1 – Définition et mode de génération d`une suite numérique
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1 – Définition et mode de génération d’une suite numérique Définition 1.1 : On appelle suite numérique, une fonction définie seulement sur » (ensemble des ................ .....................................) ou une partie de » . Exemple : Si on appelle u la fonction définie sur » par : u (n) = n 2 , alors on a : u ( 0 ) = ...... ; u (1) = ...... etc 1 mais u ( −5 ) , u , u 3 ................................................................................................................................ 2 On dit que la fonction u est une suite numérique. ( ) Notations : Pour les suites, on utilise plutôt une notation dite « indicielle ». C’est à dire qu’au lieu de noter u ( 0 ) , on note u0 , au lieu de noter u (1) , on note u1 , ... Plus généralement, on notera : un = n 2 . On dit que n 2 est le terme général de cette suite. On note ( un )n∈» ou, s’il n’y a pas d’ambiguïté ( un ) , voire simplement u la suite elle-même. u0 est le premier terme de la suite, u1 est le deuxième terme, … , un est le ............... e terme. Activité : Mode de génération d’une suite numérique Définition d’une suite sur le mode explicite Une suite ( un ) est définie sur le mode explicite lorsqu’on connaît l’expression de un en fonction de n. Par exemple, soit ( un ) la suite définie pour tout entier naturel n, par : un = 2n 2 − 5n − 8 1 – Calculer u0 , u1 , u3 et u5 . ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ 2 – Calculer le dixième terme de cette suite. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ Définition d’une suite sur le mode récurrent Une suite ( un ) est définie sur le mode récurrent lorsqu’on connaît le 1er terme de la suite ainsi que l’expression de un+1 en fonction de un . u0 = 1 Exemple 1 : Soit u la suite définie de la façon suivante : ∀n ∈ » : un +1 = 2un − 2 1 – Calculer u1 , u2 , u3 et u4 . ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ 2 – Peut-on calculer rapidement la valeur de u100 ? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ Exemple 2 : Soit ( un ) u0 = 1 la suite définie de la façon suivante : 5 ∀n ∈ » : un +1 = u n Calculer u1 , u2 et u3 . ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ Peut-on conjecturer la valeur de un suivant les valeurs de n ? ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ Exemple 3 : On considère la liste de nombres réels suivante : Rang n Terme un 0 1 2 3 4 5 6 2 3 5 9 17 33 7 … … 1 – Chercher un procédé qui permet de passer d’un terme de la suite au terme suivant et compléter les rangs manquants 2 – a) Définir alors sur le mode récurent une suite ( un ) associée à cette liste de nombres. ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ b) Même question sur le mode explicite (Indication : Écrire les premières valeurs de un − 1 ) ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ Définition 1.2 : Mode de définition d’une suite numérique Il existe deux façons de définir une suite numérique. On dit que la suite ( un ) est définie sur le mode explicite lorsqu’il existe une fonction f telle que pour tout entier naturel n, on ait : un = f ( n ) On dit que la suite ( un ) est définie sur le mode récurrent lorsque : • on connaît le 1er terme de ( un ) ; • il existe une fonction f telle que pour entier naturel n, on ait : un +1 = f ( un ) Exemples : • Soit la suite ( un ) définie pour tout entier n par : un = n+2 . n +1 Cette suite est définie sur le mode ......................................... En effet, il existe une fonction f définie par f ( x ) = .......................... telle que : ............................... • Soit la suite ( un ) définie par u0 = −3 et pour tout entier naturel n, un +1 = 1 − 2un . Cette suite est définie sur le mode ......................................... En effet, il existe une fonction f définie par f ( x ) = .......................... telle que : ...............................
