MATH-F-211 Introduction aux espaces topologiques Feuille d

MATH-F-211
Introduction aux espaces topologiques
Feuille d’exercices 4
1. (a) Soit X un espace métrique et K ⊂ X un sous-espace compact.
Démontrez que K est borné, c’est à dire qu’il existe x0 ∈ K et un
réel M ∈ R tels que pour tous x ∈ K, d(x, x0 ) < M .
(b) Soit f : T1 → T2 une application continue entre deux espaces topologiques dont T1 est compact. Démontrez que l’image f (T1 ) ⊂ T2 est
compacte (avec la topologie induite).
[Conseil : étant donné un recouvrement {Ui : i ∈ I} de f (T1 ) par
ouverts, il existe ouverts Vi ⊂ T2 tels que Ui = Vi ∩f (T1 ). Maintenant
{f −1 (Vi ) : i ∈ I} est un recouvrement de T1 par ouverts.]
(c) Soient T un espace compact et f : T → X une application à un espace
métrique. Démontrez que F est borné : il existe un point x0 ∈ X et
un réel M tels que d(f (t), x0 ) < M pour tous t ∈ T .
2. Soient T un espace compact et K ⊂ T fermé (c’est à dire que T \ K est
ouvert). Démontrez que K est compact (pour la topologie induite).
[Conseil : étant donné un recouvrement {Ui : i ∈ I} de K par ouverts,
par la définition de la topologie induite il existe ouverts Vi ⊂ T tels que
Ui = K ∩ Vi . Maintenant {Vi : i ∈ I} ∪ {T \ K} est un recouvrement de T
par ouverts.]
3. Soient T un espace Hausdorff et K ⊂ T un sous-espace compact (pour la
topologie induite). Le but de cette question est de démontrer que K est
fermé (c’est à dire que T \ K est ouvert).
(a) Soit x ∈ T \ K. Pour chaque y ∈ K, puisque T est Hausdorff, il
existe ouverts disjoints U (y), V (y) tels que x ∈ U (y) et y ∈ V (y).
Démontrez qu’il existe un nombre fini y1 , . . . , yr de points yj ∈ K
tels que
U (y1 ) ∩ · · · ∩ U (yr ) ∩ K = ∅.
(b) Déduisez que pour chaque x ∈ T \ K il existe un ouvert Ux qui
contient x et tel que Ux ∩ K = ∅.
(c) Déduisez que T \ K est ouvert.
4. Soit f : T1 → T2 une application entre deux espaces topologiques.
(a) Démontrez que f est continue si et seulement si f −1 (K) est fermé
pour tous K ⊂ T2 fermé.
(b) Maintenant on pose que f est bijective, T1 est compact et T2 est
Hausdorff. Démontrez que f est un homéomorphisme, c’est à dire
que f −1 est continue.
[Conseil : il faut vérifier que f (K) ⊂ T2 est fermé pour tous K ⊂ T1
fermé. Un moyen est d’utiliser les trois questions précédentes.]
1