Premier fascicule de mathématiques pour préparer le brevet des

Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
Premier fascicule de mathématiques pour préparer le brevet des collèges
(et pour après le collège)
28 NOVEMBRE 2013
COLLEGE MONTGAILLARD (Saint Denis de la Réunion)
Site du collège : http ://college-montgaillard.ac-reunion.fr
• α désigne un angle aïgu, nous avons : (cos α)2 + (sin α)2 = 1
• Si le triangle RUN est rectangle en U alors nous pouvons écrire (d’après le
théorème de Pythagore) :
RN 2 = RU 2 + U N 2
• Lorsque deux événements A et B sont incompatibles alors :
p(A ou B) = p(A) + p(B)
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Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
Voici le premier fascicule de mathématiques, le deuxième fascicule vous sera
donné en 2014.
Ce fascicule a été élaboré par les professeurs de mathématiques de 3ème du
collège MONTGAILLARD pour la sixième année consécutive. Des améliorations
ont été apportées, les exercices traîtés dans ce livret sont importants, à bien
comprendre.
Ce fascicule ne remplacera jamais le travail fait en classe avec votre professeur
de mathématiques. Ce livret (riche en informations) est un complément du cours
de votre enseignant.
Ce fascicule a pour but de vous aider dans vos révisions et vous sera très utile
pour le brevet des collèges (DNB) en juin 2014.
Ce fascicule vous servira très certainement l’an prochain en seconde générale
et technologique (de nombreux chapitres (fonctions, probabilités,...) seront revus
et approfondis en 2˚GT) mais aussi en lycée professionnel. Gardez le et prenez en
soin.
Toute l’équipe pédagogique de mathématiques vous souhaite une bonne réussite
au DNB. Nous espérons que ce document va vous donner le goût des mathématiques, l’envie de travailler cette discipline.
Bonne lecture, travaillez bien, refaites les exercices. Nous vous souhaitons une
bonne année scolaire 2013 − 2014 en particulier en cours de mathématiques.
Enfin, le lien vers le site de mathématiques de M. MORICEAU est le suivant :
http ://reunionammaths.pagesperso-orange.fr/
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Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
SOMMAIRE
Intitulé du thème
Séquences concernées
ARITHMETIQUE
Séquences 1 et 11
RAPPELS sur les fractions,
utile dans de
puissances, nombres relatifs
nombreuses séquences
THEOREME DE PYTHAGORE
Séquences 2 et 4
RACINE CARREE
Séquences 3 et 32
EQUATIONS et INEQUATIONS
Séquences 5, 27, 30 et 32
ANGLE au CENTRE, angle INSCRIT
Séquence 6
LES PROBABILITES
Séquences 7 et 26
RAPPELS sur la
utile dans de
proportionnalité
nombreuses séquences
THEOREME DE THALES
Séquences 8 et 12
3
Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
ARITHMÉTIQUE I. Critères de divisibilité
•
•
•
•
•
Un
Un
Un
Un
Un
nombre
nombre
nombre
nombre
nombre
entier
entier
entier
entier
entier
est
est
est
est
est
divisible
divisible
divisible
divisible
divisible
par
par
par
par
par
2 si son chiffre des unités est 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.
3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
10 si son chiffre des unités est 0.
II. PGCD
Soit
a et b deux nombres entiers positifs (entiers naturels).
Un diviseur commun aux nombres a et b est un entier naturel qui divise à la fois a et b.
On appelle P GCD de a et b le plus grand des diviseurs communs à a et b.
III. Méthodes pour calculer le PGCD de deux nombres
1) Première méthode : à l’aide des diviseurs
Pour déterminer le P GCD de deux nombres entiers a et b, nous devons :
• dresser la liste des diviseurs du nombre a.
• dresser la liste des diviseurs du nombre b.
• dresser la liste des diviseurs communs aux nombres a et b.
• Le PGCD des deux nombres a et b est le plus grand de ces diviseurs communs.
2) Deuxième méthode : méthode des soustractions successives
• Soustraire le plus petit nombre au plus grand nombre.
• On prend les deux plus petits nombres et on recommence l’étape précédente, on
continue jusqu’à l’obtention d’un résultat nul.
• le P GCD des deux nombres est le dernier résultat non nul.
3) Troisième méthode : méthode des divisions successives (ALGORITHME d’EUCLIDE)
• On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit nombre.
֒→ Si le reste de la division euclidienne précédente est NUL alors le P GCD des deux nombres
est le diviseur de la division précédente.
֒→ Si le reste de la division euclidienne précédente n’est pas NUL alors on renouvelle l’étape
précédente en considérant le diviseur et le reste de la division euclidienne précédente et ainsi
de suite.
• On arrête le procédé lorsque nous obtenons un reste NUL et le PGCD des deux nombres est
le dernier reste non nul.
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Mathématiques, 2013 − 2014
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IV. Nombres premiers entre eux.
1. Définition :
Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres qui ont un unique diviseur commun :
1.
2. Propriété :
Si le P GCD de deux nombres est égal à 1 alors ces deux nombres sont premiers entre eux. V. Fractions irréductibles.
1. Définition :
Une fraction irréductible est une fraction que l’on ne peut plus simplifier.
2. Propriété :
Si le dénominateur et le numérateur d’une fraction sont des nombres premiers entre eux alors
cette fraction est irréductible.
3. Propriété :
En divisant le dénominateur et le numérateur d’une fraction par le P GCD de ces deux nombres
on obtient une fraction irréductible.
Exercices Premier exercice
Énoncé :
1. Calculer le P GCD de 182 et 117 à l’aide de la méthode des soustractions successives
117
2. En déduire la forme irréductible de la fraction
182
Correction :
1. Déterminons le P GCD des nombres 182 et 117 à l’aide de la méthode des soustractions
successives.
182 − 117
117 − 65
65 − 52
52 − 13
39 − 13
26 − 13
13 − 13
=
=
=
=
=
=
=
65
52
13
39
26
13
0
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Mathématiques, 2013 − 2014
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Le dernier résultat non nul est 13, par conséquent : P GCD(182; 117) = 13.
117
2. Pour rendre la fraction
irréductible, divisons 117 et 182 par 13 (13 est le PGCD de
182
182 et 117).
117 ÷ 13 = 9 et 182 ÷ 13 = 14
On peut écrire :
9
117
=
182
14
Deuxième exercice
Énoncé :
1. Déterminer le P GCD des nombres 135 et 108.
2. Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il les répartit en paquets :
• les paquets contiennent des billes des deux couleurs et ont des compositions identiques.
• toutes les billes rouges et toutes les billes noires sont utilisées.
a. Quel nombre maximal de paquets Marc pourra-t-il réaliser ?
b. Quelle sera la composition de chaque paquet ?
Correction :
1. Déterminons le P GCD des nombres 135 et 108 à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
135 = 108 × 1 + 27
108 = 27 × 4 + 0
Le dernier reste non nul est 27, par conséquent : P GCD(108; 135) = 27.
2. a) Marc utilise toutes les billes et les paquets doivent être identiques, le nombre de paquets
doit être un diviseur commun à 108 et 135. On cherche le nombre maximum de paquets soit
le plus grand diviseur commun à ces deux nombres. On cherche donc le P GCD de 108 et 135.
D’après la question précédente, on peut dire que Marc pourra réaliser au maximum 27 paquets
identiques.
b) 135 ÷ 27 = 5 et 108 ÷ 27 = 4. Chaque paquet sera composé de 4 billes rouges et 5 billes
noires.
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Mathématiques, 2013 − 2014
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Rappels I. Nombres relatifs
1) Addition et soustraction
• Deux nombres de même signe : la somme a le même signe que les deux nombres et on
ajoute les distances à zéro.
• Deux nombres de signes contraires : la somme a le même signe que celui qui est le plus
loin de zéro et on calcule la différence : « plus grande distance à zéro » - « plus petite distance
à zéro ».
• Soustraire un nombre revient à additionner son opposé :
x − y = x + (−y)
2) Multiplication et division (règle des signes)
• Le produit (ou quotient) de deux nombres de même signe est positif.
• Le produit (ou quotient) de deux nombres de signes contraires est négatif
II. Écritures fractionnaires
1) quotients égaux, simplification : pour b 6= 0 et k 6= 0
2) addition et soustraction : pour c 6= 0
a b
a+b
+ =
c c
c
et
a×k
a
=
b×k
b
a b
a−b
− =
c c
c
3) multiplication : pour b 6= 0 et d 6= 0
4) division : pour b 6= 0, c 6= 0 et d 6= 0
a c
a×c
× =
b d
b×d
a c
a d
÷ = ×
b d
b
c
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Mathématiques, 2013 − 2014
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III. Puissances
a et b sont deux nombres quelconques ; n et p sont des nombres entiers.
an+p = an × ap
pour a 6= 0,
−n
a
n
1
= n
a
n
n
(a × b) = a × b
a0 = 1
an×p = (an )p
et
et
n−p
a
an
= p
a
et pour b 6= 0
a
b
!n
an
= n
b
0n = 0 (avec n 6= 0)
a1 = a
1n = 1
IV. Écriture scientifique
Un nombre est en écriture scientifique s’il est de la forme a × 10p avec :
✍ a est un nombre décimal dont la partie entière est un nombre compris entre 1 et 9
✍ p est un entier relatif
Exercices Premier exercice
Énoncé :
Calculer l’expression suivante (attention aux priorités de calculs)
A = (−4) × (−2) + (5 + 3 × (−7) − 4) − 3
Correction :
A =
=
=
A =
(−4) × (−2) + (5 + 3 × (−7) − 4) − 3
8 + (5 − 21 − 4) − 3
8 − 20 − 3
−15
8
Mathématiques, 2013 − 2014
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Deuxième exercice
Énoncé :
Calculer l’expression suivante. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
B=
10 25 21 22
÷
−
×
9
6
8
35
Correction :
10 25 21 22
B =
÷
−
×
9
6
8
35
=
6
21 22
10
×
−
×
9
25
8
35
=
5 × 2 × 3 × 2 7 × 3 × 11 × 2
−
3×3×5×5
4×2×7×5
=
4
33
−
15 20
=
16 99
−
60 60
=
16 − 99
60
−83
60
Troisième exercice
B =
Énoncé :
Calculer les expressions suivantes.
C=
214
× 5−2
216
D=
(−6)4
34
E=
3 2 + 42
52
Correction :
C =
214
× 5−2
216
214−16 × 5−2
2−2 × 5−2
(2 × 5)−2
10−2
1
=
100
C = 0,01
=
=
=
=
9
Mathématiques, 2013 − 2014
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(−6)4
34
!4
−6
=
3
D =
= (−2)4
D = 16
E =
3 2 + 42
52
=
9 + 16
25
=
25
25
E = 1
Quatrième exercice
Énoncé :
Donner l’écriture scientifique de F .
F =
49 × 103 × 6 × 10−10
14 × 10−2
Correction :
F =
49 × 103 × 6 × 10−10
14 × 10−2
=
49 × 6 103 × 10−10
×
14
10−2
=
7 × 7 × 3 × 2 10−7
× −2
7×2
10
= 21 × 10−5
F = 2,1 × 10−4
10
Mathématiques, 2013 − 2014
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théorème de PYTHAGORE et sa réciproque I. Théorème de PYTHAGORE
Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme
des carrés des longueurs des deux autres côtés de ce triangle.
• Le théorème de Pythagore s’applique uniquement dans un triangle rectangle.
• Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un des côtés d’un triangle
rectangle (les deux autres longueurs étant connues).
II. La réciproque du théorème de PYTHAGORE
Si dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus grand est égal à la somme des carrés
des longueurs des deux autres côtés de ce triangle alors ce triangle est rectangle et admet pour
hypoténuse le plus grand des côtés du triangle.
• La réciproque du théorème de Pythagore permet de démontrer qu’un triangle est rectangle
(les longueurs des trois côtés du triangle doivent être connues pour utiliser la
réciproque du théorème de Pythagore).
Exercices Premier exercice
Énoncé :
Considérons un triangle MNP rectangle en P tel que :
MN = 11 cm et MP = 9 cm.
Calculer la longueur (exacte) NP .
Correction :
Dessin (qui n’est pas en grandeur réelle)
P
9 cm
N
11 cm
M
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Mathématiques, 2013 − 2014
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Le triangle MNP est rectangle en P , nous pouvons donc appliquer le théorème de PYTHAGORE dans ce triangle. Nous pouvons écrire :
MN 2 = MP 2 + NP 2
et donc
112 = 92 + NP 2
Ainsi,
NP 2 = 121 − 81 = 40
Et, donc
NP =
√
40
√
Conclusion : La longueur (exacte) de NP est 40 cm.
Deuxième exercice
Énoncé :
Considérons un triangle JLF tel que :JL = 4 cm ; LF = 9,6 cm et JF = 10,4
cm.
Prouver que le triangle JLF est rectangle en L.
Correction :
JF 2 = 10,42 = 108,16




JL2 + LF 2 = 42 + 9,62 = 108,16 


donc JF 2 = JL2 + LF 2
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut dire que le triangle JLF est
rectangle et admet pour hypoténuse le segment [JF ].
Conclusion : le triangle JLF est rectangle en L.
Troisième exercice : extrait du sujet du DNB juin 2009 (légèrement modifié)
Énoncé :
Considérons un triangle ABC tel que AB = 16 cm ; AC = 14 cm et BC = 8
cm.
Est-ce que le triangle ABC est rectangle ?
Correction :
Calculons séparement AB 2 et AC 2 + BC 2
AB 2 = 162 = 256 et AC 2 + BC 2 = 142 + 82 = 260.
Comme 256 6= 260 alors AB 2 6= AC 2 + BC 2
En conclusion, nous pouvons dire que le triangle ABC n’est pas rectangle en C.
12
Mathématiques, 2013 − 2014
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RACINE CARRÉE I. Racine carrée d’un nombre positif
Définition :
Soit a un nombre positif.
On appelle
√ racine carrée du nombre a le seul nombre positif dont le carré est a. On note ce
nombre a.
√
√
(a peut être nul. En effet, si a = 0 alors a = 0 = 0).
√
Si a existe, cette écriture comporte trois informations :
Z






II. Propriétés
√
a ≥ 0
a ≥ 0




 (√a)2 = a
Propriété 1 :
√
ou
Pour tout nombre positif a,
√
a×
√
a=a
a2 = a
Exemples :
√
4=
√
22 = 2
Propriété 2 :
Exemples :
√
√
64 =
√
√
82 = 8
121 =
√
Pour tous nombres positifs a et b,
72 =
√
36 × 2 =
√
36 ×
√
2=
√
62 ×
√
√
112 = 11
√
a×b=
2= 6×
√
√
400 =
a×
√
√
202 = 20
b
√
2=6 2
(on veut le nombre entier le plus petit "sous" la racine carrée).
√
√
√
√
√
√
√
√
48 = 16 × 3 = 16 × 3 = 42 × 2 = 4 × 3 = 4 3
Propriété 3 :
Pour tous nombres positifs a et b avec b 6= 0,
Exemples :
D’après la propriété 3, on peut écrire :
r
r
√
a
a
= √
b
b
√
25
25
=√
121
121
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Mathématiques, 2013 − 2014
Or
√
25 =
√
52 = 5 et
√
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121 =
√
112 = 11.
On a donc :
r
25
5
=
121
11
Attention
Pour tous nombres positifs a et b,
√
√
√
a + b 6= a + b
√
et
a − b 6=
√
a−
√
b
Exemple
: √
√
√
64 + 36 = 100 = 102 = 10
et
√
√
√
√
64 + 36 = 82 + 62 = 8 + 6 = 14
Donc,
√
64 + 36 6=
√
64 +
√
36
III. L’équation x2 = a où a est un nombre quelconque
• Premier cas : si a est un nombre négatif et différent de 0 (a < 0)
Dans ce cas, l’équation x2 = a n’a pas de solution.
• Deuxième cas : si a est égal à 0 (a = 0)
Dans ce cas, l’équation x2 = a a une seule solution : le nombre 0.
• Troisième cas : si a est un nombre positif et différent de 0 (a > 0)
√
√
Dans ce cas, l’équation x2 = a a deux solutions : − a et a
Exemple :
1. Résoudre l’équation x2 = 10
Comme
est un nombre strictement positif, alors l’équation x2 = 10 a deux solutions qui
√ 10 √
sont − 10 et 10
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Mathématiques, 2013 − 2014
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Exercices Premier exercice
Énoncé :
√
√
√
√
18 × 6
D = 8 12 + 6 3 − 300
√
Écrire C et D sous la forme a 3 où a est un entier.
C=
√
Correction :
Pour C :
C=
√
18 × 6 =
√
3×6×6=
√
36 × 3 =
√
36 ×
√
3=
√
62 ×
√
3=6×
√
3=6
√
3
Pour D :
√
√
On a :
12 =
300 =
√
√
4×3=
100 × 3 =
√
√
4×
√
100 ×
3=
√
√
3=
22 ×
√
√
102 ×
3=2×
√
√
√
3=2 3
3 = 10 ×
√
3 = 10
√
3
√
√
√
√
√
√
√
D = 8 × 2 3 + 6 3 − 10 3 = 16 3 + 6 3 − 10 3 = 12 3
Deuxième exercice
Énoncé :
Résoudre l’équation x2 = 75.
Correction :
√
√
Comme 75 est strictement positif, cette équation a deux solutions : − 75 et 75.
√
√
√
√
√
√
√
√
Or, 75 = 25 × 3 = 25 × 3 = 52 × 3 = 5 × 3 = 5 3
√
√
En conclusion, l’équation x2 = 75 admet deux solutions : −5 3 et 5 3.
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Mathématiques, 2013 − 2014
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EQUATIONS, INEQUATIONS I. équation
1) Définition
3x2 − 5x + 1 = 6x − 2 est un exemple d’équation d’inconnue x.
Résoudre une équation d’inconnue x signifie déterminer pour quelle(s) valeur(s) de x l’égalité
est vraie.
2) Techniques de résolution d’une équation
a)Règle d’addition
On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une équation.
Cette propriété permet de résoudre des équations du type : x + a = b
b) Règle de multiplication
On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une équation par un même nombre non nul.
Cette propriété permet de résoudre les équations du type : a × x = b.
Dans les autres types d’équations, on se ramène à un des deux types précédents en utilisant
les règles ci-dessus (les termes variables d’un côté et les termes constants de l’autre).
3) Equation produit
Dire qu’un produit est nul revient à dire qu’un de ses facteurs est nul, autrement dit :
si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0 et si A = 0 ou B = 0, alors A × B = 0
II. Inéquation
1) Définition
Résoudre une inéquation, c’est chercher toutes les valeurs d’un nombre inconnu qui vérifient
l’inégalité proposée. Ces valeurs sont appelées solutions de l’inéquation.
2) Propriétés
Soit a,b et c des nombres relatifs.
Si a ≤ b alors a + c ≤ b + c et a − c ≤ b − c
Soit a,b et c des nombres relatifs.
Si c > 0 et a ≤ b alors a × c ≤ b × c et
Si c < 0 et a ≤ b alors a × c ≥ b × c et
a
c
a
c
≤
≥
b
c
b
c
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Mathématiques, 2013 − 2014
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Exercices Premier exercice
Énoncé :
Est-ce que le nombre 10 est solution de l’équation x − 4 = −2x + 15 ? Justifier.
Correction :
Si x = 10 alors x − 4 = 10 − 4 = 6
Si x = 10 alors −2x + 15 = (−2) × 10 + 15 = −20 + 15 = −5
Comme 6 est différent de (−5) alors 10 n’est pas solution de l’équation x − 4 = −2x + 15.
Deuxième exercice
Énoncé :
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
Correction :
a) 11z − 6 = 3z + 7
11z − 6 − 3z = 3z + 7 − 3z
8z − 6 + 6 = 7 + 6
8z = 13
13
8z
8 = 8
13
z= 8
L’équation a une unique solution :
13
8
b) −7w + 3 = 3w + 1
−7w + 3 − 3w = 3w + 1 − 3w
−10w + 3 − 3 = 1 − 3
−10w = −2
−10w
−2
−10 = −10
1
w= 5
L’équation a une unique solution : 15
c) (−x − 5)(3x − 12) = 0
Un produit est nul si
au moins un de ses facteurs l’est.
Résoudre cette équation revient à résoudre :
−x − 5 = 0 ou 3x − 12 = 0
−x = 5 ou 3x = 12
x = −5 ou x = 4
L’équation a deux solutions : -5 et 4.
d) (3x − 2)(2x + 7) = 0
Un produit est nul si
au moins un de ses facteurs l’est.
Résoudre cette équation revient à résoudre :
3x − 2 = 0 ou 2x + 7 = 0
3x = 2 ou 2x = −7
x = 23 ou x = −7
2
Les solutions de l’équation sont : 23 et −7
2 .
e) −x + 5 ≤ 2x − 1
−x + 5 − 5 ≤ 2x − 1 − 5
−x − 2x ≤ 2x − 6 − 2x
−3x ≤ −6
−3x
−6
−3 ≥ −3
x≥2
Les solutions de cette inéquation sont
les nombres supérieurs ou égaux à 2
f ) 8x + 12 > 10x + 2
8x + 12 − 12 > 10x + 2 − 12
8x − 10x > 10x − 10 − 10x
−2x > −10
−2x
−10
−2 < −2
x<5
Les solutions de cette inéquation sont
les nombres inférieurs à 5
Représentation graphique des solutions
de cette inéquation sur une droite graduée :
Représentation graphique des solutions
de cette inéquation sur une droite graduée :
17
Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
ANGLE AU CENTRE, ANGLE INSCRIT I. Définitions
• Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est sur le cercle et les côtés
sont deux cordes de ce cercle.
• Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre d’un cercle et les côtés
sont deux rayons de ce cercle.
O est le centre des cercles ci-dessous
A
[ est un angle au centre, cet
L’angle AOB
⌢
angle intercepte l’arc de cercle AB.
O
B
A
[ est un angle inscrit dans le
L’angle ACB
⌢
O
cercle, cet angle intercepte l’arc de cercle AB.
b
B
C
II. Propriétés
Propriété 1 :
Dans un cercle, un angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre si ces deux angles interceptent le même arc de cercle.
Propriété 2 :
Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc de cercle alors ces deux angles
ont la même mesure.
⋆ Remarque : Tout angle inscrit interceptant un demi-cercle est un angle droit.
18
Mathématiques, 2013 − 2014
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Exercices Exercice
Énoncé :
[
Les points R, S, T et V sont sur le cercle C de centre O avec RV
S = 35˚
[ et RT
[
Calculer les mesures des angles ROS
S
Correction :
Dans le cercle C de centre O :
⌢
[
• l’angle RV
S est un angle inscrit qui intercepte l’arc de cercle RS
⌢
[ est un angle au centre qui intercepte le même arc de cercle RS
• l’angle ROS
[ = 2 × RV
[
Donc, ROS
S = 2 × 35 = 70
[ mesure 70˚
L’angle ROS
[
⋆ Calcul de la mesure de l’angle RT
S
Dans le cercle C de centre O :
⌢
[
[
les angles RT
S et RV
S sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle RS.
[
[
Donc, RV
S = RT
S
[
L’angle RT
S mesure 35˚
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Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
LES PROBABILITES I. Vocabulaire
1) Définition : expérience aléatoire, événement
Un phénomème dont on ne peut pas prévoir de façon certaine le résultat s’appelle une
expérience aléatoire.
• Chacun des résultats possibles lors d’une expérience aléatoire s’appelle une issue.
• Un événement réalisé par une seule issue est un événement élémentaire.
Exemples :
⋆ Exemple 1 :
Considérons un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6 (dé non truqué). Quelqu’un lance ce dé. Il
y a 6 issues possibles à ce lancer :
1, 2, 3, 4, 5 ou 6
⋆ Exemple 2 :
Considérons une pièce de monnaie. Quelqu’un lance cette pièce de monnaie. Il y a 2 issues
possibles à ce lancer :
Pile
ou
Face
(on ne prendra pas en compte l’issue suivante : « la pièce tombe sur la tranche »)
Exemples d’événements :
Si on reprend l’exemple du dé, on peut définir de nombreux événements. Donnons des
exemples.
• A l’événement :« obtenir un nombre pair ». Cet événement est l’ensemble des issues
suivantes : « obtenir un 2 » ou « obtenir un 4 » ou « obtenir un 6 ».
• B l’événement :« obtenir un nombre multiple de 3 ». Cet événement est l’ensemble des
issues suivantes : « obtenir un 3 » ou « obtenir un 6 ».
On peut définir de nombreux autres événements.
2) Événements particuliers :
⋆ Événement certain : événement qui se produit à chaque fois, qui a 100% de chances
de se produire.
⋆ Événement impossible : événement qui ne se produit jamais, qui n’a aucune chance
de se produire.
Exemple : Lors d’un lancer de dé, l’événement : « obtenir un 9 » est impossible.
⋆ Événement « A et B » : c’est l’événement qui se réalise lorsque les événements A et
B se réalisent tous les deux simultanément.
20
Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
⋆ Événement « A ou B » : c’est l’événement qui se réalise lorsque l’un au moins des
deux événements A et B (ou les deux) se réalise.
⋆ Événements incompatibles : Deux événements A et B sont incompatibles si ces
deux événements ne peuvent pas se produire en même temps.
⋆ Événement contraire :
Si A est un événement, l’événement contraire de A est l’événement qui se réalise lorsque A
ne se réalise pas. On note cet événement contraire : « non A » ou A
Remarques importantes :
• Deux événements contraires sont incompatibles.
• L’événement « A et A » est l’événement impossible.
• L’événement « A ou A » est l’événement certain.
II. Probabilité
Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche d’une valeur particulière : la probabilité de cet événement
élémentaire.
III. Propriétés des probabilités
Propriété 1 : La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1.
Propriété 2 : La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1.
Propriété 3 : Quand les résultats d’une expérience aléatoire ont la même probabilité alors
la probabilité d’un événement est égale au quotient :
nombre de résultats favorables à l’événement
nombre de résultats possibles
Propriété 4 : Lorsque deux événements A et B sont incompatibles alors :
p(A ou B) = p(A) + p(B)
Propriété 5 : La somme des probabilités d’un événement A et de son contraire est égale
à 1.
p(A) + p(A) = 1
IV. Moyens de représentation
On peut représenter les différentes issues d’une expérience à l’aide d’un arbre.
21
Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
Quand on fait un arbre, on écrit sur chaque branche la probabilité de l’événement, on obtient
un arbre pondéré.
⋆ Exemple :
Une urne contient 20 boules : 8 boules blanches, 2 boules vertes et 10 boules jaunes.
Quelqu’un tire une boule de cette urne.
Considérons les événements suivants :
• B est l’événement : « tirer une boule blanche »
• V est l’événement : « tirer une boule verte »
• J est l’événement : « tirer une boule jaune »
8
2
10
p(B) =
= 0,4
p(V ) =
= 0,1
p(J) =
= 0,5
20
20
20
L’arbre est le suivant :
b
b
Blanc
b
Vert
b
Jaune
L’arbre pondéré est le suivant :
0,4
b
0,1
b
0,5
Blanc
b
Vert
b
Jaune
La somme des probabilités des différentes branches est égale à 1, en effet :
0,4 + 0,1 + 0,5 = 1
22
Mathématiques, 2013 − 2014
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V. Expérience à deux épreuves successives
Une expérience peut être constituée de deux épreuves successives.
⋆ Exemple :
Dans un premier temps, on tire un jeton dans un premier sac et on note sa couleur. Dans
un second temps, on tire un jeton dans le deuxième sac et on note sa couleur.
Le premier sac contient 10 jetons : 3 jetons vert et 7 jetons rouge.
Le deuxième sac contient 15 jetons : 3 jetons blanc et 12 jetons noir.
3
7
• Dans le premier sac, il y a 10 jetons. On peut écrire : p(V ) =
= 0,3 et p(R) =
= 0,7
10
10
3
12
• Dans le deuxième sac, il y a 15 jetons. On peut écrire : p(B) =
= 0,2 et p(N) =
=
15
15
0,8.
On peut construire un arbre.
0,3
0,7
0,2
B
0,8
N
0,2
B
0,8
N
V
R
Sur un arbre des résultats d’une expérience aléatoire à deux épreuves, une succession de deux
branches est appelée un chemin.
Propriété
Dans un arbre, la probabilité d’une issue auquel conduit un chemin est égale au produit des
probabilités le long du chemin.
En reprenant l’exemple précédent, on a : p(V,B) = 0,3 × 0,2 = 0,06
23
Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
Exercices Premier exercice
Énoncé :
Un sac contient 40 jetons numérotées de 1 à 40.
On tire au hasard l’un de ces jetons.
On considère les événements suivants :
A : « on obtient un numéro pair »
B : « on obtient un multiple de 3 »
C : « on obtient un numéro supérieur ou égal à 15 »
Déterminer p (A), p (B) et p (C).
Correction :
Calcul de p (A)
Il y a 20 nombres pairs parmi ces 40 nombres. On a : p (A) =
20
= 0,5.
40
Calcul de p (B)
Il y a 13 multiples de 3 parmi ces 40 nombres. On a : p (B) =
13
.
40
Calcul de p (C)
Il y a 26 numéros supérieurs ou égaux à 15 parmi ces 40 nombres.
26
13
On a : p (C) =
= .
40
20
Deuxième exercice
Énoncé :
Une urne contient 20 boules : 4 boules bleues, 12 boules rouges et 4 boules jaunes. (ces
boules sont unicolores)
Une expérience consiste à tirer une boule au hasard et à examiner sa couleur. On note :
R l’événement : « la boule obtenue est rouge » et J l’événement : « la boule obtenue est
jaune ».
1. Donner les probabilités de ces deux événements (donner le résultat sous la forme d’une
fraction irréductible).
2. Les événements R et J sont-ils incompatibles ? Pourquoi ?
3. Calculer la probabilité p (R ou J).
24
Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
Correction :
1. Il y a 12 boules rouges parmi les 20 boules qui sont dans cette urne. On a :
p (R) =
3×4
3
12
=
=
20
5×4
5
Il y a 4 boules jaunes parmi les 20 boules qui sont dans cette urne. On a :
p (J) =
4
1×4
1
=
=
20
5×4
5
2. Ces deux événements R et J sont incompatibles car on ne peut pas tirer à la fois une
boule rouge et une boule jaune (les boules sont unicolores).
3. Comme ces deux événements R et J sont incompatibles, nous pouvons écrire :
p (R ou J) = p (R) + p (J) =
3 1
4
+ =
5 5
5
25
Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
rappels sur la PROPORTIONNALITÉ 1
Situation de proportionnalité.
On dit que deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on peut calculer l’une à partir de l’autre
en multipliant toujours par le même nombre.
Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.
Exemples :
– Dans une station service, le prix à payer pour l’achat de carburant s’obtient en multipliant
la quantité d’essence achetée (en litre) par le prix d’un litre. Donc le prix à payer est
proportionnel à la quantité d’essence et le coefficient de proportionnalité est le prix d’un
litre d’essence.
– Le périmètre d’un disque s’obtient en multipliant le diamètre du disque par π. Donc le
périmètre d’un disque est proportionnel à son diamètre et le coefficient de proportionnalité
est π.
Contre-exemple :
A 20 ans un homme pèse 70 kg. Combien pèsera-t-il à 60 ans ?
Ce n’est pas une situation de proportionnalité. En effet, la masse d’une personne ne dépend
pas de son âge. Cette personne peut grossir, maigrir ou garder sa masse pendant les prochaines
40 années. (il en est de même pour la taille d’une personne).
2
Tableau de proportionnalité.
Un tableau est un tableau de proportionnalité lorsqu’on obtient les nombres de la deuxième ligne
en multipliant ceux de la première par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.
Exemples :
1.
Quantité d’essence (en L) 20 40 120
Prix (en euros)
25 50 150
En divisant les nombres de la deuxième ligne par ceux de la première ligne on trouve le
même résultat.
En effet,
25
50
150
=
=
= 1,25
20
40
120
C’est donc un tableau de proportionnalité et le coefficient de proportionnalité est 1,25.
Nombre de tours de manège 2 4
7
2.
Prix en euros
1 2 2,80
En divisant les nombres de la deuxième ligne par ceux de la première on n’obtient pas le
même résultat.
26
Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
En effet, 12 = 24 = 0,50 et 2,8
= 0,40
7
Ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
3
La quatrième proportionnelle.
Dans une situation de proportionnalité, si l’on connait trois valeurs sur quatre du tableau, alors
il est possible de calculer la quatrième valeur. On dit qu’on calcule la quatrième proportionnelle.
Pour cela on utilise le produit en croix.
Exemples
100
8
4
x
x=
32
32×100
8
4
16
10
y=
y
16×10
4
18
z
72
z=
8
8×18
72
= 400
= 40
=2
Représentations graphiques.
Si deux suites de nombres sont proportionnelles alors elles sont représentées par des points
alignés avec l’origine du repère.
Réciproquement, si deux suites de nombres sont représentées par des points alignés avec l’origine
du repère alors elles sont proportionnelles.
Autrement dit, la représentation graphique d’une situation de proportionnalité est une droite
passant par l’origine et réciproquement.
. Exemple 1 : proportionnalité
Grandeur a
Grandeur b
2
1
3
1,5
6
3
Ce tableau est un tableau de proportionnalité et le coefficient de proportionnalité est 0,5.
Dans ce cas, on a trois points alignés avec l’origine :
27
Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
Exemple 2 : non proportionnalité
Grandeur a
Grandeur b
3
2
4
3
6
3
Ce tableau n’est pas un tableau de proportionnalité. Dans ce cas, on a des points non
alignés avec l’origine. En effet, en plaçant dans un repère les points M, N et P de coordonnées
respectives M(3; 2), N(4; 3) et P (6; 3), on s’aperçoit que ces trois points ne sont pas alignés
avec l’origine du repère. (on vous laisse le soin de faire un graphique pour visualiser la situation)
28
Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
théorème de THALÈS et sa réciproque I. Propriété de Thalès
Etant données deux droites (d) et (d′ ) sécantes en A,
deux points B et M de (d), distincts de A,
deux points C et N de (d′ ), distincts de A,
si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors :
AM
AB
=
AN
AC
=
MN
BC
Il y a trois configurations possibles :
C
N
A
M
B
(d)
N
C
A
B
M
(d)
M
N
A
B
C
29
Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
Remarques :
1. La propriété de Thalès permet de calculer une longueur quand on en connaît trois autres.
2. La propriété de Thalès permet de démontrer que des droites ne sont pas parallèles : dans
les conditions de la propriété de Thalès, si AM
6= AN
alors les droites (BC) et (MN) ne
AB
AC
sont pas parallèles.
II. Réciproque du théorème de Thalès
Etant données deux droites (d) et (d′ ) sécantes en A,
deux points B et M de (d), distincts de A,
deux points C et N de (d′ ), distincts de A,
si AM
= AN
et si les points A, B, M sont dans le même ordre que les points A, C,
AB
AC
N, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Exercices Premier exercice
Énoncé :
On considère la figure suivante avec (ST ) k (UV ).
Calculer KV et ST .
T
S
K
V
U
T K = 3 cm ; SK = 5 cm ; KU = 9 cm et UV = 6,3 cm.
Correction :
Les droites (T V ) et (SU) sont sécantes en K.
Puisque les droites (ST ) et (UV ) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès, on a :
KS
ST
KT
=
=
d’où en remplaçant avec les données de la figure :
KV
KU
UV
30
Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
5
ST
3
= =
KV
9
6,3
En utilisant le produit en croix, on a : KV =
3×9
5 × 6,3
= 5,4 et ST =
= 3,5.
5
9
Deuxième exercice
Énoncé :
Avec les données de la figure suivante - figure qui n’est pas en vraie grandeur - : OI = 6 cm ;
IP = 10,5 cm ; IL = 4 cm et IU = 7 cm, démontrer que (OL) est parallèle à (UP ).
U
b
Ob
b
I
b
L
P
b
Correction :
– Les droites (OP ) et (LU) sont sécantes en I.
– Les points O, I et P sont alignés dans le même ordre que les points L, I et U .
– d’autre part, on a :

IP
10,5
105
7 
=
=
= 


IO
6
60
4 

IP
IU
IU
7  donc IO = IL
= 

IL
4 


On peut appliquer la réciproque du théorème de Thalès et on déduit que les droites (OL) et
(UP ) sont parallèles.
31
Mathématiques, 2013 − 2014
Collège Montgaillard, 28 novembre 2013
Troisième exercice :
(Extrait du problème du collège Montgaillard, décembre 2007 : légèrement modifié)
Énoncé :
RU = 12 cm ; UN = 5 cm
Rb
E
b
b
U
b
F
b
N
E est un point du segment [RU] tel que UE = 5,3 cm et F est un point du segment [UN]
tel que NF = 2,8 cm.
Les droites (EF ) et (RN) sont-elles parallèles ?
Correction :
Les droites (RU) et (UN) sont sécantes en U.

UE
5,3
53 
=
=


UR
12
120 




UF
UN − NF
5 − 2,8
2,2
52,8 
UE
UF
=
=
=
=
donc
6=
UN
UN
5
5
120 
UR
UN








Par conséquent, les droites (EF ) et (RN) ne sont pas parallèles.
32