Théorie noethérienne des idéaux dans les anneaux et

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
R. C ROISOT
Théorie noethérienne des idéaux dans les anneaux et les demigroupes non nécessairement commutatifs
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 10 (1956-1957), exp. no 22,
p. 1-9
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Faculté des Sciences de Paris
Exposé
-:-:-:-
n4 22
Séminaire P, DUBREIL et C. PISOT
THÉORIE
et
Année
DES
NOMBRES)
~95~/57
-:-:-:-
THÉORIE NOETHÉRIENNE
DES IDÉAUX
DANS LES ANNEAUX ET LES DEMI-GROUPES NON NÉCESSAIREMENT COMMUTATIFS
(Exposé
[Exposé
d’une
20.5.1957)
le
CROISOT,
partie d’un mémoire
de L. LESIEUR et IL
à
Zeitschrift.]
paraître
PARTIE I.- Idéaux à
à
R.
de Ro
Math.
au
gauche tertiaires
gauche tertiaires dans les
décompositions
et
et
anneaux
CROISOT,
.
idéaux
en
les demi-groupes
non
nécessairement commutatifs.
U
désigne
un anneau ou un
demi-groupe
avec
’
élément
zéro,
nécessairement
non
commutatif, n’ayant pas nécessairement un élément unité. Nous imposons une condition de chaîne qui est, soit la condition de chaîne ascendante pour les idéaux à
gauche,
soit la condition de chaîne descendante pour les
idéaux
à
gauche.
,
a
a U b
étant deux éléments de
b
et
et de
(aengendré
b~ ().
o
U~
nous
Pour tout élément
x
U~
notons
a
de
nous
U ~
la réunion
b
notons
(x)1
de
l’idéal
(x) l’idéal bilatère de U engendré par x .
Les idéaux à gauche de U sont représontés par des majuscules latines imprimées ;
en outre, les idéaux bilatéres peuvent être représentés par des majuscules de ronde.
Pour tout idéal à gauche A et tout idéal bilatère B , nous notons A.°B
le
à
gauche de
U
résiduel à droite de
A
c’est
un
et
par
x
par
~’~ 9
ensemble des éléments
de
U
tels que l’on
U Les éléments
a
vérifi.ant la
x
idéal à gauche ~
1.- Radical tertiaire d’un idéal à gauche.
THÉORÈME 1.1.-
Soit
un idéal à gauche de
A
c
condition
forment
un
.
,
L’ensemble 01(A)
()
~; ~A~
idéal bilatère
est
non
de
vide
U.
car
il contient l’élément zéro de
U
et il
1
a
possède
U b
un
est l’ensemble des éléments de la forme
élément
unité,
on a
évidemment
a
U*b
=
b
U b .
a x
a
avec
x ~ U .
Si
U
22-02
est
pour la.
permis
à droite et à
multiplication;
ferme pour la soustraction? dans le
(~.(A) .
a’ C
U*x
a
c.A . On
et
a
x~. A
ÇA .De
U~
~’
C
,
a
(b)
x’ ~
tel que
x’ e
(x)’
c A
~
g
x~
tel que
avec
a -
~(A) ,
a ~
Soit
(bj
est
qu’il
Montrons
un anneau.
a’
et
A
A
x~
et
C3-u(A) .
le radical tertiaire de
R(A) s’appelle
1.1.- L’idéal bilatère
DÉFINITION
A
x’ ~
(a - a’)
,
en déduit
on
x ~
déduit Inexistence de
on
donc
a
est
U
il existe donc
b~A ,
Prenons
où
cas
gauche.
l’idéal
’
à
A c
gauche
THÉORÈME
1.2.-
éléments
avec l’ensemble des
(;i,’
Notons
A
b~
dans
o
Si l’on
l’énoncé
b c
a
du théorème
et
Inversement, soit
t e rait
de
r
’$
x
C
(an+1)
$
a
A
tel que
n
::
x~A
thèse.
On
a
2.- Idéal à
an+1 ~
donc bien
on a
alors
d où
donc
a
on
peut choisir
n
:~1
on
an ~
x
A ,
=
ce
r
a
a x
A . Prenons
x
b
considère le plus
par
il existe
chaîne,
6 A .
On
suite,
an+1~ A ,
avec
=
a’ b~. A .
et
6~u(A) et,
d’où
C A
a~ ~
a
Si l’on avait
forme
il exis-
L’élément
r ~ U , et
on
x
aurait
qui serait contraire à l’hypo-
R’ .
suite?
par
A .
On
a ~R(A) . Sinon,
a
r
=
et,
A
et
coïncide
A
gauche tertiaire.
DÉFINITION 2.1.- On dit
lorsqu’il vérifie
la
qu’’un idéal
propriété
THÉORÈME 2.1.- Si
U
est
à
gauche
suivante
c. T ,
a
primaire
et
do la
x
=
(~’ .
U*b c.A
(an+1) .
:
=
tel que
&
En vertu de la condition de
R(A) .
(an) A
(s.~) serait nécessairement
A : (an) d’où
A (an+1)
s
a
a
U’x ~A ,
a
on s.
d’un idéal
puissance appartient
1.1, d’où résulte
tel que
A ~
=
entier
une
déduit
on en
petit entier positif m
peut c hoi sir x
un
dont
a
dernier ensemble et soit
ce
a
commutatif, le radical tertiaire
est
U
Si
est
T
un
idéal à gauche tertiaire
s
b ~T~
a ~ R(T) .
commutatif, les notions d ’ idéal tertiaire et d’idéal
coïncident.
Ce résultat est
une
conséquence immédiate
de la définition
précédente
et du
théorème 1.2.
DÉFINITION
2.2.- On dit
lorsque les relations
qu’un idéal à gauche
A
est
un
idéal à gauche
primai
entraînent l’existence d’un élément
tel que l’on ait
x ~ U
,,
,
,
THEOREME 2,1 .- Tout idéal à
I
Soit
gauche tertiaire
est triviale pour
la pour
n
a
=
p
C,
T
--
p+
1 . On
+
n
de la définition 2.2. La pro-
n
Supposons la vraie pour n p et démontrons
, p et
1, 2, ,
tll , x £ T pour 1
OEa en déduit, T étant tertiaire, ap+1 ~
R (T) j
p+
=
a. V*x Ci
donc
a
l’entier
sur
1 ,
=
T
xp+1
p+’ .~
,
p+
«
sui te, d’après la relation x q# T ,
t
l
On a également
;’ Q
~ 1 c - TT » 0n
ai Il,
par
primal.
idéel à gauche tertiaire.
un
On raisonne par récurrence
priété
ost
~
=
.
T
1
pour
(x)1
x’1 £
il existe
o .
x’
tel que
1 2
= 1,
2, ... , p
$T
et
,t’
1.
La
propriété
.
est donc vérifiée.
THÉORÈME
U
àe
Le radical tertiaire d’un idéal à
2020-
est
éléments
idéal bilatère premier
un
a
pour
lesquels
peut
o.n
ÔJ
gauche tertiaire
Cet idéal coïncide
o
trouver
un
élément
b
$
T
Puisque
a
Réciproquement,
T
a
que
est
tertiaire,
(P
soit
a E:
(Jb(T) .
d t où
a ~
(p
Considérons alors
chaîne,
’
on
(?~(T)~ (~ .
et
T ~ il existe alors
On
a
est
p
Ux
semble des éléments
~. T .
on a
y
a
~(T)
bien
=
(~ C (~/T) .
x Et T
tel
(~ .
gauche T.’ . En vertu de la condition de
éléments a. $: (~ (i = 1, 2, «. ~ n) tels que l’on
primai~ il existe un élément
(i == 1~ 2~ ... ~ n) . En vertu de (l)~
T
p ~ (~ entraîne
la relation
bS
d’où
à
peut trouver des
Puisque
Prenons
l’ensemble des
tel que l’on ait
a ~ (~(T) ~
tire
on en
que l’on ait
tel
Démontrons d’abord la deuxième partie du théorème. Soit
éléments a pour lesquels on peut trouver un élément b & T
distinct
l’ensemble des
avec
T
T
Réciproquement:
y ~
qui vérifient
(~ .
a
Il
en
si
tel que l’on ait
T
on a
y
est
x
un
résulte que
T .
e
T.*~ ~
donc
élément vérifiant
(? ==
est l’en-
Montrons maintenant que
Si l’on
donc
c ~ b
existe
DÉFINITION
distinct de
associe à
3.-
Si (?
2.3.-
U ~
on
premier. Supposons
on
on en
déduit
premier
est bien
=
est
a
T ,
avec
. L’idéal P
~
a
l’idéal ,
dit que
Test
(P
gauche (~ -irréductible
dans le
Considérons~
~T’ . On
,
T ,
a
c’
a
cas
où
Dans le
procède
on
THÉORÈME
à
T , d’où
(~
gauche tertiaire T
est l’idéal premier
est
~ (c| .
un
Il
est tertiaire.
~-irréductible et
anneau~ l’idéal
==t~+c’
et par suite
cas
U
donc
avec
p
+ b’
en
c’ C T . On
avec
considère l’idéal
T’
x
(T+(b))n(T+(c)) .
o
~T ~
t3 ~ T ,
et
déduit
=
tertiaire.
t~
6 T
en
T’
non
T’
==
T
~2~~ ~
d’où
ce
qui
con-
~ -irréductible .
tredit le fait que l’idéal est
et
c~
idéaux à gauche tertiaire.
en
que l’idéal à gauche T soit
Il existe donc a et b tels que l’on ait
(bj(
Sinon il
( ).
-tertiaire et que
Supposons
b’ ~
~(~ .
avec
a
est le radical tertiaire de l’idéal à
LEMME 3.1.- Tout idéal à
x
b
a
T .
Décompositions
Soit
en.déduit
On
a
d’un demi-groupe,
on
=
(T u(b))
de la même manière.
3.1.- Tout idéal à gauche est l’intersection d’un nombre fini d’idéaux
gauche tertiaires.
o
Ce résultat est
conséquence immédiate
une
du lemme 3.1. et de la condition de
’
chaîne
imposée..
~
distinct de U
A
en
idéaux à gauche
(2)
Rappelons qu’un idéal bilatère
ou b e
(Cf. Il, H.
entraîne a ~
ainsi,
soit
en
Pour
qu’il
p. 823-833).
a
U*bc,.(p
entraîne
gauche
décomposition
3.2.- Soit
ou
T.
supposés
i-tertiaires,
aucun
d’eux
(p
est premier si la relation a U b ~
MAC COY, Amer. Journ. of Math., 71, 1948,
il faut et il suffit que la relation
(~ .
’
(j~(A) de
nI étant superflu. Le radical tertiaire
a) Démontrons
(P. ~ 2
Soit
(~ H
l’inclusion
...~ k .
~
par
suite, d’après a ~
a
Si
b’
il
Sinon,
avec
existe,
b’2 ~ T2
est dans
vertu
en
En. poursuivant
superflu.’On
donc
s
d’où
ce
On
qui
ce
aussi
a
on en
avec
b’
6
obtient
on
(donc b’
~
(bj)
et
T1 ~ T2
un
élément
b’
~
(b)1
a
est
possible puisque
(bj1
T.
déduit
et
1
b’
~.A
. On établit de même
n’est pas
T.
et
entraînerait
T.
car
6
tel que
d’idéaux
a
A . Comme
a
~2,
... ,
-tertiaires
gauche
est
0
-tertiaires.
U*b ~ T1 ~ T2
Soit donc
puisque
Etant donnée
à
(~ -tertiaire
Il suffit de le démontrer pour l’intersection T
et
On vient de voir
supposés
=
(bi1
(A) ~ 1 ~ 2 ~...~k .
idéal à gauche
T2
R(T) (P .
T.
(b)1
raisonnement,
LEMME 3.2.- L’intersection d’un nombre fini
un
~
et il existe
(P.-tertiaire y
k ,
~
a
d’où
b’
b~
avec
donc
U%’ CI.
est
T1
a
a
et
et
,avec
~~~n..~9 k C(~(A).
Choi(~’)(A)~?.n~rB~.n~ . Soit
l’inclusion
...r~T.
a
un
a~H-L(A)
b) Démontrons
b
T~
élément b’2
b ~ T. (par
donc
(bl
il existe
on a
élément
un
et
sissons
on a
On a aussi a U*b’2 ~ T1
U b* ~ T1 ~ T2 .
avec
1 ,
2 ,
a ~
et
Dans les deux cas, il existe
a
T~ ,
de
g.~(~) *
(P~ ~ ...H
Considérons
exemple) et,
à
égal
est
A
une
a
T1
est
avec b ~ T1 ~
-tertiaire, a ~ .
décomposition
de
T~
=
de deux idéaux
(théorème 3.2.) que l’on a
T ’ On a, par exemple,
1~idéal à gauche
A
idéaux à gauche
aucun
Ti
T. 1 n’étant superflu, on peut donc
rassembler les idéaux tertiaires associés à un même idéal premier. La décomposien
tion obtenue est dite
i-tertiaires,
réduite, conformément
à la définition suivante :
,
/
décomposition
DEFINITION 3.1.- Une
i-tertiaires
posés
on
a
donc
est dite réduite
i
idéaux premiers
en
T 1 r1 T2 ~ ... ~ T k
si aucun
T, 1 n’est
idéaux
en
superflu
Ti
sup-
et si les
sont tous distincts o
définitive le théorème suivant :
THÉORÈME 3.3.- Tout idéal à
position réduite
=
comme
gauche
.
distinct de
A
U
possède
au
intersection d’ un nombre fini d’idéaux à
moins
une
décom-
gauche tertiaires.
4.- Théorème d’unicité.
4.1.t
T’
un
Soit
li
=
idéal à gauche
T’ ~ X ’
=
’-tertiaire,
Il suffit de montrer
(P ~ (~’ .11
et,
a
en
déduirait
a’ ~ T’ ,
P 6
C, T
p
n X
avec
=
T’
H X’ ,
idéal à
un
p~
On
gauche -tertiaire,
a
a ~ XrBX’ . Supposons par exemple
(?’ . Si l’on avait a f A , on aurait
(a)
T
avec
et
THÉORÈME 4.1.- Soit
il.
=
T’2 ~
...
p
T’k’ = T1 ~ T2 ~
On a
,
II suffit de montrer que
était pas ainsi,
on
U
(p ~
par
(~’.J
associés
Tk
U~a’~.T .
On
on
aurait
en
résulterait
deux
décomposi-
intersection d’idéaux
comme
premiers
premiers
~
...
tions réduites de l’idéal à gauche A distinct de
à gauche tertiaire.
k = k’ et les idéaux
sont les m6mes que les idéaux
p
U*a’ ~ T’ . Nais,
étant ’-tertiaire, il
d’où
t
A . T’
puisqu’on aurait
, ce qui serait contraire à l’hypothèse.
.
’
est
~ ’ .
Soit
il existerait
suite,
T
avec
1
existe donc
par
où
i
associés
aux
T.
T’ .
aux
2014j
exemple~
est
aurait les relations suivantes :
égal
à
un
S’il n’en
on
déduit alors de la même
procédé
Le
poursuit
conduit, après application
et
(1) , (2) ,
des relations
B*~ ~ y ~
... ,
ce
se
manière,
qui contredit
le fait que
Tl
n’est pas
superflu.
PARTIE II.5.- Idéaux bilatères tertiaires et
idéaux bilatèrcs tertiaires dans les
demi-groupes
désigne toujours
non
décompositions
anneaux
en
et les
nécessairement commutatifs.
élément zéro, non nécessairement commutatif, n’ayant pas nécessairement un élément unité. Nous imposons
maintenant seulement la condition de chaîne ascendante pour les idéaux bilatères
ou la condition de chaîne descendante pour les idéaux bilatères.
U
Les notations de la
un anneau ou un
partie
déni-groupe
avec
l restent valables.
,
°
Les résultats obtenus
sur
les idéaux à
gauche s’étendent
aux
idéaux bilatères
remplaçant l’idéal principal à gauche (bl considéré dans la partie I par
l’idéal principal bilatère (b) . Nous nous contenterons d’énoncer les principales
définitions et les principaux résultats.
en
.
THÉORÈME
5.1.- Soit
un
idéal bilatère de
U . Les éléments
a
vérifiant la
condition
forment
un
idéal bilatère
~~ ( ~,) de
DEFINITION ~~1.~ Cet idéal bilatère
l’idéal bilatère
U.
s’appelle
,
le radical tertiaire
(à droite)
de
"
Remarquons que -. ~ ~ A possède en tant qu’idéal à gauche un radical tertiaire
qui n’est pas a priori identique à son radical tertiaire ~,(~ ) en tant
qu’idéal bilatère. On a seulement 6L(A)~(R)(Cb) . Signalons cependant qu’il y â
égalité
dans le
où l’on impose la condition de la chaîne descendante pour les
cas
idéaux à gauche.
DEFINITION
(à droite)
Si
un
5.2.- On dit qu’un idéal bilatère est
lorsque! vérifie, la propriété suivante
idéal
bilatère
est tertiaire
en
également tertiaire in tant qu’idéal bilatère.
priori ; elle est pourtant valable en présence
dante pour les idéaux à
DÉFINITION
un idéal bilatère
tertiaire
il est
tant
à
La
n’est pas vraie
qu’idéal
réciproque
gauche,
de la condition de
a
chaîne descen-
gauche.
~.i
5.3.- On dit qu’un idéal bilatère
est
primal (à droite), lorsque
’
les relations
entraînent l’existence d’un élément
U
tel que l’on ait
déjà donnée pour un idéal
à, gauche. Donc, pour qu’un idéal bilatère Él> soit primal en tant qu’idéal bilatère, il faut et il suffit qu’il soit primal on tant qu’idéal lli gauche.
Cette définition coïncide
THÉORÈME
5.2.-
THÉORÈME
5.3.- Le radical
Tout idéal
a.vec
bilatère tertiaire ost
tertiaire
bilatère premier
Ù
DÉFINITION
Si
5.4.-
OE / U , on dit
à 11 .
DÉFINITION 5.5.Ék
=
Une
1 ~2F
...
est dite réduite si
tous distincts.
primal.
d’un idéal bilatère
cst
tertiaire
un
idéal
..
est le radical tertiaire ào l’idéal bilatère tertiaire
ii esi
que
la définition 2.2,
9-tertiaire et
quc
F’
décomposition d’un idéal bilatère
fX
k’ idéaux bilatères È ,
aucun
en
ùÙ,i
est
l’iàé il premier associé
’
OE
d.istinct de
supposés
U ,
i-tertiaires
n’est superflu et si les idéaux premiers
ÔÎ,
i
sont
22-09
5.4-.- Tout idéal bilatère distinct de U est intersection réduite
nombre fini d’idéaux bilatères tertiaires (adroite).
THÉORÈME
THÉORÈME
5.5.- Soit
Ôj =
décompositions réduites
d’idéaux bilatères
n
de
... n
k
l’idéal bilatère
tertiaires. On
a
k
=
k’
=
’1 ~ 2 ~ ... ~ k’
distinct de
et les idéaux
U
deux
comme
premiers
aux i sont les mêmes que les idéaux premiers (P_ associes
d’un
aux
intersection
i associes
j.