Premier postulat Dénition de l'état quantique ou principe de superposition A tout système quantique on peut associer un espace de Hilbert H. L'état du système est alors décrit par un élément |ψi de H, qu'on appelle vecteur d'état ou vecteur ket en notation de Dirac. Rappel Un espace de Hilbert est un espace vectoriel complexe (ie un ensemble (H ) dôté d'une loi de composition interne (+ : H × H → H ) et d'une loi de composition externe (. : C × H → H )) avec un produit scalaire (, ) : H × H → C. L'espace peut être de dimension nie ou innie. Cette structure implique le théorème de superposition : si |ψ1 i et |ψ2 i sont deux états du système (ie deux vecteurs de H), alors |ψ1+2 i = |ψ1 i + |ψ2 i est aussi un état possible du système. Notation de Dirac Soit |ψi un élément de H. On appelle |ψi un ket. On appelle bra l'ensemble des formes linéaires sur H, ie des opérateurs H → C. En particulier, à chaque ket |ψi est associé un bra hψ| tel que ∀ |φi ∈ H, hψ |φi = (ψ, φ), où (ψ, φ) est le produit scalaire entre |ψi et |φi. Exemples 1. Pour décrire le mouvement d'une particule, on prend H = L2 R3 (ensemble des fonctions de R3 dans C de carré intégrable). C'est un espace de dimension inni et on note ses éléments R3 ψ: → − r → C . Ces éléments sont appelés fonctions d'onde. − → ψ(→ r) La loi de composition interne est simplement la somme de fonctions : R3 ψ1 + ψ2 : → − r → → C . − − ψ1 (→ r ) + ψ2 (→ r) Le produit externe est simplement le produit de la fonction par un complexe : R3 λψ : → − r → C . − → λψ(→ r) Le produit scalaire est déni par : (ψ1 , ψ2 ) = hψ1 |ψ2 i = ´ R3 − − − ψ1∗ (→ r )ψ2 (→ r )d3 → r. 2. Pour décrire les degrés de libertés interne d'une particule dans l'expérience de Stern et Gerlach, on prend H = R2 . C'est un espace de dimension 2 et on prend une base |+i = 0 1 1 0 . On note alors les éléments de X sous la forme |ψi = ψ |+i + ψ |−i = + − et |−i = ψ+ ψ− , avec ψ ∈ R et ψ ∈ R. La composition interne est alors simplement la somme de vecteurs : |ψ1 i+|ψ2 i = ψ1+ + ψ2+ |+i+ − + ψ1− + ψ2− |−i = ψ1+ + ψ2+ ψ1− + ψ2− . + Le produit externe est simplement le produit du vecteur par un complexe : λ |ψi = λψ |+i + λψ − |−i = λψ + λψ − . Le produit scalaire le produit hermitien entre deux vecteurs : (ψ1 .ψ2 ) = ∗ est simplement ∗ hψ1 |ψ2 i = ψ1+ ψ2+ + ψ1− ψ2− . 3. On peut assembler plusieurs espaces de Hilbert ensemble par un produit tensoriel : • Pour décrire une particule dôtée d'un degré de liberté interne de spin et d'un mouvement orbitalaire, on prend H = L2 R3 ⊗ R2 (avec L2 R3 pour le mouvement orbitalaire et R2 pour le spin). • Pour décrire le spin de deux particules, on prend H = R2 ⊗ R2 . Deuxième postulat Principe de correspondance Toute grandeur O du système pouvant faire l'objet d'une mesure est reliée à un opérateur hermitique Ô : H ψ → H . → Ô(ψ) Ces opérateurs sont appelés les observables du système. 1 Penangol Remarque Il faut bien distinguer O, grandeur physique du système (qui est un nombre réel), de Ô, opérateur hermitien, qui agit sur H. Le lien entre Ô et O est donné par le troisième postulat. Rappel opérateur hermitique Un opérateur Ô est hermitique si et seulement si il est égal à son transconjugué, ce qu'on note Ô† = Ô. L'adjoint B̂ tel que d'un opérateur  est a priori un opérateur pour toutψ1 , ψ2 , on ait ψ1 ,  (ψ2 ) = B̂ (ψ1 ) , ψ2 (ou en notation de Dirac, hψ1 |  |ψ2 i = hψ1 | B̂ |ψ2 i). On montre facilement que B̂ = t¯Â. Tout opérateur hermitique est diagonalisable dans une base orthonormale (ie il existe une base {|ψi i} de H sur laquelle Ô est diagonal et telle que hψi |ψj i = δij ) et ses valeurs propres sont réelles : c'est le théorème spectral. Conséquence : P Tout vecteur d'état peut s'écrire dans la base propre de Ô comme : |ψi = µi |φi i, où |φi i est le vecteur propre de Ô associé à la valeur propre ai (ie Ô |φi i = ai |φi i) et µi = hψ |φi i. Exemples 1. Dans H = L2 R3 , on dénit x̂ l'opérateur position suivant x par x̂ : H |ψi R3 → − ρ → C (idem avec y et z ). − → ρx ψ(→ ρ) Dans H = L2 R3 , on dénit pˆx l'opérateur impulsion suivant x par pˆx : x |ψi : → H avec → x |ψi R3 → H |ψi → H → pˆx |ψi C avec pˆx |ψi : → (idem avec y et z ). − − ρ → −i~∂x ψ(→ ρ) 2. Dans H = R2 décrivant un spin 1/2, on dénit Sz l'opérateur de spin suivant z par Sˆz |+i = + ~2 |+i et Sˆz |−i = − ~2 |−i. 3. Dans un produit tensoriel d'espace de Hilbert, on peut dénir un opérateur comme produit tensoriel d'opérateurs agissant sur chacun des sous espaces • Pour décrire le spin de deux particules dans H = R2 ⊗ R2 , on peut dénir S1,z = Sz ⊗ Id agissant uniquement sur la particule 1 ou S2,z = Id ⊗ Sz agissant uniquement sur la particule 2. On peut aussi dénir Stot,z = S1,z + S2,z agissant sur les deux particules à la fois. • Pour une particule dans H = L2 R3 ⊗ R2 ayant à la fois un spin et un mouvement orbitalaire, on peut dénir les grandeurs sur mouvement comme pˆx ⊗ Id par exemple. On peut aussi considérer des opérateurs agissant sur les deux sous espaces à la fois, comme dans le cas de l'interaction Spin - Orbite. Troisième postulat Postulat de la mesure La mesure de la grandeur du système associée à l'observable Ô ne peut aboutir qu'à une valeur propre ai de cet observable. La valeur moyenne de la mesure de Ô sur un état |ψi est donnée par hψ| Ô |ψi. Conséquences • Si l'état du système avant mesure est un état propre |φi i de Ô, alors la mesure de O donne de manière certaine ai . • Si l'état du système n'est pas un état propre de Ô, alors la mesure de O ne peut donner que aj ∈ Sp(Ô) mais ce résultat peut changer si on refait l'expérience (cependant, ce sera toujours une valeur propre de Ô). La valeur moyenne des résultats sur un grand nombre d'expérience sera donc une combinaison linéaire des ai et vaut hψ| Ô |ψi. Exemples 2 Penangol 1. Pour décrire la position suivant x d'une particule, on utilise l'observable x̂, dont les vecteurs propres sont les {|x0 i} avec x0 (x) = δ(x − x0 ). Les seules valeurs de la position mesurables sur sont donc les {x0 }. La valeur moyenne de la position est donnée par hxi = ´ une mesure 2 x |ψ(x)| dx. Les vecteurs propres de pˆx sont les |px,i i avec px,i (x) = √1L eipx,i x/~ . Les seules valeurs de la position mesurables sur une mesure sont ´ donc les {x0 }. La valeur moyenne de l'impulsion suivant x est donc donnée par hpx i = −i~ ψ ∗ (x) (∂x ψ(x)) dx 2. Si on prépare un système de spin dans l'état |ψi = √12 |+i + √12 |−i, la valeur moyenne de spin suivant z est donnée par 21 (h+| + h−|) Sz (|+i + |−i) = 12 21 + 0 + 0 + − 12 = 0. Quatrième postulat Postulat de Born Cas discret : Lors d'une mesure sur |ψi d'une grandeur discrête, la probabilité de trouver la valeur ai est égale à |hψ |φi i|2 . Cas continu : Lors d'une mesure sur |ψid'une grandeur continue, la probabilité de trouver la valeur α à 2 dα près est égale à |hψ |φ(α)i| dα. Exemples 1. La probabilité de mesurer la particule entre x0 et x0 + dx0 est donnée par |hψ |x0 i|2 dx0 = ´ ψ ∗ (x)δ(x − x0 )2 dx = |ψ(x0 )|2 dx0 . La probabilité de trouver la valeur px,i à dpx,i près sur une mesure de |ψi vaut donc |hψ |px,i i|2 dpx,i = 2 ´ ip x/~ ∗ 1 e x,i ψ (x)dx dpx,i . L 2. On prépare un spin 12 dans l'état |ψi = √15 |+i + √25 |−i. La probabilité de mesurer + ~2 vaut 2 2 |hψ |+i| = 51 . La probabilité de mesurer − ~2 vaut |hψ |−i| = 45 . Cinquième postulat Réduction du paquet d'onde Si la mesure donne pour résultat ai , alors le vecteur d'état du système est projeté sur le sous espace propre Eai associé à la valeur mesurée ai . Conséquence Si on refait une mesure juste après avoir trouvé ai , on trouvera obligatoirement ai . Par contre, si on laisse l'état évoluer un certain temps, rien n'oblige à retrouver la même valeur. Exemple 1. Si on trouve la particule entre x0 et x0 +dx0 , alors on trouvera la particule entre x0 et x0 +dx0 juste après la mesure. 2. Si on trouve + ~2 juste après une mesure de spin, alors la particule se trouve dans l'état |+i juste après la mesure. Sixième postulat Évolution du paquet d'onde L'évolution de l'état d'un système au cours du temps est régie par l'équation de Schrödinger : i~ ∂ |ψi = Ĥ |ψi, ∂t où Ĥ désigne le hamiltonien du système, c'est à dire l'observable associée à l'énergie. 3 Penangol