TD4

Université Pierre et Marie Curie
LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES
LP 112A
Année universitaire 2011-2012
Travaux Dirigés de Physique N◦ 4
FORCES CENTRALES. LOIS DE KEPLER.
1
Satellite Lunaire.
On étudie le mouvement d’un satellite soumis au seul champ de gravitation de la Lune, dans le
référentiel lié au centre O de la Lune. On admettra que ce référentiel est galiléen. Le rayon de la Lune
est R = 1700 km et on sait, que l’accélération de la pesanteur à la sur[ace de la Lune gL est 6 fois
plus faible que sur la Terre. (On prendra g = 10 m.s−2 comme valeur de l’accélération de la pesanteur
terrestre.)
Le satellite sera dit
reste constante.
inerte lorsqu’on ne fait pas fonctionner les fusées de bord et que sa masse m
1. On suppose ici que le satellite est inerte.
(a) Quelle est la nature de sa trajectoire ? (1ére loi de Kepler.)
~ est le rayon vecteur du satellite et ~v
(b) Rappeler pourquoi le vecteur ~c = ~r ∧ ~v (où ~r = OM
sa vitesse) est une constante du mouvement.
(c) Quelle autre grandeur fondamentale reste constante au cours du mouvement ? Exprimer
cette constante en fonction de la constante de gravitation G, de la masse M de la Lune, de
m, de r et de v (normes de ~r et ~v ).
2. Changement d’orbite.
Le satellite est placé initialement sur une orbite circulaire C1 (Cf Fig. 1) de rayon r1 = 3000 km.
On veut l’amener sur une autre orbite circulaire rasante C2 (r2 ∼ R), dans le même plan que
l’orbite C1 .
Figure 1 – Orbites lunaires
(a) Le satellite étant inerte, rappeler pourquoi sa vitesse est uniforme sur une orbite circulaire.
Calculer les vitesses v1 et v2 sur les orbites C1 et C2 . En donner les valeurs numériques.
1
(b) En un point M1 de C1 , on provoque au moyen des fusées de bord et sur une distance très
faible par rapport à la taille de l’orbite, un changement de vitesse ∆v1 = v10 − v1 , sans
modification de direction (v~1 0 //v~1 ), de façon que le satellite décrive une orbite elliptique C 0
de foyer O et de grand axe M1 M2 (voir Fig. 1). Le satellite arrive en M2 avec une vitesse v20
et un nouveau changement de vitesse ∆v2 = v2 − v20 en ce point l’amène à décrire l’orbite
C2 . En écrivant que sur l’orbite elliptique C 0 , entre M1 et M2 , l’énergie et la norme c du
vecteur ~c sont conservées, calculer v10 et v20 . En déduire ∆v1 et ∆v2 en précisant leur signe,
c’est à dire s’il s’agit d’une accélération ou d’un freinage.
(c) En M1 et M2 , la masse du satellite peut diminuer sensiblement par consommation du
combustible. Le calcul de ∆v1 et ∆v2 doit-il être modifié pour en tenir compte ?
2
La comète de Halley
Connue depuis l’antiquité, la comète de Halley a une trajectoire elliptique autour du soleil avec une
excentricité proche de 1.
Figure 2 – La comète de Halley (sonde Giotto).
Son long voyage l’emmène jusqu’à l’extrémité du systéme solaire, au-delà de Neptune à l’aphélie (A),
puis au retour elle revient près du Soleil, au périhélie (P), avec un rayon rp inférieur à la distance
Terre-Soleil (RT S ).
Figure 3 – Schéma du systéme solaire montrant la trajectoire de la comète de Halley.
On se donne deux valeurs numériques seulement sur l’orbite de Halley :
– sa période : T = 75, 6 ans ≈ 76 ans
– son rayon au périhélie : rp = 0, 59RT S ≈ 0, 6RT S .
2
Le but du problème est de calculer les autres grandeurs pertinentes : le grand axe de l’ellipse, son
son exentricité, les vitesses aux points extrémaux, le moment cinétique et enfin, l’énergie mécanique
de la comète. On néligera bien sûr l’influence des planètes et on ne considérera que l’interaction
Soleil-comète.
La gravitation Newtonienne donne toutes les caractéristique d’une orbite céleste, y compris les lois de
Kepler. En particulier, on rappelle la forme polaire d’une trajectoire elliptique dont le foyer est placé
au centre O du Soleil (voir Fig. 4) :
p
r=
1 + e cos(θ)
avec e l’exentricité, et
p=
L2O
L2O
=
GM m2
km
où on a introduit la constante k = GM m ; G est la constante de gravitation, M la masse du Soleil, m
la masse de la comète et LO le moment cinétique de la comète par rapport à O.
Figure 4 – Géométrie de l’orbite.
On rappelle quelques valeurs numérique approchées :
– G = 6, 7.10−11 m3 kg−1 s−2 ,
– RT S = 150 millions de km soit 1,5.1011 m,
– M = 2.1030 kg.
Afin de faciliter l’analyse numérique des problèmes, on remarquera que ces grandeurs sont reliées par
la période T0 et par la vitesse v0 de la Terre sur son orbite circulaire :
q
q
3
RT
GM
S
T0 = 2π GM
≈ 365 jours
v0 = R
≈ 30 km.s−1
TS
1. Ecrire l’expression de la force gravitationnelle F~ exercée par le Soleil sur la comète placée en M ,
en coordonnées polaire de la figure 4. Introduire la constante k dans votre expression.
2. Qu’est-ce qui indique dans l’expression que la force est attractive ?
~ O de la force par rapport à O.
3. Calculer le moment M
3
4. Démontrer que le moment cinétique de la comète par rapport à O est constant au cours du
mouvement. Quelle est sa direction par rapport au plan de l’orbite ?
5. Estimer la valeur numérique du demi-grand axe a en utilisant la troisiéme loi de Kepler :
r
ma3
T = 2π
k
√
Astuce de calcul : exprimer tout d’abord le rapport T /T0 . On donne : 3 5, 8 ≈ 1, 8.
6. En déduire directement le rayon rA à l’aphélie. Le comparer au rayon de l’orbite de Neptune
(environ 30 RT S ).
7. A partir de l’équation polaire de la trajectoire, exprimer rA , rP puis leur rapport rA /rP , en
fonction de l’excentricité e.
8. En déduire une valeur numérique approchée pour e.
9. Quelle serait la trajectoire (hypothétique) de la comète si on avait e = 1 ?
~ O au point (P ) (Cf Fig. 4). En déduire une expression pour la
10. Exprimer le moment cinétique L
vitesse vP au périhélie en fonction de e, rP , k et m seulement.
11. Estimer la valeur numérique de vP . Astuce de calcul : exprimer tout d’abord le rapport vP /v0 .
√
On donne : 1/ 0, 3 ≈ 1, 8.
12. Donner la valeur de la vitesse vA à l’aphélie. La comparer à la vitesse orbitale de Neptune
(environ 5,4 km.s− 1)
13. A l’aide de la réponse à la question 10. ci-dessus, exprimer l’énergie cinétique Ec au périhélie en
fonction de e, rP et k.
14. Exprimer de même l’énergie potentielle Ep (dans la convention où elle est nulle à l’infini).
15. En déduire que l’énergie mécanique, Em , n’est fonction que du grand axe et vaut
Em = −
3
3.1
k
2a
Orbite de Mercure.
Grandeurs caractéristiques.
Dans cette partie, on va utiliser les résultats du problème précédent sur la comète de Halley afin
de calculer les grandeurs caractéristiques. Les notations sont donc exactement les mêmes que dans
l’exercice 2 sur la comète de Halley et on donne les valeurs pour Mercure :
– sa période : T = 87, 6 jours ≈ 88 jours
– son excentricité : e = 0, 206 ≈ 0, 2.
Calculer la valeur du demi-grand axe a, des rayons à l’aphélie et au périhélie : rA et rP , enfin des
vitesse à l’aphélie et au périhélie : vA et vP . Comparer ces grandeurs à celles de la comète de Halley.
3.2
Précession du périhélie.
L’orbite de la planète Mercure s’écarte notablement de celle prévue par la première loi de Kepler :
elle ressemble certes à une ellipse, mais dont le grand axe tourne autour du Soleil, dans le plan
de la trajectoire, à une vitesse angulaire Ω d’environ 56” (secondes d’arc) par année terrestre. Ce
phénoméne, appelé précession du périhélie, a deux causes : l’attraction gravitationnelle des autres
4
planètes, principalement, et une petite correction apportée à la loi de gravitation newtonienne par la
relativité générale.
Le but de cette partie est d’étudier la précession du périhélie en modélisant l’influence des autres
planétes et la correction relativiste par une petite force s’ajoutant à la force gravitationnelle newtonienne exercée par le Soleil sur Mercure.
On considère donc le modèle dans lequel une petite force de la forme
B
F~P (~r) = 3 ~ur
r
où B est une constante, s’ajoute à la force de gravitation newtonienne exercée par le Soleil sur Mercure.
1. La force totale est-elle toujours centrale ?
2. Projeter la deuxième loi de Newton (principe fondamentale de la dynanique) sur la direction
radiale en coordonnées polaires. On obtiendra une équation différentielle en fonction de d2 r/dt2 ,
dθ/dt et r, ainsi que des paramètres du problème.
Une façon de traiter cette équation consiste à faire le changement de variable r(θ) → u(θ) où
u = 1/r. En exprimant dθ/dt en fonction de LO , m et u, on obtient :
km
d2 u
mB
+ 1+ 2 u= 2 .
2
dθ
LO
LO
3. On se place dans le cas où B = 0. Résoudre l’équation ci-dessus et exprimer u en fonction de
θ. On notera uA la valeur de u à l’aphélie. En déduire l’équation de la trajectoire, r(θ). Vérifier
que la solution est bien une conique et trouver l’expression du paramètre p et de l’excentricité e.
4. On se place désormais dans le cas où B 6= 0. Résoudre l’équation et en déduire l’équation de la
trajectoire r(θ).
5. A l’instant initial, Mercure se trouve au périhélie en θ = 0. Pour quelle valeur θ0 de l’angle θ la
planète se trouvera-t-elle à nouveau au périhélie, c’est-à-dire au plus près du Soleil ?
6. On suppose que kmB/L2O k 1. Faire un développement limité de θ0 au premier ordre en B.
Exprimer : θ0 − 2π.
En déduire la vitesse angulaire de précession Ω en fonction de m, B, T et LO .
7. La force FP doit-elle être attractive ou répulsive pour que le périhélie avance dans le même sens
que la planète ?
8. Représenter schématiquement le mouvement de Mercure (on exagérera la précession).
4
Expérience de Rutherford
Une particule M considérée comme ponctuelle, de masse m et de charge q = 2e (e > 0) se dirige vers
un noyau très lourd de charge Q = Ze (Z entier positif) placé en O. La particule est déviée sous l’effet
de la force d’interaction électrostatique
Qq ~ur
F~ =
4π0 r2
~ /r (Voir Figure 5).
où ~ur est le vecteur unitaire défini par ~ur = OM
On admettra les hypothèses suivantes :
– Le référentiel (O, x, y, z) lié au noyau peut être considéré comme galiléen.
– L’interaction gravitationnelle entre la particule et le noyau est négligeable.
– L’énergie potentielle d’interaction électrostatique entre la particule et le noyau devient négligeable
quand la distance les séparant est suffisamment grande.
5
Figure 5 – Déviation d’une particule par un noyau lourd.
– La trajectoire de la particule, rectiligne avant l’interaction, redevient rectiligne après.
– Le système des deux charges peut-être considéré comme un système isolé.
Soit ~v0 la vitesse initiale de la particule par rapport au noyau. L’axe (Ox) est choisi parallèle à la
vitesse ~v0 et de même sens. On désigne par b la distance entre (Ox) et la trajectoire incidente (b est le
paramètre d’impact) et par φ l’angle (appelé angle de diffusion) entre les deux trajectoires rectilignes
de la particule lorsqu’elle se trouve à grande distance du noyau (Voir Figure 5).
~ O de la particule M par rapport à O est constant. En déduire
1. Montrer que le moment cinétique L
que la trajectoire de la particule est plane. On se place par la suite dans le plan (xOy) dans
lequel s’effectue le mouvement de la particule.
~ O de la particule M par rapport à O :
2. Calculer le moment cinétique L
(a) lorsque sa vitesse est égale à ~v0 ;
(b) lorsqu’elle se trouve en un point M (de coordonnées polaires r et θ) à proximité du noyau.
(c) En déduire une relation entre r, dθ/dt, v0 = k~v0 k et b.
3. Déduire l’énergie potentielle d’interaction électrostatique de la particule. Montrer que l’énergie
mécanique de la particule est conservée. En déduire que la norme de la vitesse de la particule
lorsqu’elle s’éloigne à l’infini après diffusion est égale à v0 .
4. En utilisant la notation K = Ze2 /2π0 m, écrire la relation fondamentale de la dynamique
dans le référentiel lié au noyau. Déduire les expressions des dérivées par rapport au temps des
composantes vx et vy de la vitesse de la particule en projetant le PFD sur la base cartésienne (O,
x, y). En tenant compte des résultats de la question 2, exprimer dvx /dθ et dvy /dθ en fonction
de K, b, v0 , et θ. En déduire dvx et dvy .
5. (a) Quelle est la valeur limite de θ à l’état final quand la particule s’éloigne à l’infini ? Quelle
est la valeur limite de θ à l’état initial quand la particule se trouve à l’infini ? Quelles sont
les valeurs des composantes vx et vy à l’état initial et à l’état final ?
(b) Montrer, par intégration des équations obtenues au 4, que la tan(φ/2) est donnée par
l’expression ci-dessous :
φ
K
Ze2
tan
= 2 =
2
v0 b
2π0 b mv02
En déduire le paramètre d’impact b.
6. Ecrire, pour un point M de la trajectoire de la particule, l’expression générale du vecteur vitesse
en coordonnées polaires. Compte tenu de 2c, déduire la norme du vecteur vitesse en fonction de
ṙ, r, b et v0 .
6
Soit S le point de la trajectoire où la particule se trouve dans sa position la plus proche du noyau.
~ la distance minimale
7. Quelle condition est vérifiée par ṙ au point S ? Notons par rm = kOSk
d’approche. En déduire la valeur de la composante radiale de la vitesse de la particule au point
S et ensuite une relation entre la norme de la vitesse en S et rm .
8. Quelle est l’expression de l’énergie mécanique de la particule au point S ? En tenant compte de
la conservation de l’énergie mécanique, déduire la relation ci-dessous :
v02 = v02
9. En utilisant la notation α =
que rm est donnée par
b
rm
b
rm
2
+
2K
rm
dans la relation de la question 8, et compte tenu de 5b, montrer
rm = En déduire
− tan φ2
"
rm
b
q
φ
2
+ 1 + tan 2
φ
= b tan +
2
#
φ
1 + tan2
.
2
r
1
10. Application numérique : m = 6, 64.10−27 kg ; e = 1, 6.10−19 C ; 4π
= 9.109 SI ; Z = 13 ;
0
v0 = 1, 7.107 ms−1 ; φ = π/2. Calculer b et rm en unités Fermi ( 1 Fermi = 10−15 m ).
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