Le nombre d`or

Travaux pratiques informatiques N˚2
Seconde 9
Le nombre d’or
Information
Le Nombre d’Or est un nombre remarquable au sens où on le retrouve dans de nombreuses oeuvres
d’art , dans la nature en général et en Mathématiques.
Les figures que l’on considère comme harmonieuses présentent souvent des proportions liées à ce nombre
Dans ce TP , vous allez en partant de la définition donnée par Vitruve (1er siècle avant JC ) déterminer
une valeur approchée du Nombre d’Or
Hervé Gurgey
1
2 octobre 2009
Travaux pratiques informatiques N˚2
Seconde 9
Définition géométrique
On retrouve une définition du nombre d’or dans les travaux de Vitruve, architecte romain au Ier siècle
avant notre ère.
Sur un segment [AB] est placé un point C délimitant deux segments [AC] et [CB].
Le nombre d’or est déterminé par une proportion :
Il y a de la petite partie à la grande, le même rapport que de la grande au tout
Le Nombre d’Or , noté φ , est l’inverse de ce rapport.
Considérons un segment [AB] et un point C sur ce segment :
A•
•
C
•A
1. La phrase de Vitruve peut être traduite par l’une des égalités ci-dessous :
BC
CB
AC
AC
Quelle est-elle ? AC = BC
=
=
AB
AC
AC
CB
CA
AB
2. Lorsque cette égalité est vérifiée, comment est défini le nombre φ ?
Utilisation d’un logiciel comme GeoplanGeospace ou GeoGebra.
Considérons que le segment [AB] mesure une unité de longueur.
On pourra afficher le repère du logiciel.
1. Première méthode pour obtenir une valeur approchée de φ avec le logiciel.
(a) Construire un segment [AB] de longueur 1.
(b) Construire un point libre C sur le segment [AB].
AC
AB
(c) Créer les nombres r1 =
et r2 =
et afficher leurs valeurs (3 décimales).
CB
AC
(d) i. En observant les valeurs de r1 et r2 affichées, déplacer le point C (avec la souris), jusqu’à
obtenir l’ « égalité » des deux rapports. Pour obtenir plus de précision, il peut être nécessaire
de piloter le point C au clavier en étant attentif au pas du déplacement.
ii. Combien de positions conviennent ?
iii. Donner une valeur approchée de la valeur commune φ de r1 et r2 .
Utilisation d’un logiciel de calcul formel
1. Rendez vous sur le site mathenatholu à la rubrique : logiciels incontournables
Ouvrir alors l’article Xcas puis cliquez sur le lien
Cliquez sur le petit ecran noir dans le bandeau supérieur
2. Dans la zone de saisie ; tapez solve (x/(1 − x) = 1 − x)
3. Deux solution sont proposées . Notez la solution positive
√
1+ 5
4. Puisque φ = 1/x montrer que φ =
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Hervé Gurgey
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2 octobre 2009