Mathématiques Spéciales Premier Devoir à la Maison Sujet d’Étude : Classification des R-algèbres intègres Première partie : Les quaternions Du 15/09/2014 au 29/09/2014 On pose Si K est un corps commutatif, on rappelle qu’une K-algèbre est un ensemble A muni d’une structure de K-espace vectoriel, et d’une structure d’anneau, telles que ∀λ ∈ K ∀a, b ∈ A 2. Montrer que H peut être muni d’une structure de R-algèbre. Calculer sa dimension et trouver une base (très simple) de la forme (1, I, J, K) telle qu’on ait la table de multiplication suivante : Si A est une K-algèbre, on dit qu’elle est intègre (resp. commutative) si, pour la structure d’anneau, A est intègre (resp. commutatif ). On dit qu’elle est de dimension finie si, pour la structure de K-espace vectoriel, elle est de dimension finie. Si P ∈ K[X], P définit canoniquement une fonction polynomiale sur A en posant : ∞ P k=0 · 1 I J K Pk a k Si a ∈ A, comme toutes les puissances de a commutent, il est évident que ∀P, Q ∈ K[X] (P + Q)(a) = P(a) + Q(a) ¸¯ ¾ −b ¯ ¯ a, b ∈ C a a b 1. Montrer que H est un corps, non commutatif. λ(ab) = (λa)b = a(λb) P(a) = ½· H est appelé l’ensemble des quaternions, étudié pour la première fois par Hamilton. Par exemple, K[X], K(X), Mn (K), sont des K-algèbres. ∀a ∈ A H= 1 1 I J K I I −1 −K J J J K −1 −I K K −J I −1 3. Résoudre l’équation « x 2 + 1 = 0 » dans H. Combien a-t-elle de solutions ? Est-ce étonnant, vu que cette équation est de degré 2 ? (PQ)(a) = P(a)Q(a) Il est également clair que l’application K −→ A λ 7−→ λ · 1A Deuxième partie : R-algèbres commutatives intègres Dans cette partie, A est une R-algèbre intègre commutative de dimension finie n > 2. est un morphisme d’anneaux injectif, ce qui permet d’identifier K à un sous-anneau de A : autrement dit, si λ ∈ K, alors λ · 1A sera noté λ. En particulier, 1A est simplement noté 1. 1. Soit x 0 ∈ A tel que x 0 ∉ R. Montrer que (1, x 0 ) est libre. En utilisant les questions préliminaires, montrer qu’il existe a, b ∈ R tels que x 02 = a + bx 0 et b 2 + 4a < 0. On pose B = Vect (1, x 0 ). Le but de ce problème est de classifier les R-algèbres intègres de dimension finie, et de prouver le théorème de classification de Frobenius : toute R-algèbre intègre de dimension finie non nulle est isomorphe à R, C, ou H (le corps des quaternions). 2. En déduire qu’il existe y 0 ∈ B tel que y 02 = −1. Prouver alors que l’application C −→ B z 7−→ Re z + (Im z) y 0 Questions préliminaires Soit A une K-algèbre intègre de dimension finie n ∈ N? . est un isomorphisme de R-algèbres. 1. Montrer que A est un corps. 3. On suppose que B ( A. Il existe donc z 0 ∈ A tel que z 0 ∉ B. Indication : Si x ∈ A n’est pas nul, considérer l’application y 7−→ x y définie sur A. (a) Prouver qu’il existe t 0 ∈ Vect (1, z 0 ) tel que t 02 = −1. 2. Soit a ∈ A. (b) Prouver que t 0 = y 0 ou t 0 = −y 0 et conclure. (a) Montrer que Ia = {P ∈ K[X] | P(a) = 0} est un idéal de K[X] et que Ia 6= {0}. Ceci prouve la première partie du théorème de Frobenius : A = B est donc isomorphe à C. Indication : Considérer la famille (a k )k∈N et utiliser la dimension. (b) On note alors P0 le générateur principal de Ia . Prouver que P0 est irréductible. 1 Mathématiques Spéciales Premier Devoir à la Maison Troisième partie : R-algèbres non commutatives intègres Dans cette partie, A est une R-algèbre intègre, non commutative, de dimension finie. 1. Soit x 0 ∈ A tel que x 0 ∉ R. En posant B = Vect (x 0k )k∈N , montrer que B est isomorphe à C. En particulier, il existe i ∈ A tel que i2 = −1 et on identifie Vect (1, i) avec C. Dans toute la suite, on notera A+ = {x ∈ A | x i = i x} A− = {x ∈ A | x i = −i x} 2. Montrer que l’application C × A −→ A (z, x) 7−→ zx permet de munir A d’une structure de C-espace vectoriel. 3. Montrer que A+ et A− sont des C-sous-espaces de A, supplémentaires. 4. Montrer que A+ est une C-algèbre de dimension finie qui contient C. 5. En déduire que A+ = C. Indication : Si a ∈ A+ , montrer que VectC (a k )k∈N est une C-algèbre commutative de dimension finie. Utiliser les questions préliminaires. 6. Montrer que et ∀(x, y) ∈ A− × A+ x y ∈ A− ∀(x, y) ∈ A− × A− x y ∈ A+ 7. Montrer que A− 6= {0}. On prend u ∈ A− tel que u 6= 0. (a) Montrer que l’application δ : A −→ A est C-linéaire, bijective, et δ(A± ) ⊂ A∓ . x 7−→ xu (b) Prouver que dimC A− = 1. (c) Prouver que u 2 ∈ R? −. (d) En déduire qu’il existe j ∈ A− tel que j2 = −1. (e) On pose k = i j. Donner la table de multiplication de (1, i, j, k). 8. Montrer que A = VectR (1, i, j, k) et trouver un isomorphisme de R-algèbres entre H et A. 2