chapitre 3 :espaces euclidiens - Licence de mathématiques Lyon 1

CHAPITRE 3
ESPACES EUCLIDIENS
I.
Définitions.
DEFINITION 32 : ESPACE EUCLIDIEN
Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’une forme bilinéaire
( | )
⟨ ⟩ et on l’appelle produit scalaire.
symétrique définie positive. On la note ( )
PROPOSITION 32 : INEGALITE DE CAUCHY-SCHARWZ
Soit (
) un espace euclidien
( ) ( )
1)
,( | )
2) On a égalité ssi x et y colinéaires.
Exemple :
1)
avec ( | )
2) Sur
( )(
(
Rmq : i) est vraie si (
( | )
( )
(
Réciproquement, si ( | )
 Si ( )

)
√ ( ) on l’appelle la norme de x.
)
)
, (
( ) ( )
c’est-à-dire ( | )
( ) ( ))
( ) ( )
donc ( | )
si ( )
( | )
( )
implique ( ) constante et donc( | )
ii.
(
) esp.quadra. réel positif.
( )
comme
donc ( )
(( | )
)
)
(espace euclidien), ‖ ‖
On note
PREUVE:
i.
(
où
)
Si ( )
(
( )
et l’inégalité voulue est évidente.
( ) ( )
x et y
; ( )
donc
)
PROPOSITION 33 : INEGALITE MINKWOSKI
Soit (
) un espace euclidien alors
‖
‖
‖ ‖
‖ ‖
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
PREUVE:
On montre (
)
(√ ( )
PROPOSITION 34 :
Si q positive alors
√ ( ))
( )
PREUVE:
( )
On sait déjà que
( ).
Prenons
( ) alors ( )
On utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz
( )
( ) ( )
ici
donc ( )
donc
II.
( )
Orthogonalité, bases orthonormales.
E espace euclidien
( | ) est non dégénérée.
Rappel :
1)
2) (
3)
4) (
(
(Rem :
sont orthogonaux)
)

)
)
DEFINITION 33 : BASE ORTHONORMALE
On appelle une base (
) de E orthonormale si elle est orthogonale et
PROPOSITION 35 :
Toute espace euclidien a une base orthonormale
1) Procédé d’orthonormalisation de Gramm-Schmidt
(
) base de E.
On fabrique une nouvelle base par récurrence de la façon suivante :
‖
‖
∑
où
(
‖
2
| )
‖
‖
‖
( )
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
2) Projections et symétrie orthogonales.
DEFINITION 34 : LA PROJECTION ORTHOGONALE
F ss-ev de E. La projection orthogonale par rapport à F, c’est la projection sur F parallèlement
à .
.
⏟( )
⏟
( )
( )
( )
c’est-à-dire l’application :
( )
DEFINITION 35 : LA SYMETRIE ORTHOGONALE
La symétrie orthogonale par rapport à F c’est l’application
( )
( )
PROPOSITION 36 :
(
) base orthogonale de F alors
∑
( | )
‖ ‖
et
∑
( | )
‖ ‖
PREUVE:
1) Si
,
∑
alors
(∑
∑
| )
‖ ‖
∑
(
| )
‖ ‖
∑
Si
alors
( )
∑
2) Même méthode en posant
( | )
‖ ‖
alors
Rmq :
Dans une base orthogonale
( | ) ∑
(∑
|∑
) ∑
THEOREME 37 :
(
) base de E
Il existe une base orthogonale (
(
)
) de E et
(
).
3
( )
et
alors
( )
.
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
PREUVE:
⟨
∑
‖
⟩
‖
‖
‖
(
⟨
‖
)
⟩
( )
‖
( )
donc
On aura
(
)
(
)
(
)
(
)
n général
( )
( )
) est orthogonale et
(
(
)
(‖
‖
‖
).
‖
DEFINITION 36 : MINEURS PRINCIPAUX
A=( )
,
((
mineur principal de A est défini par
PROPOSITION 37 : GRAMM-SCHMIDT
E : espace euclidien, A matrice de ( | ) dans une base (
(
) tel que :
) orthogonale
1) (
(
)
(
)
2)
)
)
). Alors il existe une base
La matrice associée à q est diagonale (
‖ ‖
) autrement dit
.
EXEMPLE IMPORTANT DE PROJECTION ET SYMETRIE ORTHOGONALE
Si F est une droite (
) ou un hyperplan(
) Soit
Soit H un hyperplan,
( )
( )
( | )
‖ ‖
( )
( | )
‖ ‖
( )
( )
( | )
‖ ‖
⏟
( )
( )
( )
( )
( | )
‖ ‖
4
(
( )
( ))
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
3) Matrices orthogonales
E espace euclidien (
) base orthogonale (
(
) une autre base orthonormale
)
Soit O la matrice de passage de (
à(
( )
( )
Alors
)
)
.
.
PROPOSITION 38 :
On a équivalence pour
( )
1)
.
2)
3)
est la matrice de passage d’une base orthonormale dans une autre.
DEFINITION 37 : MATRICES ORTHOGONALES
On dit que
( ) est orthogonale si elle satisfait une des conditions 1), 2) ou 3).
On note ( ) l’ensemble des matrices orthogonales.
PROPOSITION 39 :
( ) est un sous-groupe de
( )
PREUVE:
1)
( )
)
(
⏟
( )
( )
2)
3)
(
)
PROPOSITION 40 : FACTORISATION
( )
Soit
Il existe une matrice triangulaire supérieure R et une matrice orthogonale Q telles que
PREUVE:
On introduit un espace euclidien de dimension n et
une base orthogonale pour le produit
scalaire de E.
Soit une base de E telle que A est la matrice de passage de
à . On applique GrammSchmidt à la base on obtient une base orthonormale .
Soit T la matrice de passage de à , elle est triangulaire supérieure
(
)
(
)
(
)
}
(
)
5
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
(
(
)
(
)
)
(
oit
III.
la matrice de passage de
à
)
, donc orthogonale.
Adjoint d’un endomorphisme.
E espace euclidien, u un endomorphisme de E.
(
)
C’est une application bilinéaire.
( | ( ))
PROPOSITION 41 :
( )
L’application
( )
(
(
)
)
( | ( ))
est un isomorphisme.
PREUVE:
B base de E.
A la matrice du produit scalaire de E dans cette base.
Soit
et
leurs coordonnées dans B et M la matrice de u dans B.
)
( | ( )) s’écrit
Alors (
( )
( )
L’application ϕ s’écrit matriciellement
( )
( )
A est inversible donc
est un isomorphisme.
Rmq :
)
( | ( )) sont les
 Si B est orthonormale,
. Les matrices de u et de (
mêmes.
 Si ( )
on dira que u est l’endomorphisme associée à b, i.e. ( ) ( | ( ))
DEFINITION 38 : ADJOINT
Soit
( )
L’endomorphisme associé à (
)
( | ( )) est noté est appelé adjoint de u.
( ( )| ) ( | ( ))
6
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
Rmq :
 (
 (
)
)
( | ( )) est symétrique ssi
( | ( )) est antisymétrique ssi
DEFINITION 39 : YM TRI ,ANTI YM TRI , NORMALIT D L’ADJOINT
Soit
( )
 On dit que u est symétrique si
 On dit que u est antisymétrique si
 On dit que u est normal si
 On dit que u est orthogonal si
PREUVE:
Si
( |
donc
Rmq :
1)
2)
, ( | ( )) ( ( )| ) (
( )| )
) (
( )| ) ( | ( )) ( ( )| ( ))
( )
Les endomorphismes symétriques ou antisymétriques sont normaux.
( ) tel que
, ( | ( )) (
( )| )
, ( ( )| ( )) ( | )
DEFINITION 40 : ADJOINT POSITIF, NEGATIF, DEFINIT POSITIF, DEFINIT NEGATIF
Soit
( ) symétrique.
On dit que u est défini positif (resp positif, déf négatif, négatif)
( | ( )) est défini positive (resp positive, déf négative, négative)
si ( )
PROPOSITION 42 :
Soit
( ) symétrique, représentée par une matrice A dans une base orthonormale.
Alors A est définie positive (resp positive, déf négative, négative) ssi u est définie positive (resp
positive, déf négative, négative)
DEFINITION 41 : AUTOMORPHISME ORTHGONAL
( ) ( | ) ( ( )| ( ))
PROPRI T D L’ADJOINT:
muni d’une base orthonormée B
( )
( )
PREUVE:
(
(
( )
)
)
( | ( ))
( ( )| )
( )
( )
Soit M matrice de u A matrice de ( | )
7
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
( | ( ))
(
(
(
)
)
(
)
( ( )| )
( ( )| )
)
CORROLAIRE:
Les endomorphismes symétriques de E sont ceux dont la matrice dans une base orthonormée est
symétrique.
PROPRIETES 45:
L’adjonction est une anti-involution c’est-à-dire elle satisfait :
)
1) (
2)
est une application linéaire de ( )
( )
)
( )
3) (
( )
4) ( )
PREUVE:
1) ( | ( )) ( | ) ( ( )| )
2) ( |(
)( )) ( | ( )) ( | ( ))
(
)
donc
( ( )| )
( ( )| )
( |( )( ))
( | ( ))
( ( )| ) (
( )| )
3) ( |(
)( )) ( | ( ( ))) ( ( )| ( )) ((
)
donc (
4) ( | ( )) ( ( )| )
((
)( )| )
NOYAU ET IMAGE DE L’ADJOINT:
Soit
( )
Alors
(
( ))
( ))
(
et
PREUVE:
(
)

, ( ( )| )

, ( | ( ))
( | ) non dégénérée
 ( )

((
) )
(
)
8
(
)
(
)
)( )| )
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
ADJOINT ET STABILISATION:
( ) un s.e.v. stable par u ( ( )
Alors
stable par .
PREUVE:
Soit
On calcule ( ( )| ) pour
( ( )| ) ( | ( )) ( | )
donc ( )
.
)
car F stable par u.
CORROLAIRE:
Soit F ss-ev stable par u.
Si u est{
}
stable par u
PROPOSITION 49:
( )
a)
est symétrique positif
b)
est défini positif ssi
(
)
c)
(
)
( )
( )
VERSION MATRICIELLE:
( )
a)
est symétrique positive
b)
est définie positive ssi A est inversible
(
)
c)
(
)
( )
PREUVE:
)
a) (
donc symétrique. Notons
(
)
( | ( ))
On considère
( | ( ( ))) ( ( )| ( ))
On a ( )
‖ ( )‖ positive
La f.q. associée
Donc b positive i.e. f positive.
b) Comme b est positive, ( )
( )
( )
( ) (car‖ ‖ anisotrope)
( )
( | ) non dégénérée)
(
est définie positive si
9
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
 u inversible
donc ssi
c) Finalement, on a
en effet si
et donc
.
( )
( )
D’autre part,
( )
(
)
donc
THEOREME SPECTRALE:
Tout endomorphisme symétrique de E admet une base orthonormée de vecteurs propres.
(
) de E
( )
( )
( )
(
)
VERSION MATRICIELLE:
Pour toute matrice symétrique A de
( )
Il existe une matrice orthogonale O tel que
soit diagonale
PREUVE:
Par récurrence sur
 Si
il n’y a rien à démontrer
 Supposons vrai pour tout espace de dim <n
 Soit E un espace de dimension n.
upposons qu’il existe un vecteur propre X non nul de u et sa valeur propre.
)( )
Donc (
On pose
Soit
.
‖ ‖
( ) donc F stable par u
, (
)
( )
‖ ‖
( )
10
‖ ‖
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
On a vu que
est aussi stable par u.
|
symétrique
Et
Par hypothèse de récurrence, il existe une base orthonormée (
pour | .La base de qu’on cherche est donc (
)
) de vecteurs propres
Voyons maintenant l’existence d’une vecteur propre pour u non nul.
On considère l’application
On considère la sphère
le sup sur S c.à.d.
On considère
positive et
( )
( )
( )
‖ ‖
donc
( | ( ))
‖ ‖
elle est compacte et q est continue donc q atteint
( )
.
( ) f.q.
( )
( )
( |(
La f.p. de est ( )
)( )) qui est dégénérée. Donc
)(
))
.
( |(
On en déduit que
n’est pas surjective donc n’est pas injective donc
(
)( )
donc est un vecteur prop.
tq
t.q.
CORROLAIRE:
(réduction simultanée)
E
de dim finie et
deux fq tel que
Alors il existe une base de E.
et
représentée par D diagonale/
q représentée par I.
VERSION MATRICIELLE:
Soient L,N deux matrices symétriques, M définit positive de
( )
Il existe une matrice invariable C tel que
,
est diagonale
APPLICATION DU THEOREME SPECTRAL:
Pour un endomorphisme symétrique positif a il existe un unique endomorphisme b symétrique
positif tel que
(
)
VERSION MATRICIELLE:
Soit
( ),
( ) tel que
11
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
PREUVE:
Existence : Soit (
) base orthonormale de vecteurs propres et
associées.
Comme u est positif alors
On pose ( )
( )
On a
Donc
√
( ( ))
(√
) √
et b est symétrique positive.
.
Unicité : Soit b symétrique positive tel que
|
voyons ( )
Donc
√
√
Donc b est uniquement déterminé par les
THEOREME: DECOMPOSITION POLAIRE
VERSION ENDOMORPHISME :
Soit
( ). Couple (
)t.q.
VERSION MATRICIELLE :
Soit
( ). couple (
)t.q.
Donc
√
)
.
.
)( )
( ( )) (
Supposons valeur propre de b : ( )
( )
( )
On compose par
( )
( )
,
(
.
est un endomorphisme symétrique positif de
PREUVE:
Unicité :
les valeurs propres
(
)( )
( ( ))
( )
.
( ),
définie positif et
( ),
( ) et
symétrique définie positive
h est unique.
u est unique.
Existence :
symétrique définie positive.
√
On pose
,
Voyons que u est orthogonal :
(
)
GROUPE ORTHOGONAL EUCLIDIEN.
Rappel : symétries orthogonales (
)
 F s.e.v.
où

,
( | ) hyperplan.
( | )
( )
Si ‖ ‖
12
( | )
(
)
( )
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
(
) b.o.n. de
(
)
( | ) est un vecteurunitaire matrice de
(
)
THEOREME:
Alors u est la composée de r réflexions où
(
)
PREUVE:
Par récurrence sur r.
 Si
est un produit de 0 réflexions.
)
 Supposons vrai que
( ) tq (
)
 Soit
( ) tel que (
,
tel que ( )
( )
On pose
on regarde
o
( ( ))
‖ ( )
‖ ( )
et
‖
‖
( | )
‖ ‖
( )
‖ ( )‖
‖ ‖
( ( )| )
( ( )| )
( ( )
| )
‖ ‖
( ( )| )
( )
( )
( )
o
‖ ‖
( ( ) | )
( ( )| )
‖ ‖
( ( )| ) ‖ ‖
( ( )| )
‖ ‖
( )
( )
fixe tout vecteur fixé par u.
Soit ( )
( | ) ( ( )
| )
( | ) ( ( )| ) ( | )
( | ) ( ( )| ( )) ( | )
( )
( | )
‖ ‖
( )
( ) fixe tout vecteur de
)
( )
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)( )
(
)
( (
))
( (
))
donc
( (
))
(
))
On applique l’hypothèse de récurrence :
(
Donc
(
13
(
)
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
réflexions
DEFINITION 42 : RETOURNEMENT
On appelle retournement une symétrie orthogonale par rapport à un
// à un plan.
PROPRIETE:
. Le groupe
F de dim
( ) est engendré par les retournements.
Cas
Classification suivant les invariants.
( )

( )

est un s.e.v. de E.
)

( ), fixe
( ) donc fixe (
LEMME:
Si
(
( ):
,
)
(
)
(
)
PREUVE:
M matrice de u dans une base orthonormale.
(
)
(
)
( (
)
( (
))
(
)
THEOREME:
( )
a) On a équivalence entre
i.
( )
ii.
est une droite
iii.
est une symétrie orthogonale par rapport à une droite i.e. ϕ est une réflexion.
( )) ssi
b)
est une rotation (
ou
PREUVE:
i
ii
(
)
si
Mais
ii
iii
(
)
Donc u est une réflexion.
(
)
14
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
THEOREME:
Toute rotation de E est le produit de 2 réflexions (l’une des 2 peut être choisie arbitrairement)
PREUVE:
 Si
 Si
. Soit D une droite quelconque
( ) donc c’est une réflexion par rapport à une droite D’.
COROLAIRE:
s réflexion, ρ rotation dans E.
Et
PREUVE:
(
)
(
)
(
)
de même on a
(
)
(
(
)
)
COROLAIRE:
(SO(E) ou le groupe des rotations) est un groupe abélien.
PREUVE:
( )
{
(
)
(
)
Donc on a bien
Matrices orthogonales.
( )
(
)
(
)
(
)
et
Si
( ) on a {
15
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
(
) et
(
On peut le réécrire
(
)
( ) est abélien
)

THEOREME:
| |
Alors l’application
( )
est un isomorphisme de groupes.
( )
On a {
donc M s’écrit de la forme
(
)
Etude de O(E),
( )

alors

notons
plan
et
droite
Comme u stabilise P
stabilise D.
| automorphisme orthogonal dans un espace de dim 1
donc |
Si |
ce qui est impossible car
Donc |
donc u est une réflexion par rapport à P.
Réciproquement une réflexion orthogonale est un automorphisme orthogonal dans l’espace des
invariants est un hyperplan donc de

soit
et
| est un automorphisme de P donc | est une rotation ou une réflexion par rapport à
une droite Δ.
Supposons | est réflexion par rapport à Δ.
ce qui est impossible car
Donc | est une rotation.
16
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
( ) et (
Soit w unitaire.
Dans la base (
(
) b.o.n de P.
) la matrice de u est
) pour certain
( )
et
( )
(
Réciproquement soit
(
)
( )
) (
)
(
donc
)
(
)
(
)
LEMME:
(
PREUVE:
M matrice de u,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
)
) (
) ( (
)( )
)( )
)( )
)
))
((
(
(
))
)
)
( )
Si
Si
donc

(
(
(
(
(
(
(
( )
est une rotation
Si
 Si
et
. Soit D droite
et on considère les symétries orthogonales associées
. On a
 Si
est une rotation ≠
. Soit D son axe et P le plan orth à D.
Notons la rélexion par rapport à P.
On considère
est une rotation d’axe D.
)( )
( )
En effet si
, ( ) (
17
)
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
De plus,
en effet
si
,
( ( ))
si
( ( ))
(
)
( ( ))
( )
( ( ))
,
( )
( )
( ) car ( )
THEOREME:
( ),
et
alors u set la comparée d’une réflexion par rapport à un plan P
et une rotation d’axe orthogonale à P. Le produit est commutatif.
THEOREME:
espace euclidien
( ). Alors il existe p,q entiers et
tel que u est représenté dans une base orthonormale
par
(
p,q et
(
où
, …,
, …,
)
)
sont unique à l’ordre près.
Angles orientés
E espace euclidien de dimtel que 2.
DEFINITION 43 : ORIENTATION
On appelle orientation de est le choix d’une base orthonormée (
). Soit (
elle est directe ou positive si l’unique élément
( ) ( )
et ( )
Rmq :
Si
alors
( ), ,
matrice de
( ). On a vu
) une autre base
est dans SO(E)
relations à deux b.o.n. directes de E. Soit P la matrice de passage
donc
mod [2 /
On remarque que si on considère deux matrices par rapport à des bases de sens opposées on en
déduit
( ) et
.
On en déduit que la matrice d’une rotation ne dépend que de l’orientation de la base.
DEFINITION 44 : ANGLE ORIENTE
( ) on lui associe un unique nombre réel [2
matrice
dans une b.o.n directe quelconque.
18
: l’angle orienté de
pour l’association d’une
CHAPITRE 3 :ESPACES EUCLIDIENS
PROPRIETE:
Soit
vecteurs unitaires. Il existe une unique rotation qui envoit u sur v.
PREUVE:
oit u’ unitaire (
Alors
On pose alors
) b.o.n.
(
) ( )
.
DEFINITION 44 : ANGLE ORIENTE
unitaire leur angle orienté (̂) est celui de la rotation qui envoit u sur v.
u,v vecteur quelconque (̂) ( ̂ )
‖ ‖ ‖ ‖
PROPRIETE:
Relation de chasles.
Soient
alors (̂)
(̂)
(̂)
THEOREME:
1. Toute rotation conserve les angles
2. Toute réflexion renverse les angles.
19