CHAPITRE 0 : CHAPITRE 0 : Ce qu`il faut savoir

Mathématiques 1 Niv. 1 et 2
Première partie : Algèbre
Théorie chapitre 0
CHAPITRE 0 :
Ce qu'il faut savoir pour commencer
§ 0.1 Les nombres réels
Nous allons utiliser les entiers naturels, les entiers relatifs, les nombres rationnels et irrationnels.
Exemples :
0 , 1 , 2 et 1024
sont des des entiers naturels.
-4 ; 0 ; 2 ; -333 et 567
3
22
- ; 0;
;
et -4,5
4
7 1,23
sont des entiers relatifs.
π = 3,1415… et
sont des nombres irrationnels.
2 = 1,414…
sont des nombres rationnels.
Notation :
Ensemble des entiers naturels:
N={0;1;2;3;…}
Ensemble des entiers relatifs:
Z = { … ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}
Ensemble des nombres rationnels:
Q={
p
| p ∈ Z et q ∈ Z * }
q
Il n'y a pas de notation particulière pour l'ensemble des nombres irrationnels, mais on utilise quelquefois
la notation I.
Tous ces nombres (entiers naturels, entiers relatifs, rationnels et irrationnels) appartiennent à un même
ensemble, l'ensemble R des nombres réels.
Pour nous, un nombre réel sera simplement un nombre qui peut s'écrire en utilisant les chiffres 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 ,9 et, éventuellement, une virgule et un signe (+ ou -).
Exemples :
2,333… = 2,3
45,6
-0,03000… = -0,03
5
= 0,714285714285714… = 0,714285
7
!
-57,000… = -57
0,10110111011110111110…
!
En algèbre, on représente souvent les nombres
! réels par des lettres, les premières lettres de l'alphabet latin
(a, b, c, d, …) pour représenter des valeurs connues ou constantes et les dernières (…, x, y, z) pour les
inconnues ou les variables.
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§ 0.2 Propriétés des nombres réels
Les nombres réels jouissent des propriétés ci-dessous, cʼest-à-dire que quelles que soient les valeurs que
l'on donne aux lettres a, b et c, les relations suivantes sont toujours vraies:
a+b = b+a
a·b = b·a
a+(b+c) = (a+b)+c
a·(b·c) = (a·b)·c
0+a = a
1·a = a
1
a· = 1
a
a+(-a) = 0
commutativité
associativité
élément neutre
élément symétrique
a·(b+c) = a·b + a·c
distributivité
!
Remarques :
On dit que
"0" est l'élément neutre de l'addition
"1" est l'élément neutre de la multiplication
"-a" est l'opposé de "a"
1
" 1"
est l'inverse de "a" (on le note parfois a-1, càd = a-1)
a
a
Règles de la multiplication par zéro
!
!
Le nombre zéro jouit de deux propriétés très particulières, à savoir :
1) lorsque l'on multiplie par zéro, on trouve toujours zéro:
a·0 = 0·a = 0
2) si le produit de deux nombres vaut zéro, alors un des deux nombres (au moins) est zéro:
si a·b = 0, alors a = 0 ou b = 0
Nous utiliserons très souvent ces deux propriétés que nous appellerons "règles de la multiplication par
zéro".
Par rapport à la relation "est plus petit ou égal à" que l'on note "≤", les nombres réels vérifient les
propriétés suivantes, quels que soient les valeurs de a, b et c:
a≤a
a ≤ b ou b ≤ a
(ou les deux)
si a ≤ b et b ≤ a, alors a = b
si a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c
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Remarque :
a ≤ b signifie que "a est plus petit ou égal à b" (ou bien que "b est plus grand ou égal à a") dans le
sens suivant: si l'on place les nombres a et b sur un axe représentant l'ensemble des nombres réels,
alors b sera à droite de a.
a
R
b
La flèche qui figure sur l'axe montre la direction dans laquelle les nombres augmentent.
D'un point de vue arithmétique, a ≤ b si le nombre (b – a) est positif.
Exemples :
4 ≤ 7, car 7 – 4 = 3
-7 ≤ -4 , car -4 – (-7) = -4 + 7 = 3
§ 0.3 Nombres positifs et nombres négatifs.
Les nombres positifs sont des nombres plus grands ou égaux à zéro et les nombres négatifs sont plus petits
ou égaux à zéro.
Les nombres réels vérifient la règle des signes pour la multiplication:
(positif)·(positif) = positif
(négatif)·(positif) = négatif
(positif)·(négatif) = négatif
(négatif)·(négatif) = positif
De cette règle découle une propriété caractéristique des nombres réels:
un nombre réel au carré ne peut pas être négatif cʼest-à-dire a 2 ! 0
En effet,
ou bien ce nombre est positif et alors son carré est positif,
ou bien ce nombre est négatif et alors son carré est positif,
ou bien ce nombre est zéro et alors son carré est zéro.
On sait que les nombres négatifs s'écrivent avec un signe "-", alors que le signe "+" est facultatif devant
l'écriture d'un nombre positif.
Le fait d'écrire le signe "–" devant le nombre "a" ne signifie pas que le nombre
"-a" est négatif, mais simplement qu'il est de signe opposé à celui de "a" :
si a = 3, alors -a = -3
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si a = -5, alors -a = -(-5) = 5
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Il existe un lien entre "opposé" et "soustraction"; non seulement les deux notions utilisent le signe "-", mais,
par définition, "soustraire, c'est additionner l'opposé":
a – b = a + (-b).
Remarque :
On utilise souvent la relation:
a – b = -(b – a)
Exemples :
3 – 2x = -(2x – 3)
(y – x)(x – y) = -(x – y)(x – y) = -(x – y)2
§ 0.4 Opérations sur les fractions
On sait que deux fractions sont égales si et seulement si le produit du numérateur de la première fraction par
le dénominateur de la deuxième est égal au produit du dénominateur de la première fraction par le
numérateur de la deuxième (produit en croix):
a
c
=
b
d
si et seulement si
a·d = b·c
Exemple :
4
6
=
car 4·9 = 6·6
6
9
Amplifier une fraction, c'est multiplier son numérateur et son dénominateur par le même nombre.
Simplifier une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre.
Amplifier ou simplifier une fraction ne change pas sa valeur, en effet:
a !c a
=
car (a·c)·b = a·(b·c)
b !c b
Exemple :
36 3 !12
3
=
=
24 2 !12
2
Dans cet exemple, il s'agit d'une simplification si l'on lit l'égalité de gauche à droite et d'une amplification si
on la lit de droite à gauche.
Amplification et simplification sont des actions contraires l'une de l'autre.
Une fraction est appelée irréductible lorsqu'il nest plus possible de la simplifier, sinon on l'appelle
réductible.
Exemple :
36
3
est réductible, car on peut la simplifier par 12, mais la fraction obtenue
est irréductible.
24
2
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Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie le numérateur de la fraction par ce
nombre :
Exemples :
2·
5 10
=
7
7
n·
a a !n
=
b
b
Pour diviser une fraction par un nombre entier, on multiplie le dénominateur de la fraction par ce
nombre :
Exemples :
5
5
:2=
7
14
a
a
:n=
b
b !n
On sait que l'addition et la multiplication des fractions sont définies comme suit:
a
c
a !d + b !c
+
=
b
d
b !d
a c
a !c
·
=
b d
b !d
Diviser par une fraction, c'est multiplier par la fraction inverse:
a
b = a : c = a · d
c
b d
b c
d
Remarque :
L'égalité suivante montre qu'il y a plusieurs façons de "voir" une fraction
a·
b
a !b
a
1
=
=
·b=a·b·
c
c
c
c
Souvent un bon choix d'écriture facilite la compréhension !!
§ 0.5 Puissances entières
Définition :
si a est un nombre réel et n un nombre naturel, alors
an = a·a·a·…·a
(produit de n facteurs a)
a est la base et n la puissance ou l'exposant.
an se lit "a puissance n" ou "a exposant n".
Cette définition de la puissance d'un nombre ressemble à une abréviation: il est en effet plus court d'écrire
"a5 " que "a·a·a·a·a".
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De cette définition, il découle que les puissances vérifient les propriétés suivantes, quelques soient les
nombres réels a et b et les entiers naturels n et m:
a n ! a m = a n+m
(a )
n
(a ! b )
m
n
= a n!m
= an ! b n
n
!a $
an
# & = n
"b %
b
La première de ces formule ce démontre comme suit:
an·am = (a·a·…a) ·(a·a·a·…a) = a·a·…a · a·a·a·…a = an + m
n fois a
m fois a
n + m fois a
et les autres de la même façon.
§ 0.6 Racines carrées d'un nombre positif
Définition :
si a est un nombre réel positif ou nul, alors la racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est
égal à a.
a =b
a = b2
⇔
La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie.
De la définition ci-dessus, il découle que les racines carrées vérifient les propriétés suivantes, quels
que soient les nombres réels a et b positifs ou nuls.
Propriétés :
a.b =
a! b
a
=
b
a
b
Attention :
En général :
a+ b ! a" b
En effet :
16 +
9 =4+3=7
16 + 9 =
donc
16 +
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25 = 5
9 ≠
25
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§ 0.7 Parenthèses et ordre des opérations.
Le rôle principal des parenthèses dans l'écriture mathématique est de séparer les opérations les unes des
autres.
Si l'on n'avait pas de convention sur l'ordre des opérations, il faudrait mettre entre parenthèses chaque
expression contenant une opération et les deux nombres s'y rapportant:
((3·4) + (2+5))
((3·(42)) – ((5·4)·2))
On devrait alors effectuer les opérations à l'intérieur d'une paire de parenthèses qui ne contient pas de
parenthèse et on conviendrait de ne pas écrire de parenthèse autour d'un nombre seul :
((3·4) + (2+5)) = (12 + 7) = 19
((3·(42) – ((5·4)·2)) = ((3·16) – (20·2)) = (48 – 40) = 8
La convention sur l'ordre des opérations permet d'économiser en écriture, mais demande plus d'attention
lors des calculs !!
Ordre des opérations
Pour déterminer la valeur d'une expression arithmétique, il faut effectuer les différentes opérations en suivant
l'ordre indiqué par les règles ci-dessous:
1˚ les opérations à l'intérieur d'une paire de parenthèses qui ne contient pas de parenthèse
2˚ les puissances (et les racines)
3˚ les multiplications et les divisions (de gauche à droite)
4˚ les additions et les soustractions (de gauche à droite)
Exemple :
2
10 – 2(5 9 – 3·2 ) = 10 – 2(5·3 – 3·4) = 10 – 2(15 – 12) = 10 – 2·3 = 10 – 6 = 4
Remarques :
1.
Si, dans une écriture sans parenthèse, il ne reste que des multiplications et des divisions (ou que des
additions et des soustractions) il faut effectuer ces opérations de gauche à droite:
3·8:4·2 = 24:4·2 = 6·2 = 12
2.
En général, on n'écrit pas de parenthèse autour d'un nombre seul:
(12) = 12
3.
7 – 2 + 5 = 5 + 5 = 10
(-3) = -3
La barre de fraction représente une division, mais attention à l'ordre des opérations:
3+4
s'écrit, sans la barre de fraction, (3 + 4):(2·3).
2!3
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§ 0.8 Vocabulaire et terminologie.
Il est nécessaire maintenant de revenir sur certains des termes utilisés dans cette introduction et d'essayer
d'en préciser le sens.
Une expression mathématique est une écriture qui utilise des nombres, des lettres représentant des
nombres, des signes d'opérations, des symboles de fonctions, etc …, mais qui ne contient pas de signe de
relation comme = ; < ; > ; ≤ ou ≥.
Exemples :
1.
x 2 – 3x + 2
f(x)·g(x)
2.
3x – 5 = 2
4 > -2x
x +4
sont des expressions mathématiques,
1024 est grand
ne sont pas des expressions mathématiques.
Une équation est une égalité de deux expressions mathématiques.
Exemples :
x 2 + 3 = 4x
f(x) = g(x)
x+2=
x +2
Une inéquation est une relation du type < , > , ≤ ou ≥ entre deux expressions mathématiques.
Exemples :
x 2 + 3 > 4x
f(x) ≤ g(x)
x+2–
x+2 ≥ 0
Une formule (mathématique) est une relation (= , < , > , ≤ , ≥) toujours vraie entre deux expressions
!
mathématiques.
Exemples :
2
= a 2 + 2a ! b + b 2
1.
a·(b+c) = a·b + a·c
(a + b )
2.
x 2 + 3x > 0
x 2 + 2x = 5x – 3
a2 ≥ 0
sont des formules.
ne sont pas des formules.
Une propriété est une formule mathématique que, généralement, on peut démontrer.
Exemples :
a2 ≥ 0
(a ! b )
n
= an ! b n
sont des propriétés que l'on peut démontrer.
Un axiome est une formule que l'on ne peut pas démontrer, mais que l'on admet pour vraie.
Exemples : a + b = b + a
a·(b + c) = a·b + a·c
sont des axiomes des nombres réels.
Il est très difficile de définir le terme "définition" ! Cependant on peut dire qu'en mathématique, une
définition est une explication qui donne un sens à une écriture ou à un mot qui n'avait pas encore de
signification mathématique.
Exemple :
Avant d'entendre parler de "puissance" et de voir l'écriture " a 5 ", on ne savait pas ce que signifiait ces
termes en mathématique : la formule a n = a ! a ! a ... a définit " a n ", car le terme de droite de l'égalité
est une expression dont on connaît déjà le sens.
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§ 0.9 Calcul approché
Les calculs approchés sont très utiles soit pour prévoir un résultat, soit surtout pour vérifier si la solution
donnée est possible. Ils sont également importants pour critiquer et vérifier un résultat obtenu au moyen
dʼune calculatrice.
Exemples :
1.
Sʼil faut évaluer approximativement le produit de 79,45 par 19,32, on va trouver approximativement
1600. Le résultat sera un peu inférieur puisque que 80 est légèrement supérieur à 79,45 et 20
légèrement supérieur à 19,32.
2.
Dans une classe, les élèves devaient donner le résultat de 18,43 par 67,82. Ils ont proposé les
résultats suivants : 124,99226 12,499226 1249,9226 1259,9225 1349,9214.
En évaluant lʼordre de grandeur (≈ 1400), puis en contrôlant le dernier chiffre, on peut éliminer
immédiatement quatre résultats ; seule la réponse 1249,9226 pourrait être exacte.
Lʼencadrement
On peut être amené à faire des calculs non pas avec un nombre, mais avec des encadrements de ce
nombre. Tout nombre réel peut être encadré par deux nombres décimaux distants de 1 (on dit que
lʼencadrement est dʼamplitude 1), distants de 0,1 (amplitude 0,1), distants de 0,01 (amplitude 0,01), etc.
Ainsi, voici les encadrements successifs de
2<
7 <3
7
2
(encadrement à 1 près)
2
car 2 = 4 < 7 < 3 = 9
7.
2 est lʼapproximation entière par défaut de
7.
3 est lʼapproximation entière par excès de
7 < 2,7
2,6 <
7 < 2,65
2,64 <
2,645 <
2
(encadrement à 0,1 près)
2
car 2,6 = 6,76 < 7 < 2,7 = 7,29
!
2,6 est lʼapproximation à 0,1 près par défaut de 7 .
!
2,7 est lʼapproximation à 0,1 près par excès de 7 .
(encadrement à 0,01 près)
7 < 2,646 (encadrement à 0,001 près)
Résultat dʼun calcul approché
Selon le calcul demandé, il nʼest pas nécessaire dʼavoir une très grande précision
Exemple :
2
Si, pour un rectangle de 10 m , sachant que la longueur est de 6 m, on veut connaître la largeur, on
effectue la division à la calculatrice et on trouve 10 : 6 = 1,666666667. Ce nʼest bien sûr pas le résultat
exact, puisquʼavec une calculatrice affichant 15 chiffres, on aurait trouvé 1,66666666666667.
10
Le résultat a été arrondi, car 1,666666667 est plus proche de
que 1,666666666, nombre tronqué.
6
Dans ce calcul, que le nombre soit arrondi ou tronqué, étant donné la précision du départ, une
approximation à 0,1 près, soit 1,7 ici, est, dans la plupart des cas, amplement suffisante.
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§ 0.10 Notation scientifique
Afin dʼidentifier immédiatement lʼordre de grandeur, il est dʼusage dʼutiliser la notation scientifique, cʼest-àdire dʼécrire tout nombre décimal a comme le produit dʼun nombre décimal b compris entre 1 et 10 (en
dʼautres mots, avec un seul chiffre non nul devant la virgule) et dʼune puissance de 10.
Par exemple, on écrira 0,0075 comme 7,5 "10 #3 et 40 000 000 comme 4 "10 7 .
En écrivant en notation scientifique un grand nombre ou un petit nombre, on aura tout de suite son ordre de
grandeur. Ainsi, si nous devons comparer la distance de la Terre
! au Soleil (149 500 000 km) à celle de la
!
Terre à Saturne (1 427 000 000 km), il est plus facile de comparer 1,495 "10 8 et 1,427 "10 9 .
De même, il est plus agréable de noter la masse dʼun électron 9,109 "10 #28 plutôt que
0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 9109
!
!
!
De lʼastronomie à la physique nucléaire, on trouve les nombres suivants :
1'000'000'000'000'000'000
1"10 18
Exa-
E
1'000'000'000'000'000'
1"10 15
Peta-
P
1"10 12
Tera-
T
1"10 9
Giga
G
1"10 6
Mega-
M
1"10 3
Kilo-
K
1"10 2
Hecto-
h
1"10 1
Deca
Da
Deci-
d
1"10 #2
Centi-
c
1"10 #3
Milli-
m
1"10 #6
Micro-
µ
1"10 #9
Nano-
n
1"10 #12
Pico-
p
1"10 #15
Femto
f
1"10 #18
Atto
a
1'000'000'000'000
1'000'000'000
1'000'000
1'000
100
10
1
0,1
!
!
!
!
!
!
!
1"10 0 = 1.1
!
1"10 #1 = 1"
!
0,01
0,001
0,000 001
0,000 000 001
0,000 000 000 001
0,000 000 000 000 001
0,000 000 000 000 000 001
!
!
!
!
!
!
1
1
=
1
10
10
!
!
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