Répétition 1 : Théorème de Thévenin et Norton 1 Rappels et définitions 1.1 Dipôle et théorème de superposition Un dipôle électrique est un élément à deux bornes, caractérisé par le courant i qui le traverse et par la tension v apparaissant à ses bornes : Le dipôle électrique est dit linéaire si la relation i-v est une relation linéaire c'est à dire, si i = i1 pour une tension v1 et i = i 2 pour une tension v 2 , alors i = ai1 + bi2 pour une tension v = av1 + bv2 . Exemples de composants linéaires : v • La résistance : R, i = R • L'inductance : L, v = L • La capacité : C, i = C di dt dv dt Un dipôle peut être lui-même composé d'un ensemble de dipôles interconnectés. ELEN0075 – Électronique analogique – Répétition 1/1 Imprimé le 9 février 2006 Exemple : Si la relation i-v est linéaire, on parle alors d'un circuit linéaire. Remarques : dans le circuit précédent, on a introduit les sources suivantes : La source de tension continue, V = v . La source de courant continu, I =i. Les circuits linéaires satisfont le théorème de superposition. La réponse du circuit à un ensemble de sources indépendantes est donnée par la somme des réponses à chaque source individuelle. 1.2 Application Calculer la réponse du circuit ( v ) ci-dessous lorsqu'il n'est pas connecté à une résistance de charge, c'est à dire lorsque i = 0 en sortie du circuit. Suggestion : La réponse se calcule en 3 étapes successives. Toutes les sources étant indépendantes, on calculera individuellement les contributions de chacune des trois sources. Lorsque l'on s'intéressera à l'une des sources, les sources de courant seront remplacées par un circuit ouvert et les sources de tension par un court-circuit. Ensuite on sommera toutes les contributions. R2 RR On trouve alors pour i = 0 en sortie du circuit. : v = (V1 + V2 ) + I1 1 2 . R1 + R2 R1 + R2 ELEN0075 – Électronique analogique – Répétition 1/2 Imprimé le 9 février 2006 2 Théorème de Thévenin On considère un circuit linéaire, composé d'éléments résistifs, de sources de tension continues, et éventuellement de sources dépendantes linéaires, par exemples : • Source de courant : où i = gv1 , avec v1 qui est une tension apparaissant aux bornes d'un autre élément du circuit. Exemple d'une source commandée par une tension v1 : • Source de tension : où v = Av1 , avec v1 qui est une tension apparaissant aux bornes d'un autre élément du circuit. Exemple d'une source commandée par une tension v1 : Ces sources commandées apparaissent dans des modèles de certains éléments d'électronique (diodes, transistors,…) que l'on abordera ultérieurement. Si l'on considère l'un de ces circuits. Sa caractéristique i-v étant linéaire, on a de façon générale la relation suivante : i = Av + B où A et B sont des constantes. On suppose A ≠ 0 et A< 0. La droite i-v est appelée "droite de charge du circuit". Prenons un exemple de circuit simple : Le système nous donne : v = VTH − RTH i , v V 1 V et donc i = − + TH ou encore A = − et B = TH RTH RTH RTH RTH ELEN0075 – Électronique analogique – Répétition 1/3 Imprimé le 9 février 2006 Vu de l'extérieur, le circuit sous forme de boite noire ne peut être différencié du circuit 1 V et B = TH . représenté dans sa forme complète, si l'on choisi A = − RTH RTH Le théorème de Thévenin établit que tout circuit linéaire peut-être remplacé par le circuit simplifié qui reproduit sa droite de charge, c'est à dire : 1 V Pour A = − et B = TH , RTH RTH ≡ Ce théorème est très utile pour simplifier un circuit complexe en sous-circuits de Thévenin. Calcul des paramètres du modèle équivalent de Thévenin : Soit le circuit suivant : Trois méthodes : • Identification directe : VTH : tension apparaissant aux bornes du dipôle (de gauche) quand le circuit est ouvert que l'on déduit par les lois de Kirchhoff. RTH : c'est la résistance équivalente du dipôle lorsque les sources de tension sont mises à zéros. • Par le calcul du courant I CC : On détermine RTH comme dans la première méthode, mais au lieu de chercher VTH, on calcule le courant i = I CC qui traverse le dipôle si celui-ci est mis en court-circuit : On a alors : I CC = VTH soit : VTH = I CC RTH . RTH • Méthode Vtest-Itest. On impose un courant Itest et on calcule la tension aux bornes du dipôle, avec toutes les sources continues mises à zéro. Cela nous permet de déterminer RTH. On peut ensuite regarder le circuit ouvert pour déterminer VTH (I test=0) ou déterminer I CC en court-circuitant le circuit (Vtest =0) RR R2 On trouve : VTH = V et RTH = 1 2 . Pour le calcul de RTH les sources de courant R1 + R2 R1 + R2 continues seront remplacées par un circuit ouvert et les sources de tension continues par un court-circuit. Les sources commandées seront discutées en détail ultérieurement. ELEN0075 – Électronique analogique – Répétition 1/4 Imprimé le 9 février 2006 Remarques : • Les trois méthodes sont équivalentes. Le choix de l'une par rapport à l'autre vient de la pratique. • Le théorème de Thévenin peut-être démontré (ici, nous n'avons fait que de montrer sa validité avec quelques exemples). Il peut également être généralisé aux impédances 1 complexes ( Z = jω L ou Z = ). jωC 3 Théorème de Norton Comparons maintenant le circuit linéaire (le dipôle) au circuit équivalent suivant : ≡ Ce dernier à la droite de charge suivante, avec i = − v + I N et v = RN I N − RN i . RN Le modèle équivalent de Norton n'est qu'une autre représentation du modèle équivalent de v V Thévenin pour lequel on avait la droite de charge v = VTH − RTH i , i = − + TH RTH RTH Le passage de l'une à l'autre des représentations se fait donc en identifiant I N à I CC et RNI N à V VTH et donc on trouve : I N = TH et RN = RTH RTH ELEN0075 – Électronique analogique – Répétition 1/5 Imprimé le 9 février 2006 4 Diviseur potentiométrique Calculer la différence de potentiel v dans le cas de l'absence de charge ainsi que lorsqu'elle est présente. v sera exprimé comme une fraction de la tension V que l'on peut ajuster en fonction de R1, R2 et RL. Penser à utiliser le théorème de Thévenin. Si l'on veut concevoir un circuit qui délivre une tension de 2V à une résistance RL = 1 k Ω et que l'on dispose d'une source de 10V, que peut-on choisir comme résistance R1 et R2 ? 5 Diviseur de courant Très utile à garder en mémoire. Solutions : I1 = R2 I et I 2 R1 + R2 R1 R1 R2 I. 6 Exercice Un modèle de transistor donne le circuit suivant : Déterminer le circuit équivalent de Thévenin. Données : β = 100 , V1 = 0,5V et V2 = 1,5V ; R1 = 10 k Ω et R2 = 1 k Ω Suggestion : déterminer VTH en utilisant le principe de superposition en mettant successivement V1 et V2 à zéro. La source commandée βi1 n'est mise à zéro que si i 1 est égal à zéro dans les circuits obtenus. ELEN0075 – Électronique analogique – Répétition 1/6 Imprimé le 9 février 2006