TP n°19 : redressement monophasé commandé

Redressement commandé : corrigé
Les redresseurs commandés sont des convertisseurs alternatif – continu (AC – DC) dont la valeur moyenne
de la tension de sortie est réglable.
I. Le thyristor
1. Présentation
Le thyristor est un interrupteur unidirectionnel commandé à la
fermeture (les commutations à l'ouverture sont naturelles). Son
symbole est représenté ci­contre. Il est relié à l'extérieur par trois
bornes appelées « anode », « cathode » et « gâchette ».
2. Caractéristique statique
• Le thyristor peut être bloqué (interrupteur ouvert) dans le sens direct (vAK positive) et dans le sens inverse
(vAK négative).
• Il ne peut être passant (interrupteur fermé) que dans
le sens direct, le courant principal (i sur le schéma
ci­dessous) traverse le thyristor de l'anode vers la
cathode.
3. Commutations
La gâchette est l'électrode de commande : pour
commander un thyristor à la fermeture, il faut que la
tension à ses bornes soit positive et imposer un courant
d'intensité suffisante (mais très faible devant le courant
principal) dans la gâchette. En pratique, le circuit de
commande est relié entre la gâchette et la cathode.
Pour bloquer un thyristor, il faut lui imposer une
tension négative ou annuler son courant principal.
4. Retard à l'amorçage et angle de retard à l'amorçage
Un thyristor ne peut être amorcé (rendu passant) que si la tension à ses bornes est positive. Dans les
convertisseurs étudiés par la suite, les tensions aux bornes des thyristors sont constituées de portions de
sinusoïdes et le retard à l’amorçage est « la durée qui s’écoule entre l’instant pour lequel le thyristor
deviendrait passant s’il était une diode et l’instant auquel le circuit déclencheur lui envoie une impulsion ».
Exemple : dans le schéma ci­dessous, la tension aux bornes du thyristor est notée v(q) avec q = wt Redressement commandé
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Si le thyristor était une diode, il
deviendrait passant dès que la tension
v(q) tendrait à devenir positive.
La période étant ramenée à un angle
de 2π radians ou 360°, on définit
l’angle de retard à l’amorçage qui
correspond au retard à l’amorçage :
c'est l' angle ψ.
II. Étude théorique des ponts monophasés
Les convertisseurs étudiés par la suite comportent des thyristors associés à des diodes (ponts mixtes) ou
uniquement des thyristors (ponts complets).
Les circuits de commande (gâchette et cathode) sont reliés à des circuits déclencheurs (souvent non
représentés sur les schémas) qui délivrent des impulsions de gâchette synchronisées sur le réseau.
Dans cette partie, le courant côté continu est supposé parfaitement lissé et noté Ic.
1. Pont mixte symétrique
Le schéma comporte deux thyristors à cathodes communes (commutateur « plus positif ») et deux diodes à
anodes communes (commutateur « plus négatif»).
ic(t)
a. Intervalles de conduction
Indiquer sur le document réponse de la page suivante :
i(t)
• les intervalles de conduction des diodes
• les instants pour lesquels T 1 et T2 seraient susceptibles de
devenir passants s'ils étaient des diodes
• les intervalles de conduction des thyristors pour un angle
de retard à l’amorçage de 30°.
T2
T1
v(t)
u c(t)
D2
D1
b. Étude des tensions
➢ Représenter la tension aux bornes de la charge, pour ψ = 30° (sur le document réponse q = wt).
➢ La valeur moyenne de la tension aux bornes de la charge est donnée par : u = V max (1+cos ψ) (la relation
c
π
u
n'est pas à retenir). Représenter l’évolution de c en fonction de ψ (pour ψ variant de 0 à π rad).
c. Étude des courants
➢ Représenter pour ψ = 30° : l’intensité dans la diode D1, l’intensité dans le thyristor T2 et l’intensité i(t) en
entrée du pont.
➢ Déterminer pour chaque intensité représentée l'expression de ses valeurs moyenne et efficace en fonction
de Ic. En déduire le facteur de puissance vu de l’alimentation alternative.
Voir http://
etasc
.fr/index.php/page/cours/pontSymInterCond/redressementC et les pages suivantes
2. Pont mixte asymétrique
Chaque commutateur (« plus positif » et « plus négatif ») comporte une diode et un thyristor.
Redressement commandé
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a. Intervalles de conduction
Indiquer sur le document réponse de la page suivante les
intervalles de conduction des diodes et des thyristors pour
un angle de retard à l’amorçage égal à 30°.
b. Étude des tensions
➢ Représenter la tension aux bornes de la charge, pour
ψ = 30°.
ic(t)
i(t)
T1
D1
v(t)
u c(t)
T2
D2
➢ Comparer cette tension avec celle du pont symétrique et en déduire l'expression de sa valeur moyenne.
c. Étude des courants
➢ Représenter pour ψ = 30° : l’intensité dans la diode D1, l’intensité dans le thyristor T2 et l’intensité i(t) en
entrée du pont.
➢ Déterminer pour chaque intensité représentée l'expression de ses valeurs moyenne et efficace. En déduire
le facteur de puissance vu de l’alimentation alternative.
Voir http://
etasc
.fr/index.php/page/cours/pontAsymInterCond/redressementC Pont mixte symétrique
Pont mixte asymétrique
v(θ)
Vmax
v(θ)
Vmax
θ (rad)
0
π
θ (rad)
0
2π
T1
T2
D1
D2
π
T1
T2
D1
D2
iD1 (θ)
iD1 (θ)
θ (rad)
0
θ (rad)
0
iT 2 (θ)
iT 2 (θ)
θ (rad)
0
2π
θ (rad)
0
i(θ )
θ (rad)
0
Redressement commandé
i(θ )
θ (rad)
0
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3. Pont complet (ou tout thyristor)
Chaque commutateur (« plus positif » et « plus négatif ») est constitué de deux thyristors.
a. Intervalles de conduction
Indiquer sur le document réponse (à la page suivante) les
intervalles de conduction des thyristors pour un angle de
retard à l’amorçage égal à 30°.
b. Étude des tensions
➢ Représenter la tension aux bornes de la charge pour
ψ = 30°.
ic(t)
i(t)
T1
T'1
v(t)
u c(t)
T2
T'2
➢ La valeur moyenne de la tension aux bornes de la charge est donnée par : u = 2 V max cos ψ (la relation
c
π
n'est pas à retenir) . Représenter l’évolution de uc en fonction de ψ (pour ψ variant de 0 à π rad).
c. Étude des courants
➢ Représenter pour ψ = 30° : l’intensité dans le thyristor T2 et l’intensité i(t) en entrée du pont.
➢ Déterminer pour chaque intensité représentée l'expression de ses valeurs moyenne et efficace. En déduire
le facteur de puissance vu de l’alimentation alternative.
d. Fonctionnement en onduleur assisté
➢ Représenter pour ψ = 120° la tension aux bornes de la charge.
➢ Quel est le signe de sa valeur moyenne ?
➢ Le sens du courant côté continu peut­il être modifié ? En déduire que l'énergie est transférée du côté
continu vers le côté alternatif.
➢ Justifier l’appellation d’onduleur assisté.
Pour ψ = 30°
Redressement commandé
Pour ψ = 120°
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Voir http://
etasc
.fr/index.php/page/cours/pontCompletInterCond/redressementC III. Exercice : alimentation d'une machine à courant continu
On considère une machine à courant continu dont l'inducteur est relié à un pont mixte monophasé et dont
l'induit est relié à un pont complet monophasé. Les deux ponts, supposés parfaits, sont connectés au réseau
de distribution (230 V ; 50 Hz) par l'intermédiaire de deux transformateurs monophasés supposés parfaits.
L'objectif est d'utiliser les résultats établis précédemment pour dimensionner puis étudier les redresseurs.
Il peut être judicieux de représenter schématiquement le dispositif étudié.
Caractéristiques de la machine :
• Inducteur : 160 V et 0,3 A ; induit : 220 V et 5,7 A. Vitesse : 1200 tr/min. Résistance de l'induit : 3,5 W.
• Tension d'induit mesurée en génératrice à vide avec intensité d'excitation et vitesse nominales : 203 V.
• Intensité d'induit en moteur à vide avec intensité d'excitation nominale : 0,6 A.
1. Dimensionnement du circuit inducteur
On souhaite obtenir le courant nominal d'excitation pour un angle de retard à l'amorçage égal à 15°.
a. Déterminer le rapport de transformation du transformateur.
D'après l'énoncé, l'inducteur est relié à un pont mixte monophasé, la valeur moyenne de sa tension de sortie
est donnée par la relation u = V max (1+cos ψ) (à ne pas connaître par cœur) avec y = 15° (angle de retard à
c
π
l'amorçage).
Puisque u c et y sont connus, on peut déterminer Vmax (valeur maximale de la tension d'entrée du redresseur)
π uc
π×160
soit V max =
=
=256 V (attention, la calculatrice doit être en « degrés ») puis la valeur
1+cos ψ 1+cos 15
efficace de la tension d'entrée du redresseur V eff =
V max 256
=
=181 V .
√2 √ 2
La valeur efficace de la tension au primaire du transformateur reliant le réseau à l'entrée du pont mixte est
égale à 230 V, le rapport de transformation de ce transformateur est donc m=
181
=0,787
230
b. Calculer la valeur efficace du courant secondaire du transformateur et en déduire sa puissance apparente.
D'après l'étude du fonctionnement du redresseur monophasé mixte, le courant secondaire du transformateur
est nul entre 0 et ψ ; égal au courant dans la charge (côté continu) entre ψ et π ; de nouveau nul
entre π et π+ ψ et enfin égal à l'opposé du courant dans la charge entre π+ ψ et 2 π .
Pour calculer sa valeur efficace :
• il faut élever au carré la valeur instantanée : on obtient un signal égal au carré du courant dans la charge
entre ψ et π et entre π+ ψ et 2 π et nul le reste du temps.
1
{(π−ψ) I 2c +[2 π−( π+ ψ)] I 2c } ou en
2π
remarquant que le signal entre π+ ψ et 2 π est identique à celui entre ψ et π
1
2
2
I eff = π [(π−ψ) I c ] .
• Prendre la racine carrée du résultat précédent : I = 1 (π−ψ)I
eff
c
π
2
• Prendre la valeur moyenne du signal précédent : I eff =
√
Application numérique (convertir l'angle y = 15° en radians ou remplacer p par 180°) :
√
1
I eff = π ( π− π )0,3=0,287 A .
12
La puissance apparente est égale au produit des valeurs efficaces de la tension (181 V) et de l'intensité (0,287 A) soit S=181×0,287=52 VA
2. Dimensionnement du circuit induit
On souhaite obtenir la tension nominale d'induit pour un angle de retard à l'amorçage égal à 30°.
a. Déterminer le rapport de transformation du transformateur.
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La démarche est identique à celle pour l'inducteur, seul le type du pont et les valeurs sont modifiées.
D'après l'énoncé, l'induit est relié à un pont complet monophasé, la valeur moyenne de sa tension de sortie
est donnée par la relation u = 2 V max cos ψ (à ne pas connaître par cœur) avec y = 30° (angle de retard à
c
π
l'amorçage).
Puisque u c et y sont connus, on peut déterminer Vmax (valeur maximale de la tension d'entrée du redresseur)
π uc
π×220
soit V max =
=
=399 V (attention, la calculatrice doit être en « degrés ») puis la valeur
2 cos ψ 2 cos 30
efficace de la tension d'entrée du redresseur V eff =
V max 399
=
=282 V .
√2 √ 2
La valeur efficace de la tension au primaire du transformateur reliant le réseau à l'entrée du pont mixte est
égale à 230 V, le rapport de transformation de ce transformateur est donc m=
282
=1,226 . Ce
230
transformateur est élévateur de tension.
b. Calculer la valeur efficace du courant secondaire du transformateur et en déduire sa puissance apparente.
D'après l'étude du fonctionnement du redresseur monophasé complet, le courant secondaire du
transformateur est nul égal au courant dans la charge (côté continu) entre ψ et π+ ψ et égal à
l'opposé du courant dans la charge entre π+ ψ et 2 π+ ψ .
Pour calculer sa valeur efficace :
• il faut élever au carré la valeur instantanée : on obtient un signal égal au carré du courant dans la charge
pendant toute la période
• Prendre la valeur moyenne du signal précédent : I 2eff =I 2c car le signal est une constante égale à I 2c
• Prendre la racine carrée du résultat précédent : I eff =I c
Application numérique : I eff =5,7 A .
La puissance apparente est égale au produit des valeurs efficaces de la tension (282 V) et de l'intensité (5,7 A) soit S=282×5,7=1610 VA
3. Étude d'un fonctionnement en moteur (courant inducteur nominal)
En régime établi, les couples utile et résistant sont égaux. Déterminer l'angle de retard à l'amorçage pour une
vitesse de 900 tr/min et un couple résistant égal à 8 N.m. Calculer la puissance fournie par le réseau.
Le pont relié à l'induit de la machine ne présente aucune perte d'après l'énoncé, la puissance fournie par le
réseau est donc égale à celle reçue par la machine. Pour calculer cette dernière, il faut connaître les valeurs
moyennes de la tension et de l'intensité pour l'induit de la machine.
• Calcul de l'intensité d'induit : on doit déterminer le couple électromagnétique (noté Cem) et la constante de
couple (notée K) puis utiliser la relation Cem =KI
D'après l'énoncé, la tension à vide en génératrice (appelée aussi fém et notée E) est égale à 203 V pour la
vitesse nominale (notée n et égale à 1200 tr/min) et l'intensité nominale dans l'inducteur.
Puisque
K=
E=K Ω avec
W en rad/s alors
K= E 60 E 60×203
=
=1,61 N.m/A ou V/rad/s
2 π n 2 π×1200
Ω
et
Ω=
2πn
60
soit
D'après l'énoncé, le courant à vide en moteur (noté I0) a une intensité de 0,6 A ce qui permet de déterminer le
couple de pertes C p=K I 0 =1,61×0,6=0,97 N.m
La charge opposant un couple résistant, Cr = Cu, de 8 N.m, il faut lui ajouter le couple de pertes pour obtenir
le couple électromagnétique Cem soit Cem =C u +C p=8+ 0,97=8,97 N.m
La relation Cem =KI permet d'établir que I =
Redressement commandé
C em 8,97
=
=5,57 A
K 1,61
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• Calcul de la tension aux bornes de l'induit : on doit déterminer la fém correspondant à la vitesse en
utilisant la relation E=K Ω puis la tension aux bornes de l'induit en appliquant la loi des mailles au
schéma équivalent de l'induit (composé de la fém E en série avec la résistance de l'induit notée r) orienté
avec la convention récepteur.
La machine tourne à 900 tr/min et la constante K vaut 1,61 V/rad/s ce qui donne
K 2 π n 1,61×2 π×900
=
=152 V
60
60
La loi des mailles permet d'écrire U=E +r I =152+ 3,5×5,57=172 V
D'où la puissance fournie par le réseau P=U I =172×5,57=958 W
E=
4. Étude d'un fonctionnement en génératrice (courant inducteur nominal)
L'angle de retard à l'amorçage est égal à 125° et le courant induit est égal à 5 A. Déterminer la vitesse de
rotation et comparer le sens de rotation de cette question avec celui de la précédente. Calculer la puissance
fournie par le réseau et préciser le sens de transfert de l'énergie.
On utilise la relation u = 2 V max cos ψ pour déterminer la tension aux bornes de l'induit ce qui donne
c
π
2×399
u c= π cos 125=−146 V .
La loi des mailles permet d'écrire U=E +r I (U est la valeur moyenne de la tension aux bornes de
l'induit, c'est à dire u c ) soit E=U −r I =−146−3,5×5=−163 V .
La relation E=K Ω avec Ω=
2πn
2πn
donne E=K
soit
60
60
n=
30 E 30×(−163)
=
=−967 tr/min
Kπ
1,61 π
Le signe négatif traduit un sens de rotation opposé à celui de la question précédente.
La puissance fournie par le réseau P=U I =−146×5=−730 W . Cette puissance est négative car la
machine fonctionne en génératrice et fournit de l'énergie au réseau : le pont fonctionne alors en onduleur
assisté.
IV. Pont complet triphasé
1. Intervalles de conduction et tension de sortie
Le schéma est représenté ci­contre : il est
constitué de deux commutateurs (l'un à
cathodes communes, l'autre à anodes
communes) comportant uniquement des
thyristors.
Les chronogrammes seront tracés sur les
π
graphes ci­dessous pour ψ= 3 rad et
2π
ψ=
rad .
3
Redressement commandé
vp1 (t)
v1(t) T1
T2
T3
u c(t)
vp2 (t)
v2 (t)
vp3 (t)
v3(t)
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Ic
i2(t)
T4
T5
T6
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ψ= π
3
v1(t)
v2(t)
ψ=
v3(t)
v1(t)
2π
3
v2(t)
v3(t)
t (ms)
10
0
20
t (ms)
10
0
T1
T2
T3
T4
T5
T6
20
T1
T2
T3
T4
T5
T6
iT2(t), iT5(t)
iT2(t), iT5(t)
t (ms)
0
t (ms)
0
i2(t)
i2(t)
t (ms)
0
t (ms)
0
➢ Indiquer les instants pour lesquels les thyristors deviendraient passants s'ils étaient des diodes.
➢ Indiquer les intervalles de conduction des thyristors.
➢ Représentation de la tension côté continu.
• Dessiner le schéma équivalent au redresseur lorsque les thyristors T3 et T5 sont passants (les quatre autres
sont alors bloqués).
• Écrire la loi des mailles permettant d'obtenir l'expression de uc(t) en fonction de deux des tensions d'entrée
du redresseur.
• Repérer les tensions composées sur les documents réponses (il peut être judicieux de tracer rapidement un
diagramme de Fresnel avec les vecteurs associés aux tension simples et de placer les tension composées
pour déterminer leurs phases).
• Tracer uc(t) sur l'intervalle étudié précédemment.
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• Recommencer pour les autres intervalles.
➢ La valeur moyenne de la tension côté continu est donnée par la relation u = 3V  2  3 cos avec V la
c

valeur efficace des tensions simples au secondaire du transformateur (la relation n'est pas à connaître).
Tracer l'évolution de u c en fonction de ψ pour une variation de 0 à π rad. Indiquer les fonctionnements en
redresseur et onduleur assisté. Préciser les conditions de fonctionnement en onduleur assisté.
2. Étude des courants
• Représenter les intensités dans les thyristors T2 et T5. Déterminer les expressions de leurs valeurs moyenne
et efficace en fonction de Ic.
• Représenter l’intensité i2(t). Déterminer l'expression de sa valeur efficace.
• Exprimer le facteur de puissance au secondaire en fonction de ψ.
Voir http://
etasc
.fr/index.php/page/cours/schemaPD3/redressementC et les pages suivantes.
V. Exercice : association d'une machine à courant continu et d'un redresseur triphasé tout thyristors
On considère un dispositif constitué d'une machine à courant continu à aimants permanents dont l'induit est
relié à un redresseur triphasé tout thyristors. Les notations sont les mêmes que pour le paragraphe III. La
source de courant est remplacée par l'induit de la machine.
Les caractéristiques de la machines sont les suivantes :
• Intensité nominale : 21 A ; tension nominale : 300 V ; vitesse nominale : 1280 tr/min ; résistance et
inductance de l'induit : 1,5 Ω et 5 mH.
• Lors d'un essai en génératrice à vide à vitesse nominale, on a relevé une tension de 283 V aux bornes de
l'induit.
• Lors d'un essai en moteur à vide sous tension nominale, la vitesse était égale à 1424 tr/min pour une
intensité de 1,2 A.
1. Étude du redresseur
Le courant côté continu est supposé parfaitement lissé.
a. Sur le document réponse de la page suivante, indiquer les intervalles de conduction des thyristors pour un
angle de retard à l'amorçage ψ égal à 60°.
Le trait rouge indique l'instant pour lequel la thyristor T 1 deviendrait passant s'il était une diode ; à partir de
ce trait, un temps équivalent à 60° s'écoule avant que le thyristor T 1 reçoive l'impulsion... et ainsi de suite
pour les autres thyristors. Voir le document réponse.
b. Tracer l'évolution de la tension côté continu pour ψ = 60°.
Lorsque T3 et T4 sont passants, la loi des mailles permet d'écrire uc (t)=v 3 (t)−v 1 (t)=u 31(t ) , il ne reste
plus qu'à repérer u31(t) sur le graphique. On procède de même pour les autres intervalles. Voir la courbe en
trait rouge épais sur le document réponse.
c. Représenter l'intensité du courant dans un thyristor et calculer ses valeurs moyenne et efficace.
On choisit par exemple le thyristor T 1 : le courant qui le traverse est nul lorsqu'il est bloqué et égal à Ic
lorsqu'il est passant. Voir le document réponse (2 divisions verticales pour Ic).
Valeur moyenne : I Tmoy=
1
2π Ic
Ic
=
2π
3
3
Valeur efficace (élever le signal au carré, prendre la valeur moyenne et enfin la racine carrée) :
I Teff=
√
1 2 2π Ic
I
=
2 π c 3 √3
d. Représenter l'intensité dans un enroulement secondaire du transformateur et calculer sa valeur efficace.
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On choisit par exemple le secondaire relié au thyristor T 1 : le courant qui le traverse est nul lorsque T 1 et T4
sont bloqués, égal à Ic lorsque T1 est passant et égal à ­Ic lorsque T4 est passant. Voir le document réponse (2
divisions verticales pour Ic).
Valeur efficace (élever le signal au carré, prendre la valeur moyenne et enfin la racine carrée) :
I eff =
√
√
1
2π
2
2 I 2c
=I c
2π
3
3
e. La valeur moyenne de la tension côté continu est donnée par la relation u = 3U √ 2 cos ψ avec U la
c
π
valeur efficace des tensions composées au secondaire du transformateur. Calculer le facteur de puissance au
secondaire du transformateur.
Le redresseur étant sans pertes, les puissances côté continu et alternatif sont égales soit P=u c I c en
remplaçant la valeur moyenne de la tension côté continu par son expression, on obtient
3 U √2 I c
P=
cos ψ
π
La puissance apparente est égale au produit des valeurs efficaces des tensions et intensités côté alternatif
√
(attention : dispositif triphasé) donc S=3 V I eff =√ 3U I eff et I eff =I c 2
P
Facteur de puissance k = S =
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3 U √2 Ic
cos ψ 3
π
= π cos ψ
2
√3 U Ic
3
3
√
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2. Étude du moteur
a. Exploiter l'essai à vide en génératrice pour déterminer
la constante de couple (en N.m/A)
Document réponse
Cet essai donne une tension (fém E) de 283 V pour une
vitesse n = 1280 tr/min. Comme E=K Ω et
Ω=
2πn
alors
60
K=
30 E 30×283
=
=2,11 N.m/A
π n π×1280
b. Exploiter l'essai à vide en moteur pour déterminer le
couple de pertes (supposé constant pour la suite).
Cet essai indique que l'intensité à vide I 0 est égale à
1,2 A et comme C p=K I 0 alors
C p=2,11×1,2=2,53 N.m
c. En régime établi, le couple utile du moteur est égal au
couple résistant de la charge, calculer l'intensité et la
vitesse de rotation pour un couple résistant égal à 35 N.m et une tension d'induit nominale.
Le couple électromagnétique Cem est égal à la
somme du couple utile C u et du couple de pertes soit
Cem =C u +C p=35+2,5=37,5 N.m . Le couple
électromagnétique et l'intensité dans l'induit sont reliés
par Cem =K I donc I =
C em 37,5
=
=17,8 A
K 2,11
d. Établir l'équation reliant l'intensité dans l'induit, la
vitesse de rotation (exprimée en tr/min), la tension aux
bornes de l'induit et les caractéristiques de la machine.
Tracer l'évolution de l'intensité dans l'induit en fonction
de la vitesse pour U = U1 = 300 V puis U = U2 = 150 V.
Le circuit d'induit étant orienté avec la convention
récepteur, la loi des mailles permet d'écrire
U=E+ r I avec U la tension aux bornes de l'induit,
I l'intensité qui le traverse et r sa résistance. Puisque
E=K Ω et Ω=
2πn
Kπ
n .
alors E=
60
30
En remplaçant E par son expression dans U=E +r I , on obtient U=
I=
Kπ
n+r I et finalement
30
U Kπ
−
n
r 30 r
Les courbes demandées sont des droites de pente K π 2,11×π
=
0,147 SI et d'ordonnées à l'origine
30 r 30×1,5
U1
U2
et r
r
Redressement commandé
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3. Étude de l'association
a. Calculer les angles de retard à l'amorçage pour que la valeur moyenne de la tension de sortie du redresseur
soit égale à U1 puis à U2 (la valeur efficace des tensions secondaires est égale 230 V).
La valeur moyenne de la tension côté continu est donnée par la relation u = 3V √ 3 √ 2 cos ψ avec V la
c
π
π uc
valeur efficace des tensions simples côté alternatif. On obtient donc cos ψ=
3V √3√2
Si la valeur efficace des tensions simples est égale à 230 V
Pour u c=U 1 : cos ψ=
π×300
=0,558 soit ψ1 =56 °
3×230 √ 3 √ 2
Pour u c=U 2 : cos ψ=
π×150
=0,279 soit ψ2=74 °
3×230 √ 3 √ 2
Si la valeur efficace des tensions composées est égale à 230 V
Pour u c=U 1 : cos ψ=
π×300
=0,966 soit ψ1 =15°
3×230 √ 2
Pour u c=U 2 : cos ψ=
π×150
=0,483 soit ψ2=61°
3×230 √ 2
Pour la suite, on suppose que ce sont les tensions composées qui ont 230 V pour valeur efficace.
b. Le couple sur l'arbre est maintenu constant et égal à 30 N.m. L'angle de retard à l'amorçage passe de 60° à
30°.
➢ Calculer la vitesse en régime établi pour 30°.
Si le couple sur l'arbre est égal à 30 N.m alors le couple électromagnétique est égal à 32,5 N.m (on ajoute le
C em 32,5
=
=15,4 A
K 2,11
Kπ
30
n+r I donc n=
(U −r I ) et U= 3V √ 3 √ 2 cos ψ soit
D'après la question 2.d U=
π
30
Kπ
30 3 V √ 3 √ 2
30
3×230 √ 2
finalement n=
(
cos ψ−r I )=
(
cos 60−1,5×15,4 )=598 tr/min
π
π
Kπ
2,11×π
couple de pertes). Comme Cem =K I alors I =
➢ Calculer l'intensité moyenne du courant dans l'induit juste après la modification de l'angle ψ.
Juste après cette modification, la vitesse est inchangée à cause de l'inertie du groupe, il en est de même de la
fém E=
Kπ
2,11 π
n=
598=132 V
30
30
Comme U=E+ r I alors I = U −E =
r
3 V √ 3 √2
3×230 √ 2
cos ψ−E
cos 30−132
π
π
=
=91,3 A
r
1,5
c. L'angle de retard à l'amorçage est égal à 30°, le moment du couple imposé par la charge passe de Cr1 = 30 N.m à Cr2 = 20 N.m
➢ Calculer les vitesses n1 et n2 de rotation correspondant aux couples Cr1 et Cr2 en régime établi.
Calcul des intensités dans l'induit : I =
Cr2 : I 1 =
20+ 2,5
=10,7 A
2,11
La relation n=
C em C r +C p
30+2,5
=15,4 A et pour
soit pour Cr1 : I 1 =
=
2,11
K
K
30 3 V √ 3 √ 2
(
cos ψ−r I ) établie précédemment est toujours valable et donne π
Kπ
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pour Cr1 : n1=
30 3×230 √ 2
(
cos 30−1,5×15,4)=1128 tr/min
π
2,11π
pour Cr2 : n1=
30 3×230 √2
(
cos 30−1,5×10,7)=1145 tr/min
π
2,11π
La machine accélère légèrement lorsqu'elle est déchargée.
➢ Calculer l'angle de retard à l'amorçage qui permet de maintenir la vitesse égale à n1 lorsque le couple est
égal à Cr2.
La tension aux bornes de l'induit est obtenue par U=E+ r I avec E=
Kπ
2,11 π
n=
1128=249 V
30
30
et I = 10,7 A soit U=249+ 1,5×10,7=265 V
La relation cos ψ=
y = 31°.
π uc
3V √3√2
, établie à la question 3.a, donne cos ψ=
π×265
=0,853 soit un angle
3×230 √ 2
VI. Exercice : étude d’une liaison continue entre deux réseaux alternatifs
La liaison continue étudiée est une version
simplifiée de la liaison continue
« transmanche ». Les réseaux alternatifs côté
français et côté anglais sont reliés par
l'intermédiaire d'une liaison à courant continu.
Des ponts à thyristors (PD3) sont placés tête
bêche de part et d'autre de la Manche et
fonctionnent soit en redresseur soit en onduleur
assisté selon le sens de transfert de l'énergie.
France
ic(t)
u c1 (t)
G.B.
uc2 (t)
Lien :
http://www.rte­france.com/fr/actualites­dossiers/a­la­une/cure­de­jouvence­po
ur­l­interconnexion­electrique­france­angleterre­1
Les réseaux 1 et 2 (côté français et côté anglais) sont des réseaux triphasés 50 Hz, les valeurs efficaces des
tensions composées valent 225kV.
Les tensions simples et les courants de ligne sont respectivement notés : • tensions simples « France » : v1a(t), v1b(t), v1c(t) et courants de ligne « France » : i1a(t), i1b(t), i1c(t).
• tensions simples « G.B. » : v2a(t), v2b(t), v2c(t) et courants de ligne « G.B. » : i2a(t), i2b(t), i2c(t).
Entre les deux réseaux est placée une bobine d'inductance L. La résistance totale (ligne et inductance) est r = 0,5 Ω.
1. Étude de la partie continue
a. Rappeler les relations donnant Uc1moy(y1) et Uc2moy(y2), tensions moyennes fournies par le pont 1 et par le
pont 2 en fonction de y1 et y2.
Les valeurs des tensions composées sont notées respectivement U1 et U2. Les valeurs moyennes des tensions
3 U1 √2
−3 U 2 √ 2
sont données par U
et U
cos ψ2 (la pointe de la flèche côté
c1moy=
c2moy=
π cos ψ1
π
anglais est dirigée vers les anodes du commutateur à anodes communes).
b. Donner l'équation différentielle liant uc1(t), uc2(t), r, L et ic(t).
D'après la loi des mailles : uc1 (t )– r i c (t) – L
d i c (t)
– u c2 (t)=0
dt
c. Donner l'équation liant Uc1moy, Uc2moy, Icmoy (valeur moyenne de l’intensité continue ic(t)) et r.
d i c (t)
(tension aux bornes
dt
de l'inductance L) est nulle et la relation précédente s'écrit U c1moy – r I cmoy – U c2moy=0
Le courant dans la liaison continue étant périodique, la valeur moyenne de L
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d. En déduire la relation liant y1, y2, r et Icmoy.
En remplaçant Uc1moy et Uc2moy par leurs expressions de la question 1.a, on obtient :
3 U1 √2
3 U2√2
π cos ψ1 – r I cmoy + π cos ψ2=0
e. Montrer comment le choix de y1 et y2 détermine le sens de transfert de l'énergie entre les deux réseaux.
3 U2√2
La relation 3 U 1 √ 2 cos ψ – r I
peut aussi s'écrire :
1
cmoy +
π
π cos ψ2=0
3 U1 √2
3 U2 √2
π cos ψ1=r I cmoy − π cos ψ2
Si 0< ψ1< 90 ° alors 3 U 1 √ 2 cos ψ est positif : le pont côté français fonctionne en redresseur et
1
π
celui côté anglais doit fonctionner en onduleur assisté donc 90< ψ2 <180 ° (si les deux ponts
fonctionnent en redresseur alors leur charge est la résistance de la boucle continue et le courant atteindrait
des valeurs énormes).
Si 90<ψ1 <180 ° alors 3 U 1 √ 2 cos ψ
π
1
est négatif : le pont côté français fonctionne en onduleur
assisté et celui côté anglais doit fonctionner en redresseur donc 0< ψ2 <90 ° (si les deux ponts
fonctionnent en onduleur assisté alors lla résistance de la boucle continue « fournirait » de l'énergie
électrique).
f. y2 étant fixé à 150°, calculer le courant circulant dans la ligne continue lorsque le réseau 2 « consomme »
une puissance de 500 MW. Quel est alors la valeur de y1 ?
Dans ce cas, le pont côté anglais fonctionne en onduleur assisté. La puissance côté continu s'écrit
−3 U 2 √ 2
−3×225.103 √ 2
P2=U c2moy I c et U
cos
ψ
=
cos150=263 kV ce qui donne
c2moy=
2
π
π
I c=
La
P2
6
U c2moy
=
500.10
=1900 A
263.10 3
relation
cos ψ1=
3 U2 √2
3 U 1 √ 2 cos ψ =r I
1
cmoy −
π
π cos ψ2
(question
e)
donne
π (r I − 3 U 2 √2 cos ψ )=
π
(1,5×1900+ 263.103)=0,875 soit un
cmoy
2
π
3
3U 1 √ 2
3×225.10 √ 2
angle de retard à l'amorçage y1 très proche de 30° (28,96° utilisé pour un calcul par la suite).
g. Faire un bilan de puissance dans les conditions précédentes (puissance fournie par le réseau 1, puissance
perdue par effet Joule, puissance reçue par le réseau 2).
D'après l'énoncé, la puissance reçue par le réseau 2 est égale à 500 MW. Les pertes par effet Joule dans la
boucle continue sont égales à rI 2c =1,5×19002=5,4 MW ; le réseau 1 doit donc fournir 505,4 MW ce
que l'on peut vérifier par le calcul de
3U 1 √ 2
3×225.10 3 √ 2
P1=U c1moy I c = π cos ψ1 I c =
cos 28,96×1900=505 MW
π
h. Montrer que les pertes sont diminuées lorsque la tension continue est augmentée. Pourquoi ne peut­on pas
travailler à y1 = 0° ?
Si la tension côté continue est augmentée alors le courant dans la boucle continue est diminué pour une
puissance donnée. Comme les pertes par effet Joule dépendent du carré de l'intensité efficace de ce courant,
elles diminuent si le courant dans la boucle continu diminu.
L'angle y1 = 0° entraînerait un angle proche de 180° côté anglais avec le risque de perte de contrôle de
l'onduleur. Voir la remarque en bas de la page :
http://etasc.fr/index.php/page/cours/pontCompletOnduleur/redressementC Redressement commandé
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2. Étude de la partie alternative
On suppose que l'inductance L est de valeur suffisamment élevée pour que ic(t) puisse être considéré comme
constant et que les résistances du câble et de l'inductance sont négligeables.
Avec ces hypothèses, U c1moy – r I cmoy – U c2moy=0 devient U c1moy =U c2moy et cos ψ1=−cos ψ2
a. Tracer sur le graphe ci­contre l'allure de
i1a(t) et i2a(t) pour y1 = 30°.
Si y1 = 30°. alors y2 = 150°. Les courants sont
tracés en utilisant la méthode décrite à la page
http://etasc.fr/index.php/page/cours/courantLi
gnePD3/redressementC Pour améliorer la présentation, chaque est
représenté sur un système d'axes sur le graphe
ci­contre.
y1 = 30°
b. Représenter le fondamental de i1a(t), noté
i1af(t). Montrer que i1af(t) et v1a(t) sont déphasés
d'un angle y1.
Le fondamental est une sinusoïde de même
fréquence que le signal. Il passe par zéro au
milieu des paliers pour lesquels le courant est
nul ; par son maximum au milieu du palier
pour lequel le courant est égal à Ic et par son
minimum au milieu du palier pour lequel le
courant est égal à ­Ic .
y2 = 150°
Le déphasage entre i1af(t) et v1a(t) est indiqué
sur le graphique, on vérifie bien qu'il est égal
à 30° soit l'angle y1.
On admettra que le fondamental de i2a(t), noté i2af(t), et v2a(t) sont déphasés d'un angle y2.
c. Calculer la valeur efficace de i1a(t) et la valeur efficace de i2a(t) en fonction de Icmoy.
La méthode est toujours la même (élever le signal au carré, prendre la valeur moyenne et enfin la racine
carrée). Les deux courants étant identiques à un décalage temporel près, on obtient :
I eff =
√
√
1
2π
2
2 I 2cmoy
=I cmoy
2π
3
3
d. Calculer la valeur efficace du premier harmonique de i1a(t) et i2a(t) en fonction de Icmoy (On déduira ces
valeurs de l'égalité des puissances entre côté continu et côté alternatif).
La puissance côté continue s'écrit P1=U c1moy . I cmoy et côté alternatif, elle s'écrit
P1=√ 3.U eff . I 1eff . cos ψ1 avec Ueff la valeur efficace des tensions composées côté alternatif (225 kV) et
I1eff la valeur efficace du fondamental de i1a(t).
Remarque : pour la justification des deux relations voir les cas particuliers de la page
http://etasc.fr/index.php/page/cours/puissanceActive/physiqueGenerale:puissRegPer.
Les deux puissances sont égales, en remplaçant U c1moy par 3 U eff √ 2 cos ψ
3 U eff √ 2
cos ψ1 I cmoy = √ 3 U eff I 1eff cos ψ1
π
on obtient la relation
1
π
3 √2
6
√
ce qui donne I 1eff =
I cmoy = π I cmoy
√3 π
En prenant Icmoy = 1900 A on obtient I = √ 6 ×1900=1481 A
1eff
π
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La valeur efficace du fondamental de i2a(t) est égale aussi à 1481 A car les deux courants sont identiques au
décalage temporel près.
e. Montrer que, au sens du premier harmonique de courant, les deux ponts consomment de l'énergie réactive.
Préciser d'où vient cette énergie réactive.
La tension étant sinusoïdale, la puissance réactive est donnée par la relation Q 1=√ 3.U eff . I 1eff . sin ψ1
(voir le cas particulier de la page
http://etasc.fr/index.php/page/cours/puissanceReactive/physiqueGenerale:puissRegPer)
Ce qui donne Q 1=√ 3×225.10 3×1900×sin30=370 kvar . L'entrée du pont étant orientée avec la
convention récepteur, il « reçoit » une énergie réactive qui lui est « fournie » par le réseau.
On obtient le même résultat pour la puissance réactive du pont fonctionnant en onduleur.
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