COLLÈGE CHARLES III MONACO Chapitre I Outils de calcul pour la 3ème Ce que nous connaissons déjà : ! Opérations sur les décimaux, les relatifs et les quotients. Puissances de dix. Notations scientifiques. Calcul littéral simple. Objectifs de ce chapitre : ! Maîtriser les opérations sur les nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire. Connaître et savoir utiliser les formules opératoires sur les puissances. Savoir effectuer un calcul en respectant les priorités opératoires. Savoir effectuer des calculs simples sur des expressions littérales. Repères historiques : ! Le terme puissance fut utilisé par Euclide au IIIème siècle avant notre ère. Au IXème siècle, AlKhawarizmi utilisait le terme mal pour carré et kab pour cube. Notations qui furent utilisées et amélioré par les autres mathématiciens arabes jusqu’au XVème siècle. Extrait de la page manuscrite de Nicolas Chuquet dans laquelle il explique sa méthode de notation des grands nombres ! C’est la mathématicien français Nicolas Chuquet (1445-1488) qui le premier utilisa la notation avec les exposants pour écrire les puissances. Arts et mathématiques : ! Les fractales sont des objets (lignes ou surfaces) mathématiques créées de manière récursive. Les fractales sont définies de manière paradoxale, en référence aux structures gigognes : « un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal ». Malgré les apparences, ce type de définitions de nature récursive n'est pas seulement théorique mais peut concerner aussi des concepts usuels : un ancêtre est un parent ou un ancêtre d'un parent, un multiple est un composé d'un nombre ou d'un multiple de ce nombre, un escalier commence ou prolonge un escalier, une dynastie inaugure ou prolonge une dynastie, etc. Fractale connue sous le nom d’Ensemble de Julia. PAGE 1 SUR 8 3ème COLLÈGE CHARLES III MONACO I. Nombres relatifs A. Addition et soustraction Propriété : ! Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on garde le signe commun et l’on ajoute les distances à zéro. Exemples : +2 + ( +4 ) = 2 + 4 = 6 −3 + ( −5 ) = − ( 3 + 5 ) = −8 Propriété : ! Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on garde le signe du nombre qui a la plus grande distances à zéro et l’on soustrait les distances à zéro. Exemples : +2 + ( −3 ) = − ( 3 − 2 ) = −1 −5 + ( +7 ) = + ( 7 − 5 ) = 2 Propriété : ! Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé. Exemples : +1 − ( +3 ) = +1 + ( −3 ) = − ( 3 − 1) = −2 −1 − ( +3 ) = −1 + ( −3 ) = − (1 + 3 ) = −4 +4 − ( −3 ) = +4 + ( +3 ) = 4 + 3 = 7 −4 − ( −3 ) = −4 + ( +3 ) = − ( 4 − 3 ) = −1 Ecriture simplifiée : " 2+5 = 7 " 2 − 5 = −3 " 5− 2 = 3 " −2 + 5 = 3 " −2 − 5 = −7 ! B. Multiplication et division Règle des signes : ! ! Le produit (ou le quotient) de deux nombres de même signe est un nombre positif. ! ! Le produit (ou le quotient) de deux nombres de signes différents est un nombre négatif. Exemples : ! 7 × 18 et (−3,14) × (−2,18) sont positifs car produits de nombres de même signe. ! −2 ÷ 25 et PAGE 2 SUR 8 3 sont négatifs car quotients de nombres de signes différents. −2 3ème COLLÈGE CHARLES III MONACO Propriété : ! Pour calculer le produit (ou le quotient) de deux nombres relatifs : ! ! - On applique la règle des signes. ! ! - On calcule le produit (ou le quotient) des distances à zéro. Exemples : " 1× 3 = 3 " " ! ! −2 2 2 = =− ! 5 −5 5 ! −1 × 3 = −3 " " 1 × ( −3 ) = −3 " " ! −5 5 = −4 4 −1 × ( −3 ) = 3 Propriétés : ! nombre :! ! ! ( −1) , c’est a × ( −1) = −a Multiplier un nombre relatif par ! ! ! négatif. ! ! ! prendre l’opposé de ce Le produit comportant un nombre pair de facteurs négatifs est positif. Le produit comportant un nombre impair de facteurs négatifs est Exemple : ! A = ( −2 ) × 3 × ( −4 ) × 5 × ( −1) × ( −6 ) ! On détermine le signe de A : il y a un nombre pair de nombres négatifs, A est donc positif. ! On multiplie les parties numériques : 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 ! d’où A = 720 . C. Inverse Définition : ! ! L’inverse d’un nombre non nul b, noté b−1 , est le nombre qui multiplié à b donne 1. b × b−1 = 1 ! ! ! ! ! ! Exemples : ! L’inverse de 8 est 0,125 car 8 × 0,125 = 1 . ! L’inverse de −3 −4 −3 −4 × =1 est car 4 3 4 3 Remarques : ! ! L’inverse d’un nombre est unique. Un nombre et son inverse sont de même signe. PAGE 3 SUR 8 3ème COLLÈGE CHARLES III MONACO II. Ecritures fractionnaires A. Egalité de quotients Propriété : ! ! Si a, b et k sont des nombres relatifs avec b et k sont non nuls, alors : a a× k a÷ k = = b b× k b÷ k Exemples : Réduire − ! 5 5×3 15 − =− =− ! ! 8 8×3 24 Donc :!! ! 5 2 et au même dénominateur : un multiple commun de 8 et 3 est 24. 8 3 Simplifier −12 :! −16 2 2 × 8 16 = = . 3 3 × 8 24 et! −12 12 12 ÷ 4 3 = = = . −16 16 16 ÷ 4 4 B. Somme et différence Propriété : Si a, b et c sont des nombres relatifs avec c ≠ 0 : ! a b a+ b + = c c c et a b a− b − = c c c Exemple : 2 3 Calculons A = − + . On réduit les deux quotients au même dénominateur : 5 10 ! − 2 2× 2 4 4 3 1 =− =− donc :! A = − + = − . 5 5× 2 10 10 10 10 C. Produit Propriété : ! ! Si a, b , c et d sont des nombres relatifs avec c et d sont non nuls, alors : a c a×c × = b d b×d Exemple : ! 2 ⎛ 3⎞ 2 × 3 6 3 − ×⎜− ⎟ = = = ! 7 ⎝ 4 ⎠ 7 × 4 28 14 PAGE 4 SUR 8 3ème COLLÈGE CHARLES III MONACO D. Fraction d’une quantité Propriété : ! Si a et b sont des nombres relatifs et b ≠ 0 , alors prendre la multiplier par a d’une quantité, c’est b a . b Exemple : 3 3 3 × 200 600 = = 150 . d’un pain de 200g : × 200 = 4 4 4 4 ! Pierre a mangé les ! Donc Pierre a mangé 150g de pain. E. Inverse et quotient Propriétés : ! Diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse. ! Si a, b , c et d sont des nombres relatifs avec b, c et d sont non nuls, alors : a b = a × d = a×d c b c b×c d Exemples : 3 5 3 7 3×7 21 ÷ =− × =− =− 4 7 4 5 4×5 20 ! − ! 25 −5 25 8 25 × 8 10 − ÷ =− × = = = 10 4 8 4 −5 1 4 × 5 1 1 5 2 III. Puissances A. Puissance d’un nombre a Définition : ! Si a est un nombre relatif non nul et si n est un entier supérieur ou égal à 2, alors : an = a × a ×…× a et n facteurs a−n = 1 1 1 × ×…× a a a n facteurs ! ! PAGE 5 SUR 8 De plus, a0 = 1 , a1 = a et a−1 = 1 . a 3ème COLLÈGE CHARLES III MONACO Exemples : ! 3 4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 ! ! ( −2) = ( −2) × ( −2) × ( −2) = −8 ! 2−3 = 3 ! 1 1 1 1 × × = 2 2 2 8 Opérations sur les puissances : ! Si a et b sont non nuls et si m et n sont des entiers relatifs, alors : ! a ×a =a m ! ! ! ! n m+n (a ) m n am = am−n ! n a !! ( a × b) ! m = am × bm m =a m×n ! ! ! ! am ⎛ a⎞ = ⎜⎝ b ⎟⎠ bm Exemples : ! 3−4 × 3 2 = 3−4+2 = 3−2 = ! ( 3 × 5) 4 1 1 = 32 9 = 34 × 54 74 1 1 = 7 4−6 = 7 −2 = 2 = 6 7 7 49 !! ! ! ! ! (10 ) 3 4 = 103×4 = 1012 B. Puissances de 10 Définition : ! Pour tout entier positif n : ! 1 1 −n 10n = 10 × 10 ×…× 10 = 100000 et 10 = 10n = 10 × 10 ×…× 10 = 0,0000 1 . n fois n zéros n zéros n fois Exemples : ! 105 = 100 000 ! ! 10−4 = 0,000 1 ! Remarque: ! Les règles de calcul sont les mêmes qu’au paragraphe précédent, avec a = 10 . Notation scientifique : ! On appelle écriture scientifique d’un nombre décimal non nul, son écriture sous la forme a × 10n où a est un nombre décimal ayant une partie entière comprise entre 1 et 9 et n un entier. PAGE 6 SUR 8 3ème COLLÈGE CHARLES III MONACO Exemples : 25 000 000 = 2,5 × 107 ! ! ! ! ! 0,000 000 013 = 1,3 × 10−8 IV. Calculs numériques A. Calculs avec parenthèses Propriété : ! Dans un calcul avec parenthèses, on commence toujours par le calcul entre parenthèses. ! S’il y a plusieurs parenthèses emboîtées, on commence les calculs par les parenthèses les plus intérieures. Exemple : ( ) A = 3 − ( 5 − ( 8) ) A = 3 − 5 − ( 7 + 1) 2 A = 3 − ( −59 ) 2 A = 3 + 59 A = 62 A = 3 − ( 5 − 64 ) B. Calculs sans parenthèses Propriété : ! Dans un calcul sans parenthèses, on effectue les opérations dans l’ordre suivant : ! ! 1) les puissances ! ! 2) les multiplications et les divisions ! ! 3 )les additions et les soustractions. Exemples : ! ! A = 4 − 3 × 52 A = 4 − 3 × 25 ! A = 4 − 75 A = −71 On calcule les puissances. On effectue la multiplication. On effectue la soustraction. ! B = 2 + 3 × ( −4 ) − 5 × ( −2 ) ! ! B = 2 + ( −12 ) − ( −10 ) B = 2 + ( −12 ) + 10 " On effectue les multiplications. On effectue les soustractions et les additions. " " B=0 PAGE 7 SUR 8 3ème COLLÈGE CHARLES III MONACO C. Calculs avec les quotients Propriété : Si a, b, c et d sont des nombres relatifs avec c + d ≠ 0 : ! A= ! ( a + b) ! a+ b peut s’écrire A = c+d (c + d ) ( les barres de fractions induisent des parenthèses). Exemple : 5−7 5 −2 A = 8− !! 5 2 A = 8+ 5 8×5 2 + 5 5 40 2 A= + 5 5 42 A= 5 A = 8− ! ! A= ! ! Remarque : ! ! PAGE 8 SUR 8 Pour calculer A à la calculatrice, il faudra taper toutes les parenthèses. 3ème