RACINES CARREES

RACINES CARREES
1
Session du brevet 1996
Afrique 96
√
√
On donne les nombres A = 2 5 + 3 et B = 2 5 − 3.
√
Calculer le carré A2 en donnant le résultat sous la forme a 5 + b, avec a et b entiers, puis calculer le produit A × B
en donnant le résultat sous la forme d’un nombre entier.
Besancon 96
√
√
1) Sachant que A = 2 5 + 4 et B = 2 5 − 4, calculer la valeur exacte de A + B et de A × B.
√
√
√
2) On donne C = 147 − 2 75 + 12.
√
Ecrire C sous la forme a b, où a est un entier relatif et où b est un entier naturel le plus petit possible.
Clermont 96
On donne x =
√
√
72 et y = 98.
√
1) Ecrire x et y sous la forme a b où a et b entiers, a étant le plus grand entier possible.
2) Ecrire sous la forme la plus simple possible x2 − y 2 et x + y.
Creteil 96
√
Calculer B et C, en donnant le résultat sous la forme m p, où m et p sont des nombres entiers, p étant le plus petit
possible :
√
√
√ √ √
C = 2 − 3 5 15 + 2 5
B = 7 15 × 2 35 × 3
Grenoble 96
√ 2
√
√
√
√
2 − 5 et B = 250 − 490 + 2 81.
√
1) Ecrire A et B sous la forme a + b c, a, b et c étant des entiers relatifs.
On donne A =
2) En déduire que A − B est un nombre entier relatif.
Lille 96
En indiquant le détail des calculs, écrire chacun des nombres C et D sous forme d’un entier ou d’une fraction la plus
simple possible.
√
√
√ 2
8
√
C=
2+ 8
D=
18
Orleans 96
√
√
√
1) On considère C = 2 5 + 125 − 6 45.
√
Ecrire C sous la forme a b, a et b étant deux nombres entiers, b étant le plus petit possible.
√
√
2 − 1 est un nombre entier.
2) A l’aide d’un calcul, montrer que le nombre D = 3 2 + 3
Rouen 96
√
√
√
√
√
On pose B = 25 − 75 + 5√ 27 − 36 × 3 + 2 9.
Ecrire B sous la forme a + b 3 avec a et b entiers.
D. Le FUR
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15 septembre 2003
RACINES CARREES
2
Session du brevet 1997
Amerique 97
√ √ 1) Calculer B = 4 − 2 3 4 + 2 3 .
√
2) Ecrire sous la forme a + b 3 où a et b sont des entiers les expressions
√ 2
C = 4−2 3
D=
√ 1 × 28 − 16 3
4
Caen 97
√
Ecrire sous la forme a b (a et b désignant des entiers) :
√
√
√
D = −4 18 + 128 − 3 32
Caen 97
√
Développer E = ( 3 − 5)2 .
Centres Etrangers 97
Calculer les nombres suivants (on demande des valeurs exactes les plus simples possibles et non des valeurs approchées) :
√
√
√
E = 16 + 9 − 25
√
√
√
√ 2
√
√
F = 4 2 × 900 (en fonction de 5) G =
(en fonction de 2)
6− 3
Creteil 97
√
Calculer D et E ; on donnera les résultats sous la forme m p, où m et p sont des nombres entiers.
√
√
D = 2 32 − 50
E=
√
√
15 × 10
Guadeloupe 97
√
Ecrire les nombres suivants sous la forme a b, a et b étant deux entiers avec b le plus petit possible.
√
√
√
√
√
C = 5 27 − 2 75 + 3 3
D = 2 75 × 6
Lille 97
√
Ecrire D sous la forme a b où a et b sont des entiers, avec b le plus petit possible.
√
√
√
D = 3 20 + 45 − 180
Limoges 97
Ecrire sous la forme avec et nombres entiers, le plus petit possible :
√
√
√
1) C = 5 3 − 2 48 + 2 27
√
2
2) D =
2 + 3 − 11.
D. Le FUR
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RACINES CARREES
3
Session du brevet 1998
Caen 1998
√
Ecrire les expressions D et E sous la forme a + b 3, où a et b sont des entiers :
√
√
√
√ √ √
D = 81 + 7 3 − 27
E = 3 5− 3 −
3+3
Centres étrangers 1 1998
On considère les nombres :
√
√
√
C = 2 27 − 2 3 + 12
Montrer, en détaillant le calcul, que
D=
√
√
√
75 + 48 − 7 3
C
est un nombre entier.
D
Creteil 98
√
√
On donne les deux nombres 2 75 et 27.
1) Calculer leur produit P (donner le résultat sous la forme d’un nombre entier).
√
2) Calculer leur somme S (donner le résultat sous la forme a 3, où a est un nombre entier).
Limoges 1998
On considère deux nombres C et D :
√
√
C = 3 12 + 27
√
2
D = 2 3−3
√
Ecrire C sous la forme a b, √
où a et b sont des entiers, b étant le plus petit possible.
Ecrire D sous la forme p + q 3, où p et q sont des entiers.
Nantes 1998
√
75 sous la forme a 3, où a désigne un nombre entier.
√
√
2
2) Calculer
3 − 1 . Mettre le résultat sous la forme x + y 3, où x et y désignent deux nombres entiers.
1) Ecrire
D. Le FUR
√
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RACINES CARREES
4
Session du brevet 1999
Asie 1999
On donne
C=
√
12
D=
√
27
E=
√
20
√
1) Exprimer C, D et E sous la forme a b, où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible.
2) Calculer C × D.
√
3) Calculer C + D et C × E, donner le résultat sous la forme a b, où a et b sont des nombres entiers, b étant le
plus petit possible.
Caen 1999
√
√
L’unité de
√longueur est le centimètre. On considère trois points A, M, B du plan, tels que AM = 4 45, M B = 2 20,
AB = 16 5.
1) Prouver que AM + M B = AB.
2) Que peut-on dire des points A, M, B ? Le justifier.
Clermont 1999
√
√
On donne A = 3 2 − 4 et B = 3 2 + 4.
Calculer les valeurs exactes de A + B, A − B, A2 et A × B.
Creteil 1999
On pose E =
relatifs).
√ √
√ √ √
√
√
5+ 3
5 − 3 − 8 5 5 − 1 . Ecrire E sous la forme a + b 5 (a et b sont des nombres entiers
Inde 1999
√
Ecrire les nombres C et D sous la forme a b la plus simple possible.
√
√
√
C = 7 3 − 3 48 + 5 12
D=
r
√
5
× 3
27
Limoges 1999
√
√
√
1) Ecrire sous la forme a b, b entier le plus petit possible, les nombres 18 et 12.
√ √ √
3− 2 .
2) Développer et simplifier 10 + 4 6
3) Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ?
√
√
√
√3 + √2 10 + 4 6
3− 2
2
Polynésie 1999
√
Ecrire D sous la forme a b, où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible.
√
√
D = 3 28 − 7
Rennes 1999
√
√
On donne les deux nombres p = 2 45 et q = 80
1)
√
a) Calculer p + q. On donnera le résultat sous la forme a b, où b est un entier le plus petit possible.
b) Calculer pq.
2) Le nombre p est-il solution de l’équation x2 − 2x − 180 = −12 ?
D. Le FUR
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15 septembre 2003
RACINES CARREES
Reunion 1999
√
Effectuer les calculs suivants (si le résultat n’est pas un nombre entier, on donnera le résultat sous la forme a b, où a
et b sont des entiers, b étant le plus petit possible)
D. Le FUR
A=
√
36 + 64
√ 2
B = 6 2 +3
D=
√
√
15 × 10
√
√
E = 2 27 − 12
5/ 11
C=
√
√
5+1
5−1
15 septembre 2003
RACINES CARREES
5
Session du brevet 2000
Caen 2000
Ecrire le nombre
√
√
√
√
180 + 3 80 − 2 125 sous la forme a b, avec a et b entiers.
Nantes 2000
On considère le nombre A suivant : A =
Démontrer que A = 0.
√
√
√
20 − 12 5 + 2 125.
Orléans-Tours 2000
√
√
√
On pose N = 20 − 45 − 7 5.
√
Ecrire le nombre N sous la forme p q, avec p entier relatif et q entier le plus petit possible.
Paris 2000
1) D =
K
√
√
√
3 − 1 et E = 3 + 1.
a) Développer
D2 et E 2 et donner les résultats sous la forme
√
a + b 3, où a et b sont des nombres entiers.
b) Démontrer que D × E est un nombre entier.
3−1
2) KLM est un triangle rectangle en L.
√
L
3+1
a) Calculer la valeur exacte de la longueur KM .
M
b) Calculer l’aire du triangle KLM .
Rennes 2000
√
1) Ecrire les nombres C et D ci-dessous sous la forme a 3, où a est un entier :
√
√
√
C = 3 27 − 108 ; D = 100 − 25.
√ 2
2) Développer et réduire : E = 3 − 5 .
Inde 2000
En indiquant les différentes étapes, calculer les nombres suivants et donner le résultat sous la forme d’un entier relatif
ou d’une fraction irréductible.
√
√
√
√
√
√
45
C = 2 3+1 2 3−1
A = 12 + 27 − 75
B= √
3 80
Centres étrangers groupe Iquatro 2000
√
√
On donne D = 3 28 − 2√ 700.
Ecrire D sous la forme a 7, où a est un entier relatif.
Europe de l’est 2000
√
Voici un rectangle fait à main levée dont on donne la longueur et
la largeur.
Dans cet exercice, on ne travaillera pas avec des valeurs approchées.
2 000
√
1 000
1) La longueur est-elle égale au double de la largeur ? Justifier.
√
√
√
2) Exprimer
2 000 sous la forme a 5, et 1 000 sous la forme
√
b 10 (où a et b sont des nombres entiers).
√
3) Exprimer l’aire du rectangle sous la forme c 2 (c étant un
entier).
4) Montrer √
que le périmètre
du rectangle peut s’écrire sous la
√
forme 20 5(2 + 2).
D. Le FUR
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RACINES CARREES
Grenoble septembre 1999
√ 2
√
√
Soit A =
10 − 2 + 2 20 − 5.
En développant A, montrer que A est un entier.
Groupement I septembre 1999
√
Ecrire les nombres C et D suivants sous la forme a b, a et b étant des nombres entiers et b étant aussi petit que
possible.
√
√
√
√
√
√
D = 15 × 2 3 × 2 27
C = 7 50 − 3 2 + 2 32
Paris septembre 1999
√
√
On donne A = 3 2 − 4 et B = 3 2 + 4.
Calculer les valeurs exactes de A + B, A − B, A2 et A × B.
D. Le FUR
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RACINES CARREES
6
Session du brevet 2001
Groupe est 2001
A
B
E
Sur la figure ci-contre (qui n’est pas en vraie grandeur),
ABCD est un carré dont le côté a pour mesure (en centimètres) x, ECF est un triangle rectangle en C, le point
E étant un point du segment [BC]. On donne F C = 4cm.
D
1)
C
F
a) Exprimer l’aire, notée A, du carré ABCD en fonction de x.
√
√
b) Calculer A pour x = 2 + 2. On donnera le résultat sous la forme a + b 2, où a et b sont des nombres
entiers.
2) On suppose que x est supérieur à 1.
a) Sachant que la longueur BE est égale à 0, 5cm, calculer, en fonction de x, l’aire, notée A′ , du triangle ECF.
b) On note S la somme, en fonction de x, des deux aires A et A′ . Vérifier que : S = x2 + 2x − 1.
√
√
3) Calculer S pour x = 2 + 2. On donnera le résultat sous la forme c + d 2, où c etd sont des nombres entiers.
Groupe nord 2001
C=
√
√
18 × 9
√
Ecrire C et D sous forme a 3, où a est un entier.
√
√
√
D = 5 12 + 6 3 − 300
Amérique du nord 2001
√
Calculer la valeur exacte de l’aire du carré ABCD et l’aire du rectangle AEF D ci-dessous sachant que : AB 13 − 1
et BE = 2.
A
B
E
D
C
F
Amérique du sud novembre 2000
√
√
1) Démontrer que : 588 = 14 3.
√
√
√
2) Soit C = 588 − 12 − 300.
√
Ecrire C sous la forme a 3 où a est un nombre entier.
Groupe est septembre 2000
√
45 sous la forme a b (a et b étant des entiers, b le plus petit possible).
√
√
√
2) En déduire une écriture plus simple du nombre B = 8 5 − 45 sous la forme c b (c étant un entier).
1) Ecrire
√
Groupe ouest septembre 2000
√
√
20
2
2
On pose D = 3 × 2 × 4 et E = −
.
2
√
Ecrire D et E sous la forme a b où a et b sont des nombres entiers et où b est le plus petit possible.
D. Le FUR
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RACINES CARREES
Antilles-Guyane septembre 2000
√
√
√
On donne : B = 3 5 − 45 + 80.
√
Simplifier l’écriture de B et donner le résultat sous la forme a b où a et b sont des entiers, b étant le plus petit possible.
Polynésie septembre 2000
√ √ 1) On donne l’expression : A = 5 − 2 5 + 2 .
Montrer, par le calcul, que A = 23.
√
√
2) On donne le produit suivant : B = 21 × 42.
√
Ecrire B sous la forme a 2, où a est un entier.
√
20
3) Ecrire sous la forme d’une fraction simplifiée : C = √ .
45
Vanuatu septembre 2000
√
√
√
√
Voici deux expressions : E = 2 3 + 2 et F = 2 3 − 2.
Calculer, sous forme la plus simple possible, les valeurs exactes de :
E + F ; E − F ; E2 − F 2 ; E × F .
D. Le FUR
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RACINES CARREES
7
Session du brevet 2002
Groupe ouest 2002
√
En indiquant les calculs intermédiaires, écrire A sous la forme d’un nombre entier et B sous la forme a 3 (avec a
entier).√
√
√
2 + 1 − 2 2;
A= 3 2−1
√
√
B = 5 27 + 75.
Afrique II 2002
√
1) Ecrire sous la forme a 7 avec a entier :
R=
√
√
√
63 + 3 28 − 700.
2) Montrer, par un calcul, que le nombre U est un entier :
√ √ U = 2− 3 × 2+ 3 .
3) Déterminer avec votre calculatrice des valeurs approchées (arrondies au millième) des nombres :
√
1
.
5 − 4 2 et √
5−2
D. Le FUR
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RACINES CARREES
8
Session du brevet 2003
Groupe ouest 2003
√
1) Ecrire sous la forme a 5 avec a entier :
√
√
A = 3 20 + 45
B=
√
√
180 − 3 5.
2) En utilisant les résultats de la question précédente, démontrer que A × B et
A
sont des nombres entiers.
B
Asie 2003
√
√
1) Soit A = 5 18 et B = 3 50.
√
Ecrire A et B sous la forme a b où a et b sont des entiers.
Que remarquez-vous ?
√
√
2) Soit C = 2 − 2 et D = 2 + 2.
a) Montrer que C × D est entier.
√
b) Calculer C 2 et écrire le résultat sous la forme a + b 2 avec a et b entiers.
Martinique septembre 2002
√
Ecrire sous la forme a b avec a et b entiers, b le plus petit possible :
√
√
√
C = 50 − 3 8 + 2 18.
Nouvelle-Calédonie décembre 2002
√
Ecrire sous la forme a b avec a et b entiers, b le plus petit possible :
√
√
√
2 28 + 5 63 − 3 112.
D. Le FUR
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15 septembre 2003