EI Tours et Pas-de-Calais 1993 Analyse page 1 ANALYSE On

EI Tours et Pas-de-Calais 1993 Analyse
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ANALYSE
On désigne par P l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels d’une variable réelle x. On
introduit les sous-espaces vectoriels Pn (n ∈ N) de P formés des polynômes de degré au plus égal n.
R désigne le corps des nombres réels. On rappelle que le degré du polynôme nul est −∞.
C0 désigne l’ensemble des fonctions réelles continues sur [0, 1]. On définit une application ϕ de
C0 × C0 vers R par :
Z
1
∀f ∈ C0 , ∀g ∈ C0 , ϕ(f, g) =
f (x)g(x)ω(x) dx
0
où ω désigne une fonction continue sur [0, 1] avec ∀x ∈ [0, 1] , ω(x) > 0.
I- 1) Montrer que ϕ est un produit scalaire réel sur C0 .
Quelle est la norme induite par ϕ ?
Soit f une fonction de C0 . Le but de cette partie I est de construire le polynôme P ∗ de Pn
vérifiant la propriété de minimisation suivante :
Z 1
Z 1
2
∗
(A) ∀Q ∈ Pn ,
(P (x) − f (x)) ω(x) dx≤
(Q(x) − f (x))2 ω(x) dx
0
0
I- 2) Reécrire (A) en utilisant la définition de ϕ.
I- 3) Montrer que (A) est équivalente à (B) :
(B) ∀R ∈ Pn , ϕ (P ∗ − f, R) = 0.
I- 4) Montrer que si P ∗ existe alors il est unique.
n
P
I- 5) Soit P ∗ (x) =
ai xi l’expression de P ∗ dans la base (1, X, . . ., X n ) de Pn .
i=0
Montrer que les coefficients a0 , . . ., an satisfont le système linéaire suivant :
(
)
n
P
(S)
aj cj+k = dk pour k = 0, . . ., n
j=0
Z
avec ci =
0
1
Z
i
x ω(x) dx et dk =
1
xk f (x)ω(x) dx.
0
Déduire de I-3) et I-4) que P ∗ existe.
I- 6) Dans le cas particulier où ω(x) = 1, écrire la matrice Hn+1 du système (S).
Résoudre (S) pour n = 2 et f (x) = ex .
II. Polynômes orthogonaux
Le polynôme Pi de degré i est dit orthogonal sur [0, 1] par rapport à ω(x) continue > 0, ∀x ∈ [0, 1]
si et seulement si :
Z
1
∀j = 0, . . ., i − 1,
0
Pi (x)xj ω(x) dx = 0 avec Pi (x) = xi + . . .
II- 1) Montrer que Pi existe pour tout i ∈ N.
(On pourra faire une récurrence sur i).
II- 2) Montrer que toutes les racines de Pi sont simples et appartiennent à [0, 1].
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II- 3) Montrer que Pi , Pi+1 et Pi−1 sont liés par la relation de récurrence suivante :
(R) Pi+1 (x) = (x + Bi+1 )Pi (x) − Ci+1 Pi−1 (x)
où Bi+1 et Ci+1 sont des réels.
II- 4) Exprimer Bi+1 et Ci+1 à l’aide de γi =
Montrer que Ci+1 est positif.
Z
0
1
Z
Pi2 (x)ω(x) dx,
δi =
1
0
xPi2 (x)ω(x) dx.
II- 5) Déduire de la relation (R) que les polynômes Pi et Pi+1 n’ont pas de racine commune.
II- 6) Expression de P ∗ (voir I) dans la base (P0 , . . ., Pn ).
Z 1
n
P
Montrer que P ∗ =
αi Pi (x) avec αi = γi−1
f (x)Pi (x)ω(x) dx.
i=0
0
∞
P
αi2 γi ≤ϕ(f, f ).
¡√
¢
Que peut-on dire de la suite
γi αi i∈N ?
II- 7) Montrer que
i=0
II- 8) Si ω = 1 sur [0, 1], trouver P0 , P1 , P2 puis trouver le polynôme P ∗ pour n = 2 et f (x) = ex .
III. Approximants de Padé.
On considère la fonctionZsuivante :
1
ω(x)
g(t) =
dx, ω continue, ω(x) > 0, ∀x ∈ [0, 1].
0 1 − xt
III- 1) Montrer que g est holomorphe dans C \ [1, +∞[.
III- 2) Écrire le développement en série de Taylor de g en t = 0.
Quel est son rayon de convergence ?
III- 3) On veut maintenant construire une fraction rationnelle interpolant g en t = 0 à l’ordre
maximal, c’est-à-dire :
¡
¢
P (t)
− g(t) = O tp+q+1 , P ∈ Pp , Q ∈ Pq .
Q(t)
P (t)
Si q = 0, que représente
?
Q(t)
On suppose désormais que q = n et p = n − 1.
III- 4) Montrer que le polynôme Q̃ défini par Q̃(t) = tn Q(t−1 ) satisfait :
Z 1
Q̃(x)xk ω(x) dx = 0, k = 0, . . ., n − 1.
0
En déduire que Q̃ est le polynôme orthogonal de degré n par rapport à ω sur [0, 1].
P (t)
III- 5) Où sont situés les pôles de la fraction rationnelle
si q = n et p = n − 1 ?
Q(t)