Chapitre I Théorie de la ruine

Chapitre I
Théorie de la ruine
Olivier Wintenberger
ISUP 2, Université Paris VI
(slides Olivier Lopez)
Année universitaire 2013-2014
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
1
Risque collectif
2
Modélisation des coûts de sinistres
3
Probabilité de ruine
4
Calculs de probabilités de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Outline
1
Risque collectif
Définitions et hypothèses simplificatrices
Modélisation du nombre de sinistres
2
Modélisation des coûts de sinistres
3
Probabilité de ruine
4
Calculs de probabilités de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Définitions et hypothèses simplificatrices
Risque collectif pour l’assureur
On note Xi le i−ème sinistre pour l’assureur
Entre une date 0 et une date t, il y a N(t) sinistres.
Coût global pour l’assureur
On s’intéresse à S(t) = X1 + ... + XN(t) .
Dans le cas t = 1, on notera S(1) = S et N(t) = N.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Définitions et hypothèses simplificatrices
Risque collectif pour l’assureur
On note Xi le i−ème sinistre pour l’assureur
Entre une date 0 et une date t, il y a N(t) sinistres.
Coût global pour l’assureur
On s’intéresse à S(t) = X1 + ... + XN(t) .
Dans le cas t = 1, on notera S(1) = S et N(t) = N.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Définitions et hypothèses simplificatrices
Hypothèses simplificatrices
Dans un modèle simple (considéré dans ce chapitre), on
suppose les Xi i.i.d.
On suppose que le processus (N(t))t∈R+ est indépendant
des Xi .
Question : calculer E[S(t)] en fonction de E[X1 ] et E[N(t)].
Que pensez-vous de ces hypothèses ?
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Définitions et hypothèses simplificatrices
Hypothèses simplificatrices
Dans un modèle simple (considéré dans ce chapitre), on
suppose les Xi i.i.d.
On suppose que le processus (N(t))t∈R+ est indépendant
des Xi .
Question : calculer E[S(t)] en fonction de E[X1 ] et E[N(t)].
Que pensez-vous de ces hypothèses ?
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Définitions et hypothèses simplificatrices
Hypothèses simplificatrices
Dans un modèle simple (considéré dans ce chapitre), on
suppose les Xi i.i.d.
On suppose que le processus (N(t))t∈R+ est indépendant
des Xi .
Question : calculer E[S(t)] en fonction de E[X1 ] et E[N(t)].
Que pensez-vous de ces hypothèses ?
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Modèle 1 : Processus de Poisson
Rappel : processus de Poisson
On appelle processus de Poisson homogène d’intensité λ
(espace de temps R+ ), un processus N satisfaisant les
propriétés suivantes :
N est un processus à accroissements indépendants
N(t + h) − N(t) ∼ P(λh) pour tout t.
N est un processus à valeurs entières.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Modèle 1 : Processus de Poisson
Rappel : processus de Poisson
On appelle processus de Poisson homogène d’intensité λ
(espace de temps R+ ), un processus N satisfaisant les
propriétés suivantes :
N est un processus à accroissements indépendants
N(t + h) − N(t) ∼ P(λh) pour tout t.
N est un processus à valeurs entières.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Modèle 1 (suite) : Processus de Poisson composé
Processus de Poisson composé
Si N(·) est un processus de Poisson, le processus S(·) est un
processus de Poisson composé d’intensité λ, et de loi de saut
PX , où PX désigne la loi des Xi .
Remarque : par définition, le processus de Poisson
composé nécessite que les Xi soient i.i.d.
La définition du processus de Poisson s’étend à des
intensités non homogènes (non abordées dans ce cours).
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Modèle 1 (suite) : Processus de Poisson composé
Processus de Poisson composé
Si N(·) est un processus de Poisson, le processus S(·) est un
processus de Poisson composé d’intensité λ, et de loi de saut
PX , où PX désigne la loi des Xi .
Remarque : par définition, le processus de Poisson
composé nécessite que les Xi soient i.i.d.
La définition du processus de Poisson s’étend à des
intensités non homogènes (non abordées dans ce cours).
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Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Modèle 1 (suite) : Processus de Poisson composé
Processus de Poisson composé
Si N(·) est un processus de Poisson, le processus S(·) est un
processus de Poisson composé d’intensité λ, et de loi de saut
PX , où PX désigne la loi des Xi .
Remarque : par définition, le processus de Poisson
composé nécessite que les Xi soient i.i.d.
La définition du processus de Poisson s’étend à des
intensités non homogènes (non abordées dans ce cours).
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Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Inconvénients du processus de Poisson
Homogénéité (l’hypothèse peut être relâchée).
Modèle très paramétrique (rend l’adéquation parfois
difficile).
La variance de la loi de Poisson est égale à son espérance.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Modèle 2 : loi binomiale négative
Loi binomiale négative
N à valeurs dans N suit une loi binomiale négative de
paramètres r et p si
P(N = k ) =
Γ(k + r ) r
p (1 − p)k .
Γ(r )k !
Exercice : on considère le couple de variables aléatoires
(N, λ) où N|λ = l ∼ P(l) et λ ∼ Γ(r , s). Alors N suit une loi
binomiale négative.
En déduire l’espérance et la variance de la loi binomiale
négative en fonction de r et p.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Modèle 2 : loi binomiale négative
Loi binomiale négative
N à valeurs dans N suit une loi binomiale négative de
paramètres r et p si
P(N = k ) =
Γ(k + r ) r
p (1 − p)k .
Γ(r )k !
Exercice : on considère le couple de variables aléatoires
(N, λ) où N|λ = l ∼ P(l) et λ ∼ Γ(r , s). Alors N suit une loi
binomiale négative.
En déduire l’espérance et la variance de la loi binomiale
négative en fonction de r et p.
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Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Modèle 2 : loi binomiale négative
Loi binomiale négative
N à valeurs dans N suit une loi binomiale négative de
paramètres r et p si
P(N = k ) =
Γ(k + r ) r
p (1 − p)k .
Γ(r )k !
Exercice : on considère le couple de variables aléatoires
(N, λ) où N|λ = l ∼ P(l) et λ ∼ Γ(r , s). Alors N suit une loi
binomiale négative.
En déduire l’espérance et la variance de la loi binomiale
négative en fonction de r et p.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Loi de S
Exercice : calcul de la fonction caractéristique de S en
fonction de λ et de F dans le cas d’un processus de
Poisson composé.
Idem pour N suivant une loi binomiale négative.
Conclusion ?
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Loi de S
Exercice : calcul de la fonction caractéristique de S en
fonction de λ et de F dans le cas d’un processus de
Poisson composé.
Idem pour N suivant une loi binomiale négative.
Conclusion ?
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Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Loi de S
Exercice : calcul de la fonction caractéristique de S en
fonction de λ et de F dans le cas d’un processus de
Poisson composé.
Idem pour N suivant une loi binomiale négative.
Conclusion ?
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Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Un exemple
Periode
1
2
3
4
Nombre de sinistres :
5
6
7
8
9
10
Nombre
4
8
6
3
2
9
13
10
7
10
Ajuster une loi de Poisson puis une loi binomiale négative.
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Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Propriétés du processus de Poisson
Processus de renouvellement
Le processus de Poisson est un processus de renouvellement :
il existe des temps inter-arrivées Yi iid tels que
N(t) = sup{n ≥ 1; Y1 + · · · Yn ≤ t},
t ≥ 0.
Exercice : Montrer que Y1 suit une loi exponentielle E(λ).
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modélisation du nombre de sinistres
Théorie élémentaire du renouvellement
Théorème de renouvellement
On suppose que les temps inter-arrivées Yi iid vérifient
E[Y1 ] = λ−1 alors
E[N(t)]
lim
= λ.
t→∞
t
preuve On montre d’abord que N(t)/t → λ. On note Tn les
instants d’arrivée alors Tn /n → λ−1 p.s. On en déduit que
TN(t) /N(t) → λ−1 .
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Outline
1
Risque collectif
2
Modélisation des coûts de sinistres
Loi Gamma
Mélange exponentiel
Loi de Pareto
Approximation normale
Cas discret
3
Probabilité de ruine
4
Calculs de probabilités de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Loi Gamma
Loi Gamma
La loi Γ(n, θ) a deux paramètres.
C’est une loi à valeurs positives.
Bien adaptée quand la fréquence de dommages "très
élevés" est faible (exemple type : assurance dommage sur
un véhicule, ne portant que sur la voiture elle-même, et pas
sur les dommages subis par le conducteur ou par un tiers).
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Mélange exponentiel
Mélange exponentiel
Définition du mélange de 2 exponentielles
Soit Y et Z deux variables exponentielles indépendantes de
paramètres λ et µ avec λ 6= µ. Soit δ ∼ B(p), indépendante de
Y et Z . La loi de X = δY + (1 − δ)Z est appelée mélange de
deux exponentielles (paramètres λ, µ et p).
Généralisation à 3, 4 exponentielles...
Plus on augmente le nombre d’exponentielles, plus on
augmente la flexibilité du modèle.
Il existe des techniques dites non supervisées de choix du
nombre d’exponentielles dans le mélange.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Mélange exponentiel
Mélange exponentiel
Définition du mélange de 2 exponentielles
Soit Y et Z deux variables exponentielles indépendantes de
paramètres λ et µ avec λ 6= µ. Soit δ ∼ B(p), indépendante de
Y et Z . La loi de X = δY + (1 − δ)Z est appelée mélange de
deux exponentielles (paramètres λ, µ et p).
Généralisation à 3, 4 exponentielles...
Plus on augmente le nombre d’exponentielles, plus on
augmente la flexibilité du modèle.
Il existe des techniques dites non supervisées de choix du
nombre d’exponentielles dans le mélange.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Mélange exponentiel
Mélange exponentiel
Définition du mélange de 2 exponentielles
Soit Y et Z deux variables exponentielles indépendantes de
paramètres λ et µ avec λ 6= µ. Soit δ ∼ B(p), indépendante de
Y et Z . La loi de X = δY + (1 − δ)Z est appelée mélange de
deux exponentielles (paramètres λ, µ et p).
Généralisation à 3, 4 exponentielles...
Plus on augmente le nombre d’exponentielles, plus on
augmente la flexibilité du modèle.
Il existe des techniques dites non supervisées de choix du
nombre d’exponentielles dans le mélange.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Mélange exponentiel
Mélange exponentiel
Définition du mélange de 2 exponentielles
Soit Y et Z deux variables exponentielles indépendantes de
paramètres λ et µ avec λ 6= µ. Soit δ ∼ B(p), indépendante de
Y et Z . La loi de X = δY + (1 − δ)Z est appelée mélange de
deux exponentielles (paramètres λ, µ et p).
Généralisation à 3, 4 exponentielles...
Plus on augmente le nombre d’exponentielles, plus on
augmente la flexibilité du modèle.
Il existe des techniques dites non supervisées de choix du
nombre d’exponentielles dans le mélange.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Loi de Pareto
Loi de Pareto
Définition de la loi de Pareto
On appelle loi de Pareto de paramètres (α, λ) la loi de la
variable X de fonction de survie
α
λ
,
P(X > x) =
x
pour x ≥ λ, et P(X > x) = 1 sinon.
Lien avec la loi exponentielle.
Prise en compte de "queues de distributions lourdes".
Exercice : on suppose que la loi des coûts de sinistre est
une Pareto de paramètre (α, 1). L’assureur change le coût
de sa franchise (il ne paie que les sinistres supérieurs à m
euros). Quelle est la loi du coût de sinistre ainsi franchisé ?
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Loi de Pareto
Loi de Pareto
Définition de la loi de Pareto
On appelle loi de Pareto de paramètres (α, λ) la loi de la
variable X de fonction de survie
α
λ
,
P(X > x) =
x
pour x ≥ λ, et P(X > x) = 1 sinon.
Lien avec la loi exponentielle.
Prise en compte de "queues de distributions lourdes".
Exercice : on suppose que la loi des coûts de sinistre est
une Pareto de paramètre (α, 1). L’assureur change le coût
de sa franchise (il ne paie que les sinistres supérieurs à m
euros). Quelle est la loi du coût de sinistre ainsi franchisé ?
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Loi de Pareto
Loi de Pareto
Définition de la loi de Pareto
On appelle loi de Pareto de paramètres (α, λ) la loi de la
variable X de fonction de survie
α
λ
,
P(X > x) =
x
pour x ≥ λ, et P(X > x) = 1 sinon.
Lien avec la loi exponentielle.
Prise en compte de "queues de distributions lourdes".
Exercice : on suppose que la loi des coûts de sinistre est
une Pareto de paramètre (α, 1). L’assureur change le coût
de sa franchise (il ne paie que les sinistres supérieurs à m
euros). Quelle est la loi du coût de sinistre ainsi franchisé ?
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Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Loi de Pareto
Loi de Pareto
Définition de la loi de Pareto
On appelle loi de Pareto de paramètres (α, λ) la loi de la
variable X de fonction de survie
α
λ
,
P(X > x) =
x
pour x ≥ λ, et P(X > x) = 1 sinon.
Lien avec la loi exponentielle.
Prise en compte de "queues de distributions lourdes".
Exercice : on suppose que la loi des coûts de sinistre est
une Pareto de paramètre (α, 1). L’assureur change le coût
de sa franchise (il ne paie que les sinistres supérieurs à m
euros). Quelle est la loi du coût de sinistre ainsi franchisé ?
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Approximation normale
Approximation normale de la loi de S
Théorème
Soit µ(t) = E[S(t)] et σ 2 (t) = Var (S(t)). Alors
S(t) − µ(t)
P
< x →t→∞ Φ(x),
σ(t)
où Φ désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée
réduite.
Question : Calculer σ 2 (t). Quelle hypothèse doit on faire
sur N(t)?
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Approximation normale
Approximation normale de la loi de S
Théorème
Soit µ(t) = E[S(t)] et σ 2 (t) = Var (S(t)). Alors
S(t) − µ(t)
P
< x →t→∞ Φ(x),
σ(t)
où Φ désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée
réduite.
Question : Calculer σ 2 (t). Quelle hypothèse doit on faire
sur N(t)?
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cas discret
Cas discret : calcul récursif de Panjer
On suppose que X1 est une variable positive de loi
discrète, et on note p(x) = P(X = x).
But : fournir une méthode de calcul récursive de
f (x) = P(S = x).
Théorème de Panjer
Soit qn = P(N = n). On suppose qu’il existe deux réels a et b
tels que, pour n ≥ 1, qn = a + bn qn−1 . Alors
f (0) = P(N = 0)1p(0)=0 + E(p(0)N )1p(0)>0 ,
x X
1
bh
f (x) =
a+
p(h)f (x − h).
1 − ap(0)
x
h=1
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cas discret
Cas discret : calcul récursif de Panjer
On suppose que X1 est une variable positive de loi
discrète, et on note p(x) = P(X = x).
But : fournir une méthode de calcul récursive de
f (x) = P(S = x).
Théorème de Panjer
Soit qn = P(N = n). On suppose qu’il existe deux réels a et b
tels que, pour n ≥ 1, qn = a + bn qn−1 . Alors
f (0) = P(N = 0)1p(0)=0 + E(p(0)N )1p(0)>0 ,
x X
1
bh
f (x) =
a+
p(h)f (x − h).
1 − ap(0)
x
h=1
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cas discret
Distributions de N satisfaisant les hypothèses de
Panjer
La loi de Poisson : a = 0, et b = λ.
Loi binomiale (k , p) : p = a/(a − 1), et k = −(b + a)/a.
Loi binomiale négative (r , p) : p = 1 − a et r = 1 + b/a.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cas discret
Distributions de N satisfaisant les hypothèses de
Panjer
La loi de Poisson : a = 0, et b = λ.
Loi binomiale (k , p) : p = a/(a − 1), et k = −(b + a)/a.
Loi binomiale négative (r , p) : p = 1 − a et r = 1 + b/a.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cas discret
Distributions de N satisfaisant les hypothèses de
Panjer
La loi de Poisson : a = 0, et b = λ.
Loi binomiale (k , p) : p = a/(a − 1), et k = −(b + a)/a.
Loi binomiale négative (r , p) : p = 1 − a et r = 1 + b/a.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Outline
1
Risque collectif
2
Modélisation des coûts de sinistres
3
Probabilité de ruine
Modèle de Cramer-Lundberg
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Réassurance et probabilité de ruine
4
Calculs de probabilités de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modèle de Cramer-Lundberg
Définition
Modèle de Cramer-Lundberg
On considère le processus
U(t) = u + ct − S(t).
U(t) = capital de l’assureur à la date t,
u = capital initial,
c = primes reçues par unité de temps,
S(t) = somme déboursée pour les sinistres, modélisé par
un processus de Poisson composé. Les Xi sont supposés
positifs.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modèle de Cramer-Lundberg
Définition
Modèle de Cramer-Lundberg
On considère le processus
U(t) = u + ct − S(t).
U(t) = capital de l’assureur à la date t,
u = capital initial,
c = primes reçues par unité de temps,
S(t) = somme déboursée pour les sinistres, modélisé par
un processus de Poisson composé. Les Xi sont supposés
positifs.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modèle de Cramer-Lundberg
La ruine
On définit T = inf(t|t ≥ 0, U(t) < 0), avec la convention
inf{∅} = ∞.
Remarque : T est un temps d’arrêt par rapport à la
filtration naturelle du processus U.
Probabilité de ruine
On définit la probabilité de ruine comme
ψ(u) = P(T < ∞|U(0) = u).
Terminologie : si µ1 = E[X1 ], on appelle coefficient de
chargement (safety loading) la constante
c
− 1.
θ=
λµ1
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modèle de Cramer-Lundberg
La ruine
On définit T = inf(t|t ≥ 0, U(t) < 0), avec la convention
inf{∅} = ∞.
Remarque : T est un temps d’arrêt par rapport à la
filtration naturelle du processus U.
Probabilité de ruine
On définit la probabilité de ruine comme
ψ(u) = P(T < ∞|U(0) = u).
Terminologie : si µ1 = E[X1 ], on appelle coefficient de
chargement (safety loading) la constante
c
− 1.
θ=
λµ1
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modèle de Cramer-Lundberg
La ruine
On définit T = inf(t|t ≥ 0, U(t) < 0), avec la convention
inf{∅} = ∞.
Remarque : T est un temps d’arrêt par rapport à la
filtration naturelle du processus U.
Probabilité de ruine
On définit la probabilité de ruine comme
ψ(u) = P(T < ∞|U(0) = u).
Terminologie : si µ1 = E[X1 ], on appelle coefficient de
chargement (safety loading) la constante
c
− 1.
θ=
λµ1
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modèle de Cramer-Lundberg
La ruine
On définit T = inf(t|t ≥ 0, U(t) < 0), avec la convention
inf{∅} = ∞.
Remarque : T est un temps d’arrêt par rapport à la
filtration naturelle du processus U.
Probabilité de ruine
On définit la probabilité de ruine comme
ψ(u) = P(T < ∞|U(0) = u).
Terminologie : si µ1 = E[X1 ], on appelle coefficient de
chargement (safety loading) la constante
c
− 1.
θ=
λµ1
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modèle de Cramer-Lundberg
La ruine
Proposition
Si le coefficient de chargement θ ≤ 0 alors ψ(u) = 1 pour tout
u ≥ 0.
Remarque : On est certain de tomber en ruine quelque
soit le capital initial.
On appelle condition de profit net l’hypothèse θ > 0.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modèle de Cramer-Lundberg
La ruine
Proposition
Si le coefficient de chargement θ ≤ 0 alors ψ(u) = 1 pour tout
u ≥ 0.
Remarque : On est certain de tomber en ruine quelque
soit le capital initial.
On appelle condition de profit net l’hypothèse θ > 0.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Modèle de Cramer-Lundberg
La ruine
Proposition
Si le coefficient de chargement θ ≤ 0 alors ψ(u) = 1 pour tout
u ≥ 0.
Remarque : On est certain de tomber en ruine quelque
soit le capital initial.
On appelle condition de profit net l’hypothèse θ > 0.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Coefficient d’ajustement, borne de Lundberg
On suppose que les sinistres sont petits, X est à queue
légère et il existe r > 0 tel que E[exp(rX )] < ∞.
On cherche une borne du type ψ(u) ≤ exp(−Ru).
Borne de Lundberg
Soit R la solution positive de l’équation 1 + (1 + θ)µ1 r = mX (r ),
où mX (r ) = E[exp(rX )], alors
ψ(u) ≤ exp(−Ru).
Définition
Le R du théorème précédent est appelé coefficient
d’ajustement.
Risque collectif
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Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Coefficient d’ajustement, borne de Lundberg
On suppose que les sinistres sont petits, X est à queue
légère et il existe r > 0 tel que E[exp(rX )] < ∞.
On cherche une borne du type ψ(u) ≤ exp(−Ru).
Borne de Lundberg
Soit R la solution positive de l’équation 1 + (1 + θ)µ1 r = mX (r ),
où mX (r ) = E[exp(rX )], alors
ψ(u) ≤ exp(−Ru).
Définition
Le R du théorème précédent est appelé coefficient
d’ajustement.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Coefficient d’ajustement, borne de Lundberg
On suppose que les sinistres sont petits, X est à queue
légère et il existe r > 0 tel que E[exp(rX )] < ∞.
On cherche une borne du type ψ(u) ≤ exp(−Ru).
Borne de Lundberg
Soit R la solution positive de l’équation 1 + (1 + θ)µ1 r = mX (r ),
où mX (r ) = E[exp(rX )], alors
ψ(u) ≤ exp(−Ru).
Définition
Le R du théorème précédent est appelé coefficient
d’ajustement.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Coefficient d’ajustement, borne de Lundberg
On suppose que les sinistres sont petits, X est à queue
légère et il existe r > 0 tel que E[exp(rX )] < ∞.
On cherche une borne du type ψ(u) ≤ exp(−Ru).
Borne de Lundberg
Soit R la solution positive de l’équation 1 + (1 + θ)µ1 r = mX (r ),
où mX (r ) = E[exp(rX )], alors
ψ(u) ≤ exp(−Ru).
Définition
Le R du théorème précédent est appelé coefficient
d’ajustement.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Quelques propriétés du coefficient d’ajustement
On a les relations suivantes :
exp(Rc) = E [exp(RS)] ,
mc−S (−R) = 1,
1
log mS (R).
c =
R
Exercice : que vaut R dans le cas où X ∼ E(β) ?
Réponse :
R=
θβ
.
1+θ
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Quelques propriétés du coefficient d’ajustement
On a les relations suivantes :
exp(Rc) = E [exp(RS)] ,
mc−S (−R) = 1,
1
log mS (R).
c =
R
Exercice : que vaut R dans le cas où X ∼ E(β) ?
Réponse :
R=
θβ
.
1+θ
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Quelques propriétés du coefficient d’ajustement
On a les relations suivantes :
exp(Rc) = E [exp(RS)] ,
mc−S (−R) = 1,
1
log mS (R).
c =
R
Exercice : que vaut R dans le cas où X ∼ E(β) ?
Réponse :
R=
θβ
.
1+θ
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Lien avec le concept d’utilité
Soit Z un risque (i.e. une variable aléatoire). Combien
l’assuré est-il prêt à payer pour s’assurer contre ce risque ?
Le comportement de l’assuré face au risque est modélisé
par une fonction u, appelée utilité.
Signification : si l’assuré dispose d’une fortune w,
l’importance réelle accordée à cette fortune est u(w).
Utilité
L’assuré, au maximum est prêt à payer une somme P telle que
E [u(w − Z )] = u(w − P).
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Lien avec le concept d’utilité
Soit Z un risque (i.e. une variable aléatoire). Combien
l’assuré est-il prêt à payer pour s’assurer contre ce risque ?
Le comportement de l’assuré face au risque est modélisé
par une fonction u, appelée utilité.
Signification : si l’assuré dispose d’une fortune w,
l’importance réelle accordée à cette fortune est u(w).
Utilité
L’assuré, au maximum est prêt à payer une somme P telle que
E [u(w − Z )] = u(w − P).
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Lien avec le concept d’utilité
Soit Z un risque (i.e. une variable aléatoire). Combien
l’assuré est-il prêt à payer pour s’assurer contre ce risque ?
Le comportement de l’assuré face au risque est modélisé
par une fonction u, appelée utilité.
Signification : si l’assuré dispose d’une fortune w,
l’importance réelle accordée à cette fortune est u(w).
Utilité
L’assuré, au maximum est prêt à payer une somme P telle que
E [u(w − Z )] = u(w − P).
Risque collectif
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Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Lien avec le concept d’utilité
Soit Z un risque (i.e. une variable aléatoire). Combien
l’assuré est-il prêt à payer pour s’assurer contre ce risque ?
Le comportement de l’assuré face au risque est modélisé
par une fonction u, appelée utilité.
Signification : si l’assuré dispose d’une fortune w,
l’importance réelle accordée à cette fortune est u(w).
Utilité
L’assuré, au maximum est prêt à payer une somme P telle que
E [u(w − Z )] = u(w − P).
Risque collectif
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Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Utilité exponentielle
L’utilité exponentielle correspond à u(x) = −α exp(−αx).
Dans ce cas particulier, on appelle α = −u 00 (x)/u 0 (x)
l’aversion au risque.
On a alors
P=
1
log(mX (α)).
α
Conclusion
Le coefficient d’ajustement correspond à l’aversion au risque
qui entraîne P = c dans le cas d’une utilité exponentielle.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Utilité exponentielle
L’utilité exponentielle correspond à u(x) = −α exp(−αx).
Dans ce cas particulier, on appelle α = −u 00 (x)/u 0 (x)
l’aversion au risque.
On a alors
P=
1
log(mX (α)).
α
Conclusion
Le coefficient d’ajustement correspond à l’aversion au risque
qui entraîne P = c dans le cas d’une utilité exponentielle.
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Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Utilité exponentielle
L’utilité exponentielle correspond à u(x) = −α exp(−αx).
Dans ce cas particulier, on appelle α = −u 00 (x)/u 0 (x)
l’aversion au risque.
On a alors
P=
1
log(mX (α)).
α
Conclusion
Le coefficient d’ajustement correspond à l’aversion au risque
qui entraîne P = c dans le cas d’une utilité exponentielle.
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Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Petits sinistres et coefficient d’ajustement
Utilité exponentielle
L’utilité exponentielle correspond à u(x) = −α exp(−αx).
Dans ce cas particulier, on appelle α = −u 00 (x)/u 0 (x)
l’aversion au risque.
On a alors
P=
1
log(mX (α)).
α
Conclusion
Le coefficient d’ajustement correspond à l’aversion au risque
qui entraîne P = c dans le cas d’une utilité exponentielle.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Réassurance et probabilité de ruine
Réassurance et probabilité de ruine
Idée : Une politique de réassurance change le coefficient
d’ajustement. On cherche le contrat le plus avantageux
permettant d’assurer un R ≥ R0 .
Deux contrats de réassurance classiques
Réassurance proportionnelle : pour la perte Xi , le
réassureur paie h1 (Xi ) = αXi , avec 0 ≤ α ≤ 1.
Réassurance excess of loss : pour la perte Xi , le
réassureur paie h2 (Xi ) = (Xi − β)+ .
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Réassurance et probabilité de ruine
Comparaison de deux traités de réassurance
On suppose que X ne prend que les valeurs 1 et 2 avec
probabilité 1/2 pour chacune des valeurs.
L’assureur prend une commission de réassurance par
unité de temps,
ch = (1 + ξ)λE[h(X )].
On considère deux valeurs de ξ : ξ = 1/3 et ξ = 2/5.
Expliciter l’équation que doit satisfaire R dans le cas des
deux traités. (se résout avec le solveur)
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Réassurance et probabilité de ruine
Comparaison de deux traités de réassurance
On suppose que X ne prend que les valeurs 1 et 2 avec
probabilité 1/2 pour chacune des valeurs.
L’assureur prend une commission de réassurance par
unité de temps,
ch = (1 + ξ)λE[h(X )].
On considère deux valeurs de ξ : ξ = 1/3 et ξ = 2/5.
Expliciter l’équation que doit satisfaire R dans le cas des
deux traités. (se résout avec le solveur)
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Réassurance et probabilité de ruine
Quelques résultats numériques
β
α
ξ = 1/3 XL
Prop
ξ = 1/5 XL
Prop
2
0
.325
.325
.325
.325
1.4
0.2
.444
.407
.425
.390
0.9
0.4
.611
.542
.542
.482
0.6
0.6
.917
.813
.676
.602
0.3 0.15 0
0.8 0.9 1
1.83 3.67 ∞
1.63 3.25 ∞
.426
∗
∗
.382
∗
∗
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Réassurance et probabilité de ruine
Extension au cadre du renouvellement
Cadre d’étude
il existe des temps inter-arrivées Yi iid tels que
N(t) = sup{n ≥ 1; Y1 + · · · Yn ≤ t},
On considère U(t) = u + ct − S(t) avec S(t) =
t ≥ 0.
PN(t)
i=1
Xi .
On étend la terminologie précédente :
E[Y1 ]
Coefficient de chargement : θ = c E[X
1] − 1,
Coefficient d’ajustement : la solution R de l’équation
E[exp(r (X1 − cY1 ))] = 1, r > 0.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Réassurance et probabilité de ruine
Borne de Lundberg, cadre du renouvellement
Exercice : retrouver la définition du coefficient d’ajustement
dans le cadre Poissonnien.
Borne de Lundberg
Si le coefficient d’ajustement R existe alors
ψ(u) ≤ exp(−Ru),
u > 0.
Preuve : par récurrence en utilisant le processus squelette
Sk = U(Tk ) = U(Y1 + · · · + Yk ).
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Outline
1
Risque collectif
2
Modélisation des coûts de sinistres
3
Probabilité de ruine
4
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Approximation de probabilités de ruine
Cas de grands sinistres
Calculs de probabilités de ruine
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Formule explicite pour la probabilité de ruine (X
exponentiel)
X ∼ E(1/µ), N processus de Poisson homogène
d’intensité λ.
Théorème
Dans le cadre ci-dessus,
ψ(u) = ψ(0) exp(−Ru),
où l’on rappelle que
R=
et ψ(0) =
1
1+θ .
θ
,
(1 + θ)µ
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Une première expression de la probabilité de ruine
Théorème
La probabilité de ruine satisfait
ψ(u) =
exp(−Ru)
.
E [exp(−RU(T ))|T < ∞]
On en déduit que ψ(u) →θ→0 1, et que ψ(u) = 1 si θ ≤ 0.
On peut en déduire une autre preuve de la formule de
Lundberg.
Si X1 ≤ b p.s., alors ψ(u) > exp(−R(u + b)).
Si ψ(u0 ) = 1, alors pour tout u ≥ 0, ψ(u) = 1.
Exercice : Montrer que dans le cas X ∼ E(β) alors
E [exp(−RU(T ))|T < ∞] ne dépend pas de u.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Une première expression de la probabilité de ruine
Théorème
La probabilité de ruine satisfait
ψ(u) =
exp(−Ru)
.
E [exp(−RU(T ))|T < ∞]
On en déduit que ψ(u) →θ→0 1, et que ψ(u) = 1 si θ ≤ 0.
On peut en déduire une autre preuve de la formule de
Lundberg.
Si X1 ≤ b p.s., alors ψ(u) > exp(−R(u + b)).
Si ψ(u0 ) = 1, alors pour tout u ≥ 0, ψ(u) = 1.
Exercice : Montrer que dans le cas X ∼ E(β) alors
E [exp(−RU(T ))|T < ∞] ne dépend pas de u.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Une première expression de la probabilité de ruine
Théorème
La probabilité de ruine satisfait
ψ(u) =
exp(−Ru)
.
E [exp(−RU(T ))|T < ∞]
On en déduit que ψ(u) →θ→0 1, et que ψ(u) = 1 si θ ≤ 0.
On peut en déduire une autre preuve de la formule de
Lundberg.
Si X1 ≤ b p.s., alors ψ(u) > exp(−R(u + b)).
Si ψ(u0 ) = 1, alors pour tout u ≥ 0, ψ(u) = 1.
Exercice : Montrer que dans le cas X ∼ E(β) alors
E [exp(−RU(T ))|T < ∞] ne dépend pas de u.
Risque collectif
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Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Une première expression de la probabilité de ruine
Théorème
La probabilité de ruine satisfait
ψ(u) =
exp(−Ru)
.
E [exp(−RU(T ))|T < ∞]
On en déduit que ψ(u) →θ→0 1, et que ψ(u) = 1 si θ ≤ 0.
On peut en déduire une autre preuve de la formule de
Lundberg.
Si X1 ≤ b p.s., alors ψ(u) > exp(−R(u + b)).
Si ψ(u0 ) = 1, alors pour tout u ≥ 0, ψ(u) = 1.
Exercice : Montrer que dans le cas X ∼ E(β) alors
E [exp(−RU(T ))|T < ∞] ne dépend pas de u.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Une première expression de la probabilité de ruine
Théorème
La probabilité de ruine satisfait
ψ(u) =
exp(−Ru)
.
E [exp(−RU(T ))|T < ∞]
On en déduit que ψ(u) →θ→0 1, et que ψ(u) = 1 si θ ≤ 0.
On peut en déduire une autre preuve de la formule de
Lundberg.
Si X1 ≤ b p.s., alors ψ(u) > exp(−R(u + b)).
Si ψ(u0 ) = 1, alors pour tout u ≥ 0, ψ(u) = 1.
Exercice : Montrer que dans le cas X ∼ E(β) alors
E [exp(−RU(T ))|T < ∞] ne dépend pas de u.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Une première expression de la probabilité de ruine
Théorème
La probabilité de ruine satisfait
ψ(u) =
exp(−Ru)
.
E [exp(−RU(T ))|T < ∞]
On en déduit que ψ(u) →θ→0 1, et que ψ(u) = 1 si θ ≤ 0.
On peut en déduire une autre preuve de la formule de
Lundberg.
Si X1 ≤ b p.s., alors ψ(u) > exp(−R(u + b)).
Si ψ(u0 ) = 1, alors pour tout u ≥ 0, ψ(u) = 1.
Exercice : Montrer que dans le cas X ∼ E(β) alors
E [exp(−RU(T ))|T < ∞] ne dépend pas de u.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Transformées de Laplace - Préliminaires
On définit L = max(S(t) − ct|t ≥ 0).
Soit FL la fonction de répartition de L. On a
ψ(u) = 1 − FL (u)
L = L1 + ... + LM où L1 désigne la valeur prise par S(t) − ct
lorsque le processus passe pour la première fois
au-dessus de 0, L2 la différence entre L1 et la valeur de
S(t) − ct où ce record est battu pour la première fois, etc...
M suit une distribution géométrique (dû au caractère
poissonnien).
Les Li sont i.i.d.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Transformées de Laplace - Préliminaires
On définit L = max(S(t) − ct|t ≥ 0).
Soit FL la fonction de répartition de L. On a
ψ(u) = 1 − FL (u)
L = L1 + ... + LM où L1 désigne la valeur prise par S(t) − ct
lorsque le processus passe pour la première fois
au-dessus de 0, L2 la différence entre L1 et la valeur de
S(t) − ct où ce record est battu pour la première fois, etc...
M suit une distribution géométrique (dû au caractère
poissonnien).
Les Li sont i.i.d.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Transformées de Laplace - Préliminaires
On définit L = max(S(t) − ct|t ≥ 0).
Soit FL la fonction de répartition de L. On a
ψ(u) = 1 − FL (u)
L = L1 + ... + LM où L1 désigne la valeur prise par S(t) − ct
lorsque le processus passe pour la première fois
au-dessus de 0, L2 la différence entre L1 et la valeur de
S(t) − ct où ce record est battu pour la première fois, etc...
M suit une distribution géométrique (dû au caractère
poissonnien).
Les Li sont i.i.d.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Transformées de Laplace - Préliminaires
On définit L = max(S(t) − ct|t ≥ 0).
Soit FL la fonction de répartition de L. On a
ψ(u) = 1 − FL (u)
L = L1 + ... + LM où L1 désigne la valeur prise par S(t) − ct
lorsque le processus passe pour la première fois
au-dessus de 0, L2 la différence entre L1 et la valeur de
S(t) − ct où ce record est battu pour la première fois, etc...
M suit une distribution géométrique (dû au caractère
poissonnien).
Les Li sont i.i.d.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Transformée de Laplace - Résultat intermédiaire
Théorème (distribution du capital à la ruine)
Si le capital initial vaut u = 0, alors
P(U(T ) ∈ [−y − dy , −y ], T < ∞) =
λ
[1 − FX (y )],
c
où FX désigne la fonction de répartition de X .
en déduit ψ(0) = [1 + θ]−1 et P(M = 0) = θ[1 + θ]−1 .
La densité de L1 s’exprime comme :
fL1 (y ) =
1 − FX (y )
.
µ1
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Transformée de Laplace - Résultat intermédiaire
Théorème (distribution du capital à la ruine)
Si le capital initial vaut u = 0, alors
P(U(T ) ∈ [−y − dy , −y ], T < ∞) =
λ
[1 − FX (y )],
c
où FX désigne la fonction de répartition de X .
en déduit ψ(0) = [1 + θ]−1 et P(M = 0) = θ[1 + θ]−1 .
La densité de L1 s’exprime comme :
fL1 (y ) =
1 − FX (y )
.
µ1
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Transformée de Laplace - Résultat intermédiaire
Théorème (distribution du capital à la ruine)
Si le capital initial vaut u = 0, alors
P(U(T ) ∈ [−y − dy , −y ], T < ∞) =
λ
[1 − FX (y )],
c
où FX désigne la fonction de répartition de X .
en déduit ψ(0) = [1 + θ]−1 et P(M = 0) = θ[1 + θ]−1 .
La densité de L1 s’exprime comme :
fL1 (y ) =
1 − FX (y )
.
µ1
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Transformée de Laplace
Résultat 1 (convolution)
On a
ψ(u) = 1 −
∞
X
p(1 − p)m H m∗ (u),
m=0
où H désigne la fdr de L1 , m∗ désigne le produit de convolution
itéré m fois, et p = θ[1 + θ]−1 .
Résultat 2
Soit mL (r ) = E[exp(Lr )]. On a
mL (r ) =
θ
1
θ(mX (r ) − 1)
+
.
1 + θ 1 + θ 1 + (1 + θ)µ1 r − mX (r )
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Transformée de Laplace
Résultat 1 (convolution)
On a
ψ(u) = 1 −
∞
X
p(1 − p)m H m∗ (u),
m=0
où H désigne la fdr de L1 , m∗ désigne le produit de convolution
itéré m fois, et p = θ[1 + θ]−1 .
Résultat 2
Soit mL (r ) = E[exp(Lr )]. On a
mL (r ) =
θ
1
θ(mX (r ) − 1)
+
.
1 + θ 1 + θ 1 + (1 + θ)µ1 r − mX (r )
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cadre Poissonnien
Exercice : mélange exponentiel
Question 1 : Calculer la transformée de Laplace d’un
mélange de deux exponentielles X = δY + (1 − δ)Z est
appelée mélange de deux exponentielles (paramètres λ, µ
et p).
Question 2 : Calculer mL (r ) dans le cas où X est un
mélange de deux exponentielles.
Question 3 : En déduire ψ(u).
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Approximation de probabilités de ruine
Approximation de probabilités de ruine
1
1+θ exp(−Ru).
∈ Rk , et on ajuste
Approximation classique : ψ(u) ≈
On cherche ψ(u) = ψ(u, θ), où θ
θà
partir des moments de L. En particulier,
Z ∞
µ2
E[L] =
ψ(u)du =
,
2θµ
1
0
Z ∞
µ2
µ3
E[L2 ] = 2
uψ(u)du =
+ 22 2 ,
6θµ1 4θ µ1
0
avec µk = E[X k ].
Méthode informatique :
Inversion de la transformée de Laplace
Méthode par simulation.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Approximation de probabilités de ruine
Approximation de probabilités de ruine
1
1+θ exp(−Ru).
∈ Rk , et on ajuste
Approximation classique : ψ(u) ≈
On cherche ψ(u) = ψ(u, θ), où θ
θà
partir des moments de L. En particulier,
Z ∞
µ2
E[L] =
ψ(u)du =
,
2θµ
1
0
Z ∞
µ2
µ3
E[L2 ] = 2
uψ(u)du =
+ 22 2 ,
6θµ1 4θ µ1
0
avec µk = E[X k ].
Méthode informatique :
Inversion de la transformée de Laplace
Méthode par simulation.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Approximation de probabilités de ruine
Approximation de probabilités de ruine
1
1+θ exp(−Ru).
∈ Rk , et on ajuste
Approximation classique : ψ(u) ≈
On cherche ψ(u) = ψ(u, θ), où θ
θà
partir des moments de L. En particulier,
Z ∞
µ2
E[L] =
ψ(u)du =
,
2θµ
1
0
Z ∞
µ2
µ3
E[L2 ] = 2
uψ(u)du =
+ 22 2 ,
6θµ1 4θ µ1
0
avec µk = E[X k ].
Méthode informatique :
Inversion de la transformée de Laplace
Méthode par simulation.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Approximation de probabilités de ruine
Approximation de probabilités de ruine
1
1+θ exp(−Ru).
∈ Rk , et on ajuste
Approximation classique : ψ(u) ≈
On cherche ψ(u) = ψ(u, θ), où θ
θà
partir des moments de L. En particulier,
Z ∞
µ2
E[L] =
ψ(u)du =
,
2θµ
1
0
Z ∞
µ2
µ3
E[L2 ] = 2
uψ(u)du =
+ 22 2 ,
6θµ1 4θ µ1
0
avec µk = E[X k ].
Méthode informatique :
Inversion de la transformée de Laplace
Méthode par simulation.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cas de grands sinistres
Lois sous exponentielles
Lois sous exponentielles
Une v.a. X > 0 a support non borné est sous exponentielle ssi
pour (Xi ) iid on a la relation
P
n
X
i=1
Xi > x = P( max Xi > x)(1 + o(1)),
1≤i≤n
x → ∞, n ≥ 2.
Les lois de Pareto, log-normales, Weibull avec τ < 1 sont
sous exponentielles.
Les lois exponentielles, gamma, Weibull avec τ ≥ 1 ne
sont pas sous exponentielles.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cas de grands sinistres
Lois sous exponentielles
Lois sous exponentielles
Une v.a. X > 0 a support non borné est sous exponentielle ssi
pour (Xi ) iid on a la relation
P
n
X
i=1
Xi > x = P( max Xi > x)(1 + o(1)),
1≤i≤n
x → ∞, n ≥ 2.
Les lois de Pareto, log-normales, Weibull avec τ < 1 sont
sous exponentielles.
Les lois exponentielles, gamma, Weibull avec τ ≥ 1 ne
sont pas sous exponentielles.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cas de grands sinistres
Lois sous exponentielles
Lois sous exponentielles
Une v.a. X > 0 a support non borné est sous exponentielle ssi
pour (Xi ) iid on a la relation
P
n
X
i=1
Xi > x = P( max Xi > x)(1 + o(1)),
1≤i≤n
x → ∞, n ≥ 2.
Les lois de Pareto, log-normales, Weibull avec τ < 1 sont
sous exponentielles.
Les lois exponentielles, gamma, Weibull avec τ ≥ 1 ne
sont pas sous exponentielles.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cas de grands sinistres
Ruines avec des grands sinistres
Embrechts et Veraverbecke
Supposons que E[X1 ] = µ1 < ∞, que la loi intégrée
(1 − FX (y ))/µ1 est sous exponentielle et que θ > 0. Alors
R∞
(1 − FX (y ))dy
(1 + o(1)),
u → ∞.
Ψ(u) = u
µ1 θ
Les lois log-normales, Weibull avec τ < 1 sont sous
exponentielles mais pas leurs lois intégrées.
Exercice : Calculez un équivalent de la ruine lorsque
u → ∞ pour une loi de Pareto (α, 1), α > 1. Discutez de la
borne de Lundberg.
Risque collectif
Modélisation des coûts de sinistres
Probabilité de ruine
Calculs de probabilités de ruine
Cas de grands sinistres
Ruines avec des grands sinistres
Embrechts et Veraverbecke
Supposons que E[X1 ] = µ1 < ∞, que la loi intégrée
(1 − FX (y ))/µ1 est sous exponentielle et que θ > 0. Alors
R∞
(1 − FX (y ))dy
(1 + o(1)),
u → ∞.
Ψ(u) = u
µ1 θ
Les lois log-normales, Weibull avec τ < 1 sont sous
exponentielles mais pas leurs lois intégrées.
Exercice : Calculez un équivalent de la ruine lorsque
u → ∞ pour une loi de Pareto (α, 1), α > 1. Discutez de la
borne de Lundberg.
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Probabilité de ruine
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Ruines avec des grands sinistres
Embrechts et Veraverbecke
Supposons que E[X1 ] = µ1 < ∞, que la loi intégrée
(1 − FX (y ))/µ1 est sous exponentielle et que θ > 0. Alors
R∞
(1 − FX (y ))dy
(1 + o(1)),
u → ∞.
Ψ(u) = u
µ1 θ
Les lois log-normales, Weibull avec τ < 1 sont sous
exponentielles mais pas leurs lois intégrées.
Exercice : Calculez un équivalent de la ruine lorsque
u → ∞ pour une loi de Pareto (α, 1), α > 1. Discutez de la
borne de Lundberg.