soit f une fonction

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Chapitre 1 : Dérivation
I.
Rappels et compléments
Définition : soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I.
On dit que f est dérivable en a lorsque le taux d’accroissement de f en a admet une limite l en a,
f (a + h) − f (a)
f (x ) − f (a)
c’est-à-dire lorsque lim
ou écrit autrement
lim
= l.
=l
x→a
h →0
x −a
h
Dans ce cas l est appelé le nombre dérivé de f en a et on le note f ’( a ) .
Remarques :
. soit
C la courbe représentative de f , A et M les points de C
d’abscisse a et x = a + h . Le taux d’accroissement de f entre a et a + h
est égal au coefficient directeur de la corde (AM).
. lorsque
f est dérivable en a, nous pouvons encore écrire
f (x) − f (a)
x−a
= f ’(a) + E ( x – a )
avec
lim E ( x – a ) = 0 , ou encore
x →a
(1)
f (x) – f (a) = f ’(a). ( x – a ) + ( x – a ). E ( x – a ) ; lim E ( x – a ) = 0
(2)
f (a + h) – f (a) = h. f ’(a) + h.E ( h) ;
x →a
avec
lim E ( h ) = 0
h →0
. les physiciens expriment une variation à l’aide du symbole ∆ ,
( en posant h = x – a )
ils notent ainsi ∆x = x – a et ∆y = f (x) – f (a) .
Avec ces notations l’égalité ( 1 ) s’écrit ∆y = f’ (a) .∆x + ∆x E ( ∆x )
où E tend vers 0 avec ∆x .
Nous exprimerons symboliquement cette égalité par : dy = f ’ (a) .dx
ou f ’ (a) =
dy
( a ) ; c’est la notation
dx
différentielle
II. Interprétations
Interprétation graphique ; tangente : lorsque f est dérivable en a , la courbe représentative de f admet
au point A( a , f (a) ) une tangente de coefficient directeur f ’(a).
Cette tangente a pour équation (on la déduit facilement de ( 1 ) ) :
y – f (a) = f ’(a). ( x – a )
cette tangente a donc pour vecteur directeur
 1 
u

 f '( a) 
Interprétation numérique ; approximation affine : lorsque f est dérivable en a , la fonction f admet une
bonne approximation affine, lorsque x est voisin de a :
f (x) ≃ f (a) + f ’(a). ( x – a )
pour h voisin de 0 , f (a + h ) ≃ f (a) + h. f ’(a)
, l’erreur commise est : h. E(h)
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Interprétation cinématique ; vitesse : si t ֏ f (t) est la loi horaire d’un mouvement,
f ’( to ) est alors la vitesse instantanée à l’instant to .
III. Variations d’une fonction et extremum
Lorsqu’une fonction f est dérivable en tout point d’un intervalle I , nous pouvons définir la fonction dérivée
df
f ’ : x ֏ f ’(x) sur I . Avec la notation différentielle, f ’ se note encore
.
dx
Théorème (admis en 1ière ) : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
Si la dérivée f ’ est nulle sur I, alors f est constante sur I ;
Si f ’ est strictement positive sur I, sauf peut-être en des points isolés où elle s’annule,
alors f est strictement croissante sur I ;
Si f ’ est strictement négative sur I, sauf peut-être en des points isolés où elle s’annule,
alors f est strictement décroissante sur I .
Remarque : ainsi, l’étude des variations d’une fonction dérivable se ramène à la recherche des intervalles sur lesquels la dérivée
f ’ garde un signe constant .
Ex :
Corollaire : soit f dérivable sur un intervalle ouvert I , et xo un réel de I.
Si f admet un extremum local en xo , alors f ’(xo) = 0 ;
Si en xo la dérivée f ’ s’annule en changeant de signe, alors f admet un extremum local en xo .
Remarques :
. les extremums locaux d’une fonction sont à chercher parmi les zéros de la dérivée , mais si
f ’(xo) = 0 , xo n’est pas forcément
un extremum local ( f (x) = x3 )
. pratiquement, les extremums locaux sont aisément repérables sur le tableau de variations ; ils correspondent aux changements de
sens des flèches.
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IV. Dérivée d’une fonction composée
Théorème : soit U une fonction dérivable sur un intervalle I et V une fonction dérivable en U(x)
pour tout x appartenant à I, alors la fonction composée V U est dérivable sur I , et pour tout x de I :
(V U ) '(x) = V’ ( U(x) ) × U ’(x)
Principe de démonstration : soit x0 ∈ I,U est dérivable en x0 donc U (x0 + h )
≃ U(x0) + h. U ’(x0) + h. E(h) avec lim E ( h ) = 0
On peut alors écrire V ( U (x0 + h ) ) = V ( U(x0) + k )
avec k = h. U ’(x0) + h. E(h)
Puisque V est dérivable en U (x0 ) on peut écrire :
V ( U(x0) + k ) = V ( U(x0) ) + k. V’ ( U(x0) ) + k. φ(k)
h →0
avec
lim φ( k ) = 0
k →0
Or lorsque h tend vers 0 , h. U ’(x0) + h. E(h) = k tend vers 0
V ( U(x0) + k ) = V ( U(x0) ) + k. V’ ( U(x0) ) + [ un terme tendant vers 0 quant h tend vers 0 ]
Donc
V ( U (x0 + h ) ) = V ( U(x0) ) + h. U ’(x0) . V’ ( U(x0) ) + [ un terme tendant vers 0 quant h tend vers 0 ]
lim
V (U (x 0 + h) ) − V (U (x 0 ) )
h →0
h
= V’ ( U(x0) ) × U ’(x0)
Remarques : . avec la notation différentielle on peut écrire :
d (v u )
dx
. ce résultat prolonge celui établi en première lorsque U(x) = a x + b,
si g (x) = V( ax + b ) est dérivable sur I : g’ (x) = a . V ’( ax + b )
( x0 ) =
dv
du
( u (x 0 ) ) × ( x 0 )
du
dx
d (v u)
dx
=
dv du
×
du dx
Ex :
Corollaire : soit U une fonction dérivable en xo :
La fonction f : x ֏ [ u(x) ] n , ( n ∈ Z ) est dérivable en xo ( sous la condition u(xo) ≠ 0 pour n < 0 )
f ’( xo ) = n. [ u(xo) ] n–1 × u ’( xo )
Si u( xo ) > 0 , la fonction g : x ֏ u (x) est dérivable en xo
g ’( xo ) =
Ex :
u '(x 0 )
2
u(xo )
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V. Tableaux récapitulatifs