Cours outils de calcul 3eme - Mathématiques au Collège Charles III

COLLÈGE CHARLES III MONACO
Chapitre I
Outils de calcul pour la 3ème
Ce que nous connaissons déjà :
!
Opérations sur les décimaux, les relatifs et les quotients. Puissances de dix. Notations
scientifiques. Calcul littéral simple.
Objectifs de ce chapitre :
!
Maîtriser les opérations sur les nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire.
Connaître et savoir utiliser les formules opératoires sur les puissances. Savoir effectuer un calcul en
respectant les priorités opératoires. Savoir effectuer des calculs simples sur des expressions
littérales.
Repères historiques :
!
Le terme puissance fut
utilisé par Euclide au IIIème siècle
avant notre ère. Au IXème siècle, AlKhawarizmi utilisait le terme mal
pour carré et
kab pour cube.
Notations qui furent utilisées et
amélioré
par
les
autres
mathématiciens arabes jusqu’au
XVème siècle.
Extrait de la page manuscrite de Nicolas Chuquet dans laquelle il
explique sa méthode de notation des grands nombres
!
C’est la mathématicien
français
Nicolas
Chuquet
(1445-1488) qui le premier utilisa la
notation avec les exposants pour
écrire les puissances.
Arts et mathématiques :
!
Les fractales sont des objets (lignes ou surfaces)
mathématiques créées de manière récursive. Les
fractales sont définies de manière paradoxale, en
référence aux structures gigognes : « un objet fractal est
un objet dont chaque élément est aussi un objet
fractal ». Malgré les apparences, ce type de définitions
de nature récursive n'est pas seulement théorique mais
peut concerner aussi des concepts usuels : un ancêtre
est un parent ou un ancêtre d'un parent, un multiple
est un composé d'un nombre ou d'un multiple de ce
nombre, un escalier commence ou prolonge un escalier,
une dynastie inaugure ou prolonge une dynastie, etc.
Fractale connue sous le nom d’Ensemble de Julia.
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3ème
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I. Nombres relatifs
A. Addition et soustraction
Propriété :
!
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on garde le signe
commun et l’on ajoute les distances à zéro.
Exemples :
+2 + ( +4 ) = 2 + 4 = 6
−3 + ( −5 ) = − ( 3 + 5 ) = −8
Propriété :
!
Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires, on garde le signe
du nombre qui a la plus grande distances à zéro et l’on soustrait les distances à
zéro.
Exemples :
+2 + ( −3 ) = − ( 3 − 2 ) = −1
−5 + ( +7 ) = + ( 7 − 5 ) = 2
Propriété :
!
Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.
Exemples :
+1 − ( +3 ) = +1 + ( −3 ) = − ( 3 − 1) = −2
−1 − ( +3 ) = −1 + ( −3 ) = − (1 + 3 ) = −4
+4 − ( −3 ) = +4 + ( +3 ) = 4 + 3 = 7
−4 − ( −3 ) = −4 + ( +3 ) = − ( 4 − 3 ) = −1
Ecriture simplifiée :
"
2+5 = 7 "
2 − 5 = −3 "
5− 2 = 3 "
−2 + 5 = 3 "
−2 − 5 = −7 !
B. Multiplication et division
Règle des signes :
!
!
Le produit (ou le quotient) de deux nombres de même signe est un
nombre positif.
!
!
Le produit (ou le quotient) de deux nombres de signes différents est un
nombre négatif.
Exemples :
!
7 × 18 et (−3,14) × (−2,18) sont positifs car produits de nombres de même signe.
!
−2 ÷ 25 et
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3
sont négatifs car quotients de nombres de signes différents.
−2
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Propriété :
!
Pour calculer le produit (ou le quotient) de deux nombres relatifs :
!
!
- On applique la règle des signes.
!
!
- On calcule le produit (ou le quotient) des distances à zéro.
Exemples :
"
1× 3 = 3 "
"
!
!
−2 2
2
=
=− !
5 −5
5
!
−1 × 3 = −3 "
"
1 × ( −3 ) = −3 " "
!
−5 5
=
−4 4
−1 × ( −3 ) = 3
Propriétés :
!
nombre :! !
!
( −1) , c’est
a × ( −1) = −a
Multiplier un nombre relatif par
!
!
!
négatif.
!
!
!
prendre l’opposé de ce
Le produit comportant un nombre pair de facteurs négatifs est positif.
Le produit comportant un nombre impair de facteurs négatifs est
Exemple :
!
A = ( −2 ) × 3 × ( −4 ) × 5 × ( −1) × ( −6 )
!
On détermine le signe de A : il y a un nombre pair de nombres négatifs, A est donc
positif.
!
On multiplie les parties numériques :
2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720
!
d’où A = 720 .
C. Inverse
Définition :
!
!
L’inverse d’un nombre non nul b, noté b−1 , est le nombre qui multiplié à
b donne 1.
b × b−1 = 1
!
!
!
!
!
!
Exemples :
!
L’inverse de 8 est 0,125 car 8 × 0,125 = 1 .
!
L’inverse de
−3
−4
−3 −4
×
=1
est
car
4
3
4
3
Remarques :
!
!
L’inverse d’un nombre est unique.
Un nombre et son inverse sont de même signe.
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3ème
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II. Ecritures fractionnaires
A. Egalité de quotients
Propriété :
!
!
Si a, b et k sont des nombres relatifs avec b et k sont non nuls, alors :
a a× k a÷ k
=
=
b b× k b÷ k
Exemples :
Réduire −
!
5
5×3
15
− =−
=−
! !
8
8×3
24
Donc :!!
!
5
2
et
au même dénominateur : un multiple commun de 8 et 3 est 24.
8
3
Simplifier
−12
:!
−16
2 2 × 8 16
=
=
.
3 3 × 8 24
et!
−12 12 12 ÷ 4 3
=
=
= .
−16 16 16 ÷ 4 4
B. Somme et différence
Propriété :
Si a, b et c sont des nombres relatifs avec c ≠ 0 :
!
a b a+ b
+ =
c c
c
et
a b a− b
− =
c c
c
Exemple :
2 3
Calculons A = − +
. On réduit les deux quotients au même dénominateur :
5 10
!
−
2
2× 2
4
4 3
1
=−
=−
donc :! A = − + = − .
5
5× 2
10
10 10
10
C. Produit
Propriété :
!
!
Si a, b , c et d sont des nombres relatifs avec c et d sont non nuls, alors :
a c a×c
× =
b d b×d
Exemple :
!
2 ⎛ 3⎞ 2 × 3 6
3
− ×⎜− ⎟ =
=
=
!
7 ⎝ 4 ⎠ 7 × 4 28 14
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3ème
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D. Fraction d’une quantité
Propriété :
!
Si a et b sont des nombres relatifs et b ≠ 0 , alors prendre
la multiplier par
a
d’une quantité, c’est
b
a
.
b
Exemple :
3
3
3 × 200 600
=
= 150 .
d’un pain de 200g : × 200 =
4
4
4
4
!
Pierre a mangé les
!
Donc Pierre a mangé 150g de pain.
E. Inverse et quotient
Propriétés :
!
Diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse.
!
Si a, b , c et d sont des nombres relatifs avec b, c et d sont non nuls, alors :
a
b = a × d = a×d
c b c b×c
d
Exemples :
3 5
3 7
3×7
21
÷ =− × =−
=−
4 7
4 5
4×5
20
!
−
!
25 −5
25 8
25 × 8
10
− ÷
=− ×
=
=
= 10
4
8
4 −5 1 4 × 5 1
1
5
2
III. Puissances
A. Puissance d’un nombre a
Définition :
!
Si a est un nombre relatif non nul et si n est un entier supérieur ou égal à 2,
alors :
an = 
a ×
a
×…×
a
et
n facteurs
a−n =
1 1
1
× ×…×
a 
a 


a
n facteurs
!
!
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De plus, a0 = 1 , a1 = a et a−1 =
1
.
a
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Exemples :
!
3 4 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 !
!
( −2) = ( −2) × ( −2) × ( −2) = −8
!
2−3 =
3
!
1 1 1 1
× × =
2 2 2 8
Opérations sur les puissances :
!
Si a et b sont non nuls et si m et n sont des entiers relatifs, alors :
!
a ×a =a
m
!
!
!
!
n
m+n
(a )
m n
am
= am−n !
n
a
!!
( a × b)
!
m
= am × bm
m
=a
m×n
! !
!
!
am
⎛ a⎞
=
⎜⎝ b ⎟⎠
bm
Exemples :
!
3−4 × 3 2 = 3−4+2 = 3−2 =
!
( 3 × 5)
4
1 1
=
32 9
= 34 × 54
74
1
1
= 7 4−6 = 7 −2 = 2 =
6
7
7
49
!!
! !
! !
(10 )
3 4
= 103×4 = 1012
B. Puissances de 10
Définition :
!
Pour tout entier positif n :
!
1
1
−n
10n = 10
× 10
×…×
10 = 100000



 et 10 = 10n = 10 × 10 ×…× 10 = 0,0000

1 .
n fois
n zéros

n zéros
n fois
Exemples :
!
105 = 100 000
!
!
10−4 = 0,000 1
!
Remarque:
!
Les règles de calcul sont les mêmes qu’au paragraphe précédent, avec a = 10 .
Notation scientifique :
!
On appelle écriture scientifique d’un nombre décimal non nul, son écriture
sous la forme a × 10n où a est un nombre décimal ayant une partie entière
comprise entre 1 et 9 et n un entier.
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3ème
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Exemples :
25 000 000 = 2,5 × 107 !
!
!
!
!
0,000 000 013 = 1,3 × 10−8
IV. Calculs numériques
A. Calculs avec parenthèses
Propriété :
!
Dans un calcul avec parenthèses, on commence toujours par le calcul entre
parenthèses.
! S’il y a plusieurs parenthèses emboîtées, on commence les calculs par les
parenthèses les plus intérieures.
Exemple :
(
)
A = 3 − ( 5 − ( 8) )
A = 3 − 5 − ( 7 + 1)
2
A = 3 − ( −59 )
2
A = 3 + 59
A = 62
A = 3 − ( 5 − 64 )
B. Calculs sans parenthèses
Propriété :
! Dans un calcul sans parenthèses, on effectue les opérations dans l’ordre
suivant :
!
!
1) les puissances
!
!
2) les multiplications et les divisions
!
!
3 )les additions et les soustractions.
Exemples :
!
!
A = 4 − 3 × 52
A = 4 − 3 × 25
!
A = 4 − 75
A = −71
On calcule les puissances.
On effectue la multiplication.
On effectue la soustraction.
!
B = 2 + 3 × ( −4 ) − 5 × ( −2 )
!
!
B = 2 + ( −12 ) − ( −10 )
B = 2 + ( −12 ) + 10
"
On effectue les multiplications.
On effectue les soustractions et les additions.
"
"
B=0
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C. Calculs avec les quotients
Propriété :
Si a, b, c et d sont des nombres relatifs avec c + d ≠ 0 :
!
A=
!
( a + b) !
a+ b
peut s’écrire A =
c+d
(c + d )
(
les
barres
de
fractions
induisent des parenthèses).
Exemple :
5−7
5
−2
A = 8−
!!
5
2
A = 8+
5
8×5 2
+
5
5
40 2
A=
+
5 5
42
A=
5
A = 8−
!
!
A=
!
!
Remarque :
!
!
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Pour calculer A à la calculatrice, il faudra taper toutes les parenthèses.
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