0, 4 x 0, 3 = 0, 12 donc les deux évènements A et B sont
cas 3 :
P (A∩B)
P (B)
= 0, 25 ⇔ P (A ∩ B) = 0, 25 x P (B)
indépendants.
;
at
hs
PB (A) =
P (A ∩ B) = P (A) x P (B)
om
Rappel : deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0, 5 − 0, 1 + P (B) − 0, 25 x P (B)
P(A ∪ B) = 0, 4 − 0, 75 x P(B) ;
0,4
8
P (B) = 0,75
= 15
;
2
8
= 15
P(A ∩ B) = 0, 25 x 15
4
P(A) x P(B) = 0, 1 x 8 = 75
;
Les deux évènements A et B ne sont pas indépendants.
m
EXERCICE 10
;
Soit A et B deux évènements indépendants d'une même expérience aléatoire.
1) montrer que A et
B
sont aussi indépendants
A
et
B
sont aussi indépendants
fo
2) en déduire que
3) à l'aide de l'arbre pondéré ci dessous, déterminer la valeur de p sachant que A et B sont
in
indépendants.
b
B
> P (A
\
B)
b
B
> P (A
\
B)
b
B
> P (A
\
b
B
> P (A
\
A
= 0; 24
b
0; 3
b
A
B
b
P
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?
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B)
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29.1.
293
INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENTS
cas 1 :
Hypothèse :
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Pour montrer que A et
B
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B),
.
sont aussi indépendants il faut démontrer que
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
ces deux intersections sont incompatibles
P (A) = P (A ∩ B) ∪ P (A ∩ B)
om
P (A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B)
P(A ∩ B) = P(A) − P(A) x P(B) = P(A) x (1 − P(B))
P(A ∩ B) = P(A) x P(B).
Les deux évènements A et
B
sont aussi indépendants.
il faut monter que :
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
P(B) = P(A ∩ B) ∪ P(A ∩ B)
at
hs
P(A ∩ B) = P(B) − P(A ∩ B)
.
.c
cas 2 :
P(A ∩ B) = P(B) − P(A) x P(B)
P(A ∩ B) = P(B) x (1 − P(A))
P(A ∩ B) = P(B) x P(A))
cas 3 :
m
par déduction on obtient :
b
B
> P (A
\
B)
= 0; 24
b
B
> P (A
\
B)
= 0; 06
b
B
> P (A
\
b
B
> P (A
\
0; 8
A
b
fo
0; 3
0; 2
in
b
0; 8
0; 7
A
B
= 0; 56
b
0; 2
B)
= 0; 14
EXERCICE 11
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre sachant que les évènements A et B sont indépendants.
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294
CHAPTER 29.
ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS
b
B
> P (A
\
B)
b
B
> P (A
\
B)
b
B
> P (A
\
b
B
> P (A
\
B)
b
B
> P (A
\
B)
A
= 0; 28
b
b
A
B
0; 6
om
b
on obtient par déduction :
0; 4
A
0; 6
b
0; 3
B
> P (A
\
b
B
> P (A
\
b
B
> P (A
\
A
B)
B
= 0; 42
= 0; 12
b
0; 6
ne pas oublier de vérier P(A), P(B),
EXERCICE 12
b
at
hs
0; 4
.c
b
0; 7
= 0; 28
B)
PB (A), PA (B ), P (A ∩ B)
= 0; 18
et
P (A ∪ B).
m
Un article peut présenter deux types de défauts : A et B. La probabilité que l'article ait le défaut
A et le défaut B est respectivement de 0,08 et 0,05. Soit P(A)=0,08 et P(B)=0,05. La probabilité
que l'article ait au moins un défaut est de 0,126.
fo
1) les évènements A et B sont ils indépendants ?
2) calculer la probabilité que l'article ait seulement le défaut A.
3) calculer la probabilité que l'article n'ait aucun défaut.
Solution :
in
1 ) la traduction de : au moins un défaut est de 0,126 est P(A∪B)=0,126. Pour montrer que
les évènements A et B sont indépendants nous devons démontrer que : P(A∩B) = P(A) x P(B).
P(A) x P(B) = 0,08 x 0,05 = 0,004
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A
P(A∩B) = P(A) + P(B) -
∩ B)
P(A∪B)
P(A∩B) = 0,008 + 0,004 - 0,126 = 0,004
par conséquent les évènements A et B sont indépendants.
2 ) la probabilité que l'article ait seulement le défaut A se traduit
P(A ∩ B)
( le défaut A et pas
le défaut B).
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29.1.
295
INDÉPENDANCE DE DEUX ÉVÈNEMENTS
P(A∩B ) = P(A) x P(B ) ces deux évènements sont incompatibles
P(A∩B ) = 0,08 * (1- 0,05) = 0,076
3 ) Nous avons deux possibilités pour calculer la probabilité que l'article n'ait aucun défaut qui se
traduit par P(A
∩ B)
:
a) l'évènement aucun défaut se traduit par le contraire de au moins 1 défaut soit :
∩ B) = 1 - P(A∪B) =1 - 0,126 = 0,874
P(A ∩ B) = P(A) x P(B ) = (1 - 0,08) x (1
P(A
- 0,05) = 0,874
EXERCICE 13
om
b)
On lance 8 fois de suit une pièce de monnaie truquée. La probabilité d'obtenir face est de 0,45.
P(F)= 0,45.
.c
1 ) calculer la probabilité d'avoir 8 fois Face .
2 ) calculer la probabilité d'avoir au moins 1 fois Face .
at
hs
Solution
A chaque lancer nous sommes bien en présence d'évènements indépendants.
1 )P (F
∩ F ∩ F ∩ F ∩ F ∩ F ∩ F ∩ F)
=
p(0,45) x p(0,45) x p(0,45) x p(0,45) x p(0,45) x p(0,45) x p(0,45) x p(0,45) =
0, 458
in
fo
m
2 ) au moins 1 fois face se traduit 1 fois face et plus donc on va chercher la probabilité
8
contraire d'avoir 0 face soit la probabilité contraire d'avoir 8 fois Pile . P(1 − 0, 55 ).
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296
ÉVÈNEMENTS INDÉPENDANTS
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPTER 29.
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om
Chapter 30
DÉFINITION
at
hs
30.1
.c
VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
Une variable aléatoire est une fonction (plus exactement une application) dénie sur l'ensemble
des éventualités
(Ω)
vers l'ensemble des nombres réels.
Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne prend que des valeurs discontinues dans un
intervalle donné (borné ou non borné).
L'ensemble des nombres entiers est discret.
En règle
générale, toutes les variables qui résultent d'un dénombrement ou d'une numération sont de type
discrètes.
On dit que la variable aléatoire est discrète si elle ne prend que des valeurs isolées. Dans le cas
fo
m
contraire, on dit qu'elle est continue.
Exemple introductif :
in
Une urne est composée de 2 boules rouges R1 et R2 et d'une boule blanche B. L'épreuve consiste
à tirer simultanément 2 boules. Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre de boules rouges
tirées.
1 ) Quelles sont les valeurs prises par X(Ω) ?
2 ) Quelle est la loi de probabilité de X ?
Déterminons lunivers
(Ω)=
(Ω)
c'est à dire l'ensemble des tirages possibles :
{B, R1}, {B, R2}, {R1, R2} } par conséquent les valeurs prises par X:
Saïd Chermak
297
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Ω) 7→{1
; 2}
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298
VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
at
hs
.c
om
CHAPTER 30.
Le tirage {B, R1}, {B, R2} est associé au réel 1(une seule boule rouge a été tirée), le tirage {R1,
R2} est associé au réel 2 (deux boules rouges ont été tirées). Le lien entre
Ω
et
R est X qui porte
Ω (l'ensemble de
appelées X(Ω)).
le nom de variable aléatoire. X est une application qui a tout élément de
départ) associe un nombre réel (de l'ensemble d'arrivée que sont les images
La loi de probabilité de X est la probabilité associée à chacune des valeurs prises par X.
Rappel : la probabilité
P (X = 1) =
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
m
P (X = 2) =
2
3
1
3
P (X) =
P (X = 1) + P (X = 2) =
2
3
+
1
3
=1
Compliquons ce premier exemple.
Maintenant pour jouer, la mise est de 5¿.
fo
boule rouge on gagne 4¿, si on tire une boule blanche on perd 1
¿.
Si on tire une
L'épreuve consiste à prélever
simultanément 2 boules . X est la variable aléatoire qui associe le gain du joueur.
gain boule Rouge > 4¿
in
gain boule Blanche > -1¿
Le solde est alors pour 2 boules rouges : 4 + 4 - 5 = 3¿ (gain diminué de la mise)
Le solde est alors pour 1 boule blanche + 1boule rouge : -1 + 4 - 5 = -2¿ (gain diminué de la
mise)
Les valeurs prises par X sont : X(Ω)={-2 ; 3}
La loi de probabilité de X
P (X = −2) =
P (X = 3) =
2
3
1
3
Saïd Chermak
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30.2.
299
ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE
X = xi
-2
P (X = xi ) 23
xi p i
− 43
8
x2i pi
3
1
− 31
17
3
ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE
om
30.2
P
3
1
3
3
3
9
3
L'espérance mathématique (paramètre de position ) de X représente la moyenne , ici cela
correspond au gain moyen du joueur . L'espérance est notée
E(X)
E(X) = x1 ∗ p(X = x1 ) + x2 ∗ p(X = x2 )+... +xn ∗ p(X = xn )
et est calculée ainsi :
E(X) =
soit
Pp
1
Si le joueur joue un grand nombre de fois, il peut espérer un gain moyen de
xi p i .
− 13 ¿
! Le jeu est
RAPPEL DE STATISTIQUE
at
hs
30.3
.c
défavorable au joueur car il procure une espérance de gain négative (une perte).
Dans une classe soit deux élèves :
l'élève A qui a trois notes suivantes : 9, 10, 11 ; la moyenne est de
xA = 10
l'élève B qui a trois notes suivantes : 2, 10, 18 ; la moyenne est aussi de
xB = 10.
Les deux élèves ont la même moyenne mais cette dernière n'est pas un élément susant d'appréciation
des deux élèves. Il faut pour mieux analyser cette situation un paramètre supplémentaire de dispersion.
C'est l'écart type des notes que nous devons utiliser.
σA < σB
permet de se rendre compte que les notes de l'élève A sont moins dispersées
m
L'écart type :
par rapport à la moyenne que celles de l'élève B. L'élève A est plus régulier que l'élève B.
En probabilité, analysons la dispersion des valeurs
xi
autour de la valeur centrale
E(X).
Ce
paramètre de dispersion s'appelle la variance , à partir de cette dernière on peut calculer un
fo
autre paramètre de dispersion : l'écart type en extrayant la racine carrée de l'espérance.
VARIANCE
in
30.4
1ère formule :
V (x) =
P
pi [xi − E(X)]2
(pondération des écarts élevé au carré. formule longue à
calculer). On préférera la
2
ième
formule (formule de Koenig) :
30.5
V (X) =
P
x2i pi − E(X)2 =
17
3
−
1
9
=
50
9
= 5, 55
ÉCART TYPE
Calcul de l'écart type :
Saïd Chermak
σ(X) =
p
√
V (X) = 5, 55 = 2, 35
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300
CHAPTER 30.
VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
Exercice type :
Une entreprise fabrique un produit qui peut présenter de manière indépendante deux types de
M
E . La probabilité du défaut mécanique
P (M ) = 0, 05 et la probabilité du défaut électrique P (E) = 0, 08. Les défauts apparaissent de
façon indépendante. Le coût de production de l'article est de 100¿, le coût du SAV électrique est
de 20¿, le coût du SAV mécanique est de 30¿. Soit X la variable aléatoire qui associe le coût de
défaut, 1 défaut mécanique
et 1 défaut électrique
Déterminez la loi de probabilité de X ce qui revient à :
- déterminer les valeurs prises par X
om
revient de l'article.
- calculer les probabilités associées à chaque valeur prise par X.
pour 0 défaut l'article revient : 100¿
pour 1 défaut électrique l'article revient : 120¿
.c
a) Déterminons les valeurs prises par X :
pour 1 défaut mécanique l'article revient : 130¿
at
hs
pour 2 défauts l'article revient : 150¿
par conséquent X(Ω)= { 100 ; 120 ; 130 ; 150 }
b) Calculons les probabilités de chaque évènement
= 100) = P (E ∩ M ) = (E) x P (M ) = P (1 − 0, 08) x P (1 − 0, 05) = 0, 92 x 0, 95 = 0, 874
= 120) = P (E ∩ M ) = P (E) x P (M ) = P (0, 08) x P (1 − 0, 05) = 0, 08 x 0, 95 = 0, 076
= 130) = P (E ∩ M ) = (E) x P (M ) = P (1 − 0, 08) x P (0, 05) = 0, 92 x 0, 05 = 0, 046
= 150) = P (E ∩ M ) = P (E) x P (M ) = P (0, 08) x P (0, 05) = 0, 08 x 0, 05 = 0, 004
= 100) + P (X = 120) + P (X = 130) + P (X = 150) = 0, 874 + 0, 076 + 0, 046 + 0, 004 = 1
m
P (X
P (X
P (X
P (X
P (X
in
fo
X = xi
P (X = xi )
xi p i
x2i pi
Calcul de la variance :
Calcul de l'écart type
100
120
120
150
P
0,874
0,076
0,046
0,004
1
87,4
9,12
5,98
0,6
103,08
8740
1094,4
774,8
90
10699,2
P
V (X) = x2i pi − E(X)2 = 10699, 2 − 103, 082 = 73, 71
p
√
: σ(X) =
V (x) = 73, 71 = 8, 58
Autre Exemple introductif :
Soit une tombola composée de 20 billets répartie comme suit :
- 4 billets qui rapportent 10¿,
- 4 billets qui rapportent 20
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¿,
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30.5.
301
ÉCART TYPE
- 12 billets perdants.
Pour jouer il faut acheter un billet dont le coût unitaire est de 5¿.
Soit X la variable aléatoire associant le gain du joueur.
1 ) Quelles sont les valeurs prises par X ?
2 ) Quelle est la loi de probabilité de X ?
Solution :
om
3 ) Calculer l'espérance mathématique, la variance et l'écart type de X.
a ) Le gain espéré est de 0¿, 10¿, 20¿. La mise est de 5¿.
Le gain réel (le solde) sera alors de : -5¿, 5¿, 15¿
a) -5¿ (cas tirage billet perdant),
b) 5¿ (cas du billet gagnant 10¿)
c) 15¿ (cas du billet gagnant 20¿).
Ω
m
at
hs
.c
Soit X associant le gain du joueur, les valeurs prises par X : {-5, 5, 15}
l'ensemble de départ représente tous les tirages possibles. Il y a une relation (une application)
entre les éléments d'Ω et les éléments de l'ensemble d'arrivée qui comprend les réels -5, 5, 15 qui
sont les images X(Ω).
fo
b ) la loi de probabilité de X est la probabilité associée à chacune des valeurs prises par X. C'est
la réponse aux questions suivantes :
P (X = −5) ?
- Quelle est la probabilité de P (X = 5) ?
- Quelle est la probabilité de P (X = 15) ?
nombre de cas favorables
Rappel : La probabilité P (X) =
nombre de cas possibles
in
- Quelle est la probabilité de
P (X = −5) = 12
= 0, 6 (cas tirage de 1 des 12 billets perdants)
20
4
P (X = 5) = 20 = 0, 2 (cas tirage de 1 des 4 billets gagnant 10 ¿)
4
P (X = 15) = 20
= 0, 2 (cas tirage de 1 des 4 billets gagnant 20 ¿).
Il faut s'assurer absolument que la somme des probabilités partielles fasse 1 :
(0, 6 + 0, 2 + 0, 2 = 1)
c ) Calcul de l'espérance mathématique, la variance et l'écart type de X. Pour déterminer la loi de
probabilité de X, on s'appuie en général sur un tableau
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302
CHAPTER 30.
xi
P (X = xi )
xi p i
x2i pi
VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
-5
5
15
P
0,6
0,2
0,2
1
-3
1
3
1
15
5
45
65
L'espérance mathématique (paramètre de position ) de X représente la moyenne. L'espérance est
E(X) et elle est calculée ainsi :
E(X) = x1 ∗ p(X = x1 ) + x2 ∗ p(X = x2 )+... +xn ∗ p(X = xn )
notée
P
E(X) = p1 xi pi .
Si le joueur joue un grand nombre de fois, il peut espérer un gain moyen de 1¿ ! Le jeu est favorable
om
soit
au joueur car il procure un gain positif dans le cas contraire le jeu sera favorable à l'organisateur
du jeu.
Calcul de la variance et écart type (paramètre de dispersion des
P
V (X) = x2i pi − E(X)2 = 65 − 12 = 64 (formule de Koenig)
σ(X) =
p
V (X) =
√
64 = 8
par rapport à l'espérance) :
in
fo
m
at
hs
.c
Calcul de l'écart type :
xi
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30.5.
303
ÉCART TYPE
Exercice 1
Pour passer le temps, Chloé et Margaux inventent un jeu avec leur paquet de 32 cartes à jouer et
un paquet de bonbons.
On rappelle que, dans un jeu de 32 cartes, on trouve quatre couleurs (pique, trèe, coeur et carreau)
et , que dans chaque couleur, on a une série de 8 cartes (7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as).
Margaux propose la règle suivante :
om
- on tire une carte, on regarde si c'est un roi. Sans remettre la carte dans le paquet, on tire une
seconde carte et on regarde si c'est un roi.
- si, sur les 2 cartes, on a tiré exactement un roi, on gagne 10 bonbons ; si on a tiré deux rois, on
gagne 20 bonbons sinon on a perdu !
on note :
-
R1
R2
R1 son évènement contraire,
et R2 son évènement contraire.
l'évènement tirer un roi au premier tirage et
l'évènement tirer un roi au deuxième tirage .c
-
1 ) Justier les valeurs des probabilités suivantes :
P (R1 ) =
1
;
8
PR1 (R2 ) =
3
;
31
PR1 (R2 ) =
4
31
at
hs
2 ) on traduit le jeu par un arbre pondéré. Reproduire l'arbre ci dessous en inscrivant les probabilités, en écriture fractionnaire sur chaque branche
b
R2
> P (R1 \ R2 )
b
R2
> P (R1 \ R2 )
b
R2
> P (R1 \ R2 )
b
R2
> P (R1 \ R2 )
R1
b
m
b
R1
b
fo
Dans ce qui suit, les probabilités seront données sous forme décimale arrondie au millième.
3 ) Calculer la probabilité des évènements :
1°) évènement A : tirer un roi au premier tirage et au deuxième tirage ;
in
2°) évènement B : tirer un roi à un seul des deux tirages 4 ) On s'intéresse au nombre X de bonbons gagnés après deux tirages. Recopier et compléter le
tableau.
P (R1 ∩ R2)
suivante donne la loi de probabilité de X.
Nombre de bonbons
xi
0
P (X = xi )
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10
20
0,226
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304
CHAPTER 30.
5) Calculer l'espérance mathématique
E
VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
de cette loi, arrondie au dixième.
Solutions
1 ) Justions les valeurs des probabilités :
4
P (R1) = 32
= 18 ; quatre rois sur 32 cartes ;
3
PR1 (R2 ) = 31
; il reste 3 rois sur 31 cartes ;
4
PR1 (R2 ) = 31 ; il reste 4 rois (la première carte
tirée n'est pas un roi ) et 31 cartes.
R1
om
2 ) L'arbre de probabilités
b
R2
> P (R1 \ R2 )
b
R2
> P (R1 \ R2 )
b
R2
> P (R1 \ R2 )
b
R2
> P (R1 \ R2 )
3=31
b
1=8
28=31
7=8
R1
4=31
b
at
hs
27=31
.c
b
3 ) Calculons la probabilité des évènements :
- 1°) évènement A : tirer un roi au premier tirage et au deuxième tirage revient à calculer :
3
= 248
= 0, 012
P (A) = P (R1 ∩ R2 ) = P (R1 ) x PR1 (R2 ) = 81 x 28
31
- 2°) évènement B : tirer un roi à un seul des deux tirages revient
4
7
) + ( 78 x 31
) = 31
= 0, 226
P (B) = P (R1 ∩ R2 ) ∪ P (R1 ∩ R2) = ( 81 x 28
31
à calculer :
m
4 ) Complétons le tableau
Gagner 10 bonbons c'est réaliser l'évènement B, Gagner 20 bonbons c'est réaliser l'évènement A.
fo
Nombre de bonbons
P
0
10
20
0,762
0,226
0,012
1
0
2,26
0,24
2,5
E(X) = 2, 5
in
Espérance
P (X = xi )
x2i pi
xi
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30.5.
305
ÉCART TYPE
Exercice 2
Parmi les stands de jeux d'une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance
automatiquement une bille d'acier lorsque le joueur actionne un bouton. Cette bille roule sur un
plan comportant une cible circulaire évidée en son centre.
Lorsque la bille atteint la cible, soit elle est avalée, soit elle reste sur la cible.
Lorsque la bille n'atteint pas la cible, elle revient à son point de départ.
om
Dans la suite de l'exercice, on notera :
- C l'évènement la cible est atteinte ;
- B l'évènement la bille est avalée .
Une étude préliminaire a démontré que :
- la probabilité d'atteindre la cible lors d'un lancer est égale à 0,3 ;
.c
- lorsque la cible a été atteinte, la probabilité que la cible soit avalée est égale à 0,2.
1 - Traduire la situation aléatoire ci-dessus par un arbre de probabilité.
2 - On actionne le bouton. Calculer :
at
hs
a ) la probabilité P1 que la bille soit avalée.
b ) la probabilité P2 qu'elle reste sur la cible.
Une partie se déroule selon la règle ci-dessous. Pour jouer, on paye 0,50¿ et on actionne le bouton
qui lance la bille :
- si la bille est avalée , on gagne une lot d'une valeur de g euros ;
- si la bille reste sur la cible sans être avalée, on est remboursé ;
- si la bille rate la cible, on perd la mise.
m
3 ) Déterminer complètement la loi de probabilité de gain d'un joueur : on recopiera et on com-
fo
plétera le tableau ci dessous ; aucune justication n'est demandée.
gain
probabilité
4 ) Montrer que l'espérance de gain d'un joueur en fonction de g est
E = 0, 06g − 0, 38
in
On prévoit qu'un grand nombre de parties seront jouées.
Pour quelles valeurs de g les organisateurs peuvent ils espérer un bénéce ?
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306
CHAPTER 30.
VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE
Solutions :
1 ) arbre de probabilité
b
B
> P (C
\
B)
= 0; 06
b
B
> P (C
\
B)
= 0; 24
0; 2
0; 3
C
b
b
0; 8
C
om
0; 7
b
P 1 = P (C ∩ B) = 0, 3 x 0, 2 = 0, 06
b) P 2 = P (C ∩ B) = 0, 3 x 0, 8 = 0, 24
2 a)
2
3 )
¿
0,38
0,06
in
fo
m
g > 6,33
.c
E(X) = 0, 06g − 0, 38
réalisé pour E(X) > 0 : 0, 06g − 0, 38 > 0 ⇔ 0, 06g > 0, 38 ⇔ g >
4 a) Espérance
4 b) Bénéce
P
−0, 5
0
g − 0, 5
0, 7 0, 24
0, 06
1
−3, 5
0
0, 06g − 0, 03 0, 06g − 0, 38
at
hs
gain − mise = solde = xi
Probabilité P (X = xi )
xi p i
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om
Chapter 31
TIRAGE SUCCESSIF AVEC REMISE
at
hs
31.1
.c
DÉNOMBREMENT
Soit une urne opaque comprenant 5 boules numérotées de 1 à 5.
Nous allons tirer au hasard 1 boule, nous notons son numéro puis replaçons cette boule dans l'urne.
Nous recommençons ce tirage 3 fois. Il s'agit donc de tirages successifs avec remise .
b
1
b
2
b
3
b
4
b
5
b
in
fo
m
Avec cette technique nous pouvons établir pour la première boule l'arbre suivant :
Imaginons que la boule 3 ait été tirée au premier tirage. Recommençons notre expérience. Nous
obtenons l'arbre suivant :
Saïd Chermak
307
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308
CHAPTER 31.
1
b
1
b
2
b
3
2
b
b
3
b
b
4
b
5
om
b
DÉNOMBREMENT
b
4
b
5
Imaginons que la boule 4 ait été tirée au second tirage. Recommençons notre expérience. Nous
1
b
2
1
b
at
hs
b
.c
obtenons l'arbre suivant :
b
2
b
3
b
b
4
b
1
b
2
b
3
b
4
b
5
3
b
4
b
5
b
5
m
b
fo
Finalement il y a 5 choix possibles pour la 1ère boule, pour chaque boule il y a encore 5 choix
possibles pour la seconde et encore 5 choix possibles pour la troisième soit :
5 x 5 x 5 = 53 = 125 tirages possibles.
in
Exercice 1 :
Combien y a-t-il de codes bancaires à 4 chires, XXXX ?
Le premier chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10
le second chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10 x 10
le troisième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10 x 10 x 10
le quatrième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10 x 10 x 10 x10 =
104
= 10
000
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31.2.
309
TIRAGE SUCCESSIF SANS REMISE
Exercice 2 :
Combien y a-t-il de numéros de téléphones à 10 chires, XXXXXXXXXX ?
Le premier chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10,
10 x 10,
10 x 10 x 10,
4
choix : 10 x 10 x 10 x 10 = 10 ,
le second chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix :
le troisième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix :
le quatrième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10
om
.... ,
le dixième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 10 x 10 x 10 x10 x 10 x 10 x 10
10
x 10 x 10 x 10 = 10
= 10 000 000 000 numéros de téléphones !
Exercice 3 :
.c
Combien y a t il de numéros de téléphones à 10 chires, qui commencent par 06 ?
Le premier chire prend la valeur : 0, soit 1 choix : 1
at
hs
Le second chire prend la valeur : 6, soit 1 choix : 1 x 1
le troisième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 1 x 1 x 10
le quatrième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 1 x 1 x 10 x 10
...
le dixième chire peut prendre les valeurs de 0 à 9, soit 10 choix : 1 x 1 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10
8
x 10 x 10 x 10 = 10 = 100 000 000 numéros de téléphones !
Bien entendu, il y a autant de numéros de téléphone commençant par 07, 08, 09, ...
m
Généralisations du tirage avec remise
Soit une urne comprenant n boules numérotées de 1 à n , et si on eectue p tirages successifs
fo
avec remise, alors on obtient :
n choix pour la première boule multiplié par n choix pour la seconde multiplié par n choix
possible pour la .... et ainsi de suite jusqu'au
tirage :
np
in
n x n x ... x n =
pième
31.2
TIRAGE SUCCESSIF SANS REMISE
Soit une urne opaque comprenant 5 boules numérotées de 1 à 5.
Nous allons tirer au hasard 1 boule, nous notons son numéro. Dans l'urne il ne reste que 4 boules.
Nous recommençons ce tirage 3 fois. Il s'agit donc de tirage successifs sans remise .
Avec cette technique nous pouvons établir pour la première boule l'arbre suivant :
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310
1
b
2
b
3
b
4
b
5
b
b
Imaginons que la boule 3 ait été tirée au premier tirage.
1
.c
b
DÉNOMBREMENT
om
CHAPTER 31.
b
1
b
2
b
4
b
5
2
b
at
hs
3
b
b
4
b
b
5
Recommençons notre expérience.
m
Imaginons que la boule 4 ait été tirée au second tirage. Recommençons notre expérience. Nous
1
b
b
b
1
b
2
2
b
3
b
1
b
2
b
5
b
in
fo
obtenons l'arbre suivant :
4
b
4
b
5
b
b
5
Finalement : il y a 5 choix possibles pour la 1ère boule, puis il y a 4 choix possibles pour la seconde
boule, puis il y a 3 choix possibles pour la troisième boule, soit : 5 x 4 x 3 = 60 tirages possibles
successifs sans remise.
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31.2.
311
TIRAGE SUCCESSIF SANS REMISE
Exercice 4 :
Il y a une course de chevaux de 18 partants. Combien y a-t-il de tiercés dans l'ordre possible ?
Il y a 18 choix possibles pour le 1er cheval , puis il y a 17 choix possibles pour le second cheval ,
puis il y a 16 choix possibles pour le troisième cheval, soit : 18 x 17 x 16 = 4896 tiercés possibles
om
dans l'ordre.
Exercice 5 :
Soit une commode à 5 tiroirs, combien y a-t-il de manière de ranger 3 chemises dans ces 5 tiroirs ?
.c
avec le choix de mettre plusieurs chemises par tiroir il y a 5 choix possibles pour la 1ère chemise,
puis il y a 5 choix possibles pour la seconde chemise, puis il y a 5 choix possibles pour la troisième
chemises, soit : 5 x 5 x 5 = 125 façons possibles de ranger les chemises.
avec le choix de mettre une seule chemise par tiroir il y a 5 choix possibles pour la 1ère chemise,
at
hs
puis il y a 4 choix possibles pour la seconde chemise, puis il y a 3 choix possibles pour la troisième
chemises, soit : 5 x 4 x 3 = 60 façons possibles de ranger les chemises.
Cas particulier
Soit une urne opaque comprenant 5 boules numérotées de 1 à 5.
m
Nous allons tirer au hasard 1 boule, nous notons son numéro. Dans l'urne il ne reste que 4 boules.
Nous recommençons ce tirage 5 fois. Il s'agit donc de tirage successifs sans remise .
On obtient donc : 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 que l'on écrit 5 ! ( se lit 5 factorielle ou factorielle 5).
fo
Soit une urne opaque comprenant n boules numérotées de 1 à n . On obtient donc :
n x (n - 1) x ( n - 2 ) x ... x 3 x 2 x 1 = n !
in
de plus par convention 0 ! = 1
Exercice 6 :
anagramme : "renversement de lettres", est une construction qui inverse ou permute les lettres
d'un mot ou d'un groupe de mots pour construire un mot nouveau (ayant un sens ou non).
Combien y a t il d'anagrammes du mot ABC ?
Le raisonnement est identique. Nous pouvons dresser l'arbre :
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312
CHAPTER 31.
B
A
b
b
C
b
B
b
C
b
C
b
A
B
b
C
b
A
b
b
b
A
b
B
.c
C
om
b
b
DÉNOMBREMENT
B
b
b
A
at
hs
il existe donc 3 x 2 x 1 = 3 ! = 6 anagrammes du mot ABC
Exercice 7 :
Combien y a-t-il d'anagrammes du mot élèves ?
Le raisonnement est identique ( ici toutes les lettres sont distinctes).
Il existe donc 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6 ! anagrammes du mot élèves.
m
Exercice 8 :
Combien y a-t-il d'anagrammes du mot eleves ( ici toutes les lettres ne sont pas distinctes, répétition
de la lettre e ) ?
fo
Pour mieux nous repérer notons les lettres e de la façon suivante : e1 , e2 , e3 . Combien y a t
il de façons de permuter e1 , e2 , e3 . ? il y a 3 ! façons de permuter ( comme avec le mot ABC).
Finalement le nombre d'anagrammes du mot eleve (sans accent) est :
=
6x5x4x3x2x1
3x2x1
in
6!
3!
=120.
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31.2.
313
TIRAGE SUCCESSIF SANS REMISE
Exercice 9 :
Dans un mot il peut y avoir 2 doublons. Considérons le mot attristees et que chaque lettre
soit diérente.
il y a 10 ! arrangements pour toutes les lettres
il y a 3 ! arrangements pour la lettre t
il y a 2 ! arrangements pour la lettre s
om
il y a 2 ! la lettre e
Il y a donc :
10!
anagrammes du mot attristees.
3! x 2! x 2!
Attention : 3 ! x 2 ! n'est pas égal à 6 !
.c
Exercice 10 :
Combien y a-t-il d'anagrammes du mot ATTRIBUTION ?
Ce mot comprend 11 lettres, comprenant les doublons suivants : 3 T et 2 I . Il y a donc :
= 3326400
anagrammes diérents !
at
hs
11!
3! x 2!
Généralisations du tirage sans remise
Soit une urne comprenant n boules numérotées de 1 à n , et si on eectue p tirages successifs
sans remise, alors on obtient
n choix pour la première boule multiplié
par (n-1) choix pour la seconde multiplié
pieme tirage :
n x (n − 1) x (n − 2)... x [(n − (p − 1)] = n x (n − 1) x (n − 2)... x (n − p+1) qui s'écrit
Apn = n x (n − 1) x (n − 2)...x [(n − (p − 1)] = n x (n − 1) x (n − 2)... x (n − p+1).
m
par .... et ainsi de suite jusqu'au
aussi
Apn
fo
C'est le nombre de p Arrangements pris parmi n .
Dans les exemples précédents, dans le cas :
A35 = 5 x 4 x 3
3
chevaux : A18 = 18 x 17 x 16
- de l'urne le nombre d'arrangements de 3 parmi 5 boules :
- du tiercé le nombre d'arrangements de 3 parmi 18
Apn
Apn = n x (n − 1) x (n − 2)... x (n − p + 1).
in
Généralisons ce dernier cas
(n−p)!
Apn = n x (n − 1) x (n − 2)... x (n − p + 1) x (n−p)!
Apn =
n!
(n−p)!
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314
CHAPTER 31.
31.3
DÉNOMBREMENT
TIRAGE SIMULTANÉ SANS REMISE
Soit une urne opaque comprenant 5 boules numérotées de 1 à 5.
Si nous reprenons l'exemple du tirage successif sans remise avec les boules 1,2,3 nous pouvions
obtenir les arrangements suivants :
123, 132, 213, 231, 312, 321 soit 3 ! arrangements
om
mais on peut raisonner avec les boules 1,3,4 et obtenir les arrangements suivants : 134, 143, 314,
341, 413, 431 soit 3 ! arrangements mais on peut raisonner avec les boules 1,3,4 ... et caetera donc
en tout nous aurions obtenu :
A35 = 5 x 4 x 3 =
5!
(5−3)!
= 60
arrangements successifs sans remise.
Reprenons le problème ci dessus mais maintenant, nous allons tirer simultanément 3 boules.
- les 3 ! arrangements 123, 132, 213, 231, 312, 321 sont réduits à une seule possibilité la partie qui
.c
comprend les éléments {1, 2, 3}
- les 3 ! arrangements 134, 143, 314, 341, 413, 431 sont réduits à une seule possibilité la partie qui
comprend les éléments {1, 3, 4}
{3, 4, 5}.
at
hs
- les 3 ! arrangements 345 sont réduits à une seule possibilité la partie qui comprend les éléments
En fait il y a un rapport entre le tirage successif sans remise et le tirage simultané sans remise, ce
rapport est ici de 3 !
Le nombre de tirage simultané :
A35
qui s'écrit
3!
C35
c'est à dire le nombre de parties à 3 éléments
d'un ensemble qui en contient 5.
C35 =
5x4x3
3x2x1
= 10
m
Résumé :
Si dans une urne qui contient n boules, je prélève p boules simultanément c'est à dire le nombre
de parties à p éléments d'un ensemble qui contient n éléments :
Cpn =
Ap
n
p!
n!
car
p!(n−p)!
Apn =
n!
(n−p)!
c'est à dire le nombre de parties à 0 élément d'un ensemble qui contient n éléments soit
fo
C0n = 1
=
l'ensemble vide.
in
C1n = n c'est à dire le nombre de parties à 1 élément d'un ensemble qui contient n éléments.
Cnn = 1 c'est à dire le nombre de parties à n éléments d'un ensemble qui contient n éléments
soit la n partie pleine.
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31.3.
315
TIRAGE SIMULTANÉ SANS REMISE
Exemple 11 :
Soit une classe de 20 élèves, comprenant 12 garçons et 8 lles.
Combien d'équipes de 4 joueurs de tarot peut on former ?
Il y a
C420 = 4845
équipes diérentes, c'est à dire le nombre de parties à 4 éléments d'un ensemble
qui contient 20 éléments.
Combien d'équipes de 4 garçons peut on former ?
C412 =495
équipes garçons diérentes, c'est à dire le nombre de parties à 4 éléments d'un
ensemble qui contient 12 éléments.
Combien d'équipes de 4 lles peut on former ?
Il y a
om
Il y a
C48 =70 équipes lles diérentes, c'est à dire le nombre de parties à 4 éléments d'un ensemble
qui contient 8 éléments.
Combien d'équipes de 4 joueurs de même sexe peut on former ?
équipes de même sexe.
.c
C412 + C48 = 495 + 70 = 565
Combien d'équipes de 1 garçon peut on former( donc + 3 lles) ?
Remarques :
at
hs
C112 x C38 = 12 x 56 = 672
on emploiera toujours
Cpn
quand il s'agit de trouver le nombre de parties à p éléments d'un
ensemble qui contient n éléments. C'est le cas d'une grille de loto ou il faut choisir 6 éléments
6
parmi 49 : C49
p
on emploiera toujours An quand il s'agit de le tirage successif sans remise.
m
Exemple 12 :
Soit un jeu de 32 cartes. Formons des mains (distributions) de 5 cartes.
Combien y a-t-il de mains possibles ?
le nombre de parties à 5 cartes d'un ensemble qui contient 32 cartes.
fo
C532
Combien y a-t-il de mains comportant 2 as (donc + 3 cartes) ?
C24 x C328
soit 2 as parmi 4 et 3 cartes parmi les 28 restantes.
in
Combien y a-t-il de mains comportant 3 c÷urs (donc + 2 cartes) ?
C38 x C224
soit 3 c÷urs parmi 8 et 2 cartes parmi les 24 restantes.
Combien y a-t-il de mains comportant 1 roi et 1 sept (donc + 3 cartes) ?
C14 x C14 x C324
soit 1 roi parmi 4 et soit 1 sept parmi 4 et 3 cartes parmi les 24 restantes.
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316
CHAPTER 31.
DÉNOMBREMENT
Combien y a-t-il de mains comportant au moins 1coeur (donc 1 ou 2 ou 3, 4 ou 5 c÷urs) ?
5
5
Utilisons une astuce : il y a C32 mains possibles, il y a C24 mains qui n'ont pas de c÷urs. Par
5
5
conséquent il y a : C32 − C24 mains comportant au moins 1coeur.
Combien y a-t-il de mains comportant 2 as et 2 c÷urs (donc + 1 carte ; attention à la diculté
de l'as de c÷ur !) ?
Considérons l'as de c÷ur à part :
C23 x C27 x C121
soit 2 as parmi 3 et 2 c÷urs parmi 7 et 1 carte
Ce sont toutes les mains ne contenant pas l'as de c÷ur.
Rajoutons toutes les mains comprenant l'as de c÷ur :
C23 x C27 x C121 + C11 x C13 x C17 x C221
om
parmi les 21 restantes (11 cartes éliminées : 7 c÷urs + 4 as ).
soit 1 as de c÷ur parmi 1 + 1 as parmi 3 + 1 c÷ur parmi 7 + 2 cartes parmi les 21 restantes.
représente toutes les mains comprenant que l'as de c÷ur.
in
fo
m
at
hs
.c
C11 x C13 x C17 x C221
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om
Chapter 32
Rappel : si les évènements sont indépendants :
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
32.1
.c
LOI BINOMIALE
at
hs
DÉFINITION
Lançons 10 fois de suite une pièce de monnaie truquée. La probabilité d'avoir face est de P(F) =
0, 4 donc la probabilité d'avoir pile est de P(P) =0, 6. F et P sont des événements contraires,
P(F) + P(P) = 1. L'épreuve qui consiste à lancer une pièce de monnaie qui peut déboucher sur
deux issues soit une face soit sur pile. Cette épreuve porte le nom d'épreuve de BERNOULLI .
Si la probabilité de succès est : p alors la probabilité d'échec est : q = 1- p .
0; 4
b
F ae; S ues; Bon
b
P ile; E he; Def etueux
m
b
0; 6
fo
La pièce est lancée 10 fois. Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre
P(X = 0) = (1 − 0, 4)10 = 0, 610
P(P) =0, 6 x 0, 6 x 0, 6 x 0, 6 x 0, 6 x 0, 6 x 0, 6 x 0, 6 x0, 6 x 0, 6
10
La probabilité d'avoir 10 faces : P(X = 10) = 0, 4 .
in
La probabilité d'avoir 0 face :
k
de Faces .
car
On dit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres
n = 10, p = 0, 4.
qui s'écrit
X ,→ B(10; 0, 4).
Calculons P(X=1), P(X=9).
Calcul de P(X=1) :
Pour 1 face
Pour 1 face
Pour 1 face
⇒
⇒
⇒
FPPPPPPPPP
PFPPPPPPPP
PPFPPPPPPP
= 0, 41 x 0, 69
= 0, 41 x 0, 69
= 0, 41 x 0, 69
ou
ou
etc...
....
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318
CHAPTER 32.
Pour 1 face
⇒
PPPPPPPPPF
LOI BINOMIALE
= 0, 41 x 0, 69
La diérence de ces résultats est l'ordre dans lequel intervient le côté Face. Tous ces évènements
9
sont bien sûr des évènements indépendants. En fait nous faisons le calcul de 0, 4 x 0, 6 10 fois soit
P (X = 1) = 10 ∗ 0, 41 ∗ 0, 69 .
P (X = 9) :
1
9
faces ⇒ PFFFFFFFFF = 0, 6 x 0, 4
1
9
faces ⇒ FPFFFFFFFF= 0, 6 x 0, 4
1
9
faces ⇒ FFPFFFFFFF = 0, 6 x 0, 4
Calcul de
pour 9
pour 9
etc
om
pour 9
...
pour 9 faces
⇒
= 0, 61 x 0, 49
1
9
dessus soit : P (X = 9) = 10 x 0, 6 x 0, 4
FFFFFFFFFP
et cela 10 fois comme ci
Problématique :
Calculer
P(X = 3)
P(X = 2)
;
P(X = 7)
?
ces questions amènent une réponse diérente de
Comment les déterminer ?
tout simplement en ayant recours au
at
hs
celle vues jusqu'à présent.
;
. La somme des exposants est
.c
égal au nombre d'évènements : 10.
dénombrement (section suivante et chapitre précédent).
32.2
EXEMPLE CLASSIQUE
Une entreprise fabrique un article et dans la production il y a 8% d'articles défectueux.
prélève un échantillon de 30 articles.
On y
On suppose la production susamment importante pour
que ce tirage soit assimilé à un tirage avec remise ( c'est à dire que cette façon de faire est
équivalente à prélever un article, noter si ce dernier est défectueux ou non, puis remettre l'article
m
dans la production et on recommence l'opération 30 fois. Les 30 épreuves successives sont donc
considérées comme indépendantes).
Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre
k
d'articles défectueux .
la variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres
n = 30, p = 0, 08.
On dit que X
qui s'écrit
X ,→
fo
B(30; 0, 08).
P(X = 0) = 0, 9230
30
P(X=30) = 0, 08
0, 081 x 0, 9229 est vrai
in
pour le premier article défectueux mais cela pourrait être pour n'importe
1
29
quel article prélevé donc pour les 30 articles P(X = 1) = 30 ∗ 0, 08 x 0, 92
Pour 29 articles :
P(X = 29) = 30 ∗ 0, 0829 ∗ 0, 921
.
L'article non défectueux peut prendre 30
positions.
Problématique :
Calculer
P(X = 5)
;
P(X < 3)
celle vues jusqu'à présent.
;
P(X ≥28)
?
ces questions amènent une réponse diérente de
Comment les déterminer ?
tout simplement en ayant recours au
dénombrement (section suivante et chapitre précédent).
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32.3.
32.3
319
RAPPEL DE DÉNOMBREMENT
RAPPEL de DÉNOMBREMENT
Combien y a-t-il d'anagrammes du mot ABC ? voici les 6 anagrammes du mot ABC que l'on peut
former : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA (chapitre précédent). Il existe donc
3 x 2 x 1 = 3! = 6
anagrammes du mot ABC. Le mot obtenu pouvant avoir ou non une signication!
n x (n - 1) x ( n - 2 ) x ... x 3 x 2 x 1 = n !
B
b
C
b
A
b
b
C
b
B
b
C
.c
b
B
b
om
b
A
C
at
hs
b
A
b
A
b
B
b
A
b
C
b
B
b
Combien y a-t-il d'anagrammes du mot ETE ? Numérotons les lettres en
ABC. Il existe donc 3 x 2 x 1 = 3 ! = 6 anagrammes du mot
E1 E2
.
Il y a 2 !
3!
= 3x2x1
d'anagrammes du mot ETE est :
2!
2x1
m
Considérons les lettres
E1 TE2
E1 TE2
, pareillement à
.
façons de les permuter, par conséquent le nombre
= 3.
Voici les 3 seuls anagrammes : ETE, TEE, EET.
Attention : dans un mot nous pouvons avoir 2 doublons. Prenons par exemple le mot MISSISSIPI.
fo
Supposons toutes les lettres distinctes. Nous avons 10 ! anagrammes diérents.
Considérons maintenant que les 4 lettres i sont les mêmes ainsi que les 4 lettres s .
10!
MI1 S1 S2 I2 S3 S4 I3 PI4 . le nombre d'anagrammes est 4!x4!
.
in
Exercice :
Combien y a-t-il d'anagrammes du mot FFFPPPPPPP qui contient 10 lettres ?
10!
anagrammes du mot FFFPPPPPPP.
3! x 7!
32.4
GÉNÉRALISATION
Soit le mot SS....SEE......E qui contient n lettres et qui contient k lettres S donc n-k lettres
E.
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320
CHAPTER 32.
n!
anagrammes du mot SS....SEE......E
k! (n−k)!
n!
10!
x 9 x 8 x 7!
k
3
on écrit Cn =
; C10 =
= 3!10!
= 10
k! (n−k)!
3! (10−3)!
7)!
3 x 2 x 1 x 7!
LOI BINOMIALE
Il y a donc
Calcul de
3 faces
3 faces
⇒
⇒
P(X = 3)
X ,→ B(10; 0, 4).
?
FFFPPPPPPP =
PPFFFPPPPP =
0, 43 x 0, 67
0, 43 x 0, 67
om
Revenons à notre problématique : le lancer de pièces :
= 10 x 3 x 4 = 120
.
2 faces
⇒
P(X = 2)
= 0, 42 x 0, 68
10!
2!8!
x 0, 42 x 0, 68
pièces : X ,→ B(30; 0, 08).
at
hs
Calcul de
.c
En fait, cela revient à chercher le nombre d'anagrammes d'un mot de 10 lettres comprenant des
10!
doublons (3 fois F et 7 fois P) donc :
3!x7!
10!
Finalement P(X = 3) =
x 0, 43 x 0, 67
3!x7!
PPFFFPPPPP
Revenons à notre problématique :
donc
P(X = 2) =
la production de 30
Calculer
in
fo
m
P(X =5) ; P(X <3) ; P(X ≥ 28) ?
Calcul de P(X = 5)
30!
x 0, 085 x 0, 9225 .
P(X = 5) = 5!25!
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32.5.
321
RÉDACTION EXERCICE TYPE
32.5
RÉDACTION EXERCICE TYPE
Considérons n épreuves binaires (de BERNOULLI) présentant chacune 2 issues : soit Succès,
soit Échec, avec une probabilité p de Succès et une probabilité d'Échec q=1-p . On s'intéresse
au nombre k de Succès. Soit X associant le nombre k de succès, X suit une loi binomiale de
P(X = k)⇒ k fois Succès suivi de
n!
x pk (1 − p)n−k
P(X = k) = k!(n−k)!
Ckn =
n!
donc
k!(n−k)!
X ,→ B(n; p).
(n − k) Echecs ⇒
SSSEEEEEE
pour toutes les combinaisons.
P(X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k
Revenons à notre problème de production de 30 pièces :
om
paramètre n et p que l'on note
X ,→ B(30; 0, 08).
P(X = 3)
P(X = 3) = C330 x 0, 083 x 0, 9227
Calcul de
.c
Lorsque l'on est en présence de n épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues (Succès,
Échecs), avec une probabilité de succès p et une probabilité d'échec q = 1 - p , alors la variable
aléatoire X associant le nombre k de succès, suit une loi binomiale de paramètre n et p
X ,→ B(n; p).
P(X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k
avec
at
hs
que l'on note
L'espérance mathématique : E(X) = np
La variance : V(X) = np(1-p)
L'écart type :
σ=
p
V(X)
En cas de doute, ces dernières formules gurent dans le formulaire BTS !
Exercice 1 :
m
Il s'agit du problème de production d'articles avec un prélèvement d'un échantillon de 30 articles.
Question : quelle est la loi de probabilité de X ?
Réponse : comme l'on est en présence de 30 épreuves indépendantes, présentant chacune deux
fo
issues :
- soit la pièce prélevée est défectueuse avec une probabilité
- soit elle ne l'est pas avec une probabilité
p = 0, 08
q = 0, 92,
par conséquent la variable aléatoire X qui associe le nombre k de pièces défectueuses suit
in
une loi binomiale de paramètre n
P(X = k) = Ck30 x 0, 08k x 0, 9230−k .
= 30
et
p = 0, 08
que l'on note
X ,→ B(30; 0, 08)
avec
Exercice 2 :
Une urne contient 20 boules numérotées comprenant 5 boules rouges et 15 boules vertes.
On
eectue 10 tirages successifs avec remise de chaque boule.
Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre de boules rouges tirées,
- quelle est la loi de probabilité de X ?
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322
CHAPTER 32.
LOI BINOMIALE
- quelle est la probabilité d'avoir 2 boules rouges ?
- quelle est la probabilité d'avoir au moins 1 boule rouge ?
- quelle est l'espérance mathématique, la variance et l'écart type ?
Comme nous sommes en présence de 10 épreuves aléatoires indépendantes, présentant chacune 2
5
issues, une boule rouge est tirée avec une probabilité P(R) =
= 14 = 0, 25 par conséquent la
20
15
= 34 = 0, 75.
probabilité de tirer une boule verte est l'événement contraire P(V) = 1 − 0, 25 =
20
de paramètre
n = 10, p = 0, 25
que l'on note
La probabilité d'avoir k boules rouges est
om
La variable aléatoire X qui associe le nombre k de boules rouges tirées suit une loi binomiale
X ,→ B(10; 0, 25).
P(X = k) = Ck10 x 0, 25k x 0, 7510−k .
La probabilité d'avoir 2 boules rouges :
P(X = 2) = C210 x 0, 252 x 0, 758 ' 0, 28
P (X ≥ 1)
.c
La probabilité d'avoir au moins 1 boule rouge est
soit
P(X = 1)+ P(X = 2) +....+ P(X = 10) mais au lieu de calculer la somme de toutes ces probabilités
partielles nous allons passer par l'évènement contraire de au moins 1 qui est zéro .
at
hs
P(X = 0) = 1 − (C010 x 0, 250 x 0, 7510 ) = 1 − (1 x 1 x 0, 7510 ) ' 0, 94.
L'espérance mathématique est :E(X)
V(X) = np(1 − p)= 2, 5 x 0, 75 = 1, 875
p
√
σ = V (X) = 1, 875 ' 1, 36
La variance est :
et l'écart type
= np= 10 x 0, 25 = 2, 5.
Exercice 3 :
truquée.
Lançons 10 fois de suite une pièce de monnaie
m
Reprenons le problème de début du chapitre.
La probabilité d'avoir face est de P(F)= 0,4 et donc la probabilité d'obtenir pile P(P)=0,6. Soit
X la variable aléatoire qui associe le nombre k de Faces .
fo
Calculer les probabilités suivantes : P(X=0), P(X=10), P(X=1), P(X=3), P(X=8),
P(X ≤ 3).
La variable aléatoire X qui associe le nombre k de Faces tirées suit une loi binomiale de
paramètre n = 10, p = 0, 4 que l'on note
La probabilité d'avoir k faces est
X ⇒ B(10; 0, 4).
P(X = k) = Ck10 x 0, 4k x 0, 610−k .
in
P(X = 0) = C010 x 0, 40 x 0, 610 = 1 x 1 x 0, 006 ' 0, 006
10
0
P(X = 10) = C10
10 x 0, 4 x 0, 6 = 1 x 0, 0001 x 1 ' 0, 0001
P(X = 1) = C110 x 0, 41 x 0, 69 = 1 x 0, 4 x 0, 011 ' 0, 004
P(X = 3) = C310 x 0, 43 x 0, 67 = 120 x 0, 064 x 0, 028 ' 0, 215
P(X = 8) = C810 x 0, 48 x 0, 62 = 45 x 0, 00065 x 0, 36 ' 0, 01
P(X ≤ 0, 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = C110 x 0, 41 x 0, 69 + C210 x 0, 42 x 0, 68 ' 0, 004 + 0, 120 ' 0, 125.
Le nom de loi binomiale provient du fait qu'elle correspond aux termes successifs du développement
de la formule du binôme de Newton.
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32.5.
323
RÉDACTION EXERCICE TYPE
Exercice 4 :
Une entreprise fabrique un article et dans la production il y a 30% d'articles défectueux. On y
prélève un échantillon sur 20 articles. On suppose la production susamment importante pour
que ce tirage soit assimilé à un tirage avec remise ( c'est à dire que cette façon de faire est
équivalente à prélever un article, noter si ce dernier est défectueux ou non, puis remettre l'article
dans la production et on recommence l'opération 20 fois. Les 20 épreuves successives sont donc
Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre
variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres
k d'articles défectueux . On dit que X la
n = 20, p = 0, 3. qui s'écrit X ,→ B(20; 0, 3).
b
Defetueux
b
Non defetueux
0; 3
b
.c
0; 7
om
considérées comme indépendantes).
at
hs
P(X = 0) = 0, 720
P(X = 1) = 20 x 0, 31 x 0, 719
P(X = 19) = 20 x 0, 319 x 0, 71
P(X = 20) = 0, 320
Notre problématique était de calculer :
P(X =7)
;
P(X < 3)
;
P(X ≥ 18)
... etc ! ces questions
sont résolues grâce au dénombrement. Pour P(X=7) nous avons :
FFFFFFFPPPPPPPPPPPPP soit :
20!
7! (20−7)!
=
20!
7!13!
= C720
P(X = 7) = C720 x 0, 37 x 0,713
De même pour les calculs des probabilités suivantes, nous eectuons le même raisonnement et nous
obtenons :
m
P(X = 3) = C320 x 0, 33 x 0, 717 )
P(X = 4) = C420 x 0, 34 x 0, 716 )
fo
Exercice 5 :
Un client commande un lot de 150 composants. on assimile le choix des composants à des tirages
successifs avec remise. La probabilité que le composant est défectueux est de 10%. On note X la
in
variable aléatoire qui représente le nombre de composants défectueux que contient ce lot.
1) Justier le fait que la variable aléatoire X suit une loi binomiale, et donner les paramètres de
cette loi.
2) Donner l'espérance et l'écart type de la variable aléatoire X.
3) Calculer la probabilité d'avoir exactement 4 composants défectueux dans le lot. (Arrondir le
résultat au millième).
Rédaction type de la solution :
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324
CHAPTER 32.
LOI BINOMIALE
Comme on est en présence de 150 épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues,
- soit le composant est défectueux avec une probabilité p=10%=0,1
- soit il ne l'est pas avec une probabilité q =1 - 0,1= 0,9
Par conséquent la variable aléatoire X associant le nombre k de composant défectueux, suit une
loi binomiale de paramètres n = 150 et p = 0,1 , que l'on note :
loi binomiale :
avec la probabilité :
om
P(X = k) =
X ,→ B(150; 0, 1)
Ck150 0, 1k (0, 9)150−k et la
Espérance (qui correspond à une moyenne) : E(X)=150 x 0,1 = 15
V(X) = 15 x 0, 9 = 13, 5
√
Écart type : σ(X) =
13, 5 = 3, 674
4
4
P(X = 4) = C150 x 0, 1 x 0, 9146
in
fo
m
at
hs
.c
Variance :
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32.5.
325
RÉDACTION EXERCICE TYPE
Exercice 6 :
La probabilité pour qu'un tireur atteigne une cible est de 1/3, les tirs sont supposés indépendants
les uns des autres.
- sachant qu'il tire 5 fois, qu'elle est la probabilité pour qu'il atteigne la cible au moins deux fois?
- Combien de fois doit il tirer pour que la probabilité d'atteindre au moins une fois la cible soit
Solution :
om
plus grande que 0,9?
Soit au 1er tir il touche la cible, soit il la rate. Au second tir, soit il touche la cible, soit il la rate,
etc...
Comme on est en présence d'épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues,
- soit la cible est atteinte avec une probabilité p = 1/3
- soit elle ne l'est pas avec une probabilité q =1 - 1/3 = 2/3
.c
Par conséquent la variable aléatoire X associant le nombre 5 de tirs, suit une loi binomiale de
paramètres n = 5 et p = 1/3 , que l'on note :
X ,→ B(5; 1/3)
P(X = k) = Ck5 x
1k
3
x ( 32 )5−k
avec la probabilité :
et la
at
hs
loi binomiale :
Espérance (qui correspond à une moyenne) : E(X)=5 x (1/3) = 5/3
V(X) = 53 x 32 =
q
10
type : σ(X) =
9
Variance :
Écart
10
9
P(X = 4) = C4150 x 0, 14 x 0, 9146
Probabilité pour qu'il atteigne la cible au moins deux fois : P(X
≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(
Ce raisonnement est correct mais trop long et lourd en calcul. Il est plus intéressant de passer par
m
l'événement contraire :
P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)]
P(X ≥ 2) = 1 − [( 32 )5 + C15 x ( 31 )1 x ( 23 )4 ]
P(X ≥ 1) > 0, 9
fo
Probabilité d'atteindre au moins une fois la cible > 0,9 : soit
Nous tenons le même raisonnement que ci dessus.
in
P(X ≥ 1) > 0, 9 = 1 − P(X < 1) > 0, 9
P(X ≥ 1) > 0, 9 = 1 − P(X = 0) > 0, 9
−P(X = 0) > −1 + 0, 9
P(X = 0) < 0, 1 ⇔ ( 23 )n < 0, 1
ln( 32 )n < ln(0, 1) ⇔ n ln( 23 ) < ln 0, 1
n>
ln 0,1
ln( 23 )
⇔ n > 5, 68
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donc il faut au minimum 6 tirs.
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LOI BINOMIALE
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPTER 32.
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om
Chapter 33
EXERCICES - LOI BINOMIALE
RAPPEL DE RÉDACTION
Rédaction lors de la résolution d'un problème :
.c
33.1
Comme on est en présence de n épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues, avec une
at
hs
probabilité de succès p et une probabilité d'échec q=1-p, alors la variable aléatoire X associant
le nombre k de succès, suit une loi binomiale de paramètres n et p , que l'on note :
X ,→ B(n; p) avec la
P(X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k
loi binomiale :
probabilité :
et la
Espérance (qui correspond à une moyenne) : E(X)=np
V(X) = np(1 − p)
p
V(X)
type : σ(X) =
Variance :
Écart
33.2
m
En cas de doute, ces dernières formules gurent dans le formulaire de mathématique du BTS !
EXERCICE 1
fo
Une compagnie a un contrat d'entretien pour 300 ascenseurs. On admet que chaque semaine, la
1
probabilité de panne d'un ascenseur est de
.
75
On suppose l'indépendance entre les pannes d'un même ascenseur ainsi que de deux ascenseurs
diérents.
in
Soit X la variable aléatoire qui, à toute semaine, associe le nombre de pannes du parc complet des
ascenseurs.
Partie A. Étude de X
1) Indiquer pourquoi X suit une loi binomiale de paramètres
2) Calculer, à
10−2
n = 300
et
p=
1
.
75
près, la probabilité pour que lors d'une semaine il y ait (strictement) moins de
2 pannes.
Solution :
1) Comme on est en présence de 300 épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues,
1
avec une probabilité de panne de p =
et une probabilité qu'il ne tombe pas en panne de
75
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328
CHAPTER 33.
EXERCICES - LOI BINOMIALE
75−1
= 74
, alors la variable aléatoire X associant le nombre k de panne, suit une loi
75
75
1
, que l'on note :
binomiale de paramètres n = 300 et p =
75
1
loi binomiale : X ,→ B(300; ) avec la
75
1 k 74 300−k
k
probabilité : P(X = k) = C300 ( ) ( )
75
75
q =1−p=
2) Strictement moins de 2 pannes : P(X<2)
P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)
33.3
1 1 74 299
1
1
( 75
+ C300
) ( 75 ) = ( 74
)300 + ( 75
)( 74
)299 =0,09.
75
75
om
1 0 74 300
0
P(X<2)=C300 ( ) ( )
75
75
EXERCICE 2
Une société s'occupe de la saisie informatique de documents. Pour chaque document, une première
saisie est retournée, pour vérication, au client correspondant.
.c
Les résultats demandés seront donnés sous forme de valeurs décimales arrondies à 10−3 .
Partie A
Pour chaque document, le délai de retour de la première saisie vers le client est xé à 2 semaines.
at
hs
Une étude statistique a montré que la probabilité qu'une saisie choisie au hasard soit eectivement
retournée au client dans le délai xé est égale à : 0,9
On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de n saisies choisies au hasard
par tirage avec remise, associe le nombre de saisies pour lesquelles le délai de retour n'a pas été
respecté.
1a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ?
b) Pour cette question, on suppose que n=20. Calculer la probabilité P(X=2).
Solution :
m
Comme on est en présence de 20 épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues, avec
une probabilité de remise de documents de p
temps voulu, de
q = 1 − 0, 9 = 0, 1
= 0, 9
et une probabilité, qu'il ne soit pas remis en
alors la variable aléatoire X associant le nombre k de non
remise, suit une loi binomiale de paramètres n et p
= 0, 1 ,
que l'on note :
fo
X ,→ B(n;0, 1) avec la
P(X = k) = Ckn (0, 1)k (0, 9)n−k
loi binomiale :
probabilité :
2) Probabilité : P(X=2)
in
P(X = k) = Ckn (0, 1)k (0, 9)n−k
P(X = 2) = C220 (0, 1)2 (0, 9)18 = 0, 2851.
33.4
EXERCICE 3
On s'intéresse, dans cette partie à la masse des pots produits.
On considère l'évènement : un pot a une masse inférieure à 490grammes.
Une étude a permis d'admettre que la probabilité de cet évènement est 0,2.
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33.5.
329
EXERCICE 4
1) On prélève au hasard 10 pots dans la production totale. On suppose que le nombre de pots est
assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 10 pots.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 10 pots, associe le nombre de pots
dont la masse est inférieure à 490 grammes.
a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. En préciser les paramètres.
b) Calculer la probabilité de l'évènement A parmi les 10 pots il y a exactement 2 pots dont la
Solution :
om
masse est inférieure à 490 grammes.
1a) Comme on est en présence de 10 épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues,
avec une probabilité, que le pot ait une masse < 490gr, de p
soit < 490gr, de
q = 1 − 0, 2 = 0, 8
= 0, 2
et une probabilité, qu'il ne
alors la variable aléatoire X associant le nombre k de pot de
masse < 490gr, suit une loi binomiale de paramètres n=10 et p
X ,→ B(10;0, 2) avec la
k
10−k
k
probabilité : P(X = k) = C10 (0, 2) (0, 8)
2
8
2
1b) Probabilité : P(X = 2) = C10 (0, 2) (0, 8) =0,302.
que l'on note :
33.5
at
hs
.c
loi binomiale :
= 0, 2 ,
EXERCICE 4
On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie truquée. L probabilité d'obtenir face à chaque
lancer est de 0,3.
Soit la variable aléatoire X associant le nombre k de faces obtenu.
1a) Quelle est la loi de probabilité de X?
b) Calculer la probabilité d'obtenir au moins 2 fois face .
m
c) Quel doit être le nombre minimal n de lancers pour que la probabilité d'obtenir au moins une
fois face soit supérieure à 0,999.
Solution :
1a) Comme on est en présence de 10 épreuves indépendantes, présentant chacune deux issues,
fo
avec une probabilité, d'obtenir face, de p
= 0, 3
et une probabilité, d'obtenir Pile , de
de Face , suit une loi binomiale
in
1 − 0, 3 = 0, 7 alors la variable aléatoire X associant le nombre k
de paramètres n = 10 et p = 0, 3 , que l'on note :
loi binomiale : X ,→ B(10;0, 3) avec la
k
k
10−k
probabilité : P(X = k) = C10 (0, 3) (0, 7)
2
2
8
b) Probabilité : P(X = 2) = C10 (0, 2) (0, 7) = 0, 2334
q =
c) Nombre minimal de lancers :
X ,→ B(n;0, 3) avec P (X ≥ 1) > 0, 999
comme P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) alors P (X ≥ 1) > 0, 999 ⇔ 1 − P (X = 0) > 0, 999
−P (X = 0) > −0, 001 ⇔ P (X = 0) < 0, 001 soit
P (X = 0) = Cn0 (0, 3)0 (0, 7)n < 0, 001 ⇔ 0, 7n < 0, 001
ln 0, 7n < ln 0, 001 car la fonction ln est strictement croissante.
soit
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330
EXERCICES - LOI BINOMIALE
at
hs
.c
om
CHAPTER 33.
n ln 0, 7 < ln 0, 001 ⇔ n >
ln 0,001
ln 0,7
⇔ n > 19, 36
m
Attention ln 0,7 < ln 1 est négatif donc changement de sens du signe d'inégalité
in
fo
donc il faut au minimum 20 lancers pour que la probabilité soit supérieure à 0,999!
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om
Chapter 34
LOI NORMALE
Rappel
:
intervalle donné (borné ou non borné).
.c
Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne prend que des valeurs discontinues dans un
L'ensemble des nombres entiers est discret.
En règle
générale, toutes les variables qui résultent d'un dénombrement ou d'une numération sont de type
at
hs
discrètes.
On dit que la variable aléatoire est discrète si elle ne prend que des valeurs isolées. C'est de la cas
de la variable X qui suit une loi binomiale.
34.1
INTRODUCTION
Dans le cas contraire, quand la variable aléatoire prend des valeurs dans l'ensemble des réels, on
dit qu'elle est continue. C'est de la cas de la variable X qui suit une loi normale que nous étudions
m
dans ce chapitre.
La loi normale ou la loi de Laplace Gauss s'applique en général à une variable aléatoire continue représentant un caractère résultant de nombreux facteurs indépendants, dont les eets
s'additionnent, mais dont aucun n'est prépondérant.
fo
Elle est caractérisée par deux paramètres qui sont la moyenne m et l'écart type σ .
Dans ce chapitre nous aurons à répondre à des problèmes de type :
Une machine fabrique des rondelles dont le diamètre suit une loi normale de moyenne 20mm et
in
d'écart-type 1,3mm. Quelle est la probabilité qu'une rondelle prise au hasard soit :
< à 20,12mm?
> 21,4mm?
< 18,4 mm et > 22,4mm?
Soit X suit une loi normale de moyenne 20mm et d'écart-type 1,3mm, qui s'écrit : X,→N(20 ; 1,3).
Les questions se traduisent donc par :
P(X<20,12)?
P(X≥
21, 4)?
P(18, 4 ≤ X ≤ 22, 4)?
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332
34.2
CHAPTER 34.
LOI NORMALE
ILLUSTRATION de CONTINUITÉ
Travaillons dans l'ensemble des entiers naturels N. Soit un intervalle de ce dernier [1 ;4]. Toutes
ces valeurs {1},{2},{3},{4} sont placées dans une urne. Tirons au hasard une de ces valeurs.
Quelle est la probabilité de prélever le chire 2 : P(X=2) ?
1
= 0,25
4
P(X=2) =
2
= 0,5 (il s'agit des chires {1} et {2}).
4
P(X<3) =
Quelle est la probabilité de prélever les chires
P (X ≤ 3) =
3
4
= 0, 75
≤3
om
Quelle est la probabilité de prélever les chires < 3 : P(X <3) ?
: P(X≤ 3) ?
(il s'agit des chires {1} et {2} et {3}.
Jusqu'à présent toutes les valeurs utilisées étaient des nombres naturels. On parle alors de valeurs
.c
discrètes.
Reprenons ce même exemple et maintenant travaillons dans l'ensemble des réels
Z.
Soit un inter-
at
hs
valle de ce dernier [1 ;4]. Toutes ces valeurs comprises entre 1 et 4 sont une innité. Il y a une
innité de valeurs entre 1 et 2(1,01 ;1,001 ;1,000001...1,999999...), ainsi qu'entre 2 et 3, ainsi que
... etc. . Nous parlons maintenant de valeurs continues.
Imaginons que l'on puisse placer tous ces nombres dans l'urne. Dans ce dernier cas, quelle est la
P(X=2) =
m
probabilité de prélever le chire 2 : P(X=2) ?
1
= 0
∞
Quelle est la probabilité de prélever le chire 3 : P(X=3) ?
1
= 0
∞
fo
P(X=3) =
Quelle est la probabilité de prélever le chire 1,57 : P(X=1,57) ? P(X=1,57) =
1
= 0
∞
Dans le cas d'un phénomène continu, la probabilité d'avoir une valeur xe est toujours nulle
mais attention : quelle est la probabilité d'obtenir une probabilité inférieure à 3 : P(X < 3) ?
2
car ceci représente un intervalle entre 1 et 4 (deux parties sur trois ; voir gue
3
in
P(X<3) =
ci-dessus).
Quelle est la probabilité d'obtenir une probabilité : P(X
≤
3) ? P(X≤ 3) =
2
la probabilité ne
3
change pas car :
P(X≤ 3) = P(X<3) + P(X=3) or P(X=3)=0 !
Par conséquent dans le cas d'un phénomène continu le sens strict (< ou > ) d'une inégalité ou le
sens large (≤ ou
≥
) est identique, par conséquent P(X≤ a) = P(X < a).
Ce qui est complètement diérent du domaine discret car dans l'utilisation d'une loi binomiale
:
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34.3.
333
EXEMPLE INTRODUCTIF
- P(X > 1) = 1- P(X=0) ( au moins 1 article) est diérent de
- P(X>1) = 1 - P(X≤1) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] (plus d'un article). Dans le domaine du continu,
les probabilités qui peuvent être évaluées sont celles qui correspondent à des intervalles entre deux
valeurs dans le domaine continu.
EXEMPLE INTRODUCTIF
om
34.3
La durée de vol d'un avion de ligne entre PARIS et MARSEILLE est une variable aléatoire continue.
La durée de vol est comprise entre 60 et 80 minutes. ( 60≤ X
pour cette destination.
≤ 80 ).
Quelle est la probabilité pour que la durée de vol soit P( 60≤ X
est égale à P( 60≤ X
≤
80 ) =100% =1
≤
Un voyageur prend un billet
80 ) ? La réponse est évidente
.c
Quelle est la probabilité pour que la durée de vol soit P( X<60 ) ? P( X<60) = 0.
Quelle est la probabilité pour que la durée de vol soit P( X>80 ) ? P( X>80) = 0.
Quelle est la probabilité pour que la durée de vol soit P( X=65 ) ?
at
hs
P(X=64,9)=0.
La personne a autant de chance de mettre 65 mm que 64,9 mm que ...
1
= 0
parmi une innité de valeurs :
∞
34.4
P( X=65)=0 de même
Soit une valeur exacte
DENSITÉ de PROBABILITÉ
Imaginons que nous voulions modéliser le problème du phénomène continu ci dessus.
fonction f dénie :
1
pour ( 60≤ X
20
≤
80 )
m
- f(x) =
Soit une
in
fo
- f(x) = 0 pour x < 60 ou x > 80
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334
CHAPTER 34.
LOI NORMALE
L'aire comprise entre 60 et 80 et f(x) est un rectangle, surface = hauteur x largeur soit :
´ +∞
1
A = (80 - 60 ) x
= 1. Aire =
f (x)dx = 1. Cette aire correspond à la surface grisée sur la
20
−∞
gure ci dessus.
Cette fonction est une fonction densité de probabilité.
Cette aire correspond à la probabilité : P( 60≤ X
≤
80 ) = 1
Nous associons intuitivement aire et probabilité.
C'est tout simplement la surface comprise entre 60 et 65 :
A = (65 - 60 ) x
5
1
1
=
=
= 0,25.
20
20
4
≤
65 ) ?
om
Quelle est la probabilité que la durée de vol soit : P( 60≤ X
Quelle est la probabilité que la durée de vol soit : P(X=65) ?
C'est tout simplement la surface comprise entre 65 et 65 : A = (65 - 65 ) x
La largueur du rectangle est devenue nulle !
1
= 0.
20
.c
Quelle est la probabilité que la durée de vol soit : P(X≤60) ?
34.5
at
hs
P(X≤ 60) = 0 . L'aire sous la courbe est égale à 0, la hauteur étant nulle.
DÉFINITION de la DENSITÉ de PROBABILITÉ
Une fonction
f
dénie sur
R
ou sur un intervalle de celui ci est dite densité de probabilité si :
- f(t) > 0 pour tout réel t
- la limite lorsque a et b tendent respectivement vers
´ +∞
f(t)dt = 1 soit
f(t)dt = 1
a
−∞
´b
−∞
et
+∞
de :
L'aire comprise entre l'axe des abscisses et le graphe de cette fonction est toujours égale à 1
- f(t) =
m
Reprenons notre problème de petits avions :
1
; pour
20
60 ≤ t ≤ 80
- f(t) = 0 pour t < 60 ou t > 80
´ +∞
−∞
f(t)dt =
−∞
f(t)dt +
´ 80
´ 80
60
fo
´ 80
´ 60
0+
60
f(t)dt + 0 =
60
f(t)dt +
f(t)dt = [
´ +∞
1t 80
]
20 60
80
=
f(t)dt =
1
20
x [80 − 60] = 1
Cela correspond à la surface grisée de la gure ci dessus!
Donc nous pouvons conclure que f est une densité de probabilité, donc pour calculer une
in
probabilité nous calculerons une intégrale positive soit son aire.
34.6
VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE
Dénition : on dit que X est une variable aléatoire continue s'il existe une fonction densité f telle
que pour tout réel x (que l'on nomme cumul des probabilités ou fonction de répartition ) :
´x
F(x) = P(X≤ x) =
f(t)dt
−∞
f est dite densité de la variable aléatoire X.
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34.7.
34.7
335
LOI NORMALE
LOI NORMALE
Dénition : une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres m,
sa densité de probabilité est la fonction f dénie sur
R
σ
notée N(m ;
σ)
si
par :
m représente la moyenne, σ représente l'écart type.
om
1 t−m 2
1
f(t) = √ e− 2 ( σ )
σ 2π
Une variable aléatoire s'exprimant comme une somme d'un grand nombre de variables indépen-
PROPRIÉTÉS
σ
notée N(m ;
σ)
alors :
at
hs
Si x suit la loi normale de paramètres m,
.c
dantes peut être approchée par une loi normale, plus particulièrement la loi binomiale.
L'espérance mathématique : E(X) = m
La variance : V(X) =
L'écart-type :
σ2
σ(X) = σ
in
fo
m
Graphe courbe en cloche (courbe de GAUSS) ou graphe de la loi normale
Sur le graphe ci dessus de la loi normale N(20 ;2) on voit bien que : f(t) > 0 et que l'aire
´x
f (t)dt = 1, cette courbe est symétrique par rapport à l'axe vertical de valeur égale à la
−∞
moyenne m (ici m = 20) et l'écart type σ = 2.
Conséquences : P (X≤ m) = P (X≥ m) = 0, 5.
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336
LOI NORMALE
.c
om
CHAPTER 34.
Les graphes ci dessus montrent l'eet de l'écart type
inchangée (m
= 20).
Si X suit une loi normale de paramètres m,
loi normale
T =
la moyenne restant
at
hs
Changement de variable
(σ = 1; σ = 2; σ = 3),
σ
(X
,→N(m ; σ )
alors la variable aléatoire T suit la
N(0 ; 1) appelée loi normale centrée réduite avec :
X−m
σ
in
fo
m
x2
1
f(x) = √ e− 2
2π
Le graphe de la loi normale centrée réduite N(0 ;1) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées,
sa moyenne m est égale à 0, l'écart type σ
égal 1, l'aire sous le graphe est égal à 1.
Conséquences : P (X≤ 0) = P (X≥ 0) = 0, 5.
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34.8.
337
LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE
34.8
LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE
notation : P
(T ≤ t) =
´t
f (x)dx =
−∞
´t
2
x
√1 e− 2
−∞ 2π
dx = Π(t)
correspondant à l'aire délimitée par l'axe des abscisses, la courbe et la droite d'équation
Utilisation de la table de la loi normale centrée réduite : calculons P(X
x=t
< 0) = Π(0)
L'aire sous la courbe à gauche de l'axe des ordonnées est égale à l'aire sous la courbe à droite de
P(T
om
l'axe des ordonnées, comme l'aire totale est égal à 1 ( f est une densité de probabilité ) alors :
< 0) = Π(0) = 0, 5.
Lecture avec la table :
La table commence à 0,0 ce qui représente le centre du graphe (moyenne = 0) si bien que t = 0
donne la probabilité (la surface) = 0, 5 ; les valeurs consignées dans la table sont situées à droite
Lecture directe :
.c
de 0 donc positives et situées à gauche de t.
P
(t ≤ 1, 3) = Π(1, 3) = 0, 9032 ⇒
lecture verticale 14ème ligne 1ère colonne
P
(t ≤ 1, 2) = Π(1, 2) = 0, 8849 ⇒
lecture verticale 1ère colonne
P
(t ≤ 0, 47) = Π(0, 47) = 0, 6808 ⇒
P
(t ≤ 1, 23) = Π(1, 23) = 0, 8907⇒
lecture verticale + lecture horizontale pour la 2ième décimale
P
(t < 1, 12) = Π(1, 12) = 0, 8686⇒
lecture verticale + lecture horizontale pour la 2ième décimale
in
fo
m
at
hs
5ème ligne + 8ème colonne pour la 2ième décimale
La table ne donne que les valeurs situées à gauche de t , donc par complémentarité à 1(aire
totale = 1) , on peut obtenir les valeurs situées à droite de t .
P(t
> 0, 74) = 1 − P (t < 0, 74) = 1 − Π(0, 74) = 1 − 0, 7704 = 0, 2296.
La surface à droite est égale à 1 diminuée de la surface à gauche de 0,74 !
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338
LOI NORMALE
P
(t > 2, 3) = 1 − P (t < 2, 3) = 1 − Π(2, 3) = 1 − 0, 9893 = 0, 0107.
(t > 1, 26) = 1 − P (t < 1, 26) = 1 − Π(1, 26) = 1 − 0, 8962 = 0, 1038.
at
hs
P
.c
om
CHAPTER 34.
La table ne donne que les valeurs positives, les valeurs négatives n'existent pas.
Soit x une valeur négative : cette valeur négative représente l'aire située à gauche de 0 , donc
par symétrie cette valeur représente l'aire située à droite de + x , on peut donc écrire :
in
fo
m
P (t ≤ −1, 2) = P (t ≥ 1, 2)
P (t ≤ −1, 2) = P (t ≥ 1, 2) = 1 − P (t ≤ 1, 2) = Π(−1, 2) = 1 − Π(1, 2) = 1 − 0, 8849 = 0, 1151
P (t ≤ −1, 4) = P (t ≥ 1, 4)
P (t ≤ −1, 4) = P (t ≥ 1, 4) = 1 − P (t ≤ 1, 4) = Π(−1, 4) = 1 − Π(1, 4) = 1 − 0, 9192 = 0, 0808
de manière générale : Π(−t) = 1 − Π(t) voir le bas de la table.
P (a ≤ X ≤ b) = Π(b) − Π(a) c'est à dire la surface à gauche de b diminuée de celle à gauche de
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a.
34.8.
339
LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE
b = 2, 3 et a = 1, 2
Calcul de P(1, 2 < t < 2, 3) :
P (1, 2 < t < 2, 3) = Π(2, 3) − Π(1, 2) = 0, 9893 − 0, 8849 = 0, 1044
Calcul de P(0, 5 < t < 1, 3) :
P(0, 5 < t < 1, 3) = Π(1, 3) − Π(0, 5) = Π(1, 3) − Π(0, 5)]
P(0, 5 < t < 1, 3) = 0, 9032 − 0, 6915 = 0, 2117
Calcul de P(−1, 2 < t < 1, 3) :
P(−1, 2 < t < 1, 3) = Π(1, 3) − Π(−1, 2) = Π(1, 3) − [1 − Π(1, 2)] = Π(1, 3) − 1 + Π(1, 2)
P(−1, 2 < t < 1, 3) = 0, 9032 − 1 + 0, 8849 = 0, 7881
om
Sur le graphe ci dessus
Cas particulier intervalle centré en 0 :
≤ t ≤ 1) = Π(1) − Π(−1) = Π(1) − [1 − Π(1)] = Π(1) − 1 + Π(1)
(− ≤ 1t ≤ 1) = 2Π(1) − 1 = 2 x 0, 8413 − 1 = 0, 6826 ; soit 1 écart type centré en 0.
(−2 ≤ t ≤ 2) = 2Π(2) − 1 = 2 x 0, 9772 − 1 = 0, 9544 ; soit 2 écarts type centré en 0.
(−1, 96 ≤ t ≤ 1, 96) = 2Π(2) − 1 = 2 x 0, 975 − 1 = 0, 95
P
P
P
.c
P(−1
Généralisation :
≤ X ≤ a) = Π(a) − Π(−a) = Π(a) − [1 − Π(a)] = Π(a) − 1 + Π(a) = 2Π(a) − 1
in
fo
m
at
hs
P(−a
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340
CHAPTER 34.
LOI NORMALE
Savoir eectuer une lecture inverse avec la table de la loi normale centrée réduite
exemple 1
(X ≤ t) = 0, 8461 ⇔ Π(t) = 0, 8461
Par lecture inverse de la table : 0, 8461 ⇒ t = 1, 02
P (X ≤ t) = 0, 8413
Par lecture inverse de la table : 0, 8413 ⇒ t = 1
P
exemple 2
P
Π(a) = 0, 975
(T < a) = 0, 975 ⇔ Π(a) = 0, 975
?
om
Quelle est la valeur de a pour laquelle :
Recherche dans la table de la valeur 0,975. Dans la table colonne 0,06 à l'intersection 0,975
Π(a) = Π(1, 96) ⇔ a = 1, 96.
exemple 3
at
hs
.c
on lit 1,9 dans la colonne t donc
≤ t) = 0, 1587 ?
P(T ≤ t) = 0, 1587 ⇔Π(t) = 0, 1587
0, 1587 < 0, 5 donc t < 0
P(T
m
La valeur n'est pas dans la table, il faut donc trouver une méthode pour déterminer cette valeur.
des ordonnées
fo
Π(0) = 0, 5 comme Π(t) ≤ 0, 5 alors t est négatif, il se trouve à gauche de l'axe
donc Π(t) < 0, 5 :
Π(−t) = 1 − Π(t) ⇔ Π(t) = 1 − Π(−t)
0, 1587 = 1 − Π(−t) ⇔ −Π(−t) = 0, 1587 − 1 = −0, 8413 ⇔ Π(−t) = 0, 8413
dans la table par lecture inverse on lit : Π(−t) = Π(1) ⇔ −t = 1 donc t = −1
exemple 4
≤ t) = 0, 1655
Π(t) = 0, 1655
1 − Π(−t) = 0, 1685 ⇒ −Π(−t) = 0, 1685 − 1 = −0, 8315 ⇒ Π(−t) = 0, 8315
par lecture inverse 0, 8315 ⇒ −t = 0, 96 soit t = −0, 96
in
P(X
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34.8.
341
LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE
exemple 5
cas intervalle centré en 0 :
≤ x ≤ t) = 0, 95 donc
2Π(t) − 1 = 0, 95 ⇒ 2Π(t) = 0, 95 + 1 = 1, 95) ⇒ Π(t) =
par lecture inverse :Π(t) = Π(0, 975) ⇒ t = 1, 96
P(−t
= 0, 975
om
≤ x ≤ t) = 0, 90 donc
2Π(t) − 1 = 0, 90 ⇒ 2Π(t) = 0, 90 + 1 = 1, 90) ⇒ Π(t) =
P(−t
1,95
2
1,90
= 0, 95
2
par lecture inverse la valeur recherchée se trouve entre 2 valeurs 0,9495 et 0,9505 ; il faut faire
in
fo
m
at
hs
.c
une interpolation linéaire soit ici la moyenne de ces 2 valeurs :
) ⇒ t = 1,64+1,65
= 1, 645
Π(t) = ( 0,9495+0,9505
2
2
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342
CHAPTER 34.
LOI NORMALE
exemple 6
soit une loi normale : X,→ N(20; 2)
≤ 22, 4)
P(18, 4 ≤ X ≤ 21, 6)
P(18 ≤ X ≤ 22)
b) Quelle est la probabilité :
c) Quelle est la probabilité :
Solutions :
om
a) Quelle est la probabilité :P(X
a). Pour utiliser la table de loi normale centrée réduite, il faut eectuer un changement de variable.
X−20
Si X,→ N(20 ; 2) alors T ,→ N (0 ; 1) loi normale centrée réduite avec T =
;
2
≤ 22, 4) :
P (X ≤ 22, 4) = P ( X−20
≤
2
Calcul de P(X
Π(1, 2) = 0, 8849
⇔ P (T ≤ 1, 2).
donc
P (X ≤ 22, 4) =
0,8849
.c
par lecture :
22,4−20
)
2
≤ X ≤ 21, 6) :
P(18, 4 ≤ X ≤ 22, 4) =
≤ X−20
≤ 21,6−20
) ⇔ P (−0, 8 ≤ T ≤ 0, 8) ;
2
2
P (−0, 8 ≤ T ≤ 0, 8) = Π(0, 8) − Π(−0, 8) = Π(0, 8) − [1 − Π(0, 8)] = Π(0, 8) − 1 + Π(0, 8) =
2Π(0, 8) − 1
par lecture de la table : Π(0, 8) = 0, 7881
P(18, 4 ≤ X ≤ 22, 4) = 2(0, 7881) − 1 = 0,5762
b). Calcul de la probabilité P(18, 4
at
hs
P ( 18,4−20
2
≤ X ≤ 22)
≤ X−20
≤ 22−20
) ⇔ P (−1 ≤ T ≤ 1) = 2Π(1) − 1 ;
2
2
c). Calcul de la probabilité : P(18
P(18
≤ X ≤ 22) = P ( 18−20
2
centré en 0.
Π(1) = 0, 8413
P(18, 4 ≤ X ≤ 22, 4) = 2(0, 8413) − 1 =
soit 1 écart type
0,6826
in
fo
m
par lecture de la table :
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om
Chapitre 35
OPÉRATIONS SUR LES VARIABLES
.c
ALÉATOIRES
Écart-type :
35.1
at
hs
Soit une variable aléatoire X, on obtient :
Pn
1 pi = 1
Pn
Espérance mathématique : E(X) =
1 xi p i
Pn
2
Variance : V (X) =
1 pi (Xi − E(X)) ou son expression simpliée :
V (X) =
Pn
1
x2i pi − (E(X))2
p
σ = V (X)
OPÉRATIONS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES.
Soit la variable aléatoire : Y = aX + b ; a et b
m
E(Y ) = aE(X) + b
V (Y ) = a2 V (X)
p
σ(Y ) = |a| V (X)
Admettons que l'on est la variable aléatoire X,
∈R
.
E(X) = 40, V (X) = 9, σ =
√
9=3
Y = 0, 5X + 7
l'espérance de Y : E(Y ) = aE(X) + b = 0, 5 x E(X) + 7 = 0, 5 x 40 + 7 = 27
9
2
2
la variance de Y : V (Y ) = a V (X) = 0, 5 V (X) = 0, 25 x 9 =
= 2, 25
4
p
p
l'écart-type de Y :σ(Y ) = |a|
V (X) = 0, 5 V (X) = 0, 5 x 3 = 1, 5
fo
alors si la variable aléatoire
- calculons
- calculons
in
- calculons
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344
CHAPITRE 35.
35.2
OPÉRATIONS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES
DÉMONSTRATIONS
ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE
om
P
E(X) = n1 xi pi
Y = aX + b; E(Y ) = E(aX + b)
P
P
P
P
E(Y ) = n1 (aXi + b)pi ⇒ E(Y ) = n1 (aXi pi + bpi ) = n1 (aXi pi ) + n1 bpi
P
P
P
P
7488E(Y ) = a n1 (Xi pi ) + b n1 pi comme n1 (Xi pi ) = E(X) et n1 pi = 1, alors
E(Y ) = aE(X) + b
VARIANCE
Pn
xi p i
Pn1 2
2
=
1 xi pi − (E(X))
V(X)
.c
E(X) =
at
hs
V(Y) = V(aX + b)
Pn
(axi + b)2 pi − [E(axi + b)]2 mais comme E(axi + b) = aE(X) + b
V(Y) =
P1n 2 2
(a x + 2abxi + b2 )pi − [aE(xi ) + b)]2 de la forme (a + b)2 donc
V(Y) =
Pn 2
Pn
P1n 2 2i
2 2
2
V(Y) =
1 b pi − [a E (xi ) + 2abE(xi ) + b ]
1 2abxi pi +
1 a xi p i +
Pn
Pn
Pn
Pn 2
2 2
2
2
V(Y) = a
1 pi = 1 donc les
1 pi − a E (xi ) − 2abE(xi ) − b2 mais
1 xi p i + b
1 xi pi + 2ab
b2 s'annulent
Pn
Pn 2
2 2
2
2
x
p
−
a
E
(x
)
+
2abE(X)
−
2abE(x
)
−
b
car
E(X)
=
V(Y) =a
i
i
i
i
1 xi p i
Pn 2
Pn 2
P1 n 2
2
2
2 2
2
2
V(Y) = a
1 xi pi − (E(X))
1 xi pi − E (xi )] mais comme V (X) =
1 xi pi − a E (xi ) = a [
alors :
m
V (Y ) = a2 V (X)
ÉCART-TYPE
σ=
p
V (X)
fo
Écart-type :
donc
p
σ(Y ) = |a| V (X)
soit
in
p
(Y ) = a2 V (X)
σ(Y ) = |a|σ(X)
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35.2.
345
DÉMONSTRATIONS
ÉTUDE DU CAS GÉNÉRAL
Z = aX + bY + c
E(Z) = aE(X) + bE(Y) + c
V (Z) = a2 V (X) + b2 V (Y ) si X
p
σ(Z) = a2 V (X) + b2 V (Y )
p
σ(Z) = a2 σ 2 (X) + b2 σ 2 (Y )
et Y sont des variables indépendantes
om
Exemples :
X,→N(30 ; 4) et Y,→N(20 ; 3)
soit X le chire d'aaires d'une succursale A et soit Y le chire d'aaires d'une succursale B, les
deux succursales appartiennent à la même entreprise. Le chire d'aaire de la succursale A et celui
de la succursale B sont indépendants (c'est à dire que les variables X et Y sont indépendantes) .
Quelle est la loi de probabilité du chire d'aaires de cette entreprise Z = X + Y ?
.c
E(X) = 30 ; (X) = 4
E(Y) = 20 ; (Y) = 3
Ici nous avons a = 1, b = 1 et c = 0. Nous obtenons donc :
E(Z) = aE(X) + bE(Y) + c )⇒ E(Z) = E(Z) = E(X) +E(Y) = 30 + 20 = 50
Nous
at
hs
p
√
√
a2 σ 2 (X) + b2 σ 2 (Y ) = σ(Z) = σ 2 (X) + σ 2 (Y ) = 42 + 32 = 25 = 5.
pouvons en conclure que : Z,→N(50 ; 5)
σ(Z) =
p
Nous avons étudié la loi de probabilité Z = X + Y mais nous aurions pu rencontrer la forme D =
X - Y. Dans ce cas nous avons a = 1, b = -1 et c = 0, alors :
E(D) = E(X) - E(Y) = 30 - 20 = 10
p
p
√
√
(1σ)2 (X) + (−1σ)2 (Y ) = σ 2 (X) + σ 2 (Y ) = 42 + 32 = 25 = 5
pouvons en conclure que : D,→N(10 ; 5)
σ(D) =
m
Nous
Exemple d'emploi de ces formules
Une entreprise fabrique deux articles A et B. L'article A avec son taux de marge sur coût
fo
variable TMCV(A) = 30%, l'article B avec son taux de marge TMCV(B) = 20%. Ces deux
articles sont réalisés par deux succursales indépendantes. Les charges xes CF s'élèvent à 200 000¿.
Le Chire d'Aaires CA de A suit la loi : X, !N(m1 ; 1) et le Chire d'Aaires CA de B suit la loi :
X, !N(m2 ; 2) .
in
Quelle est la loi de probabilité du Résultat R ?
R = 0,3X + 0,2Y - 200 000 de la forme Z = aX + bY + c
Il faudra calculer l'espérance mathématique E(R) à partir de E(X), E(Y) Il faudra aussi calculer
l'écart type (R) et établir la loi de probabilité R,→N(m,σ ).
Paramètres loi normale dans le cas de changement de variable
Nous avons vu jusqu'à présent que si la variable aléatoire X,→N(m,
σ ), alors E(X) = m et σ(X) = σ
.
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346
CHAPITRE 35.
OPÉRATIONS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES
Eectuons un changement de variable avec T =
X−m
et calculons l'espérance de T : E(T) et
σ
σ(T )
l'écart-type de T :
Espérance de T
x−m
⇔ T = σ1 x − m
mais précédemment nous avons vu que si Y = aX + b ; a et b
σ
σ
E(Y) = aE(X) + b donc :
T =
m
σ
⇔ E(T ) =
m
σ
−
m
σ
=0
Écart-type de T
Si la variable
σ
σ
=1
aléatoire X ,→ N (m, σ),
alors la variable aléatoire T,→N(0, 1) avec
.c
σ(Y ) = |a|σ(X)
σ(T ) = σ1 σ(X) =
Applications pratiques
alors
om
E(T ) = σ1 E(X) −
∈R
T =
X−m
σ
at
hs
Soit une entreprise qui fabrique un produit dont le prix de vente unitaire de ce produit est de 100¿
(PVU = 100¿) et les charges variables unitaires sont d'un montant de 80¿ (CVU = 80¿) et le
montant des charges xes s'élève à 12000¿ (CF = 12000¿).
Supposons que la quantité produite par cette entreprise est une variable aléatoire X qui suit une
loi normale de paramètre m = 700 et = 100, X,→N(700 ; 100).
Calculer la probabilité de ne pas atteindre le Seuil de Rentabilité -SR- (qui peut être calculé soit
en quantité soit en valeur). Le Seuil de Rentabilité est le niveau d'activité ou le niveau du Chire
d'Aaires pour lequel le résultat est nul.
m
1° méthode classique :
Nous allons utiliser le compte de résultat diérentiel
Chire Aaire : (CA) diminué des Charges Variables (CV) est égal à la Marge Sur Coût Variable
(MSCV) diminué des Charges Fixes (CF) est égal au résultat.
fo
Soit x la quantité d'articles produits, la marge unitaire (MSCV) est de : 100 - 20 = 80¿
Le Résultat sera : R = 20x - 12000
Le seuil de rentabilité (SR) en quantité sera
x=
in
soit 20x = 12000,
Saïd Chermak
12000
20
= 600
R = 0 ⇒ 20x − 12000 = 0
:
articles
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35.2.
347
DÉMONSTRATIONS
Quel est le seuil de rentabilité en valeur ?
C'est le nombre d'articles multiplié par le prix de vente unitaire : 600 x 100 = 60 000¿. a )
Calculons la probabilité de ne pas atteindre le seuil de rentabilité en quantité :
P (X < 600) = P ( X−700
0 < 600−700
) posons T = X−700
100
100
100
P (T < −100
)
=
P
(T
<
−1)
100
P (X < 600) = Π(−1) = 1 − Π(1) = 1 − 0, 8413 = 0, 1587
om
Si X,→N(700 ; 100) et que Seuil de Rentabilité SR = 600 alors calculons : P(X < 600)
b ) Calculons la probabilité de ne pas atteindre le seuil de rentabilité en valeur :
Si X,→N(700 ; 100) et que Seuil de Rentabilité SR = 20x - 12000 alors calculons : P(X < 600)
Les paramètres de la loi normale N : E(X) = 700 et
σ (X)
σ (R)
= |20|σ (X) = 20 x 100 = 2 000
.c
E(R) = 20E(X) - 12000 = 20 x 700 - 12 000 = 2 000
= 100
Comme R et X sont liés par la relation R = 20x -12000 alors R,→N(2000 ; 2000)
La probabilité, de ne pas atteindre le seuil de rentabilité en valeur, ne sera pas atteinte lorsque le
at
hs
résultat sera négatif, c'est à dire que : P(R < 0 ) .
T = R−2000
2000
R−2000
0−2000
−2000
P (R < 0) = P ( 2000 < 2000 ) ⇔ P (T < 2000 ) ⇔ P (T < −1)
P (R < 0) = Π(−1) = 1 − Π(1) = 1 − 0, 8413 = 0, 1587
in
fo
m
Utilisons la loi normale centrée réduite et posons
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348
OPÉRATIONS SUR LES VARIABLES ALÉATOIRES
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 35.
Saïd Chermak
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om
Chapitre 36
EXERCICES LOI NORMALE
EXERCICE 1
.c
36.1
Dans une usine qui produit des céréales pour le petit déjeuner, le processus mécanique de remplissage des boîtes a été ajusté de façon qu'en moyenne chaque boîte contienne 13g avec un écart type
σ
= 0 ; 1) . On suppose que ce processus suit une distribution normale.
at
hs
de 0,1g (m = 13 ;
a ) Calculer la probabilité que le contenu d'une boîte choisi au hasard soit compris entre 13 et
13,2g.
P (13 ≤ X ≤ 13, 2)
b ) Calculer la probabilité que le contenu d'une boîte choisi au hasard soit supérieur à 13,25g. P(X
> 13,25)
c ) Calculer la probabilité que le contenu d'une boîte choisi au hasard soit compris entre 12,9 et
13,1g.
P (12, 9 ≤ X ≤ 13, 1).
m
Solutions :
a ) loi normale : X,→N(13 ; 0,1)
Pour utiliser la table de loi normale centrée réduite, il faut eectuer un changement de variable.
;
T = X−13
0,1
Si X,→N(13 ; 0,1) alors T,→N(0 ; 1) (loi normale centrée réduite) avec
P (13 ≤ X ≤ 13, 2)
P (13 ≤ X ≤ 13, 2) = P ( 13−13
≤T ≤
0,1
fo
Calcul de
13,2−13
)
0,1
= P (0 ≤ T ≤ 2)
P (13 ≤ X ≤ 13, 2) = Π(2) − Π(0) = 0, 9772 − 0, 5 =
Π(0) 6= 0
in
Attention :
0,4772
b ) Calcul de P(X > 13,25) :
P (X > 13, 25) = P ( X−13
> 13,25−13
0,1
0,1
= P (T > 2, 5)
Attention la table ne donne que les valeurs à gauche de T, ici la valeur est à droite, nous devons
P (T > 2; 5) = 1 − P (T < 2, 5) = 1 − Π(2, 5)
obtient : Π(2, 5) = 0, 9938
passer par l'événement contraire
par lecture sur la table on
T = 1 − 0, 9938 =
c ) Calcul de
0,0062
P(12, 9 ≤ X ≤ 13, 1)
Saïd Chermak
:
349
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350
CHAPITRE 36.
P( 13−12,9
≤T≤
0,1
36.2
13,1−13
)
0,1
= P(−1 ≤ T ≤ 1)
soit un écart type
EXERCICES LOI NORMALE
T=0,6826
EXERCICE 2
Dans une chaîne de production, un processus automatique élimine des pièces inférieures à 9 cm
om
ou supérieur à 11 centimètres. Sachant que la longueur des pièces est distribuée normalement avec
une moyenne de 10 cm et un écart type de 0,4cm. Combien doit on produire de pièces pour en
avoir 1000 utilisables ?
Solutions :
Le processus suit une loi normale X,→N(10 ; 0,4). Les pièces acceptées sont comprises entre 9 et
.c
11cm.
La probabilité que les pièces sont correctes : P(9
≤ X ≤ 11).
at
hs
Pour utiliser la table de loi normale centrée réduite, il faut eectuer un changement de variable.
X−10
;
Si X,→N(10 ; 0,4) alors T,→N(0 ; 1) (loi normale centrée réduite) avec T =
0,4
P ( 9−10
≤ X−10
≤ 11−10
) = P (−2, 5 ≤ T ≤ 2, 5) soit un intervalle centré en 0.
0,4
0,4
0,4
2Π(t) − 1 = 2(2, 5) − 1 = 2 x 0, 9938 − 1 =
0,9876
Nous devons donc produire :
X x 0, 9876 = 1000 ⇔ X =
=
1013 pièces pour en obtenir 1000 de correctes !
EXERCICE 3
m
36.3
1000
0,9876
Une machine automatique fabrique des tubes en série dont le diamètre X est réparti selon la loi
normale de moyenne 20 cm et d'écart-type 1,5 mm (0,15cm).
fo
a) Calculez la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans la fabrication ait un diamètre compris
entre 19,75 cm et 20,25 cm P(19, 75
≤ X ≤ 20, 25)
b) Quel intervalle de centre 20 cm peut-on garantir avec une probabilité 0,95 ?
in
Solutions :
a ) Le processus suit une loi normale X,→N(20 ; 0,15)
Pour utiliser la table de loi normale centrée réduite, il faut eectuer un changement de variable.
X−20
Si X,→N(20 ; 0,15) alors T,→N(0 ; 1) (loi normale centrée réduite) avec T =
;
0,15
P (19, 75 ≤ X ≤ 20, 25) = P ( 19,75−20
≤ X ≤ 20,25−20
)
0,15
0,15
P (19, 75 ≤ X ≤ 20, 25) = P (−1, 67 ≤ T ≤ 1, 67)
Ceci est un intervalle centré réduit :
2Π(1, 67) − 1 = 2 x 0, 9525 − 1 =
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0,905
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36.4.
351
EXERCICE 4
b ) on cherche 2 valeurs de part et d'autre de la moyenne 20 pour lesquels la surface comprise entre
ces 2 bornes égale 0,95.
P (20 − h ≤ X ≤ 20 + h) = 0, 95
X−20
≤ (20+h)−20
) = 0, 95
0,15
0,15
−h
h
P ( 0,15
≤ T ≤ 0,15
) = 0, 95 ; intervalle centré
h
h
) − 1 = 0, 95 ⇔ Π( 0,15
) = 0,95+1
= 0, 975
2Π( 0,15
2
≤
P ( (20−h)−20
0,15
h
Π( 0,15
) = Π(1, 96) ⇔
0,15h
om
par lecture dans la table :
= 1, 96 ⇔ h = 1, 96 x 0, 15 = 0, 294
écart type
L'intervalle cherché : [20 - 0,294 ; 20 + 0,294] = [19,706 ; 20,294] ce qui signie concrètement que :
P(19,706≤X≤20,294)=0,95
Remarques importantes à connaître
.c
Intervalle centré sur la moyenne :
écart type
écarts type
at
hs
P (−1 ≤ t ≤ 1) = 2Π(1) − 1 = 2 x 0, 8413 − 1 = 0, 6826 ; soit 1
P (−2 ≤ t ≤ 2) = 2Π(2) − 1 = 2 x 0, 9772 − 1 = 0, 9544 ; soit 2
P (−1, 96 ≤ t ≤ 1, 96) = 2Π(1, 96) − 1 = 2 x 0, 975 − 1 = 0, 95
Soit une entreprise dont le chire d'aaires en k¿ suit une loi normale X,→N(1000 ; 20) établi
statistiquement après étude des relevés interne à l'entreprise. On détermine la moyenne, l'écart
type et à l'aide de tests on vérie si le modèle choisi correspond bien à une loi normale. Il existe
plusieurs tests dont le plus puissant est le test du khi-deux qui permet de vérier si l'assertion est
bonne ou mauvaise ce qui revient à s'imposer un risque connu d'une certaine valeur. La probabilité
du chire d'aaires est : P(960
≤ X ≤ 1040) = 0, 9544
car on s'aperçoit que l'on s'écarte de la
moyenne ( 1000 ) de deux écarts type (de valeur 20 ).
P(m
m
Prenons l'exercice 9 rubrique a en sens inverse :
− σ ≤ X ≤ m + σ) = 0, 6826
, alors :
est toujours vrai quelque soit m ou
σ.
En eet posons T=
X−m
σ
≤ m−σ
≤ m+σ−m
)⇔
− σ ≤ X ≤ m + σ) = P ( m−σ−m
σ
σ
σ
P (−1 ≤ T ≤ 1) = 2Π(1) − 1 = 2 x 0, 8413 − 1 = 0, 6826
fo
P(m
Ceci est
un premier test de normalité.
Quelle est la probabilité lorsque l'on s'écarte de 3 écarts type ?
− 3σ ≤ X ≤ m + 3σ) = P ( m−3σ−m
≤
σ
in
P(m
m−σ
σ
≤
P (−3 ≤ T ≤ 3) = 2Π(3) − 1 = 2 x 0, 99865 − 1 =
36.4
m+3σ−m
)
σ
⇔
0,9973
EXERCICE 4
On suppose que la taille de 615 étudiants est distribuée normalement avec une moyenne de 1,75
m et un écart-type de 20 cm. Calculer le nombre d'étudiants ayant des tailles :
inférieures ou égales à 1,50 m
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352
CHAPITRE 36.
EXERCICES LOI NORMALE
comprises entre 1,50 m et 1,65 m
supérieures ou égales à 2 m.
Solutions
a ) La taille des étudiants suit une loi normale X,→N(1,75 ; 0,2) Pour utiliser la table de loi normale
om
centrée réduite, il faut eectuer un changement de variable. Si X,→N(1,75 ; 0,2) alors T,→N(0; 1)
X−1,75
;
(loi normale centrée réduite) avec T =
0,2
1,5−1,75
X−1,75
≤ 0,2 ) = P (T ≤ −1, 25)
P(X ≤ 1, 5) = P (
0,2
Comme T est négatif on calcule l'aire positive :
P (T ≤ −1; 25) = P (T ≥ 1, 25) = 1 − P (T ≥ 1, 25) = 1 − 0, 8944 =
b )
P ( 1,5−1,75
≤
0,2
x−1,75
0,2
≤
1,65−1,75
)
0,2
0,1056
⇔ P (−1, 25 < T < 0, 5) =
2−1,75
)
0,2
P (T ≥
36.5
= P (T ≥ 1, 25) = 1 − Π(1, 25) = 1 − 0, 8944 =
0,1056
at
hs
c )
0,5859
.c
Π(0; 5) − Π(−1, 25) = Π(0; 5) − 1 + Π(1, 25) = 0, 6915 − 1 + 0, 8944 =
EXERCICE 5
Soit X la variable aléatoire qui suit la loi normale N(12000 ; 3000).
a) Déterminer, arrondi à 100 unités près, le nombre réel a qui vérie : P(x > a) = 0,75
Solutions
m
Le processus suit une loi normale X,→N(12000 ; 3000)
fo
Pour utiliser la table de loi normale centrée réduite, il faut eectuer un changement de variable.
X−12000
Si X,→N(12000 ; 3000) alors T,→N(0 ; 1) (loi normale centrée réduite) avec T =
;
3000
X−12000
a−12000
P (X > a) = 0, 75 ⇔ P ( 3000 > 3000 ) = 0, 75
P (T > a−12000
) = 0, 75.
3000
Attention la table ne donne que les valeurs à gauche de T, ici la valeur est à droite, nous devons
passer par l'événement contraire.
a−12000
)
3000
in
1 − P (T <
= 0, 75 ⇔ P (T <
a−12000
)
3000
= 0, 25 ⇔ Π( a−12000
) = 0, 25
3000
Attention la table donne que les valeurs > à 0,5.
Π est négatif, il faut passer par la complémentarité
à 1 :
1 − Π(− a−12000
) = 0, 25 ⇔ 1 − Π( 12000−a
) = 0, 25 ⇔ Π( 12000−a
) = 0, 75
3000
3000
3000
Par lecture de la table, on détermine en prenant la valeur la plus proche.(voir annexe interpolation
linéaire pour information)
) = Π(0, 7) ⇒ ( 12000−a
) = 0, 67 ⇔ −a = 0, 67 x 3000 − 12000 = −9990,
Π( 12000−a
3000
3000
a = 9990 soit à 100 unités près : a=10000 .
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36.6.
353
EXERCICE 6
36.6
EXERCICE 6
soit X la variable aléatoire qui suit la normale N(20 ; 0,5)
a) calculer P(X<=20,8)
b) calculer la valeur du nombre x tel que P(X
≤ x) = 0, 68
c) calculer la valeur du nombre x tel que P(X
< x) = 0, 072
x = 20 tel que la variable aléatoire X prenne ses valeurs dans
om
d) déterminer un intervalle centré en
cet intervalle avec une probabilité de 0,94.
Solutions
a ) Le processus suit une loi normale X,→N(20 ; 0,5)
P (X ≤ 20, 8) = P ( X−20
≤
0,5
20,8−20
)
0,5
.c
Pour utiliser la table de loi normale centrée réduite, il faut eectuer un changement de variable.
X−20
;
Si X,→N(20 ; 0,5) alors T,→N(0 ; 1) (loi normale centrée réduite) avec T =
0,5
⇔ P (T ≤ 1, 6) = Π(1; 6)
at
hs
Par lecture dans la table : t=0,9452
P (X ≤ x) = 0, 68 ⇔, P ( X−20
≤
0,5
x−20
) = 0, 68 ⇔
0,5
x−20
Par lecture inverse de la table : Π(
) = Π(0, 47)
0,5
b )
( x−20
) = 0, 47 ⇔ x = 0, 47 x 0; 5 + 20 =
0,5
c )
P (T ≤
x−20
)
0,5
= 0, 68.
20,235
P (X ≤ x) = 0, 072
P ( X−20
≤
0,5
x−20
)
0,5
= 0, 072 ⇔ P (T ≤
x−20
)
0,5
= 0, 072 ⇔ Π (x−20
) = 0, 072
0,5
m
Nous avons une valeur inférieure à : 0,5 ce qui signie que t est négatif, nous devons passer par
l'événement contraire :
) = 0, 072 ⇔ Π( 20−x
) = 0, 072 − 1 = 0, 928
1 − Π( 20−x
0,5
0,5
20−x
0,5
= 1, 46 ⇔ x = −1, 46 x 0, 5 + 20 =
fo
Π( 20−x
) = Π(1, 46) ⇔
0,5
≤
P (20 − a ≤ X ≤ 20 + a) = 0, 94 ⇔ P ( 20−a−20
0,5
d )
P ( −a
≤T ≤
0,5
a
)
0,5
in
a
0,5
x−20
0,5
≤
19,27
20+a−20
)
0,5
= 0, 94
a
a
a
⇔ 2Π( 0,5
) − 1 = 0, 94 ⇔ 2Π( 0,5
) = 1, 94 ⇔ Π( 0,5
)=
a
a
Π( 0,5
) = 0, 97 ⇔ Π( 0,5
) = Π(1, 88)
soit
soit par lecture inverse
1,94
2
par lecture inverse de la table
= 1, 88 ⇔ a = 1, 88 x 0, 5 = 0, 94
L'intervalle cherché
20+
− a : [20 − 0, 94] < a < [20 + 0, 94]
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soit 19,06<a<20,94
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354
EXERCICES LOI NORMALE
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 36.
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36.7.
355
INTERPOLATION AFFINE
36.7
INTERPOLATION AFFINE
Dans l'exercice 6, la lecture inverse 0,75 se trouve entre 2 colonnes du tableau. Relevons les valeurs
om
de ces 2 colonnes.
Mais quelle est la valeur exacte de t ? Nous allons solutionner ce problème grâce au théorème de
in
fo
m
at
hs
.c
Thalès vu en classe de 3ème
t−A
B−A
=
D−A
C−A
⇒
t−0,67
0,68−0,67
=
0,75−0,7486
0,7517−0,7486
= 0, 4516
t = 0, 4516 x 0, 01 + 0, 67 = 0, 6745
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356
EXERCICES LOI NORMALE
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 36.
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36.8.
357
EXERCICE 7
36.8
EXERCICE 7
Toutes les probabilités demandées dans cet exercice seront données sous leur forme décimale ar−3
rondie à 10 près.
La partie C peut être traitée indépendamment des deux autres.
Une entreprise vend 2 types de meubles :
M1 , M2
respectivement 419¿ et 509¿ l'unité.
M1 est une variable aléatoire X qui suit la loi normale N (85; 15).
La demande mensuelle en meubles M2 est une variable aléatoire Y qui suit la loi normale N (52; 8).
On suppose que X et Y sont indépendantes.
Partie A
om
La demande mensuelle en meubles
Dans cette question, on suppose que le stock est susant pour satisfaire la demande. Ainsi, l'entreprise vend mensuellement X meubles
M1
et Y meubles
M2 .
1)
2)
V1 : on vendra au plus 80 meubles M1.
V2> : on vendra au plus 70 meubles M2.
at
hs
Partie B
.c
Calculer les probabilités (un mois donné) d'avoir les événements suivants :
Dans cette question, le stock n'est pas obligatoirement susant pour satisfaire la demande. L'entreprise dispose en début de mois d'un stock de 80 meubles
M1
et 70 meubles
M2 .
Quelles sont les probabilités des évènements suivants :
S1 : il y aura rupture de stock en meubles M1 .
S2 : il y aura rupture de stock en meubles M2 .
S : il y aura rupture de stock (en meubles M1 ou M2 ).
Partie C
m
(La rupture de stock concerne la n du mois, et signie que la demande est supérieure au stock).
Un mois donné est dit rentable si le chire1, d'aaires de ce mois dépasse 70 000
¿.
1 Exprimer (en euros) le chire d'aaires Z du mois en fonction de X et Y.
fo
2 Calculer l'espérance mathématique de Z.
3 On admet que Z suit la loi normale N(62083 ;7400). Quelle est la probabilité qu'un mois donné
soit rentable ?
4 On note R le nombre de mois rentables d'un semestre (6 mois), et on suppose l'indépendance
in
entre les évènements rentables ou non rentables des mois successifs.
Justier le résultat suivant : R suit la loi binomiale B(6 ; 0,142).
5 Quelle est la probabilité que sur les 6 mois d'un semestre, on en ait au moins deux rentables ?
Solutions :
1A) Probabilité de vendre au plus 80 meubles M1 :
Si X,→
N (85; 15)
alors T,→
Saïd Chermak
N (0; 1)
loi normale centrée réduite avec
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T =
X−85
.
15
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358
CHAPITRE 36.
EXERCICES LOI NORMALE
P (X ≤ 80) = P ( X−85
≤ 80−85
) ⇔ P (T ≤ −5
) = P (T ≤ −0, 33) ⇔ P (T ≤ −0, 33) = Π(−0, 33)
15
15
15
P (X ≤ 80) = 1 − Π(0, 33) = 1 − 0, 629 = 0, 371 à 10−3 près.
2A) Probabilité de vendre au plus 70 meubles M2 :
N (52; 8) alors T,→ N (0; 1) loi normale centrée réduite avec T = Y −52
.
8
Y −52
70−52
12
P (Y ≤ 80) = P ( 8 ≤ 8 ) ⇔ P (T ≤ 8 ) = P (T ≤ 2, 25) ⇔ P (T ≤ 2, 25) = Π(2, 25)
P (Y ≤ 80) = 0, 988.à 10−3 près.
1B) Probabilité de rupture de stock en meubles M1 .
om
Si Y,→
P (S1 ) = P (X > 80) = P ( X−85
> 80−85
)
15
15
P (S1 ) = P (X > 80) = 1 − P (X ≤ 80) = 1 − 0, 371 = 0, 629
2B) Probabilité de rupture de stock en meubles M2 .
10−3
près.
à
10−3
près.
.c
P (S2 ) = P (X > 70) = 1 − P (X ≤ 70) = 1 − 0, 988 = 0, 012
à
2B) Probabilité de rupture de stock en meubles ou M2 .
P (S) = P (S1 ∪S2 ) = P (S1 )+P (S2 )−P (S1 ∩S2 ) comme les évènements S1 et S2 sont indépendants,
at
hs
on obtient :
P (S) = P (S1 ) + P (S2 ) − P (S1 ) x P (S2 )
P (S) = 0, 629 + 0, 012 − 0, 629 x 0, 012 = 0, 633
Partie C
1) Exprimons (en euros) le chire d'aaires Z du mois en fonction de X et Y :
Z = 419X + 509Y
2) Calcul de l'espérance mathématique de Z :
m
Rappel : (voir chapitre opérations variables aléatoires)
si Z = aX + bY + c
E(Z) = aE(X) + bE(Y) + c
et Y sont des variables indépendantes
la variance est le carré de l'écart-type
in
fo
V (Z) = a2 V (X) + b2 V (Y ) si X
V (Z) = a2 σ 2 (X) + b2 σ 2 (Y ) car
p
σ(Z) = a2 σ 2 (X) + b2 σ 2 (Y )
Solutions :
⇒ E(Z) = 419E(X) + 509R(Y )
E(Z) = 419 x 85 + 509 x 52 = 62083
E(Z) = aE(X) + bE(Y) + c
Vérions que l'écart type est de 7400 ;
σ(Z) =
p
p
a2 σ 2 (X) + b2 σ 2 (Y ) ⇒ σ(Z) = (4192 x 152 + 5092 x 82 )=7488
arrondi à 7400 !
3) Probabilité qu'un mois donné soit rentable :
Saïd Chermak
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36.8.
359
EXERCICE 7
Eectuons le changement de variable et posons T =
Z−62083
7400
> 70000−62083
)
P (Z > 70000) = P ( z−62083
7400
7400
P (Z > 70000) = P (T > 1, 07) = 1 − P (T ≤ 1, 07) = 1 − Π(1, 07)
P (Z > 70000) = 1 − 0, 8577 = 0, 142 à 10−3 près.
4) Justions que R suit la loi binomiale B(6 ; 0,142).
om
Comme on est en présence de 6 épreuves indépendantes présentant chacune deux issues
soit le mois donné est rentable avec une probabilité p=0,142
soit le mois donné n'est pas rentable avec une probabilité
q = 1 − p = 1 − 0, 142 = 0, 858
par conséquent la variable aléatoire R qui associe le nombre de mois rentables suit une loi binomiale
k
P(X=k)=C6
B (6 ;
0,142) avec :
x 0, 142k x 0, 8586−k .
.c
n=6, p=0,142 que l'on note :
5 ) Probabilité que sur les 6 mois d'un semestre, on en ait au moins deux rentables :
in
fo
m
at
hs
P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − (PX = 0) + P(X = 1)
P(X ≥ 2) = 1 − [0, 8586 + C16 x 0, 1421 x 0, 8585
P(X ≥ 2) = 1 − [0, 8586 + 0, 142 x 0, 8585 = 0, 535
Saïd Chermak
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360
CHAPITRE 36.
36.9
EXERCICES LOI NORMALE
EXERCICE 8
Une usine fabrique des cylindres en grande série.
1)
Le premier usinage consiste en un tournage. Deux machines
M1
et
M2
sont utilisées pour
M1 est n1 = 1500
machine M2 on a
eectuer toutes les deux ce même travail. La production journalière de la machine
pièces, avec une proportion de pièces défectueuses de
n2 = 2100
pièces avec
p1 = 0, 002 ;
pour la
p2 = 0, 003.
om
Dans la production totale, un jour donné, on choisit au hasard une de ces pièces tournées.
a) Montrer que la probabilité que cette pièce présente un tournage défectueux est de 0,0026.
b) Sachant que le tournage de cette pièce est défectueux, calculer la probabilité qu'elle ait
tournée par la machine
2)
M1 .
été
Le second usinage consiste en un fraisage. L'expérience montre que, en fabrication normale,
2% de ces fraisages sont défectueux. On dispose d'un lot comprenant un très grand nombre de
.c
pièces fraisées dans lequel on prélève au hasard 20 pièces ( le prélèvement est assimilé à un tirage
successif avec remise.)
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement au hasard de 20 pièces associe le nombre de
a)
at
hs
pièces dont le fraisage est défectueux.
Quelle est la loi de probabilité de X ? Donner ses paramètres. On justiera soigneusement la
réponse.
b) Calculer la probabilité que, parmi les 20 pièces prélevées, trois aient un fraisage défectueux.
3). On tire maintenant au hasard une pièce dans un lit de pièces où les deux usinages précédents
ont été réalisés.
Ces deux usinages sont indépendants.
Calculer les probabilités pour que cette pièce :
m
a) présente les deux usinages défectueux,
b) présente l'un au moins de ces usinages défectueux,
c) ne présente aucun des usinages défectueux.
4) Sur chacun des cylindres fabriqués, on contrôle le
diamètre y qui, en principe, doit être de
fo
50,0 mm. En fait, les mesures eectuées révèlent que le diamètre de ces cylindres est une variable
aléatoire Y suivant une loi normale de moyenne 50,2 mm et d'écart-type 0,5mm.
En raison d'un montage réalisé par la suite par un robot, les cylindres dont le diamètre n'est pas
compris entre 49,6mm et 50,8mm doivent être mise au rebut.
in
Calculer la probabilité pour qu'un cylindre soit mis au rebut.
On fera apparaître les diérentes étapes du calcul.
Solutions
1a) production totale : 1500 + 2100 =3600 pièces
La production de la machine
La production de la machine
Saïd Chermak
M1
M2
1500
3600
2100
représente donc :
3600
représente donc :
=
=
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5
de la production totale.
12
7
de la production totale.
12
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36.9.
361
EXERCICE 8
Nous pouvons dresser l'arbre suivant :
2=1000
b
D1
> P
= 1=1200 = 0; 000833
b
D1
> P
= 499=1200 = 0; 41583
b
D2
> P
= 7=4000 = 0; 00175
b
D2
> P
= 6979=12000 = 0; 581583
M1
5=12
b
998=1000
3=1000
M2
7=12
b
997=1000
om
b
La probabilité que cette pièce présente un tournage défectueux est la probabilité de la somme des
M1 et M2 :
Les événements (M1 ∩ D1 ) et (M2 ∩ D2 ) étant incompatibles,
D = (M1 ∩ D1 ) ∪ (M2 ∩ D2 )
P(D) = P(M1 ∩ D1 ) + P(M2 ∩ D2 )
P(D) = PM1 (D1 ) x P(M1 ) + PM2 (D2 ) x P(M2 )
2
1
5
x 1000
= 1200
' 8, 33 x 10−4 (1)
PM1 (D1 ) x P(M1 ) = 12
3
7
7
x 1000
= 4000
= 1, 75 x 10−3
PM2 (D2 ) x P(M2 ) = 12
1
1200
+
7
4000
=
on peut écrire :
at
hs
P(D) =
.c
pièces défectueuses fabriquées par
31
12000
= 2, 58 x 10−3 '
0,0026 (2)
1b) Calculons la probabilité que la pièce défectueuse ait été tournée par la machine M1 . En fait
Equation (1)
c'est à dire le rapport entre les pièces défectueuses de M1 par rapport
Equation (2)
au total des pièces défectueuses.
m
c'est le rapport :
PM1 (D1 ) x P(M1 )
P(D)
=
1
1200
31
12000
=
1
1200
x 12000
=
31
10
31
=
0,3225
PD (M1 ) =
P(M1 ∩D)
PD
in
fo
En fait en voici la démonstration rigoureuse, nous devons calculer :
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362
CHAPITRE 36.
EXERCICES LOI NORMALE
Rappel :
Si un ensemble A est inclus dans un ensemble B, l'intersection de A et B est A que l'on note :
om
A⊂B⇒A∩B=A
D = (M1 ∩ D1 ) ∪ (M2 ∩ D2 ) donc
M1 ∩ D = M1 ∩ [(M1 ∩ D1 ) ∪ (M2 ∩ D2 )] ; développons :
M1 ∩ D = M1 ∩ (M1 ∩ D1 ) ∪ M1 ∩ (M2 ∩ D2 ) ;
Les évènements (M1 10/31 ∩ D1 ) et (M2 ∩ D2 ) sont incompatibles (un article ne peut être fabriqué
que par 1 seule machine), donc l'intersection M1 ∩ (M2 ∩ D2 ) est l'ensemble vide. Il reste donc :
M1 ∩ D = M1 ∩ (M1 ∩ D1 ) ;
Il apparaît que (M1 ∩ D1 ) est inclus dans M1 : (M1 ∩ D1 ) ⊂ M1 comme noté dans le rappel.
L'intersection des deux ensembles M1 ∩ (M1 ∩ D1 ) est le plus petit des deux. On obtient donc :
M1 ∩ D = M1 ∩ D1
Calcul de la probabilité de : M1 ∩ D = M1 ∩ D1
P(M1 ∩ D) = P(M1 ∩ D1 ) donc
PD (M1 ) =
Partie 2 :
P(M1 ∩D)
PD
=
P(M1 ∩D1 )
PD
=
m
donc
at
hs
.c
Évènement D :
1
1200
31
12000
=
1
1200
x 12000
=
31
10
31
=
0,3226
a - Comme nous sommes en présence de 20 épreuves indépendantes présentant chacune deux issues :
p = 0, 02
q = 1 − p = 0, 98
soit la pièce présente un défaut de fraisage avec une probabilité
fo
soit la pièce n'est pas défectueuse avec une probabilité de
Par conséquent, la variable aléatoire X qui assoscie le nombre total de pièces présentant le défaut
n = 20 et p = 0, 02
k
P (X = k) = C20
.0, 02k x 0, 9820−k
de fraisage suit une loi binomiale de paramètres
,→ B(20;0, 02)
avec
in
X
que l'on note :
b - Calculons la probabilité que parmi les 20 pièces prélevées trois aient un fraisage défectueux :
3
P (X = 3) = C20
.0, 023 x 0, 9820−3 = 0, 0065
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36.9.
363
EXERCICE 8
Partie 3
a - Calculons la probabilité pour qu'une pièce présente les deux usinages défectueux :
soit T l'évènement : la pièce présente un défaut de tournage et
soit F l'évènement la pièce présente un défaut de fraisage
indépendants.
om
P (T ) = 0, 0026et P (F ) = 0, 02
P (T ∩ F ) = P (T ) x P (F ) car les deux évènements sont
On a donc : P (T ∩ F ) = 0, 0026 x 0, 002 = 0, 000052
b - Calculons la probabilité pour qu'une pièce présente l'un au moins de ces deux usinages défectueux :
P (T ∪ F ) = P (T ) + P (F ) − P (T ∩ F )
P (T ∪ F ) = 0, 0026 + 0, 02 − 0, 000052
P (T ∪ F ) = 0, 0225
.c
Au moins 1 défaut se traduit par :
c - Calculons la probabilité pour qu'une pièce ne présente aucun défaut :
Nous pouvons calculer cette proabilité de deux manières diérentes :
at
hs
1°
P (F ∩ T ) = 1 − P (T ∪ F )
P (F ∩ T ) = 1 − 0, 0225 = 0.9775
2°
in
fo
m
P (T ∩ F ) = P (T ) x P (F )
P (T ∩ F ) = [1 − P (T )] x [1 − P (F )]
P (T ∩ F ) = (1 − 0, 0026) x (1 − 0, 02)
P (T ∩ F ) = 0, 9974 x 0, 998 = 0, 9775
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364
CHAPITRE 36.
EXERCICES LOI NORMALE
Partie 4
Calculons la probabilité pour qu'un cylindre soit mis au rebut :
Y suit une loi normale :
Y ,→ N (50, 2 : 0, 5)
La probabilité pour qu'un cylindre ne soit pas mis au rebut :
P (49, 6 ≤ Y ≤ 50, 8)
Changement de variable :
Y ,→ N (50, 2 : 0, 5)
alors
T ,→ N (0 : 1)
loi normale centrée réduite avec
Calculons la probabilité pour qu'un cylindre soit accepté :
P (49, 6 ≤ Y ≤ 50, 8) = P ( 49,6−50,2
≤
0,5
y−50,2
0,5
≤
50,8−50,2
)
0,5
P (49, 6 ≤ Y ≤ 50, 8) = P (−1, 2 ≤ T ≤ 1, 2)
Içi, nous avons un intervalle centré en zéro :
T =
Y −50,2
0,5
om
Si
.c
P (49, 6 ≤ Y ≤ 50, 8) = P (−1, 2 ≤ T ≤ 1, 2) = Π(a) − Π(−a)
P (49, 6 ≤ Y ≤ 50, 8) = Π(a) − [1 − Π(a)] = Π(a) − 1 + Π(a)
P (49, 6 ≤ Y ≤ 50, 8) = 2Π(a) − 1 = 2Π(1, 2) − 1
P (−1, 2 ≤ T ≤ 1, 2) = 0, 7698
in
fo
m
1 − 0, 7698 = 0, 2302
at
hs
On peut en déduire que la probabilité que la pièce soit mise au rebut est de :
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SUITES NUMERIQUES
SUITES ARITHMETIQUES
.c
37.1
DEFINITION
un+1
= un + r Exemple :
(un )
s'il existe un réel r appelé raison tel que terme suivant :
at
hs
Une suite arithmétique notée
om
Chapitre 37


u0 = 5
u1 = u0 + 3 = 5 + 3 = 8


u2 = u1 + 3 = 8 + 3 = 11
avec
r=3
Les nombres 5, 8, 11, 14, 17 sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier
m
= 5 et de raison r = 3.
Calculons u20 :
u20 = u0 + 20r
un = u0 + nr
u20 = 5 + 20 x r = 65
fo
termeu0
Remarque : attention la suite commençait à
u0 mais elle peut commencer à u1 , alors nous obtenons
in
dans ce dernier cas :
un = u0 + (n − 1)r
Si le premier terme de la suite est :
u1 = 8
et
r=3
alors
u20 = 8 + (20 − 1) x 3 = 65
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366
CHAPITRE 37.
SUITES NUMERIQUES
SOMME
Soit S la somme de la suite arithmétique des 6 termes suivants : 5, 8, 11, 14, 17, 20
S = 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20, en réécrivant la somme des termes par ordre décroissant on obtient :
S = 20 + 17 + 14 + 11 + 8 + 5
5
8
11
14
17
20
s
20
17
14
11
8
5
2s
25
25
25
25
25
6(5+20)
2
Sn = u0 + u1 + u2 + ... + un
(n+1)(u0 +un )
2
mais si la suite
=
(nombre de termes)(premier terme+dernier terme)
2
(un )
at
hs
Sn =
25
.c
GENERALISATION
om
2S = 6(5 + 20) ⇔ S =
s
commence par
u1
alors :
Sn = u1 + u2 + ... : +un
Sn =
n(u1 +un )
2
=
(nombre de termes)(premier terme+dernier terme)
2
EXERCICES
m
1 ) Combien y a t il de nombres impairs entre 179 et 1243 ? de nombres pairs ?
a) les nombres impairs sont : 1, 3, 5 ... La raison de la suite est
(
u1 = 179
un = 1243
comme
Un = u1 + (n − 1)r
fo
Posons :
r = 2.
1243 = 179 + (n − 1)2 ;
2(n − 1) = 1243 − 179 ⇔ 2n = 1243 − 179 + 2 ⇔ n =
1066
2
= 533
in
b) Le premier entier pair est 180, et le dernier est 1242, et la raison de la suite est
(
Posons :
u1 = 180
un = 1242
comme
r=2
Un = u1 + (n − 1)r
1242 = 180 + 2(n − 1)
2(n − 1) = 1242 − 180 = 1062 ⇔ n − 1 = 10622 = 531
n = 531 + 1 = 532
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37.1.
367
SUITES ARITHMETIQUES
2) En reconnaissant la somme des termes d'une suite arithmétique,
S1 = 31 + 1 + 35 + ... + 19
+7
3
Calculer S2 = 5 + 2 − 1 − 4 − 7... − 34
a) calculer
b)
c) Calculer la somme des entiers multiples de 7 qui sont plus grands que 100 et plus petits que
1000.
d) Exprimer la somme
Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n
en fonction de n .
(
Posons
u1 = 31
un = 7
r =1−
comme
1
3
=
2
3
Un = u1 + (n − 1)r
Cherchons le nombre de termes de cette suite :
un − u1 = (n − 1) 23 ⇔ n − 1 =
3(7− 31 )
2
2
3
=
3(un −u1 )
2
+ 1 = 11termes
at
hs
n=
un −u1
.c
a) la raison de la suite est
om
Solutions :
Calculons la somme de cette suite :
Sn =
Sn =
n(u1 +un )
2
121
3
=
(nombre de termes)(premier terme+dernier terme)
2
b ) la raison de la suite est
Posons
u1 = −5
un = −34
11(13+7)
2
=
14(5+(−34))
2
r = 2 − 5 = −3
comme
Un = u1 + (n − 1)r
m
(
=
Cherchons le nombre de termes de cette suite :
fo
un − u1 = (n − 1)(−3), n − 1 =
n=
−34−5
−3
un −u1
−3
+ 1 = 14termes
Calculons la somme de cette suite :
(nombre de termes)(premier terme+dernier terme)
2
in
Sn = n(u12+un ) =
Sn = −203
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368
CHAPITRE 37.
SUITES NUMERIQUES
c) Calculons la somme des entiers multiples de 7 qui sont plus grands que 100 et plus petits que
1000.
Le premier terme de cette suite
La raison est
r=
(un )
est
u1 = 7,
u2 = 14
= 142, 8 soit n = 142
un = 142x7 = 994 : En eet :143
le second
7. Calculons le nombre de termes : 1000
7
Calculons le dernier multiple inférieur à 1000 :
x 7 = 1001
Calculons la somme de cette suite :
n(u1 +un )
2
=
(nombre de termes)(premier terme+dernier terme)
2
=
142(7+994)
2
Sn = 71071
om
Sn =
Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n en fonction de n
Le dernier terme vaut : Un = n d'ailleurs par le calcul on obtient :
Un = U1 + (n − 1)r et avec la raison r = 1 ,
Un = 1 + (n − 1)1 = 1 + n − 1 = n
Calculons la somme :
=
(nombre de termes)(premier terme+dernier terme)
2
in
fo
m
Sn =
n(u1 +un )
2
n(1+n)
2
at
hs
Sn =
.
.c
d) Exprimons la somme
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37.2.
369
SUITES GEOMETRIQUES
37.2
SUITES GEOMETRIQUES
DEFINITION
Une suite géométrique notée
(un )
s'il existe un réel q appelé raison tel que terme le suivant :
un
avec
q=2
om
+ 1 = qun 

u0 = 3
Exemple :
u1 = qu0 = 2x3 = 6


u2 = qu1 = 2x6 = 12
Les nombres 3, 6, 12, 24, 48 sont les termes consécutifs d'une suite géométrique de premier
= 3 et
Calculons Un :
un =u0 q n
de raison
q = 2.
.c
termeu0
u5 = u0 q 5
u5 = 3 x 25 = 3 x 32 = 96
dans ce dernier cas :
un =u1 q n−1
et
u0 mais elle peut commencer à u1 , alors nous obtenons
at
hs
Remarque : attention la suite commençait à
un =up q n−p
Si nous connaissons le terme de la suite
Si nous connaissons le terme de la suite
SOMME
u3
u9
alors
alors
u8 = u3 q 8−3 = u3 q 5
u4 = u9 q 4−9 = u9 q −5
m
Soit S la somme de la suite geométrique des 5 termes suivants : 3, 6, 12, 24, 48
S = 3 + 6 + 12 + 24 + 48,
en réécrivant dessous la somme des termes multiplié par la raison
q=2
on obtient :
fo
2Sq = 6 + 12 + 24 + 48 + 96
S
3
2S
S-2S
3
6
12
24
48
6
12
24
48
96
0
0
0
0
96
in
S − 2S = 3 − 96 ⇔ S(1 − 2) = 3(1 − 32) = 3(1 − 25 )
5
S = 3 1−2
1−2
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370
CHAPITRE 37.
SUITES NUMERIQUES
GENERALISATION
Sn = u0 + u1 + u2 + ... + un
(nombre de termes)
1−q
(un ) commence
Sn = u1 + u2 + ... + un
mais si la suite
Sn = premier terme x
par
) ⇔ Sn = u0
u1
1−q n+1
1−q
avec
q 6= 1
avec
q 6= 1
alors :
(1−q (nombre de termes−1)
)
1−q
⇔ Sn = u0
1−q n
1−q
EXERCICES
om
Sn = premier terme x (1−q
Montrer que ces suites sont géométriques. Déterminer le premier terme et la raison.
un = (−4)2n+1
n
3n+1
b) wn = (−1) x 2
.c
a)
METHODE
(Un ) est une suite géométrique , il sut à partir du terme un
Un+1
relation : un+1 = qUn ou le rapport
=q
Un
un+1
et d'établir la
SOLUTION :
at
hs
Pour montrer que la suite
a ) Pour visualiser deux termes consécutifs, à partir de
Un = (−4)2n+1 ,
calculons
de calculer
u3
et
u4
en
remplaçant n respectivement par 3 et 4 dans la formule :
m
U3 = (−4)2 x 3+1 = (−4)7
U4 = (−4)2 x 4+1 = (−4)9
Nous voyons que pour passer deu3 à
u4
nous avons multiplié
u3
par
(−4)2
qui représente la raison
q de la suite.
Démontrons cela :
fo
Un = (−4)2n+1 , calculons Un+1 , on obtient :
= (−4)2(n+1)+1 = (−4)2n+2+1 = (−4)2n+1+2
= (−4)2n+1+2 = (−4)2n+1 x (−4)2 en appliquant la règle an+m = an x am
= (−4)2n+1 x (−4)2 = Un x (−4)2
= 16Un
Un est une suite géométrique de raison q = 16 et de premier terme u0 = (−4)1 = −4
A partir
in
Un+1
Un+1
Un+1
Un+1
donc
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37.2.
371
SUITES GEOMETRIQUES
b ) Pour montrer que la suite
(Wn )
est une suite géométrique , il sut à partir du terme
Wn+1
=q
calculer wn+1 et d'établir la relation :Wn+1 = qWn ou le rapport
wn
wn
de
Wn+1 en remplaçant n par n + 1 dans la formule : Wn = (−1)n x 23n+1
= (−1)n+1 x 23(n+1)+1 = (−1)n+1 x 23n+3+1
= (−1)n+1 x 23n+1+3 = (−1)n+1 x 23n+1 x 23
= (−1)n x (−1)1 x 23n+1 x 23 en appliquant la règle an+m = an x am
= (−1)n x 23n+1 x (−1) x 23
= Wn x (−1) x 23 = −8W n
Wn+1
Wn+1
Wn+1
Wn+1
Wn+1
donc
(Wn )
est une suite géométrique de premier terme
om
Calculons
W0 = 2
Solution :
r=5
.
est telle que
u0 = 2
et n étant un nombre entier
at
hs
Une suite arithmétique (u) de raison
Pn
i=3 ui = 6456. Calculer n .
q = −8
.c
Exercice 3
et de raison
un et u3 il y a : n − 3 + 1 = n − 2 termes
u3 = u0 + 3r = 2 + 3 x 5 = 17
un = u3 + (n − 3)r = 17 + (n − 3)5 = 17 − 15 + 5n = 2 + 5n
Entre
−9−509
10
= −51, 8
−9+509
10
= 50
solution à rejeter car doit être positif ( la raison est positive)
fo
n1 =
m
Sn = (n−2)(u2 3 +un ) ; Remarque : n - 2 car on commence à u3
Sn = (n − 3 + 1)( 17+2+5n
) = 6456
2
(n − 2)(19 + 5n) = 12912
19n − 38 + 5n2 − 10n = 12912 ⇔ 5n2 + 9n − 12950 = 0
√
√
4 = b2 − 4ac = 92 − 4(5)(−12950) = 259081; 4 = 509
n2 =
in
n=50
La suite de premier terme
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u0 = 2
et de dernier terme
u50
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comprenant 51 termes.
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372
CHAPITRE 37.
SUITES NUMERIQUES
Exercice 4
1) On considère la suite
un+1 = 13 un + 4
(un)
dénie par :
u0 = 1
On pose, pour tout nombre entier naturel n ,
a ) pour tout nombre entier naturel n, calculer
vn = un − 6.
vn+1
en fonction de
vn
: Quelle est la nature de la
(vn ) ?
c ) Calculons la limite de
(un )
en plus l'inni :
Solutions
(un )
dénie par
u0 = 1
+6
et , pour tout nombre entier naturel n ,
une suite qui est :
- géométrique si on supprime le terme :
- arithmétique si on supprime le terme :
+4
un + 1 = 13un + 4
est
.c
la suite
1 n
3
un = −5
limn→+∞ (un ).
b ) Démontrer que pour tout nombre entier naturel n,
om
suite
et , pour tout nombre entier naturel n ,
et la raison est alors
1
et la raison est alors
3
1
3
+4
at
hs
En fait cette suite est un mélange de deux progressions, on dit qu'elle est arithmético-géométrique,
un classique de suite BTS ! On ne peut calculer directement
de
u9
...
Un
mais on peut calculer
u10
à partir
En remplaçant n par la suite des entiers naturels : 0, 1, 2, ...
u0 : u0+1 = u1 = 13 u0 + 4 = 13 + 12
= 13
3
3
12
25
13
1
+
=
Calculons
à partir de u1 : u1+1 = u2 = u1 + 4 =
3
3
3
3
et ainsi de suite ... jusqu'à u20 si on désire calculer ce terme.
a ) Pour calculer u20 directement, il faut exprimer unen fonction de n pour cela il faut passer
par une suite intermédiaire que nous appelons ici vn ,
vn = un − 6 ⇔ un = vn + 6 Démontrons que vn est une suite géométrique. Appliquons la méthode
u1
u2
à partir de
m
Calculons
déjà vue dans les exercices ci dessus :
vn est une suite géométrique. Appliquons la méthode déjà vue dans les exercices
ci dessus : vn = un − 6
vn+1 = un+1 − 6 mais comme un+1 = 31 un + 4 , on obtient :
vn+1 = ( 31 un + 4) − 6 ⇔ vn+1 = 31 un − 2 mais comme un = vn + 6 alors :
vn+1 = 13 (vn + 6) − 2 ⇔ vn+1 = 31 vn + 2 − 2 d'où vn+1 = 13 vn
1
donc (vn ) est une suite géométrique de premier terme v0 = u0 − 6 = 1 − 6 = −5 et de raison q =
3
in
fo
Démontrons que
.
vn = v0 q n = −5
1 n
.
3
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373
SUITES GEOMETRIQUES
n
un = vn + 6 ⇔ un = −5 31 + 6.
1 20
+ 6 alors qu'auparavant il
Pour calculer u20 : u20 = −5
3
dents de u20
c ) Calculons la limite de (un ) en plus l'inni :limn→+∞ (un ).
Si la raison : 0 < q < 1, limn→+∞ (un ) = 0
n
un = −5 31 + 6
1 n
Comme limn→+∞ ( ) = 0 alorslimn→+∞ (un ) = 6
3
b ) Comme
om
Exercice 5
fallait calculer tous les termes précé-
2 ) Une enseigne a 2000 clients. Elle perd 20% de sa clientèle tous les ans et elle en capte 500
nouveaux.
(Un ). Un
est le nombre de clients de l'année
un+1 en fonction de un :
Soit la suite (vn ) telle que : vn = un − 2500.
Montrer que (vn ) est une suite géométrique.
fonction de n .
Exprimer
vn
en fonction de n . En déduire
un
en
at
hs
Exprimer
2012 + n, soit u0 = 2000 : Calculer u1 ; u2
.c
Soit la suite
A quelle date le nombre de clients sera t-il supérieur à 2450 ?
Solutions :
a ) Calcul de
u1
et
u2
:
(2), on obtient :
in
fo
m
80
= 100
= 0, 8
U0 = 2000, et la raison q = 100−20
100
u1 = u0 − 0, 2u0 + 500 = 0, 8 x 2000 + 500 = 2100
u2 = u1 − 0, 2u1 + 500 = 0, 8 x 2100 + 500 = 2180
Exprimonsun+1 en fonction de un :
un+1 = un − 0, 2un ⇔ un+1 = 0, 8un + 500 (1)
Montrons que(vn ) est une suite géométrique
vn = un − 2500 ⇔ un = vn + 2500 (2)
vn+1 = un+1 − 2500. En remplaçant un+1 par la relation (1), on obtient :
vn+1 = (0, 8un + 500) − 2500 = 0, 8un − 2000. En remplaçant un par la relation
vn+1 = 0, 8(vn + 2500) − 2000
vn+1 = 0, 8vn + (0, 8 x 2500) − 2000 = 0, 8vn + 2000 − 2000 = 0, 8vn
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CHAPITRE 37.
SUITES NUMERIQUES
vn+1 =0,8vn
(vn ) est une suite géométrique de raison q = 0, 8
v0 = u0 − 2500 = 2000 − 2500 = −500
vn = v0 q n ⇔ vn = −500(0, 8)n
Désormais la suite (un ) peut s'écrire :
et de premier terme :
un = vn + 2500 ⇔ un =-500(0,8)n +2500
un > 2450 ⇔ −500(0, 8)n + 2500 > 2450
−50
0, 8n < 2450−2500
⇔ 0, 8n < −500
⇔ 0, 8n <
−500
1
10
om
Cherchons la date pour laquelle le nombre de clients sera supérieur à 2450 :
soit A > B alors ln(A) > ln(B) car la fonction ln est strictement croissante
1
ln 0, 8n < ln 10
⇔ n ln 0, 8 < ln 0, 1
n>
ln 0,1
ln 0,8
⇔ n > 10, 31
soit donc n=11 années
.c
Changement de sens de l'inégalité car ln(0,8) est négatif :
Le nombre de clients sera supérieur à 2450 en l'an 2023 !
un en +∞ :
limn→+∞ (un ) = limn→+∞ −500(0, 8)n + 2500 = 0 + 2500
limn→+∞ (un )=2500
Exercice 6 :
at
hs
La limite de
car
On considère la fonction
f
limn→+∞ (0, 8)n = 0
dénie pour tout nombre entier n par
f (n) = e(10,13+0,07n)
On utilise cette fonction pour modéliser l'évolution des recettes touristiques de ce pays européen.
f (n) représente le montant des recettes touristiques (exprimés en millions d'euros) de ce pays
européen pour l'année 2000 + n
m
Ainsi
1 ) Selon ce modèle, calculer le montant des recettes touristiques que l'on peut prévoir pour l'année
2007. Arrondir le résultat au million d'euros.
fo
2 ) a - Déterminer le nombre entier n à partir duquel
f (n) > 45000
.
b - En déduire l'année à partir de laquelle, selon ce modèle, le montant des recettes touristiques
in
dépasserait 45000 millions d'euros.
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37.2.
375
SUITES GEOMETRIQUES
Solution :
1 ) Calculons le montant des recettes touristiques pour l'année 2007 :
f (7) = e(10,13+0,07 x 7) = e(10,62) = 40946
2 ) Déterminons le nombre entier n à partir duquel
f (n) > 45000
:
(10,13+0,07n)
om
f (n) > 45000 ⇔ f (n) = e
> 45000
(10,13+0,07 x 7)
ln e
= ln 40946 ⇔ 10, 13 + 0, 07n > ln 45000
0, 07n > ln(45000) − 10, 13 ⇔ n > ln(45000)−10,13
= 8, 35 soit n = 9
0,07
qui correspond à l'an 2009 .
Exercice 7
Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que lors d'un lancer sa probabilité de marquer
.c
un panier est égale à 0,6
1 ) Julien lance le ballon quatre fois de suite. Les quatres lancers sont indépendants les uns des
autres.
at
hs
a ) Montrer que la probabilité que Julien ne marque aucun panier est égale à 0,0256.
b ) Calculer la probabilité que Julien marque au moins un panier.
2 ) Combien de fois Julien doit il lancer le ballon au minimum pour que la probabilité qu'il marque
au moins un panier soit supérieur à 0,999 ?
Solution
Nous sommes en présence de 4 épreuves indépendantes présentant chacune 2 issues :
p = 0, 6
q = 1 − 0, 6 = 0, 4
m
- soit Julien marque le panier avec une probabilité de
- soit Julien rate le panier avec une probabilité de
Soit X la variable aléatoire associant le nombre de paniers réussis alors :
fo
X ,→ B(4; 0, 6)soit donc
P (X = k) = C4k x 0, 6k x 0, 44−k
a ) Probabilité que Julien ne marque aucun panier :
P (X = 0) = C40 x 0, 60 x 0, 44 = 0, 44 = 0, 0256
in
b ) Probabilité que Julien marque au moins un panier :
P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − 0, 0256 = 0, 9744
2 ) Nombre de lancers minimum pour que la probabilité > 0,999 :
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376
CHAPITRE 37.
SUITES NUMERIQUES
P (X ≥ 1) > 0, 999 donc
1 − P (X = 0) > 0, 999 ⇔ 1 − 0, 4n > 0, 999 ⇔ −0, 4n > 0, 999 − 1
−0, 4n > −0, 001 ⇔ 0, 4n < 0, 001 ⇔ ln 0, 4n < ln 0, 001
n ln 0, 4 < ln 0, 001
soit
Changement de sens de l'inégalité car ln(0,4) est négatif :
n>
ln 0,001
ln 0,4
⇔ n > 7, 53
in
fo
m
at
hs
.c
om
Julien doit lancer au moins 8 fois !
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om
.c
Cinquième partie
in
fo
m
at
hs
REVISIONS
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om
.c
at
hs
m
fo
in
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om
Chapitre 38
RÉVISIONS
Soit
Exercice 1
.c
38.1
f la fonction f (x) = 4 − e−x (x + 2)2 dénie sur [0; +∞[.
[0; +∞[
h(x) = e−x (x2 + 6x + 10).
Soit g et h les fonctions dénies sur
at
hs
g(x) = −e−x (x + 2)2 et
respectivement par :
Démontrer que h est une primitive de g sur
[0; +∞[.
[0; +∞[.
−8
Vm = 11+61e
4
1a - En déduire une primitive de F de la fonction f sur
1b - Démontrer que la valeur moyenne de f sur [0; 8] est
10−2 , deVm .
1c - Donner la valeur approchée, arrondie à
Solutions :
m
Pour montrer que h est une primitive de g , il sut de montrer que
Calculons la dérivée de h qui est de la forme
u(x) = e−x
u0 (x) = −e−x
donc
v(x) = x2 + 6x + 10 v 0 (x) = 2x + 6
fo
(
u(x)v(x).
comme
h0 (x) = g(x).
Posons :
h = uv ⇒ h0 = u0 v + uv 0
:
in
h0 (x) = −e−x (x2 + 6x + 10) + (2x + 6)e−x . Factorisons par e−x
h0 (x) = e−x (−x2 − 6x − 10 + 2x + 6)
h0 (x) = e−x (−x2 − 4x − 4) ⇔ h0 (x) = −(+x2 + 4x + 4)e−x
h0 (x) = −(x + 2)2 e−x ⇔ h0 (x) = g(x)
alors
On en déduit h est une primitive de g .
1a Puisque g(x) est une prilitive de h(x) et que
f (x) = 4 + g(x)
donc
F (x) = 4x + h(x)
1b Démontrons que la valeur moyenne de
Vm =
1
8−0
´8
0
F (x) = 4x + e−x (x2 + 6x + 10)
11+61e−8
f sur [0; 8] est Vm =
:
4
d'où
f (x)dx = 18 [F (x)]80 = 81 [4x + e−x (x2 + 6x + 10)]80
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CHAPITRE 38.
RÉVISIONS
in
fo
m
at
hs
.c
om
Vm = 18 [4 x 8 + e−8 (82 + 6 x 8 + 10) − e0 (10)
Vm = 81 [4 x 8 + e−8 (64 + 48 + 10) − 10]
Vm = 18 [32 + 122e−8 − 10] = 81 (22 + 122e−8 )
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38.2.
381
EXERCICE 2
Simplions par 2, on obtient :
(11+61e−8 )
4
10−2
1c - Valeur approchée, arrondie à
Vm =
(11+61e−8 )
4
38.2
, deVm .
= 2, 76
Exercice 2
Soit le Tableau ci dessous :
1996
xi
Rang de l'année :
yi
Chires d'aaires annuels :
1997
1998
1
2
3
5
7,5
9,2
1999
2000
2001
2002
2003
4
5
6
7
8
11
18,3
22,5
31
43
.c
Années
om
Vm =
On renonce à un ajustement ane pour ce nuage de points. On eectue le changement de variable
(ln désigne le logarithme népérien).
at
hs
zi = ln(yi )
Années
Rang de l'année :
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
1
2
3
4
5
6
7
8
2002
2003
xi
zi = ln(yi )
1,609
Remplissage du Tableaupar manipulation de la calculatrice
1996
m
Années
Rang de l'année :
xi
1998
1999
2000
2001
1
2
3
4
5
6
7
8
1,609
2,015
2,219
2,398
2,907
3,114
3,434
3,761
fo
zi = ln(yi )
1997
z = 0, 302x + 1, 324
αx
suivante : y = ke . Trouver
La droite de régression :
Exprimer sous la forme
les paramètres
k
et
α
.
Comme z = ln(y) donc :
in
ln y = 0, 302x + 1, 324 ⇔ eln y = e0,302x+1,324
y = e0,302x .e1,324 ⇔
y=3,758e
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0,302x
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RÉVISIONS
in
fo
m
at
hs
.c
om
CHAPITRE 38.
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om
Chapitre 39
m
at
hs
.c
REVISIONS
Soit la courbe
nées : abscisse
fo
Cf .
Cf représentant une fonction f , la tangente à la courbe au point Cm , (de coordonx0 , et d'ordonnée y0 , ici M(1 ;-2) ) est la droite passant par ce point et tangente à
Le coecient directeur de la tangente T à la courbe
0
dérivé soit f (x0 ).
Cf
au point M d'abscisse
x0
est le nombre
in
L'équation d'une d roite est de la forme : y = ax + b dont le coecient directeur est a , donc
0
0
a correspond à f (x0 ). On peut donc écrire : y = f (x0 )x + b (1)
La droite T passant par le point M(x0 ; y0 ) a pour équation :
y = f (x0 ) = f 0 (x0 ) x x0 + b (2)
Soustrayons membre à membre les deux égalités (1) et (2), on obtient :
y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ) qui représente l'équation de la tangente T
M0 (x0 ; y0 ).
Exemple : soit la fonction f : x 7→ 3 ln(x) − 5x + 4
Cherchons l'équation de la tangente T au point x0 = 1. Calculons f '(x)
f 0 (x) = 3( x1 ) − 5 ⇒ f 0 (1) = 3 − 5 = −2
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383
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à la courbe
Cf
au point
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384
CHAPITRE 39.
f (1)
f (1)= 3 x 0 − 5 x 1 + 4 = −1
0
T : y − f (1) = f (1)(x − 1)
y − (−1) = −2(x − 1) = −2x + 1
REVISIONS
Calculons
qui représente l'équation de la tangente T au point
soit la fonction
om
Exercice :
f : x 7→ f (x) = 3xe−x
Déterminer l'équation de la tangente T au point d'abscisse
Solutions :
(
u = 3x ⇒ u0 = 3
v = e−x ⇒ v 0 = −e−x
f = uv ⇒ f 0 = u0 v + uv 0 .
de la forme (eu )0 = u0 eu
Posons :
at
hs
f 0 (x) = 3e−x + 3x(−e−x ) = 3e−x − 3xe−x
f 0 (x) = 3e−x (1 − x)
Calculons f (0)
f (0) = 3 x 0.e0 = 0
0
Calculons f (0) :
f 0 (0) = 3e0 (1 − 0) = 3
x0 = 0
.c
Calculons la dérivée : elle est de la forme
x0 = 1
Déterminons la tangente T au point d'abscissex0
0
=0
y − f (0) = f (0)(x − 0) ⇒ y − 0 = 3(x − 0) = 3x
Exercice 1
m
Exercices de Probabilités
X ,→ N (40; 5)
P (40 − a ≤ x ≤ 40 + a) = 0, 95
P (X ≥ a) = 0, 8413
fo
Soit la variable aléatoire
1)
in
2)
Calculons la valeur de a pour les cas suivants :
Solutions :
1) Changement de variable : si X suit une loi normale de paramètres N (40; 5) alors T suit la loi
N (0; 1) loi normale centrée réduite avec T = X−40
5
40−a−40
X−40
40+a−40
P (40 − a ≤ X ≤ 40 + a) = 0, 95 ⇔ P ( 5
≤ 5 ≤
) = 0, 95
5
a
a
P (− 5 ≤ T ≤ 5 ) = 0, 95
normale de paramètres
Π(a/5) − Π(−a/5) = 0, 95
Π( a5 ) − [1 − Π( a5 )] = 0, 95 ⇔ Π( a5 ) − 1 + Π( a5 ) = 2Π( a5 ) − 1 = 0, 95
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385
Π( a5 ) =
1,95
2
= 0, 975
En lecture inverse de la table en face de 0,975 on lit : 1,96
a
5
= 1, 96 ⇔ a = 5 x 1, 96 = 9, 8
2)
P (X ≥ a) = 0, 8413
om
P ( X−40
≥) = 0, 8413
5
a−40
P (T ≥ 5 ) = 0, 8413 Comme nous ne sommes pas dans la table, alors
1 − P (T < a−40
) = 0, 8413
5
a−40
−P (T < 5 ) = 0, 8413-1
−P (T < a−40
) = −0, 1587
5
a−40
Π( 5 == 0, 1587
Attention à la valeur négative Π(0) = 0, 5 signie que Π(T ) < Π(0) donc T < 0.
On pose l'opération :
.c
1 − Π( 40−a
) = 0, 1587 ⇔ −Π( 40−a
) = −0, 8413 ⇔ Π( 40−a
) = 0, 8413
5
5
5
Par lecture de la table on en déduit :
Π( 40−a
) = Π(1) ⇔ ( 40−a
) = 1 ⇔ 40 − a = 5 ⇔ a = 40 − 5 = 35
5
5
at
hs
Exercice 2
Soit X la variable aléatoire du Chire d'aaires d'une entreprise A. X,→N(100 ;4)
Soit Y la variable aléatoire du chire d'aaires d'une entreprise B. Y,→N(60 ;3)
Soit Z la variable aléatoire du chire d'aaires du groupe, Z suit la loi
1 ) Calculer la probabilité
Solutions
P (Z ≤ 165)
P (150 ≤ Z ≤ 170)
m
2 ) Calculer la probabilité
Z =X +Y
Calcul de l'espérance mathématique de Z :
Rappel : (voir chapitre opérations variables aléatoires)
X ,→ N (m1 ; σ1 ) ⇒ E(X) = m1 et σ(X) = σ1
si Y ,→ N (m2 ; σ2 ) ⇒ E(Y ) = m2 et σ(X) = σ2
si Z = X + Y , X et Y sont des variables indépendantes
E(Z) = E(X) + E(Y ) ⇒ E(Z) = m1 + m2
V (Z) = V (X) + V (Y )
σ 2 (Z) = σ 2 (X) + σ 2 (Y ) car la variance est le carré de l'écart-type
p
p
σ(Z) = σ 2 (X) + σ 2 (Y ) ⇒ σ(Z) = σ12 (X) + σ22 (Y )
in
fo
si
mais
Z = X − Y , (une diérence au lieu d'une somme) alors
E(Z) = E(X) − E(Y ) ⇒ E(Z) = m1 − m2
V (Z) = V (X) + V (Y )
σ 2 (Z) = σ 2 (X) + σ 2 (Y ) car la variance est le carré de l'écart-type
si
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386
σ(Z) =
CHAPITRE 39.
p
σ 2 (X) + σ 2 (Y ) ⇒ σ(Z) =
REVISIONS
p
σ12 (X) + σ22 (Y )
P (Z ≤ 165)
Z ,→ N (m1 + m2 ; σ1 + σ2 )
(
(
E(X) = 100; σ(X) = 4
E(Z) = 100 + 60 = 160
√
⇒
E(Y ) = 60; σ(Y ) = 3
σ(Z) = 42 + 32 = 5
1) Calculons la probabilité
√
om
P (Z ≤ 165) = P ( Z−160
≤ 165−160
) = P (T ≤ 1)
5
5
P (Z ≤ 165) = Π(1) = 0, 8413
Z ,→ N (160; 5)
P (150 ≤ Z ≤ 170)
P (150 ≤ Z ≤ 170) = P ( 150−160
≤ T ≤ 170−160
) = P (−2 ≤ T ≤ 2)
5
5
P (150 ≤ Z ≤ 170) = Π(2) − Π(−2) = 2Π(2) − 1 = 0, 9544
in
fo
m
at
hs
.c
Calculer la probabilité
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