L.M.D., Travaux Dirigés physique 3 Oscillations amorties, forcées

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Travaux Dirigés physique 3 Oscillations amorties, forcées
Exercice 1
*
On considère l'oscillateur amortie libre régi par l'équation :
••
•
m X + p X+ k X - 0 où m est la masse de M, k le coefficient de rappel et x le déplacement de M.
Le mouvement x(t) est tel que le système étant à l'équilibre, on lance M avec une vitesse initiale Vj = 25cm/s
(donc à t = 0 on a : x(0) = 0 et x = v; ) .
1) Calculer la période propre du système (A.N. : m = 150 g, k = 3.8 N/m)
2) Montrer que si P = 0.6 kg/s, M a un mouvement oscillatoire amortie.
Résoudre dans ce cas l'équation avec les conditions initiales. Calculer la pseudo période du mouvement.
3) Trouver le temps IM au bout duquel la 1er amplitude XM est atteinte. Calculer XM
4) Calculer la vitesse au bout d'une pseudo période T
Exercice 2
La tige CB sans masse pivote autour du point O d'un angle 0 par rapport à sa position d'équilibre Verticale
(figure 2). Au repos le ressort est non déformé.
Un dispositif amortisseur exerce en C une force de frottement fluide opposée et proportionnelle à la vitesse de
C de la forme -p.vc . On considère les petites oscillations.
Trouver : L'équation du mouvement, et en supposant l'amortissement faible, la pseudo pulsation..
Exercice 3
On considère l'oscillateur amorti forcé (figure 3). L'amortissement entre A et m introduit un frottement
visqueux :
P-v - 7J
1) Déterminer l'équation différentielle du mouvement en fonction de x et y.
2) Déterminer la solution en régime permanent sachant que y(t) = a..cosQt, on rappel que :
A.cbsQt - B.sinîlt peut être mise sous la forme de C.cos(Qt+<p), avec C et (p déterminés en fonction de A et B.
3) Déterminer l'amplitude de x pour Ci — 0 et pour Q. = infini ; En déduire la fréquence de résonance.
'C
figure 4
OB-L
OC = L1
figure 3
„ ^
(m)
S
figure 5
figure 2
(m)
v •*.
Exercice 4
Sachant qu'on impose au point S un mouvement sinusoïdal y(t) = a cos O.t (figure 4), étudier le mouvement
de la masse m : 1- Sans frottement ;
2- Avec frottement fluide et amortissement faible
Exercice 5
Le système de la figure 5 est constitué d'une masse m reliée à un bâti fixe par un ressort de raideur k.
Un amortisseur de coefficient de frottement visqueux P est relié à la masse m.
Le point S est soumis à mouvement sinusoïdal y(t) = a sin (Qt).
1) Etablir l'équation différentielle du mouvement ; 2) Donner l'expression de la pulsation propre ;
3) Donner l'expression de la solution du régime transitoire ; 4) Donner l'expression de la solution du régime
permanent ; 5) En déduire l'expression de la solution générale
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Exercice 6
Soit le pendule inversé de la figure 6. (J = mL2).
Au repos la tige OC est verticale et les ressorts sont non déformés.
1) Donner l'équation différentielle du mouvement de ce système (dans le cas des petites oscillations)
On donne : m = 0,2 kg ; ki = k2 = 4 N/m ; p = 0,6 kg/s ; L =0,5 m ; et f(t) = cos 2t , J = mL2
2) Donner: la pulsation propre, la pulsation amortie (pseudo pulsation), le décrément logarithmique.
3) Donner la solution du régime Transitoire. 4) Donner la solution du régime Permanent.
figure 7
figure 6
NplK$$8y
N
Exercice 7
Un fil inextensible et sans masse de longueur 1 passe dans la poulie (de masse M et de moment d'inertie J = 1/2
MR2) selon la figure 7. Une force sinusoïdale F(t) = a cos 'Q.t appliquée au centre de gravité de la masse m
excite le système. La poulie effectue alors un mouvement de translation horizontal et un mouvement de
rotation autour de son axe.
1) Déterminer l'équation différentielle du mouvement du système en x
(A.N. : m =3/8 M , k = 3.6 N/m , p = 0.3 kg/s, M = 0.2Kg. )
2) Donner la solution du régime transitoire.
3) Donner la solution du régime permanent en posant a = 3
ExerciceS
Un oscillateur a pour équation de mouvement :
m.X +2.X + 4.X = 20.cos(2.t)
(m =lkg)
1) Déterminer dans ce cas, la pulsation propre, le coefficient d'amortissement, la pseudo pulsation et le
décrément logarithmique (Soit les Conditions Initiales : x(t = 0) = xo et v(t = 0) = 0
2) Déterminer les solutions transitoire, permanente et générale
3) En déduire le coefficient de qualité Q
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Réponses
Réponse 1
B
*
R
m*x* + p x +kx" Q —»•
= Q avec 7 =
*x*+
1. AN no«(3.8/CU5)w« 5id/f
T0«2B*»»«L25*
y» 0.6/2x0.15 = 2
2.
A' - y* - wo1 « 4 - 25 - - 2 1 < 0
x(t)«CexiD(HKt)c«s(a>t-tp) avec
CI.
mvt oscillatoire amortie
J
• «o* - y1 « 21
x(t- 0) - 0 - C exp(0) cos(0 -tp) - C c
x (t) « C (-y) exp(-yt) cos(wt -<p) - o> C exîî(-yt) sm((ôt -q»)
x(t = 0) = vi=25cm^ = C(-^exp(0)co<0-Ji/2) - 4.58 C ex
C = 25 / 4.58 = 5.4 cm _*. x(t) - 5.4 exp(.2f) cos(4.58t -
4.58 C
5.4 exp(.2t) sin(4.58t)
3. (dx(t) / dt ) = 0 = x (t) —^ XÎMX
x (t) - 5.4 <-2)exF<-2i)sk(4,58t) +4.58 x 5,4exp(-2t) cos(4.58t) = 0
—*• tarç (4.58tu) « 4.58 O = 229 —* 4.58 tM = orc% 2.29 = 1 .16
t =0.25$
! l
= 5.4 exp(-2 x 0,25) si»(î .16) = 3 cm
4. VT - î (t = T) = 5 .4 (-2)exp(.2 x 1 .37)siî<(ûT) + 458 x 5.4 exp(-2 xl .37) co$(oîT)
= 4.58 x 5.4 exp(-2 x 1 .37) « 1.6 cm/$
S /
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Réponses
Réponse 2
0*bflan desforces- 3forces: P . FA , Fc
^
I
v
-*-*•-»..•-*.-*'
2 ..
OBAP *ÛAAF A *OCAF£ = mL 8
\
V8
Rap el :
|p=rog
Vj A V2 = I VjK I V2l. sinfV. kV2)
Lorsque la barre pivote de 9, A se déplace de XA = 0 A sin8 = L^sinS
et C se déplace de xc = OC sin8 = Lisin8
cos8
L tîtg aX-Q) + Ls k La sinS siii[- (8^«^J + Ll pLi9 cos9
2
V
A*
IcLa sinQ GO^ - pLi 8 pcosi cos8 ;
oas des petites oscillations : cosB *• 1 et àti8 «* 8
ê
-0
2
avec
6
T i
iftgL +
2
CDO
=
-
équation caratérisliquê ÏÂ + 2j r + too = 0
*-2- on? - ia c0'J < 0
pseado pl^tion un régime osciMoife amortie
mL
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Réponses
Réponse 3
+1 x + ^
1) ȴ-.b
2)
y» acosût
**
X
4-
£m X
»
;y--awsinût
«xracosftt - .
+OWX
C cos Œ * œo3 a
-Csinfttsn
12..Pû
(mo«
'
+B'aV
°
Itt
d'où: x* -f
*
x = xssm+xp :
*
=I-^J1* cos(Ût+erctg£H)
:
m--û +k"
k
x -fœo:x
limxssin = 0 lorsque t —•• l'uitim quelque soit le régime
xp = solution particulièie du même type que le œcondmeîïîbre C cos (ût + cp) - régime permanent
en écriture complexe: Ccos(ûH-tf) -*• Ce^" f4 "^
et
xt = X eJC^H-*)
qui vérifie l'éq. diff.
m-
—î> ( - Q' +wo" + jû i ) X e) * = C e J ^
m
P
Et
- arctg
- arctg
coo
3) limX= 0 lorsque Q, -1> l'infinie
pulsation
1
de lésons nce : X=Xmax,
H m X = a bisque
—b
X=N/D
1- 0
=0
D = [ (- flr
m"
m*
)-" + El,
m"
=
+
[wo ; -
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Réponse 4
1) nne«-k(x~y)
; y«acosôt
*X + «* X m jt aCGSÛt
avec
^ *COO
on trouve
xt solution du mime $3» que le 2*** membre —* x* « X costû t * $)
éciitu» complexe : y»tco$0t
, est solution de Téqnation différentielle donc xf vérifie l'éq. diff
" )X
X-
-
«>o e
*iût
2) to*x » - k ( x - y ) - p x -**
V-*-2yx+wo"x
"<oo2y av
f
x r * x»m * x? 3^^ (bas ît aïs ctes itibies anwrtisstmtïits (à* « y*' - wo* *» i" or < 0)
X*m * C fr" ^^ cos(<et - f )
(régime îïiRsiloifé osefllâtoû»«morti)
<»*' ^ too * - f ; on trouve les coûtantes C e t f giice aux C.I .
j solution du mimt ^p que k 2^** membre —* x» « X cosCût
complexa : y* % ow ût
^* y = 4 e
ff vénfi» Tlq, diff»
X
«wo'a
**»*
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Réponse 5
mV - - k x - 0 ( x - y )
-y -- «ûcos
•
y » fcsinwl
-*
avec
yf « IL
2m
«o:- à
**
2) le régime transitoire est là solution de léquarion diff. sans second membre (xs$m)
^ A1 > 0 xssm-e"1'1 (A
ï + 2jrî +«o* x «û
%sm dépend da ape de A* » y1 - m* — A* « 0 xs$m « e~* * (A + B I )
C et 9 sont détenninés grâce aux Conditions Initiales
3) la solution du régime perrnanant Xp est <3u même type que le second membre de l'équation <Mt
.1
**m
complexe: cosût
••
*
ft
P •
X
m
m
..M..,
M*
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Réponse 6
igurtf
P ,F
, F . F . f (excitation)
Lf
dtns 1« c*s d**
5
AN
<o§0 - î tt
V * 1,338 -f 2,6 8
V • « • § * «ô1 » » co*2t
— fr «o *
â*«y ? *wo î * * 2,16 «0 : isvt otaBatoà* «moitié avec
® « 1,47 rd = psewfe pls^ifla -^ T « ^tfw •» 4,27 $ HK élcïlittefiî lo^«riftïfticï9É « S » y T« 2,82
D ré-pint n ansïtoirf*
*$sœ " C i* *
ci» (w.t « 9 > » (• ^ ' ^^ * «»$ |; 1471 » « |
C et v sont détenninés pâc* aux Conditions Iiiitiales
^ la sokSîon du régane perœi&JBat t p eit <fes mime type <|ue îe second membre 4e r
eomdftxe
(»4*2,6 4 j 2,66) X
0,33
-*• 6 P « o,
« 1,1
-1.4
1,1)
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Réponse 7
Le mouvement de lapouîie eîî «nî^îîsemenî die tourne de 8
et îimalunétttfriS »n ctfttre de grwité Je déplace de se » R0
ai tcïd te centre de ffâvslé de m se déplace de R0 + x * 2x
C'est un jyitème mécanique oscillatoire forcé amaffi 4 l degré de liberté
T « force tetmon 4e la corde
*x « - Ô2x . Tj 4
4T2
R
(2) Mi*
Tj .
|M
=2T,
(vJ *:-* -f-î p J * k ;< = 2 a coî Q
-;* ( S m + 3 J.î ) J: * S 0 x * 2 k s « 4 à c os D t
k = 3 . 6 H A n , p=0.3kg r s ! M-0.2Kg
-
2)
rf_:: = 0
JM
**
é' * jr: - <wo: - 1 - 6 = - $ = - or < û —*•
Xjesn •* C e"*1 oos (wî - <#) « C e" cos ( 5l -
les constantes C et q> sont déterminés grâce aux conditions initiales
écriture complexe
3) règjmç permanant :-:p duméme type que le second îrfembre lOcosïi.t
10
sol utioït cfc i 'éq . dore véii fi 1 *éq
10
/ - + arctg _ .2 û )»
cos (Qt
.
;
\| ( - W + 6)" 44Û"
étude d e :
dt
10
10
- 20)480 =4Û( £T-4)=
5/3
10e
avec
f(A) = (.fr + 6)'
û r é s o n a n c e =2
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Réponses
«
Réponse 8
I. m*x
+ p x + k x * 20cosat -*
*x* + 2yx +coo ; x = ^-cos2t
= x* +2 x + 4 x = 20cos2t
cocr = 4 ,100 = 2 ; 2 y = 2 ; y = l ; û = 2 Œ pulsation de l'excitation
xg = xssm + xp ; xssm = régime transitoire sol'^on de * x + 2 x + 4 x î = 0 donné selon :
- y* = + 3 , <x> = ^ 3 id/s
—* T œ 2i/to œ 3,6
—*• décrément logârithrrtiqw a 5 *= y 7= 3.6
2, C et g> sont tiouvés giice aux C .1 . : x(t=0) ^ xo = C t cos (0 - <j>) = C cos a- —ni?
x (t) = -y Ce"' Cos (w t - <p) - w C e ^ sin (tôt - 9) —l»
l/,,r3
9 - TtJ'd ; C = 2xo/\f3
C = xo / cos
x (0) = • C costf H- \f3 C sm ^ » 0
xssm = -p- è -t cos( ',,[":;; . .c/j ,
N 5
xp = régime penii-inent = œiutica, paîticxàièïe du inêrne type que le 2is* Kiembre = X ce»:**
xp est solution de l'éq. donc vérifiî'éq. "™"™*
(ft =2 ; wo = 2 ; y = 1 )........* X * 5
et
x p = 5 c o s ( 2 t - jîJQ) = -5sin2t
le facteur de qualité
(- û'' +i2yû +wo")Xexp(i < î ) ) = 20
arctg *D + * = 0 — * * =
x ^=
O
Q = —
2?
2xo *
r
_ * co$H 3i - */d } -5 sih 22t