Test Métier Actuariat

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TEST METIER
ACTUARIAT
Durée : une heure et demi
Nom:
Prénom:
CIN
No
:
d'examen:
ill
Mode d'emploi
cochez la
:
croix dqns lq ou les
bonne réponse, en mettant une
case(s)(rypropriée(s),suivantlanqtureetlecontenudela
question
Question 1 : (lPoint)
tête d'âge actuel de 55 ans' à 60 ans et 65
suppose que les probabilités tle survie d'une
uns nuiË,,t respectivement : 5P55 = 0'96868 et roPss=0'92421
on
Quelleestlaprobabilitépourqu'unetêtede60anssurviveà65ans?
I
5P60:0,95
.Pe
",ii
o:0,85
.P6g:0,75
iP611:0,65
55 et 65 ans, quelle
Question 2 (lPoint): si une personne doit décéder entre
probabilité pour qu'elle soit encore en vie à 60 ans ?
est la
p:58,68%
b- p:68,58%
p:80,68%
j
58,8%
dl
J"
personnes âgées de 55 ans'
Question 3 (lPoint): On observe un groupe de 100
mathémati ,. à, nômbre de décès entre qq-91i144q1
- Ouelle est I'esPérance
-?,
,t
I
I
il'
.t
a- E(K):4,59
b- E(K):5,78
c- E(K):7,9
d- E(K):3,2
qu'il y ait k
Question 4(l point) : soit pr. les probabilités pour
?
k allant de I à 5. Quel est la valeur de k la plus probable
décès dans le groupe,
pour
individu dans une population
Question 5 (l Point) : on suppose que la durée de vie d'un
X dont la fonction de densité de
donnée est modélisée par une variable aléatoire continue
probabilité est donnée Par:
f(x)
(kx2(too
-t
- x)2 st 0 SxSL00
o srnon
Quelle est la valeur de k
I
a- k:3x1-0-e
?
Ou k est une constante Positive
Question 6(lPoint) : Quel
est
Question 7(lPoint) : - Quelle
70 ans?
la probabilité d'un individu mesure entre 60 ans et
est l'espérance de
vie d'un individu dans cette population?
b- E(X):55ans
d- E(x):61
Question
ans
I (lPoint)
variables aléatoires positives i.i.d. de
I-es couts des sinistres sont représentés pal une suite de
d'assurance ne rembourse que les
fonction de répartition F et d'espérance finie p. une compagnie
sinistes d'un montant supérieur à la franchise ô'
:
Le coût des sinistres assurés est donc : Xa (Xi - ô).
Xi suivent la loi exponentielle de
est te coût moyen d'un sinistre assuré lorsque les
Quel
paramètre 2
7E[Xs]:
x
"
'/1"
e^-216
E[Xa]: -T
e^-216
Ite
I
^r"6
IElx"l
=
-
assuré lorsque les Xi suivent la
Question 9(lPoint) : Quel est le coût moyen d'un sinistre
loi de Pareto P(u) avec a>l et ftc
b- E[x6]
-
c- E[xô] -
czq.6L-q.
C
crô1-ct
i'i'd' positives d' esPérances
Question 10(lPoint) : Soit{X1} une suite de variables aléatoires >
c 0 la prime et R le
de répartition F. soit u > 0 (le capital initial),
finie p et de fonction
processus défini Par :
N(t)
R(t)- utct-\xt
t=1
c' 0 et
entre
terme
à long
Quelle est la condition de solvabilité
Question 1 1(SPoints) : on
sinistres N obéissant à la loi
p
:
par un nombre de
suppose qu'un risque peut être modélisé
:
P(N:k)
:
Par ai1leurs, les montants de sinistres
Y
putur)0,avecg)0
1)
a-
p.(1-P)k avec 0 < P <1
ont ia Aerrsite de probabilité
f(y) = ü'exp(-qy)
ncedeN?
Ouelle est I'es
E(N) = (1 -
b_ E(N) = (1- Z
c- E(N) = (t-p)/Z
d- E(N) = 1/
uelle est la variance de Y
?
* vfn = \/s2
b-
V$)'-
d-
v(Y) = ç(
V (Y\ = 2u2
3)
quelle est l'exPression de l'espérance mathématique de
z/a2
la
charge annuelle
sinistres
a- E(X) = (1 - )/(
2ap)
b- g6) = ].c- E(X) - t-2 /(q
d- E6)= t
elle est l'expression de la
a-
vrb-(1
b-
v(n - 0-zp')l@:p'
v4l4!§qg9-b qe
annuelle des sinistres
=p1l@?p:
v@ -- o-p\l(Zazp'
a- Ytxl - t/(uz7'
c-
uelle est la valeur des Paramètres
w
b-
c-
O§og
= 1,02564 x I0*
1,02564x 19:
"t "
P:0.8?.1a =
P:ù909.* =L,564x 1Q-'
let
des
Question
16(1 Point) : On suppose que la catégorie d'assurance regroupe n risques
indépendants de ce type, avec une prime commerciale de 1500. Une commission de20o/o est
versée à un intermédiaire et le cout annuel de gestion par contrat est de g0.
Quelles conditions doivent être vérifiées par le nombre n de contrats pour que le coefficient
de sécurité soit au moins égal à 4, la perte annuelle acceptable K étant éeale à S00 000 ?
1MStln 2
+5ooooo < o
- lTBTzli
b- Ms\[r]
- t.B.zrli + 5ooooo - o
c- Ms'[tL 2 - üB72li+ 500000 > 0
Question 17(4 Points) : La durée de vie d'une machine à laver avant
erprimée en mois, suit la loi exponentielle de paramètre l,: 0104.
sa première panne,
1) Quelle
est la probabilité qu'une machine ne subisse aucune panne pendant les 24
remiers mois ?
P(X>24)-9,39
(X > 24) - 9,47
P(X > 24) = 0,21.
d- P(X > 24
P
2)
Quelle est la probabilité que la durée de vie de l'appareil soit de 1000 heures au
maximum
0,229
b-
c-
0.299
p:0,301
d- p:0,321
3) Sachant que l'appareil a fonctionné plus de
qu'il tombe en panne avant 3000 heures
2000 heures, quelle
la probabilité
:0,2r9
1) Quelle est la valeur
a- 7 -ln(Z
b- ). -ln(3
c- À-0
du réel
,telle que la probabilité p(1
< X < 2) soit
égale à
]