Terminale S spécialité maths Contrôle 3 bis correction 1. Ecrire les

Terminale S spécialité maths
Contrôle 3 bis correction
1. Ecrire les congruences suivantes sous la forme : 10 avec entier naturel
compris entre 0 et 9 inclus :
22012 10 45787 10
9 10
2 10
3 10
9 1 10, donc 9 1 10
2. Trouver les entiers relatifs tels que : 5 9 et 30 30.<
9 5, avec entier relatif tel que :
30 9 5 30, 35 9 25, 3 2 , c'est-à-dire :
3
0
22
5
2
1
13
14
1
2
4
23
3. Quel est le reste, dans la division par 5, du nombre suivant les valeurs de .
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
2
4
On a : !
3
1
2
4
3
1
2
4
3
1
2
4
3
et "#$% & , donc " #$% &
'" ( et " #$% &, donc '" #$% &
' ( et " #$% &, donc ' #$% &
') ( ) , " #$% & et ) ) #$% &, donc ') ) #$% &
Quel est le reste, dans la division par 5, de *"" ?
*"" ( &* ),
donc *""
) #$% & : 3 est le reste de *"" dans
la division par 5.
4. Il est 14h. Quelle heure sera t’il dans 113h ?
113 4 ( 24 17 113h correspond donc à 4 jours et 17h plus tard
Or 14+17=31=24+7 : Il sera alors 7h le matin.
5. Montrer que, pour tout entier naturel + : 48, 1 7
48 1 7 donc 48 1 7 et 48, 1 7)
6. Montrer alors que 2, pour tous entiers et .
2 et 2 0 2, donc 2
Vérifier avec 145 et 7.
145 7 138 et 138 0 2 , donc 0 2
21074 et 21074 0 2
Donc 145 7 145 7 2
7. Quel est le reste, dans la division par 13, du nombre : 2001
2001 1 13 car 2001 13 ( 153 12, et 2001 1 13
Le reste, dans la division par 13, du nombre 2001 est 1.
8. Démontrer que, pour tout entier naturel +, on a : +- 4+ 0 5
+- 4+ ++. 4 pour tout entier +.
Exemple : + 2 5
+ 1 5 , +. 1 5 et enfin +. 4 0 5
Donc ++. 4 0 5
De la même façon, on obtient le tableau de congruences modulo 5 suivant :
0
1
2
3
4
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Finalement, pour tout entier naturel +, on a : + 4+ 0 5
Exercices :
1. Quel est le reste, dans la division euclidienne par 7, de 23..
23 2 7, donc 23. 2. 7
Le tableau des congruences de 2, modulo 7 est :
12
13
14
15
1
2
4
1
2
4
1
2
4
1
2
4
1
/0
Ainsi : 2 1 7, donc 2 1 7
2/0' 2/0 ( 2, et 2/0 1 7, donc 2/0' 2 7
2/0' 2/0 ( 4, et 2/0 1 7, donc 2/0' 4 7
Or 41 3 ( 13 2, donc 2. 4 7 et 23. 4 7
Le reste, dans la division euclidienne par 7, de 23. est donc 4.
2
4
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
/
2. Démontrer que 1 2 3 4 est divisible par 5.
1 1 5 2 2 5
3 2 5
3 2 5 c'est-à-dire 3 2 5
4 1 5
4 1 5 c'est-à-dire 4 1 5
Par addition, on obtient : 1 2 3 4 1 2 2 1 5
C'est-à-dire 1 2 3 4 0 5
Le nombre 1 2 3 4 est donc divisible par 5.
Démontrer que 20, 21, 22, 23, 24, , avec n impair, est divisible par 5
20 0 5 donc 20, 0 5
21 1 5 donc 21, 1 5
22 2 5 donc 22, 2, 5
23 2 5 et 23, 2, 5, donc 23, 2, 5 car n est impair
24 1 5 et 24, 1, 5, donc 24, 1 5 car n est impair
Finalement 20, 21, 22, 23, 24, 0 1 2, 2, 1 5
C’est à dire 20, 21, 22, 23, 24, 0 5 pour n impair
20, 21, 22, 23, 24, , avec n impair, est divisible par 5
3. Démontrer que, pour tout entier naturel +, 16 ( 7, 28 ( 3,'/ est divisible par 5.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
16
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
7,
-28
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2
3,'/
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
16 ( 7, 28 ( 3,'/
16 1 5 28 2 5
3/ 2 5
7 1 5
7, 1, 5 16 ( 7, 1, 5
3 1 5
3, 1, 5 3,'/ 1, ( 2 5 28 ( 3,'/ 1, ( 4 5
Pour + 2 :
16 ( 7, 28 ( 3,'/ 1 4 5, donc 16 ( 7, 28 ( 3,'/ 05
Pour + 2+1 :
16 ( 7, 28 ( 3,'/ 1 1 ( 4 5, donc 16 ( 7, 28 ( 3,'/ 05
Finalement : 16 ( 7, 28 ( 3,'/ 0 5 , pour tout n
Ou encore : Pour tout entier naturel +, 16 ( 7, 28 ( 3,'/ est divisible par 5.
15
16
1
-1
2
-2
0
1
1
2
2
0
4. Démontrer que : 1000+ + 111, pour tout entier naturel n.
1000 9 ( 111 1 donc 1000 1 111
Comme + + 111, on obtient par produit des congruences : 1000+ +111 (•)
En déduire que les nombres suivants sont divisibles par 111 :
111 111
100 010 001
100 010 000 001
111 111 111 ( 1000 111 et 1000 ( 111 111111 en appliquant (•)
Donc 1000 ( 111 0111,
Comme 111 0111, on obtient 1000 ( 111 111 0111
111 111 est donc divisible par 111
100 010 001 100 000 000 10 000 1
100 000 000 1000 ( 100 000 donc 100 000 000 100 000 111 (•)
et 100 000 1000 ( 100 donc 100 000 100 111 (•)
Donc 100 000 000 100 111 (1)
10 000 1000 ( 10 donc 10 000 10 111 (•) (2)
Et enfin 1 1 111 (3)
(1)+ (2) + (3) donnent : 100 000 000 10 000 1 100 10 1 111
Et donc 100 010 001 111 111
100 010 001 0 111
100 010 001 est donc divisible par 111
De la même façon : 100 010 000 001 100 000 000 000 10 000 000 1
En appliquant 3 fois (•), on a : 100 000 000 000 100 111 (1)
En appliquant 2 fois (•), on a : 10 000 000 10 111 (2)
Et enfin 1 0 111 (3)
Finalement (1)+ (2) + (3) donnent : 100 010 000 001 100 10 1 111
100 010 000 001 111 111
100 010 000 001 0 111
100 010 000 001 est donc divisible par 111
1. 2009 11 ( 182 7 : Le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11 est 7
2. "* "* "" ( 2) " : Le reste dans la division euclidienne de "* par 11 est 1
3.
**
**2 "*(**'2 "* !
( 2
**
"* " "", donc "* !
" ""
2 &" "" ( 3 3 , donc 2 3 ""
**2 3 ""
On a donc : **2 " ( 3 ""
Comme **2 4 "", on a **2 **2 3 4 "" et donc **2 **2 ""
4. 5678 : le plus grand diviseur commun
% divise 9 et 9'" , donc % divise 9'" 9 :'" ;< = ;> '" Or '" ( " , donc % divise avec ? "
5.
Si ; est pair, ; et 9 ( @" !, 9 est pair.
Si ; est impair, ; " et 9 " ( @" ! ", 9 est impair.
6. Les diviseurs de sont : ", , , ) , … , (il y en a ")
Comme % divise , % " ou % B avec " B .
Si ; est pair, 9 est pair pour tout ? ", et donc % B avec " B , % est pair
Si ; est impair, 9 est impair pour tout ? ", et donc % ", % est impair.
7. Pour ; **2, 9**2 **2 **2 et 9*"* *"* **2
On cherche le PGCD de 9**2 et 9*"* ; comme ; **2 est impair, %**2 ".
Le PGCD de **2 **2 et de *"* **2 est %**2 ".
On dit que ces deux nombres sont premiers entre eux.