Premiere s exercices sur la derivation 2010

Première S
Exercices sur la dérivation
2010-2011
Exercice 1
Prouver l'existence du nombre dérivé au point a de la fonction f indiquée et
calculer sa valeur.
1) f(x) = x² - 5x + 3 ; a = 2
2) f(x) =
1
;a=0
1-x
Exercice 2
f est une fonction dérivable sur Y.
1) Une équation de la tangente à sa courbe C au point d'abscisse -2 est y = 4x
– 7. En déduire l'approximation affine locale de f(-2 + h).
2) L'approximation affine locale de f(3 + h) est -2 + 5h. En déduire une
équation de la tangente à sa courbe C au point d'abscisse 3.
Exercice 3
f est la fonction x ©ª x²; a est un réel.
1) Donner l'approximation affine locale de f(a + h).
2) Déterminer, en fonction de h, l'erreur commise lorsque l'on remplace f(a +
h) par cette approximation affine.
3) Comment choisir h pour que la précision de cette approximation soit égale
à 10-6 ?
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Première S
Exercices sur la dérivation
2010-2011
Exercice 4
A l'aide d'un grapheur, on a obtenu
la courbe représentant la fonction
f : ©ª -x4 + 2x² + x et la tangente T à
cette courbe au point A(-1;0).
Cette tangente semble être tangente à la
courbe en un second point B. Le prouver.
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Exercices sur la dérivation
CORRECTION
2010-2011
Exercice 1
Prouver l'existence du nombre dérivé au point a de la fonction f indiquée et
calculer sa valeur.
1) f(x) = x² - 5x + 3 ; a = 2
2) f(x) =
1
;a=0
1-x
On pose t(h) =
f(a+h) – f(a)
pour h ≠ 0
h
1) Après calcul on a t(h) =
= h + 2a – 5
Cette fonction est définie pour tout a réel.
Le nombre dérivé en a de la fonction f est donc f'(a) = lim t(h) = 2a – 5
h→0
En particulier pour a = 2, f'(a) = 2×2 – 5 = -1
1
1
1 – (a + h) 1 - a 1 – a – (1 – (a + h))
2) De même : t(h) =
=
h
h(1 – a – h)(1 – a)
t(h) =
1
(1 – a – h)(1 – a)
Cette fonction t est définie pour a ≠ 1 et h ≠ 1 – a
Pour a ≠ 1, le nombre dérivé en a de la fonction f est donc :
f'(a) = lim t(h) =
h→0
1
(1 – a)²
Pour a = 0, f'(0) = 1
Exercice 2
f est une fonction dérivable sur Y.
1) Une équation de la tangente à sa courbe C au point d'abscisse -2 est y = 4x
– 7. En déduire l'approximation affine locale de f(-2 + h).
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Exercices sur la dérivation
CORRECTION
2010-2011
2) L'approximation affine locale de f(3 + h) est -2 + 5h. En déduire une
équation de la tangente à sa courbe C au point d'abscisse 3.
1) L'approximation affine locale de f(-2 + h) est : f(-2) + hf'(-2).
Or l'équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse nous fournit
f(-2) et f'(-2).
f(-2) = 4×(-2) – 7 = -15 et f'(-2) = 4
L'approximation affine locale de f(-2 + h) est donc : -15 + 4h.
2) f(3 + h) ≈ -2 + 5h
Donc f(3) = -2 et f'(3) = 5.
Une équation de la tangente à C au point d'abscisse 3 est :
y = f'(3)(x – 3) + f(3)
Soit : y = 5(x – 3) – 2
Soit y = 5x - 17
Exercice 3
f est la fonction x ©ª x²; a est un réel.
1) Donner l'approximation affine locale de f(a + h).
2) Déterminer, en fonction de h, l'erreur commise lorsque l'on remplace f(a +
h) par cette approximation affine.
3) Comment choisir h pour que la précision de cette approximation soit égale
à 10-6 ?
1) f(a + h) ≈ f(a) + hf'(a) = a² + 2ah
2) Erreur commise : E(h) = f(a + h) - (a² + 2ah) = (a + h)² - a² - 2ah = a² +
2ah + h² - a² - 2ah = h²
3) E(h) ≤ 10-6 h² ≤ 10-6 h ≤ 10-3
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Première S
Exercices sur la dérivation
CORRECTION
2010-2011
Exercice 4
A l'aide d'un grapheur, on a obtenu la
courbe représentant la fonction
f : ©ª -x4 + 2x² + x et la tangente T à cette
courbe au point A(-1;0).
Cette tangente semble être tangente à la courbe
en un second point B. Le prouver.
Déterminons une équation de la droite T :
y = f'(-1)(x + 1) + f(-1)
f'(x) = -4x3 + 4x + 1
f'(-1) = 4 – 4 + 1 = 1
f(-1) = 0
Une équation de T est donc y = x + 1
Déterminons une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1 :
y = f'(1) (x – 1) + f(1)
f'(1) = -4 + 4 + 1 = 1 et f(1) = -1 + 2 + 1 = 2
D'où : y = x – 1 + 2
Soit y = x + 1
On reconnait une équation de T.
Les points d'abscisses -1 et 1 admettent donc une tangente commune à la
courbe.
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