Correction Exercice 4 - Rendement d`une éolienne

PSI - 2011/2012
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TD A4 - Correction
Exercice 4 - Rendement d'une éolienne
1. L'écoulement étant supposé incompressible, le débit volumique se conserve dans le tube
de courant. En considérant que l'écoulement est unidimensionnel, il vient :
DV = Se ve = Sv = Ss vs
Comme ve > v > vs , on en déduit que :
Ss > S > Se
ce qui est bien en accord avec la gure proposée.
2. Pour déterminer ces relations, on applique le théorème de Bernoulli sur une ligne de courant, l'écoulement étant parfait (l'énoncé ne suppose pas qu'il ne l'est pas), incompressible
et stationnaire :
- sur une ligne de courant en amont de l'éolienne, on a :
1
1
ρve 2 + P0 = ρv 2 + P+
2
2
- sur une ligne de courant en aval de l'éolienne, on a :
1 2
1
ρv + P− = ρvs 2 + P0
2
2
On ne peut pas écrire cette relation entre l'entrée et la sortie du tube complet, car la relation
de Bernoulli n'est plus valable au voisinage de l'hélice puisque les forces de viscosité jouent un
rôle important ici (ce sont elles qui permettent la mise en mouvement des pales de l'éolienne).
3. En considérant un volume de contrôle étroit situé autour de l'hélice, on voit que les seules
forces de pression s'exerçant sur l'hélice sont données par :
→
−
−
−
F f luide→helice = P+ S →
u x − P− S →
ux
D'après le principe de l'action et de la réaction, on en déduit le résultat demandé :
→
−
−
F helice→f luide = −(P+ − P− )S →
ux
4. Eectuons un bilan de quantité de mouvement sur le système fermé S ∗ , coïncidant à
l'instant t avec le tube de courant précédent (qui constitue un système ouvert, que l'on note S ).
On obtient, en projection sur l'axe x :
p∗ (t) = p(t)
et
p∗ (t + dt) = p(t + dt) − dmve + dmvs
où dm = ρDV dt est la quantité de uide sortant et rentrant du tube de courant pendant dt (ces
quantités sont égales car le débit massique est constant puisqu'on est en régime stationnaire).
Or, en régime stationnaire, la quantité de mouvement du uide contenu dans le tube de courant
(système ouvert S ) est constante, donc :
p(t + dt) = p(t)
2
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On en déduit :
p∗ (t + dt) − p∗ (t) = ρDV (vs − ve )dt
soit
−
D→
p∗
→
= ρDV (vs − ve )−
ux
Dt
Appliquons ensuite le principe fondamental de la dynamique (ou théorème de la résultante cinétique) au système fermé S ∗ dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen :
−
D→
p∗ →
−
−
→
= F helice→f luide + F pression→f luide
Dt
Or, la pression extérieure s'exerçant sur le tube de courant (qui est une surface fermée) est
uniforme (égale à P0 ) : la résultante des forces de pression est donc nulle d'après la propriété
rppelée dans l'énoncé. Il reste donc
−
D→
p∗
→
= −(P+ − P− )S −
ux
Dt
→
D−
p∗
En identiant les deux expressions de
, on obtient alors :
Dt
ρDV (vs − ve ) = −(P+ − P− )S
5. En utilisant les relations obtenues précédemment pour P+ et P− (cf. question 2) et en utilisant
DV = Sv , on obtient bien le résultat demandé :
v=
ve + vs
2
La vitesse v est donc intermédiaire entre les vitesses d'entrée et de sortie : ve > v > vs . Ceci
est tout à fait raisonnable ; la vitesse du vent en sortie est plus faible car de l'énergie a été
transférée à l'éolienne.
6. Un bilan d'énergie appliqué au système fermé S ∗ (déni à la question 4) permet d'obtenir,
en utilisant le théorème de l'énergie cinétique :
dEc∗ = Phelice→f luide dt =
On en déduit :
Pf luide→helice
1
dm(vs2 − ve2 )
2
1
= ρve2 DV
2
Ã
vs2
1− 2
ve
!
ve + vs
, on obtient nalement :
2
Ã
!Ã
!
1 2
1
vs
vs2
Pf luide→helice = ρve Sve
1+
1− 2
2
2
ve
ve
En utilisant DV = Sv = S
Cette expression correspond à celle donnée dans l'énoncé avec :
f (x) =
1
(1 + x)(1 − x2 )
2
1
Le facteur ρve2 Sve correspond à la puissance du uide en entrée du tube de courant, la
2
fonction f caractérise donc la fraction de cette puissance qui est transférée à l'hélice. On
vérie bien que, lorsque la vitesse de sortie est égale à la puissance d'entrée (x = 1), la
puissance transférée à l'hélice est nulle.
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3
¢
1¡
1 − 2x − 3x2 . Donc l'extremum est
2
7. Etudions la fonction f . Sa dérivée est égale à f 0 (x) =
atteint pour x vériant x2 +
2
1
x − = 0, soit :
3
3
x = −1 ou
1
3
à !
1
1
16
> f (0) = , cette valeur correspond
Comme x est nécessairement positif, et que f
=
3
27
2
bien à un maximum. On a donc :
xmax =
1
3
et
Pf luide→helicemax =
8
ρSve3
27
d2
on obtient Pf luide→helicemax = 2, 1 MW
4
Cette valeur est tout à fait en accord avec celle donnée plus bas.
A.N. : Avec ρair = 1, 4 kg.m−3 et S = π
Remarque : on aurait pu s'attendre à ce que la puissance transférée à l'hélice soit maximale
lorsque le vent derrière l'hélice s'annule complètement, mais il n'en est rien.
8. En utilisant la conservation du débit, on obtient :
v
1 ve + vs 1
Ss
=
=
=
S
vs 2 vs
2
Ã
!
1
+1
x
1
Ss
Pour x = xmax = , on obtient
=2
3
S
On vérie bien que la section du tube
√ est plus importante en sortie. Le diamètre du tube de
courant vaut donc en sortie : ds = 2d ' 112 m. On placera donc les éoliennes à des distances
au moins égales à ds pour ne pas que les éoliennes se perturbent les unes les autres.
9. En réutilisant les donnée précédentes, on obtient :
Ff luide→helice =
¢
1 2¡
ρve 1 − x2max S = 3, 1.105 N
2
Le pylône doit donc pouvoir résister à une force horizontale équivalent au poids d'une masse
de 30 tonnes, ce qui explique le diamètre important des pylônes.
10. (a) Une vitesse de ∼ 17 tr/mn paraît relativement faible, mais cela correspond tout de même
à une vitesse de l'extrémité de la pale de vmax = Rω = 40 × 17 × 2π/60 = 71 m.s−1 =
256 km.h−1 ! Cette vitesse est élevée, ce qui explique le bruit causé par le mouvement
des pales à leur proximité. Cette vitesse reste très inférieure à la vitesse du son dans l'air
(340 m.s−1 ), mais sera toujours plus élevée que la vitesse du vent (rarement supérieur à
100 km.h−1 ).
(b) Il n'est pas surprenant de voir que la puissance recueillie augmente avec la vitesse du vent
incident. Cependant, on voit que la courbe sature lorsque la vitesse atteint 15 m.s−1 . Ceci
a pour but de réguler l'énergie électrique injectée dans le réseau, même en présence de
rafales, dès lors que le vent est supérieur à 15 m.s−1 . Ceci se traduit par une limitation
de la vitesse de rotation des pales, ce qui permet de limiter les nuisances sonores, et de
limiter l'usure excessive provoquée par une rotation trop rapide.