Analyse Dimensionnelle et Similitude

Objectifs du Chapitre
I
Initiatiaon à l’Analyse Dimensionnelle.
I
Introduction à la Théorie de Maquettes et Similitude.
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Analyse Dimensionnelle et Similitude
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Introduction et remarques
Difficultés théoriques ....
I
Coût d’études expérimentales
Les équations de mouvement
(Eqs N.S. + Continuité + énergie +
Conditions aux limites et initiales)
sont difficiles à résoudre.
I
Les solution sont encore plus difficile pour
les écoulements turbulents.
I
Les solutions numériques sont parfois lourdes
de mise en oeuvre et coéteuses en temps de
calcul.
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I
Difficultés théoriques =⇒ études
expérimentales.
I
Côuts exubérants d’études expérimentales
sur prototypes en vrai grandeur.
I
Recours aux études sur maquettes aux
échelles réduites des prototypes.
I
Avantage : moins coûteux et plus simple à
metter en oeuvre expérimentalement.
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Analyse Dimensionnelle
Grandeurs fondamentales
Unités fondamentales
I
I
Toute relation entre des grandeurs
physiques est indépendante du système
d’unités de mesure
I
Longueur L, dimension de [distance] =
L
I
Masse M, dimension de [masse] = M
Toute relation entre des grandeurs
physiques est dimensionnellement
homogène.
I
Temps T , dimension de [temps] = T
I
Température Θ, dimension
[température] = [Θ]
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Analyse Dimensionnelle
Remarques ..........
I
L, M, T et Θ constituent les unités fondamentales en mécanique.
I
En fonction de L, M, T et Θ on constitue des unités dérivées.
I
Les grandeurs fondamentales de tout système sont indépendantes l’une de l’autre.
I
Le passage d’un système d’unités à un autre n’entraı̂ne que des multiplicateurs de conversion.
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Analyse Dimensionnelle
Grandeur physique
Longueur
Temps
Masse
Température
symbole
Dimension
Unité, Système International S.I.
`
t
m
T
Unités fondamentales
L
T
M
Θ
m
s
kg
◦ K, dégrée Kelvin
Unités dérivées
Vitesse
[U] = L T −1
U
dv
Accélération
a =
Force
Masse volumique
Débit
Pression
Contrainte
Travail
Énergie
Quantité de chaleur
Puissance
Viscosité dynamique
Viscosité cinématique
Tension superficielle
dt
F
ρ
Q
p
σ ou τ
W
E
∆Q
P
µ
ν
σs
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m s−1
[a] = L T −2
m s−2
[F ] = M L T −2
[ρ] = M L−3
[Q] = L3 T −1
[p] = M L−1 T −2
[σ] = M L−1 T −2
[W ] = M L2 T −2
[E ] = M L2 T −2
[∆Q] = M L2 T −2
[P] = M L2 T −3
[µ] = M L−1 T −1
[ν] = L2 T −1
[σs ] = M T −2
kg m s−2 = N, Newton
kg m−3
m3 s−1
−2
Nm
= Pa, Pascal
N m−2
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N m = J, joule
N m = J, joule
N m = J, joule
N m s−1 = W, Watt
kg m −1 s−1
m2 s−1
N m−1 = kg s−2
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Analyse Dimensionnelle
Encore des remarques !!! .....
I
La dimension de toute grandeur physique se dérive de sa définition, exemple :
Force = masse × accélération =⇒
[F ] = [m] × [a] = M × L T
I
−2
=M LT
−2
La dimension de toute grandeur physique peut aussi se dériver d’autres grandeurs physiques :
[`]
[m]
[t]
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=
=
=
[U]−1
[U]
[U]−2
×[ρ]−1/2
×[ρ]−1/2
×[ρ]−1/2
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×[F ]1/2 ,
×(F ]3/2 ,
×[F ]1/2 .
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Analyse Dimensionnelle
Procédure à suivre dans un problème d’analyse dimensionnelle
I
identifier toutes les variables indépendantes intervenant dans le problème étudié, soit au nombre N,
I
spécifier les dimensions de ces variables en utilisant les dimensions de base (L, T , M, Θ),
I
choisir les grandeurs fondamentale convenables, disons au nombre r ,
I
utiliser une méthode appropriée pour identifier le nombre et la forme des paramètres sans dimensions
(paramètres adimensionnels)
∃ 2 méthodes d’analyse dimensionnelle :
i- le théorème des π, ou théorème de Vaschy–Buckingham.
ii- la méthode de Rayleigh.
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Analyse Dimensionnelle
Theorème de Vaschy–Buckingham
Énoncé de Théorème de Vaschy–Buckingham ou théorème des π
Toute grandeur B d’un phénomène physique et fonction de N variables (ou causes) indépendantes B1 , · · · , BN , mesurée par r unités fondamentales,
r < N, s’écrit comme
B = F (B1 , B2 , · · · , BN )
a1 ,a2 ,··· ,ar
exposantes à déterminer
B
soit
z
}|
{
a
a
a
B11 B22 · · · Br r F (π1 , π2 , · · · , πN−r )
|
{z
}
=
paramètres de similitude
π1
=
π2
=
Br +1
a
a
a
a
a
a
B1r +1,1 B2r +1,2 · · · Br r +1,r
Br +2
B1r +2,1 B2r +2,2 · · · Br r +2,r
.
.
.
πN−r
=
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BN
a
a
a
B1N,1 B2N,2 · · · Br N,r
9
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
{B1 , · · · , Br }
>
=
un sous-ensemble
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
;
de grandeurs physiques
aux dimensions indépendantes
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Analyse Dimensionnelle
En général, on pose
π=
Theorème de Vaschy–Buckingham
B
B1a1 B2a2 · · · Brar
et par conséquent
π = F (π1 , π2 , · · · , πN−r )
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Analyse Dimensionnelle
Theorème de Vaschy–Buckingham
Tableau des exposants aux dimensions de [B, B1 , · · · , BN ]
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[Grandeur]
L
T
M
Θ
[B ]
[B1 ]
[B2 ]
..
.
[BN−4 ]
α
α1
α2
β
β1
β2
γ
γ1
γ2
δ
δ1
δ2
···
αN−4
···
βN−4
···
γN−4
···
δN−4
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Analyse Dimensionnelle
Exemple
Exemple
Un navire, de taille caractérisée par une longueur `, est en mouvement à la vitesse U. L’eau dans
laquelle la navire avance exerce une force de résistance (force de traı̂née), Ftraı̂née , au mouvement
que l’on peut penser dépendre, à part de ` et U, de la masse volumique ρ, de la viscosité
dynamique µ et de la tension superficielle σs de l’eau ainsi que de l’accélération de la pesanteur g
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Analyse Dimensionnelle
Exemple
Solution par la méthode de Rayleigh
Forme de relation recherché : F = ρα1 U α2 `α3 µα4 g α5 σsα6 ,
Tableau des exposants :
[Grandeur]
L
T
M
Θ
exposante
[Ftraı̂née ]
[ρ ]
[U ]
[` ]
[µ ]
[g ]
[σs ]
1
-3
1
1
-1
1
0
-2
0
-1
0
-1
-2
-2
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
α1
α2
α3
α4
α5
α6
Choix des variables fondamentales : `, U et ρ.
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Analyse Dimensionnelle
Exemple
Relation recherchée doit être dimensionellement homogène :
Ftraı̂née
ρ
U
`
µ
g
+1
= − 3α1
+ α2
+ α3
− α4
+ α5
somme d’exposants en T :
−2
=+0
− α2
+0
− α4
− 2α5
− 2α6
somme d’exposants en M :
+1
= + α1
+0
+0
+ α4
+0
+ α6
somme d’exposants en L :
σs
+0
Solution par rapport aux variables fondamentales `, U et ρ :
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α1
=
1 − α4 − α6
α2
=
+2 − α4 − 2α5 − 2α6
α3
=
+2 − α4 + α5 − α6
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Analyse Dimensionnelle
Exemple
Résultats
Ftraı̂née
=
=
ρ1−α4 −α6 U 2−α4 −2α5 −2α6 `2−α4 +α5 −α6 µα4 g α5 σsα6
„
«α4 „
«
« α6
„
µ
g ` α5
σs
ρU 2 `2
.
ρU`
U2
ρU 2 `
Soit
Ftraı̂née =
1
ρU 2 S F (Re, Fr , We)
2
avec S = `2
Nombres sans dimensions de Reynolds, de Froude et de Weber
Re =
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ρ`U
`U
=
,
µ
ν
Fr =
U2
,
g`
We =
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ρU 2 L
σs
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Analyse Dimensionnelle
Exemple
Solution par la méthode de π
I
Choix des variables fondamentales : ρ, U et L t.q. les variables restant µ, g et σs soit de
dimensions indépendantes.
I
Conséquence : r = 3, N − r = 3 paramètres sans dimensions.
I
π1
=
π2
=
π3
=
µ
,
ρα1 U β1 `γ1
g
ρα2 U β2 `γ2
,
σs
,
ρα3 U β3 `γ3
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8
< −1
−1
:
1
8
1
<
−2
:
0
8
0
<
−2
:
1
=
=
=
−3α1 + β1 + γ1
−β1
α1
=
=
=
−3α2 + β2 + γ2
−β2
α2
=
=
=
−3α3 + β3 + γ3
−β3
α3
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8
< α1
β1
: γ
1
8
< α2
β2
=⇒
: γ
2
8
< α3
β3
=⇒
: γ
3
=⇒
=
=
=
1,
1,
1,
=
=
=
0,
2,
−1
=1
=
=
,
2,
1
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Analyse Dimensionnelle
Exemple
Résultats ...
π
=
Ftraı̂née
,
ρα U β `γ
D’où
π=
8
<
1
−2
:
1
Ftraı̂née
,
ρU 2 `2
π1 =
=
=
=
−3α + β + γ
−β
α
µ
,
ρU`
π2 =
g`
,
U2
8
< α
β
=⇒
:
γ
π3 =
=
=
=
1,
2,
2.
σs
ρU 2 `
Finalement :
Ftraı̂née = ρU 2 `2 F (π1 , π2 , π3 ) = ρU 2 `2 F (Re, Fr , We).
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Analyse Dimensionnelle
Exemple
Conclusions particulières
I
L’analyse dimensionnelle permet d’indentifier les différents paramètres, mais sans préciser la
relation.
I
L’étude expérimentale de la résistance au mouvement d’un navire se revient à étudier la
fonction
Ftraı̂née = ρU 2 `2 F (Re, Fr , We),
I
Re ⇐⇒ effet de viscosité ou l’influence des forces de traı̂née de l’eau sur la coque de navire.
I
Fr ⇐⇒ effet de la pesanteur ou l’influence de sillage, c-à-d l’influence de système de vagues
produit derrière le navire.
I
We ⇐⇒ effet des forces de tension superficielle qui sont négligeables pour cet exemple.
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Similitude et théorie des maquettes
Paramètre
Définition
Nombre de
Reynolds
ρUL
force d’inertie
Re =
Nombre de
Froude
µ
U2
force visqueuse
force d’inertie
Fr =
Nombre de
Mach
Lg
U
force de la pesanteur
vitesse d’écoulement
Ma =
Rapport de
capacités thermique
vitesse de son
enthalpie
γ =
c
cp
cv
énergie
interne
temps d’advection
Nombre de
Strouhal
(L/U)
St =
Nombre de
Péclet
κ
temps de
variation locale
diffusivité thermique
ν
(L/U)
diffusivité visqueuse
temps d’advection
λ/(ρ cp U 2 )
temps de diffusion
thermique
variation d’énergie
cinétique
τ
Nombre de
Prandtl
Pr =
Pe =
U2
Nombre
d’Eckert
Ec =
Nombre de
Weber
We =
Coefficient de
frottement
Rugosité
adimensionnelle
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Explication
cv ∆T
ρU 2 L
σs
variation d’énergie
interne
force d’inertie
force de tension
superficielle
force de traı̂née
τ0
CD =
1 ρU 2
2
ε
force dynamique
L
longueur
caractéristique
rugosité
Analyse Dimensionnelle et Similitude
Domaine
d’application
Écoulements
visqueux
Écoulement à
surface libre
Écoulement
compressible
Transfert
thermique
Écoulement
instationnaire
Transfert
thermique
Transfert
thermique
Transfert
thermique
Écoulement à
surface libre
Aérodynamique,
Hydrodynamique
Écoulement turbulent,
surface rugueuse
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Similitude et théorie des maquettes
Pourquoi des maquettes
I
Les essais en vraie grandeur : rares et très coûteux.
I
Recours aux modèles aux échelles réduites.
Échelles ....
I
Échelles géométriques : longueur caractéristique D
I
Échelle cinématique : vitesse U et temps D/U
I
Échelle dynamique : forces surfaciques t.q. les forces de pression, contraintes de cisaillement
ou tension superficielle. Forces volumiques t.q. la force de pesanteur ou des forces d’origine
électromagnétique. Toutes exprimées en fonction des grandeurs caractéristiques.
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Similitude et théorie des maquettes
Comment exprimer les différentes grandeurs en fonction des grandeurs caractéristiques
Un astérisque ∗ sera effectué aux grandeurs physiques : t, ~x , ~v , p,
I
I
~f = ~
g = −g~z
D
→
→
→
→
t, −
x∗=D −
x ,−
v∗ = U −
v , p ∗ = ρU 2 p.
U
Les symboles désignant t, ~x , ~v , et p sont sans dimensions.
t∗ =
Les équations ....
I
Équations avec dimensions ...
→
∇∗ · −
v∗
−
→
∂v∗
→
→
+−
v ∗ · ∇∗ −
v∗
∂t ∗
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=
0,
=
1
−
→
→
g ∗ − ∇∗ p ∗ + ν∆∗ −
v ∗.
ρ
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Similitude et théorie des maquettes
Équations sans dimensions obtenues après le changement des variables
→
∇·−
v
→
∂−
v
→
→
+ −
v · ∇−
v
| {z }
∂t
| {z }
accélération
accélération
locale
=
=
par convection
0,
1
~z
Fr
| {z }
Forces volumiques
Forces d’inertie
Fr =
−
∇p
|{z}
Forces de pression
Forces d’inertie
+
1
→
∆−
v
Re
| {z }
Forces visqueuses
Forces d’inertie
DU
U2
, Re =
Dg
ν
Conclusions
I
Équations, sans dimensions, ne faisant intervenir que deux nombres sans dimensions
dépendant de l’écoulement.
I
Tout écoulement n’étant défini que par les valeurs de nombres sans dimensions lui
caractérisant
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Similitude et théorie des maquettes
Remarques sur l’application des contions aux limites et initiales
I
Conditions aux limites aux frontières du système ⇐⇒ géométrie du système
I
Conditions initiales ⇐⇒ l’état du système à l’instant initial
I
correspondance géométrique des frontières entre le prototype et le maquette
Comment ?
I
Prototype désigné par l’indice 1 (respectivement premier écoulement)
I
Maquette désigné par l’indice 2 (resp. deuxième écoulement)
I
Distances d1 et d2 reliant des points homologues (AB)prototype et (AB)maquette :
similitude géométrique
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⇐⇒
kg =
Analyse Dimensionnelle et Similitude
d1
= Cte
d2
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Similitude et théorie des maquettes
Principes de Similitude
Similitude géométrique
1. Correspondance entre tous les points géométriques des solides ainsi
que des écoulements.
2. Préservation des angles et orientations des solides et des deux
écoulements
Similitude géométrique
3. Correspondance entre toutes les dimensions linéaire par un facteur
d’échelle constante kg . D’abord on pose
x∗
y∗
y∗
= 2 , y = 1 = 2 ,
D1
D2
D1
D2
z∗
z∗
z = 1 = 2 , · · · etc.
D1
D2
x =
z∗
D1
= 1 =
= Cte.
y∗
z∗
D2
2
2
LP
Dp
D1
Hp
5. Exemple kg =
=
=
=
= ··· .
Hm
Lm
Dm
D2
4. D’où
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x1∗
x1∗
x∗
2
=
y1∗
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Similitude et théorie des maquettes
Principes de Similitude
Similitude cinématique
1. Vitesses homologues liées aux points homologues par
u =
u1∗
=
U1
u2∗
, v =
U2
v1∗
U1
=
v2∗
, w =
U2
w1∗
U1
=
w2∗
U2
D2
2. Avec
Similitude cinématique
t2
=
t1
U2
=
D1
D2
D1
!
U1
U2
!
= Cte = kt
U1
3. On tire
U1
D1
= kg kt = kc = Cte
D2
∗
∗
∗
u
v
w
U1
4. Et 1 = 1 = 1 =
= Cte = kc
u∗
v∗
w∗
U2
2
2
2
5. Conclusion : les vitesses aux points homologues sont proportionnelles par un
facteur d’échelle constant, kc .
U2
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= kt
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Similitude et théorie des maquettes
Principes de Similitude
Similitude dynamique
1. Fluides homogènes : similitude géométrique =⇒ similitude de masse.
2. Principe fondamental de la dynamique : force ∝ accélération
−
→
−
→
3. F1A1 ,prototype ∝ F2A2 ,maquette , A un point arbitrarire,
−
→
−
→
=⇒ F1A1 ,prototype = kd F2A2 ,maquette
4. La similitude dynamique implique pour la pression :
p1∗
ρ1 U12
masse de prototype
=
= km kg3 kc2 = Cte, km =
∗
p2
ρ2 U22
masse de maquette
ρ1 U12 D12
F∗
=
Cte
=
k
5. Pour les forces : 1∗ =
d
F2
ρ2 U22 D22
6. Nombres sans dimensions ont les mêmes valeurs :
D1 U1
D2 U2
D1 kg U1 kc
=
=
ν1
ν2
ν2
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=⇒ kg kc = 1
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Similitude et théorie des maquettes
Principes de Similitude
Conditions de la Similitude dynamique
1. Écoulement incompressible sans surfaces libres : Rep = Rem .
2. Écoulement incompressible avec surfaces libres : Rep = Rem , FrP = Frm .
3. Écoulement compressible : Rep = Rem , Map = Mam , γp = γm
4. Écoulement avec tension superficielle : Rep = Rem , Wep = Wem
Résumé
1. La similitude géométrique exige que l’échelle linéaire de longueur kg soit la même.
2. La similitude cinématique exige que l’échelle linéaire et l’échelle de temps soient les mêmes, c-à-d, l’échelle
de vitesse kc soit la même.
3. La similitude dynamique exige que les échelles linéaires, de temps et de force soient les mêmes.
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Similitude et théorie des maquettes
Exemple : énoncée
Pour estimer la force de frottement, Fp , sur un prototype sonde, on utilise les données obtenues sur une maquette testée dans une soufflerie. Au tableau
ci-dessous sont montrées les données de teste et les caractéristiques du prototype.
Paramètre
Géométrie
Prototype
Sphère
Maquette
Sphère
D
V
F
ρ
0.4 m
2.5 m/s
à déterminer
1000 kg/m3
1.3 × 10−6 m2 /s
0.15 m
à déterminer
25 N
1.2 kg/m3
1.5 × 10−5 m2 /s
ν
Déterminer la force de frottement exercée par l’écoulement sur le prototype.
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Similitude et théorie des maquettes
Solution : résultats
Solution : définitions
I F : force de frottement
I V : vitesse de l’écoulement
I D : diamètre de la sphère
I ρ : dénsité du fluide
I µ : viscosité dynamique
I F = F (V , D, ρ, µ)
I Théorème de π =⇒ N = 4
I D, V et ρ indépandantes
⇐⇒ grandeurs fondamentales : r = 3
µ
I π =
1
ρα1 D β1 V γ1
F
ρα D β V γ
ν
µ
=
1
=
F
,
π =
D 2 ρV 2
“
”
I F = D 2 ρV 2 F (Re) =⇒
F /D 2 ρV 2 = F (Re)
0
1
2
Coefficient = C = F @ F /D A = F (Re)
I
D
de traı̂née
ρV 2
ρDV
DV
Re
2.5 m/s × 0.4 m
= 7.69 × 106 ,
1.3 × 10−6 m2 /s
!
VD
I Rem = Rep =
ν
m
0
1
7.69 × 106 × 1.5 × 10−5 m2 /s
I Vm = @
A = 76.9 m/s
0.15 m
I Rep =
Solution : méthode
I π =
I π =
1
F (π1 )
Adil Ridha (Université de Caen)
I La similitude exige C |p = C |m
D 1
0 D
ρp Vp2 Dp2
A = 156.58 N
=⇒ Fp = Fm @
2 D2
ρm Vm
m
Analyse Dimensionnelle et Similitude
2009-2010
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Similitude et théorie des maquettes
Invariance et solutions auto-semblables
Invariance et similitude – remarques
I
I
Nous avons vu que l’Analyse Dimensionnelle ainsi que la mise sous forme sans dimensions
des équations, conditions aux limites et initiales y associées mettent en évidence des règles
de similitudes et auto-similtude.
Nous proposons en ce qui suit d’exploiter cette propriété d’invariance du système d’équations
dans un groupe continu de transformations pour regrouper les variables dépendantes et
indépendantes en un nombre réduite de variables de similitude. Dans certain cas, cela
conduit :
I
I
à remplacer les équation EDP originelles par un système d’équations ordinaires,
la découverte de solutions auto-semblable en s’appuyant sur l’analyse dimensionnelle.
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Similitude et théorie des maquettes
Invariance et solutions auto-semblables
Introduction et application : l’exemple de premier problème de Stokes
Analyse dimensionnelle
I
Tableau des exposants :
[u ]
[y ]
[t ]
[ν ]
[U0 ]
∂u
∂t
u(y , t)
u(y = 0, t > 0)
u(y → ∞, ∀t)
u
=
=
=
=
=
Adil Ridha (Université de Caen)
∂2u
ν 2
∂y
0, t ≤ 0,
U0 ,
0,
F (y , t; ν, U0 )
L
T
M
Θ
exposante
1
1
0
2
1
-1
0
1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
α1
α2
α3
α4
I
N = 4, r = 2
I
Grandeurs de dimensions indépendantes : ν
et U0
U2
u
U0
π=
, π1 =
y , π2 = 0 t.
Up
ν
ν
„
«
2
U0 U0
u = Up F¯
y,
t .
ν
ν
I
I
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Similitude et théorie des maquettes
Transformations affines
Invariance et solutions auto-semblables
Transformations “invariantes”
u = Eu 0 , y = (CD)1/2 y 0 , t = Ct 0
u = Au 0 , y = By 0 , t = Ct 0
ν = Dν 0 , U0 = EU00
ν = Dν 0 , U0 = EU00
B 2 ∂u 0
∂ 2 u0
Équation :
= ν0
CD ∂t
∂y 0 2
Conditions aux limites :
I
I
I
En éliminant E :
y 02
y2
=
ν0t0
νt
„
«
y
Solution : u = U0 f √
2νt
En éliminant CD :
A 0 0
u (y = 0, t 0 > 0) = U00
E
0
u (y 0 → ∞, ∀t 0 ) = 0
u 0 (y 0 , 0) = 0
I
Conditions d’invariance
I
I
B2
=1
CD
A
=1
E
Adil Ridha (Université de Caen)
u
u0
=
U00
U0
I
Équation : f 00 (η) + 2ηf 0 (η) = 0
Conditions aux limites :
I
I
I
u(0, t > 0) = U0 =⇒ f (η = 0) = 1
u(y → ∞, ∀t) = 0 =⇒ f (η → ∞) = 0
Solution : f (η)
1 − erf(η),
Z =
η
2
2
e −η dη
erf(η) = √
π 0
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