Problème : Entier somme de deux carrés

Problème : Entier somme de deux carrés
Dans ce problème, on cherche à caractériser les entiers naturels qui sont somme de deux carrés.
Autrement dit, on cherche tous les entiers n ∈ N pour lesquels il existe deux entiers u et v tels que
n = u2 + v 2 .
Partie I : Anneau des entiers de Gauss
On pose
Z[i] = {a + ib / a, b ∈ Z}
l’anneau des entiers de Gauss.
Dans cette partie, on propose d’étudier les propriétés algébriques de cet ensemble. Pour cela, on pose
∀z ∈ C, N (z) = z · z.
1. Montrer que Z[i] est un sous-anneau de (C, +, ×).
2. (a) Établir que pour tout u, v ∈ C, N (uv) = N (u)N (v), et que, pour tout u ∈ Z[i], N (u) ∈ N.
(b) Montrer Z[i]? = {u ∈ Z[i] / N (u) = 1} et écrire Z[i]? en extension.
3. Soit n un entier naturel.
Montrer que n est somme de deux carrées si, et seulement si, il existe z ∈ Z[i] tel que n = N (z).
4. Division euclidienne dans Z[i].
(a) Montrer que, pour tout z ∈ C, il existe u ∈ Z[i] tel que N (u − z) < 1.
(b) Montrer que, pour tout a ∈ Z[i], pour tout b ∈ Z[i] \ {0}, il existe (q, r) ∈ Z[i]2 tel que
a = bq + r et N (r) < N (b).
Partie II : Arithmétique dans Z[i]
Pour u, v ∈ Z[i], on dit que u divise v dans Z[i] s’il
existe d ∈ Z[i] tel quev = ud.
On dit que p ∈ Z[i] est irréductible si p = uv ⇒ u ∈ Z[i]? ou v ∈ Z[i]? .
1. Soient u, v ∈ Z[i]. Montrer que si u divise v dans Z[i] alors u divise v dans Z[i].
2. Soient u, v ∈ Z[i]. Montrer que si u divise v dans Z[i] alors N (u) divise N (v) dans Z.
3. Soient u, v ∈ Z[i]. Montrer que u divise v et v divise u dans Z[i] si, et seulement si, il existe
d ∈ Z[i]? tel que v = ud.
On dit alors que u et v sont associés.
4. Existence du pgcd dans Z[i].
Soient u et v deux éléments de Z[i] dont l’un, au moins, est non nul.
On appelle pgcd de u et v tout élément δ ∈ Z[i] vérifiant
— δ divise u et v dans Z[i],
— si δ 0 est un élément de Z[i] divisant u et v dans Z[i] alors δ 0 divise δ dans Z[i].
(a) Montrer que tous les pgcd de u et v sont associés.
(b) Soit δ ∈ Z[i]. On pose
δZ[i] = {δu / u ∈ Z[i]} .
i. Montrer que δZ[i] est un sous-groupe de (Z[i], +).
ii. On pose
I(u, v) = uz + vz 0 / z, z 0 ∈ Z[i] .
Observer que u et v sont des éléments de I(u, v).
1
iii. Montrer que l’ensemble
A = {N (w) / w ∈ I(u, v) \ {0}}
possède un minimum d > 0.
(c) Soit δ ∈ I(u, v) \ {0} tel que N (δ) = d. Montrer que I(u, v) = δZ[i].
(d) En déduire que δ est un pgcd de u et v dans Z[i].
5. Théorème de Bézout dans Z[i] : Soient u, v ∈ Z[i] \ {0}.
Montrer que 1 est un pgcd u et v si, et seulement si, il existe z, z 0 ∈ Z[i] tels que uz + vz 0 = 1.
6. Théorème de Gauss dans Z[i] : Soient u, v, w ∈ Z[i] \ {0}.
Montrer que si u divise vw et si 1 est pgcd de u et v alors u divise w.
7. Lemme d’Euclide dans Z[i] : Soient p, u, v ∈ Z[i] \ {0}.
Montrer que si p divise vw et si p est irréductible alors p divise v ou p divise w.
Partie III : Nombres premiers sommes de deux carrés
Dans cette partie, on cherche à caractériser les nombres premiers qui sont somme de deux carrés.
1. Soient p > 3 un nombre premier et a un entier non congru à 0 modulo p.
(a) Montrer que p ≡ 1 [4] ou que p ≡ 3 [4].
(b) Montrer que
∀x ∈ [[1, p − 1]], ∃!y ∈ [[1, p − 1]] / xy ≡ a [p].
(?)
Indication : On pourra appliquer le théorème de Bézout à x et p.
(c) En appliquant (?) à a = 1, montrer le théorème de Wilson
(p − 1)! ≡ −1 [p].
(d) On dit que a est un carré modulo p s’il existe 1 6 x 6 p − 1 tel que a ≡ x2 [p]. Un tel x est
appelé une racine carrée de a modulo p.
Si a est un carré modulo p et si x désigne l’une de ses racines carrées modulo p, déterminer
toutes les racines carrées de a modulo p en fonction de x.
(e) En déduire que
a
p−1
2
≡
1 [p] si a est un carré modulo p,
−1 [p] si a n’est pas un carré modulo p.
2. Dans la suite de cette partie, p désigne un nombre premier quelconque.
Montrer que −1 est un carré modulo p si, et seulement si, p ≡ 1 [4] ou p = 2.
3. (a) Montrer que si p est somme de deux carrés alors p = 2 ou p ≡ 1 [4].
(b) Montrer que 2 est somme de deux carrés.
(c) Montrer que si p ≡ 1 [4] alors p est somme de deux carrés.
Indication : On pourra montrer que p = u2 + v 2 avec u + iv un pgcd de p et a + i où
a2 ≡ −1 [p].
4. Conclure.
Partie IV : Entier somme de deux carrés
Dans cette dernière partie, on cherche enfin à caractériser les entiers naturels qui sont sommes de deux
carrés.
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1. Montrer que si n et m sont deux entiers naturels sommes de deux carrées alors nm est également
somme de deux carrés.
2. Soit p un nombre premier différent de 2. Montrer que si p n’est pas irréductible alors p est
somme de deux carrés.
3. Soient u, v ∈ N, n = u2 + v 2 un entier somme de deux carrés et p ≡ 3 [4], un nombre premier
diviseur de n.
(a) Montrer que p divise u + iv dans Z[i].
(b) En déduire que p2 divise n dans Z.
4. Établir que les entiers naturels non nuls qui sont somme de deux carrés sont les nombres n
vérifiant
∀p ∈ P, p ≡ 3 [4] ⇒ vp (n) est pair .
* * * FIN DU SUJET * * *
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