Théorie de la relativité - Lycée technique du Centre

THÉORIE DE LA RELATIVITÉ
Table de matière
Mouvements relatifs
……………………………………...….. R1
Référentiels d’inertie
………………………………………..... R2
Principes fondamentaux ................................................................. R2
Dilatation du temps
................................................................. R3
Contraction des longueurs
Masse relativiste
.................................................... R7
................................................................. R9
Loi fondamentale de la dynamique
Énergie cinétique relativiste
....................................... R11
.................................................... R13
Équivalence de la masse et de l’énergie ....................................... R14
Quantité de mouvement relativiste
....................................... R16
Formulaire
.............................................................................. R18
Exercices
.............................................................................. R20
Liens internet
……….................................................................. R21
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
R1
Théorie de la relativité
Peu de théories en physique sont aussi étroitement liées au nom d’un seul
découvreur que la théorie de la relativité. Avec cet ensemble de
réflexions, Albert Einstein (1879-1955) a créé pour la physique moderne
un outil indispensable, qui a jusqu’à présent résisté à tous les tests
expérimentaux. Alors que la théorie de la relativité générale (formulée
vers 1915) décrit la gravitation comme la conséquence d’une courbure de
l’espace-temps quadridimensionnel, la théorie de la relativité restreinte
(1905) bouleverse des notions considérées comme évidentes de la
mécanique de Newton telles que l’espace et le temps. Nous voulons
montrer dans la suite certains aspects de cette théorie.
Principe de relativité
Mouvements relatifs
Le mouvement d’un corps signifie le changement de position du corps. La
position d’un corps est toujours donnée relativement à quelque chose.
Les mouvements sont ainsi relatifs, ils dépendent du référentiel par
rapport auquel les mouvements sont indiqués.
On explique à l’aide d’un exemple que les indications de vitesse sont
uniquement pertinentes si on indique en même temps le référentiel. Trois
observateurs respectivement au bord de la route, dans une auto qui roule
et dans un train en marche effectuent des mesures de vitesse. Le train et
l’auto roulent dans la même direction par rapport au bord de la route, à la
figure 2 de la droite vers la gauche. Le tableau contient les vitesses qui
ont été mesurées respectivement par les trois observateurs, chacun se
considérant comme au repos :
Indication de vitesse de
pour le bord
l’observateur en km/h
de la route
depuis le bord de la route
0
depuis l’auto
-50
depuis le train
-120
pour l’auto
pour le train
50
0
-70
120
70
0
Chaque observateur mesure une autre vitesse par rapport à un autre
observateur. Il en découle le principe de relativité suivant, que Galileo
Galilei (1564-1642) avait déjà découvert :
1. Albert Einstein (1879-1955) a
développé la théorie de la relativité
pendant qu’il travaillait comme
employé à l’office des brevets de Bern
en Suisse. Il a obtenu le prix Nobel en
1921, non pas pour la théorie de la
relativité apparaissant comme trop
révolutionnaire, mais pour l’explication de l’effet photoélectrique. La
photo date de 1906.
2. Des
observateurs
différents
mesurent des vitesses relatives
différentes, chacun dans un référentiel
différent.
Ancien principe de relativité :
Chaque mouvement se déroule dans tous les référentiels comme si ceux-ci
étaient au repos. Dès lors, chaque mouvement est relatif, le référentiel au
repos respectif pouvant être choisi librement.
On peut observer des processus à partir d’un référentiel librement choisi.
On en tire :
Il n’existe pas d’état de repos absolu.
Il s’est avéré que ce principe de relativité est valable pour des vitesses qui
sont beaucoup plus petites que la vitesse de la lumière.
3. Galileo Galilei (1564-1642)
Théorie de la relativité
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R2
Référentiels d’inertie
Pour la description de phénomènes physiques, on a besoin de référentiels
pour l’espace et le temps. Un référentiel est en cela constitué de points
matériels auxquels nous rapportons le mouvement des corps. Au
référentiel est relié de manière rigide un système de coordonnées, de
sorte que la position de tout point du corps en mouvement est déterminée
de manière univoque par trois coordonnées spatiales.
Le référentiel peut être choisi librement. Cependant, dans la relativité
restreinte, on utilise uniquement ce qu’on appelle des référentiels
d’inertie.
Les référentiels d’inertie sont des référentiels spatiaux dans lesquels un
corps qui n’est soumis à aucune force reste au repos ou en mouvement
rectiligne uniforme.
Chaque référentiel qui se déplace selon un mouvement rectiligne
uniforme par rapport à un référentiel d’inertie est lui-même également un
référentiel d’inertie. Il existe dès lors une infinité de référentiels d’inertie
qui sont équivalents entre eux.
Le référentiel S avec les coordonnées (x, y, z) est lié au quai de gare,
tandis que le référentiel S’ avec les coordonnées (x’, y’, z’) est porté par le
train de marchandises. Les deux référentiels sont en mouvement rectiligne
uniforme l’un par rapport à l’autre. On s’attend à ce que les lois physiques
aient la même forme dans les deux référentiels.
Enfermé dans une boîte noire, aucune expérience ne permet de déterminer
si on se trouve dans le référentiel S ou dans le référentiel S’. En
particulier, on ne peut pas déterminer lequel de ces référentiels est au
repos. Il n’existe que des référentiels au repos relativement l’un à l’autre.
Même lorsqu’on regarde par la fenêtre et qu’on voit un deuxième train, il
est souvent très difficile de juger si c’est le train dans lequel on se trouve
ou l’autre qui est en mouvement.
c
e
1. Des référentiels différents sont
équivalents entre eux s’ils sont en
mouvement rectiligne uniforme l’un
par rapport à l’autre. Les mêmes lois
physiques sont alors valables sous la
même forme dans le train comme sur
le quai.
Les référentiels non inertiels font intervenir des forces d’inertie
supplémentaires. Seule la théorie de la relativité générale permet de
considérer des référentiels accélérés par rapport à un référentiel d’inertie.
Postulats de la théorie de la relativité
Einstein a postulé que tous les référentiels d’inertie conviennent de
manière équivalente à l’élaboration de la physique. Ceci est le contenu du
principe de relativité qu’Einstein a sélectionné comme base pour sa
relativité restreinte :
Postulat 1 : Principe de relativité
Les lois physiques ont la même forme dans tous les référentiels d’inertie.
Les lois physiques générales ont la même forme dans deux référentiels en
mouvement relatif et sont indépendantes de la vitesse relative entre les
deux référentiels. Ceci a de grandes conséquences dans la théorie de
l’électromagnétisme, dans laquelle la vitesse de la lumière dans le vide
apparaît explicitement dans les équations.
Un postulat en physique ne peut pas
être mis en question. Il constitue le
fondement d’une théorie physique. Des
expériences peuvent confirmer ou
réfuter des postulats; dans ce dernier
cas, les postulats sont eux-mêmes
réfutés et donc caducs.
Théorie de la relativité
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R3
Si tous les référentiels d’inertie ont la même valeur, un signal lumineux
dans le vide doit manifestement se propager dans chacun de ces
référentiels avec la même vitesse dans toutes les directions. Ceci est le
principe de la constance de la vitesse de la lumière. Pour un mouvement
rectiligne uniforme entre la source de la lumière et l’observateur, on
mesure la même valeur c de la vitesse de la lumière dans le vide,
indépendamment de la vitesse relative v.
Postulat 2 : Principe de la constance de la vitesse de la lumière
La vitesse de la lumière est indépendante du mouvement de la source de
lumière et de l’observateur. La vitesse de la lumière dans le vide est dans
tout référentiel d’inertie c = 300 000 km/s.
1. La lumière nous atteint toujours
avec la même vitesse c = 300 000
km/s. Ce faisant, il ne joue aucun rôle
que nous soyons au repos ou que nous
nous rapprochions ou nous écartions
d’une source de lumière. Ce principe
contredit l’expérience de la vie de tous
les jours.
Le principe de relativité (selon Einstein) et le principe de la constance de
la vitesse de la lumière découlent de l’expérience et ne sont à proprement
parler pas démontrables; mais uniquement réfutables; ce sont des postulats. On peut uniquement en déduire des conclusions et vérifier les
connaissances ainsi obtenues par l’expérience.
L’ensemble de notions liées reposant sur ces deux principes de base et
l’ensemble des résultats en découlant constituent le contenu de la théorie
de la relativité restreinte.
Cinématique relativiste
Dilatation du temps
Nous voulons examiner la marche d’une horloge en mouvement. Afin de
faciliter ces considérations, nous construisons d’abord en esprit une
horloge la plus simple possible, l’horloge à photons. Elle a l’avantage
que le comportement des horloges au repos aussi bien que celui des
horloges en mouvement sont entièrement décrits selon les deux postulats
de la théorie de la relativité.
L’horloge à photons (figure 2) est constituée d’un cylindre dont à
l’extrémité supérieure se trouve une lampe à éclair. Un éclair envoyé par
la lampe parcourt le cylindre et est réfléchi à l’extrémité inférieure par un
miroir. Lorsque l’impulsion lumineuse revient à l’extrémité supérieure, la
lampe doit immédiatement envoyer un nouvel éclair. En outre, l’affichage
de l’horloge avance d’une unité de temps.
2. Une impulsion lumineuse est envoyée à l’extrémité supérieure et elle
est ensuite réfléchie par le miroir dans
la partie inférieure. Au retour de
l’éclair en haut, l’horloge avance d’une
unité de temps.
Théorie de la relativité
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R4
Horloge au repos par rapport à l’observateur
Dans une horloge d’une longueur D, au repos par rapport à l’observateur,
l’impulsion lumineuse met le temps Δt0 pour un trajet complet (figure 1) :
Δt0 =
2⋅D
c
Par exemple, si la longueur de l’horloge mesure D = 0,15 m, alors l’unité
de temps affichée par l’horloge est :
Δt0 =
2 ⋅ D 2 ⋅ 0,15 m
=
= 10 −9 s = 1 ns
c
3⋅108 m/s
L’horloge affiche ici le temps en nanosecondes. Δt0 est le temps mesuré
par un observateur pour un trajet complet de l’impulsion lumineuse dans
une horloge au repos, c’est-à-dire dans un référentiel d’inertie S0 au repos
par rapport à l’horloge.
Horloge en mouvement par rapport à l’observateur
Nous considérons maintenant le trajet de l’impulsion lumineuse dans un
référentiel d’inertie S dans lequel l’horloge est en mouvement (p. ex. dans
un vaisseau spatial) à une vitesse v (figure 2). On mesure dans le
référentiel S l’intervalle de temps Δt entre l’envoi et la réception de
l’impulsion lumineuse. Pendant cet intervalle de temps, le vaisseau se
déplace d’une distance v·Δt.
Comparé au trajet de l’impulsion lumineuse dans le référentiel S0, la
lumière accomplit dès lors un trajet plus long dans le référentiel S. Selon
le deuxième principe de la théorie de la relativité, on mesure dans les
deux référentiels la même vitesse c de la lumière. Il s’ensuit que
l’impulsion lumineuse met dans le référentiel S un temps Δt plus long que
le temps Δt0 dans le référentiel S0.
Du point de vue du référentiel S, la lumière a besoin de plus de temps
dans l’horloge avant d’atteindre l’extrémité supérieure du cylindre. Le
"tic-tac" des horloges au repos devient un „tiiic-taaac" dans l’horloge en
mouvement. Cet effet est appelé la dilatation du temps.
1. La durée pour un trajet complet de
l’éclair définit une unité de temps.
Dans le référentiel S0 , l’horloge est au
repos et l’impulsion lumineuse met le
temps 2⋅D/c. Si le cylindre mesure
D = 15 cm, l’impulsion lumineuse met
1 ns pour un trajet complet, de sorte
que le temps est affiché en nanosecondes.
2. Dans le référentiel S, l’horloge se
déplace à la vitesse v vers la droite.
L’impulsion lumineuse met le temps
2⋅L/c dans S. Pendant ce temps, l’horloge s’est déplacée d’une distance v⋅Δt
vers la droite.
Dérivation quantitative
Afin de calculer la dilatation du temps, nous devons déterminer la relation
entre l’indication de temps Δt dans le référentiel S et le temps Δt0 dans le
référentiel S0.
À l’aide de l’illustration 3 et du théorème de Pythagore, il vient :
# Δt &
L2 = D 2 + % v ⋅ (
$ 2'
Si nous posons ici L = c ⋅
2
Δt
Δt
et D = c ⋅ 0 , on obtient :
2
2
2
2
# Δt & # Δt0 & # Δt &
%c ⋅ ( = %c ⋅
( + %v ⋅ (
$ 2' $ 2 ' $ 2'
(c ⋅ Δt0 )2 = (c ⋅ Δt)2 − (v ⋅ Δt)2
c 2 ⋅ Δt02 = Δt 2 ⋅ (c 2 − v 2 )
2
3. La relation entre le temps affiché
par les deux horloges peut être trouvée
à l’aide du théorème de Pythagore.
Nous considérons ici les trajets de la
lumière pour la première moitié du
parcours.
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
Δt02 = Δt 2 ⋅
R5
$ v2 '
c2 − v2
2
=
Δt
⋅
&1− 2 )
c2
% c (
v2
c2
Δt0 = Δt ⋅ 1−
Δt =
Δt0
1−
v2
c2
Du fait de v < c, on a toujours : Δt ≥ Δt0
Temps propre
Entre deux événements, l’intervalle de temps le plus court est mesuré par
l’observateur qui les vit directement – à savoir au repos dans son propre
référentiel. Ce temps s’appelle temps propre.
1. Dans les satellites Galileo du futur
système de navigation européen, des
corrections relativistes de la mesure de
temps sont effectuées, sinon la détermination d’un lieu sur la Terre serait
trop imprécise.
Facteur relativiste γ
Pour la suite du calcul, il est utile d’introduire le facteur relativiste γ,
1
γ=
1−
v2
c2
de sorte que nous obtenons la relation suivante :
Δt = γ ⋅ Δt0
On tiendra compte de ce qu’on a γ ≥ 1 avec v ≤ c.
Relativité du temps
Comme l’impulsion lumineuse met plus de temps dans l’horloge en
mouvement, celle-ci retarde par rapport à une horloge au repos.
Ces réflexions faites avec l’horloge à photons peuvent être transposées sur
les horloges mécaniques et électriques ainsi qu’aux horloges atomiques.
En effet, si une horloge quelconque montrait un autre comportement que
l’horloge à photons, on pourrait mesurer dans différents référentiels
d’inertie des écarts dans la marche de ces horloges, mais pas dans un autre
référentiel d’inertie. Cette distinction d’un référentiel d’inertie est en
contradiction avec le principe de relativité.
Par conséquent, on admet que le temps lui-même est dilaté, de sorte que
tous les processus physiques, chimiques et biologiques sont soumis à la
dilatation du temps
Dilatation du temps :
Si un processus a besoin d’une durée Δt0 dans un référentiel au repos par
rapport au processus, le même processus – vu depuis un référentiel en
mouvement par rapport au processus – se déroule dans le temps Δt :
Δt = γ ⋅ Δt0 =
2. Plus une horloge se déplace
rapidement, plus elle marche lentement
par rapport aux horloges au repos. Près
de la vitesse de la lumière, le temps
semble même s’arrêter.
Δt
1−
v2
c2
avec v comme vitesse relative entre les référentiels.
Exercice :
Que vaut le facteur relativiste γ à la
moitié de la vitesse de la lumière dans
le vide ?
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
R6
Facteur relativiste γ :
Le tableau suivant donne le facteur relativiste γ pour différentes vitesses :
Voiture de formule 1, TGV
Avion supersonique
Mouvement de la Terre autour du
Soleil
10 % de c
50 % de c
90 % de c
99 % de c
99,9 % de c
v
300 km/h
2300 km/h
v/c
Facteur γ
3⋅10-7 1+4⋅10-14
2⋅10-6 1+2⋅10-12
30 km/s
10-4
1+5⋅10-9
30 000 km/s
150 000 km/s
270 000 km/s
297 000 km/s
299 000 km/s
0,1
0,5
0,9
0,99
0,999
1,005
1,15
2,29
7,09
22,4
On voit que le phénomène de la dilatation du temps est absolument
négligeable dans la vie de tous les jours (γ ≈ 1) et qu’il ne joue un rôle que
pour des vitesses de l’ordre de grandeur de la vitesse de la lumière dans le
vide.
Désintégration des muons :
La dilatation du temps a entre-temps été confirmée par de nombreux
expériences de la physique des particules élémentaires. À titre d’illustration, nous considérons une expérience qui a été réalisée en 1959 dans le
Laboratoire européen pour la physique des particules du CERN à
Genève. Ce faisant, on a mesuré le temps de désintégration de muons.
Les muons sont par de nombreuses caractéristiques semblables aux
électrons; ils sont cependant plus lourds et se désintègrent peu de temps
après leur formation en d’autres particules : on dit qu’ils sont instables.
Cette désintégration suit une loi exponentielle. Si on a p. ex. au temps
t = 0 au total 10 000 muons ayant été générés, on n’en trouve plus que la
moitié après la demi-vie. Les 5000 autres muons se sont entre-temps
désintégrés.
Si l’expérience est réalisé dans un référentiel d’inertie dans lequel les
muons sont au repos, on mesure une demi-vie de T0 = 1,52 µs. Dans
l’expérience du CERN évoquée, on a observé la désintégration de muons,
non pas au repos, mais circulant dans un anneau de stockage à la vitesse v
= 0,99942 c. À cause de la dilatation du temps, leur désintégration est
ralentie et la demi-vie des muons en rotation augmente dès lors à la valeur
T=
T0
2
v
1− 2
c
=
1, 52 µs
1− (0, 99942)2
1. Le Laboratoire européen pour la
physique des particules du CERN est
situé à proximité de Genève dans la
zone frontière entre la Suisse et la
France. Les scientifiques qui y travaillent effectuent des recherches de
pointe en physique des particules élémentaires.
Nombre de muons
Courbe de désintégration
des muons à une vitesse
proche de c
Courbe de désintégration
des muons au repos
= 44,6 µs
Les mesures ont confirmé cette prévision de la théorie de la relativité, la
précision de mesure étant de 0,1 %.
2. Les muons tournant dans l’anneau
de stockage se désintègrent nettement
plus lentement que les muons au repos
en raison de la dilatation du temps. À
un moment déterminé, le nombre de
muons en mouvement est plus grand
que le nombre de muons au repos.
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
R7
Contraction des longueurs
L’allongement de la durée de vie des muons en mouvement a déjà été
constaté d’une autre manière avant l’expérience du CERN. Les muons se
forment à une hauteur H= 10 km par la collision de particules à haute
énergie du cosmos (le rayonnement cosmique) sur l’atmosphère terrestre.
Les muons ainsi formés se déplacent presque à la vitesse de la lumière
vers la Terre. Pour cela, ils ont besoin du temps
Ce temps est nettement plus long que la demi-vie des muons au repos.
Seul le fait que la durée de vie est allongée suite à la dilatation du temps
permet à une partie des muons d’arriver jusqu’à la surface terrestre.
Cela devient encore plus intéressant lorsqu’on considère la situation des
muons dans un référentiel immobile relativement aux muons. Dans ce
référentiel, la Terre se déplace presqu’à la vitesse de la lumière vers les
muons au repos. Dans leur propre référentiel, la demi-vie des muons est
encore de 1,52 µs. Comment la surface terrestre venant à leur rencontre
peut-elle malgré tout atteindre les muons ?
1. Du fait de la dilatation du temps,
la durée de vie des muons s’allonge, de
sorte qu’une bonne partie d’entre eux
atteint la surface terrestre après 10 km.
2. Du point de vue des muons
rapides, un trajet de 10 km se rétrécit à
300 m.
On peut expliquer ce paradoxe en partant de ce qu’on mesure des
longueurs différentes dans des référentiels d’inertie différents. Du point
de vue des muons, la distance à la Terre doit être plus petite que dans le
référentiel au repos de la surface terrestre. On parle de contraction des
longueurs dans les référentiels en mouvement.
Contraction des longueurs :
Si un tronçon a une longueur x0 dans le référentiel au repos par rapport à
elle, le tronçon en mouvement en direction longitudinale vers
l’observateur a une longueur plus petite x :
𝑥=
𝑥!
=
𝛾
1−
𝑣!
·𝑥
𝑐! !
La longueur mesurée dans le référentiel au repos s’appelle longueur
propre.
Dans le référentiel d’inertie à échelle au repos, on mesure dans la
direction de déplacement la valeur maximale d’une longueur vis-à-vis de
tous les autres référentiels d’inertie. Les longueurs perpendiculaires à la
direction de déplacement restent inchangées.
3. Les corps en mouvement rapide
apparaissent raccourcis vis-à-vis des
corps au repos.
4. Chaque observateur constate la
contraction des longueurs uniquement
pour les corps en mouvement relatif
par rapport à lui. Ce faisant, les corps
apparaissent uniquement raccourcis
dans la direction de déplacement.
Exercice :
À partir de quelle vitesse la longueur
d’un corps est-elle raccourcie de
10 % ?
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
Le superhéros vole à v << c : tout apparaît comme d’habitude.
Le superhéros vole à v pratiquement égale à c : de son point de vue, Einstein et la ville sont raccourcis.
Le superhéros vole à v pratiquement égale à c : du point de vue d’Einstein, le héros est raccourci.
On a ici pour la contraction des longueurs x’ = 0,55 ⋅ x, ce qui correspond à une vitesse v = 0,835 ⋅ c.
R8
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
R9
Dynamique relativiste
Masse relativiste
u0
On réalise l’expérience suivante par la pensée : L’entraînement d’une
fusée est réglé exactement de façon à ce que la fusée soit accélérée avec
une force correspondant à l’accélération de la pesanteur : a ≈ 10 m/s2.
Selon les lois de la physique classique, à accélération constante, la vitesse
augmente linéairement en fonction du temps, c.-à-d. que l’on peut
calculer qu’après environ un an, elle atteindrait la vitesse de la lumière.
Ceci contredit cependant clairement les postulats de la théorie de la
relativité.
Au cours des années 1980, on a accéléré tellement fortement des électrons
dans l’accélérateur linéaire de l’université de Stanford que, selon le
calcul classique, ils auraient dû atteindre une vitesse égale à 280 fois celle
de la lumière. Le résultat de cet essai d’accélération peut uniquement être
expliqué par le fait que la masse d’un corps augmente à vitesse croissante
et a une valeur infinie à la vitesse de la lumière. Ce n’est qu’ainsi qu’on
peut exclure une accélération supplémentaire au-delà de la vitesse de la
lumière.
À l’aide d’une expérience en pensée, nous pouvons dériver l’augmentation de masse pour les corps en mouvement. Une lourde bille d’acier de
masse m0 vole dans un référentiel d’inertie S0 à une vitesse constante u0
contre un mur et y perce un trou. La bille transmet donc sa quantité de
mouvement totale p0 = mo⋅ u0 au mur. Le degré de destruction du mur est
une mesure de cette quantité de mouvement de la bille, qui se compose de
sa vitesse et de sa masse.
S0
S0
1. L’impact de la bille observé
dans un référentiel S0, au repos par
rapport au mur. La bille heurte le
mur à une vitesse u0 et pénètre
dans le mur d’une certaine profondeur qui est une mesure de la
quantité de mouvement transmise
dans cette direction.
u < u0
S
On considère maintenant le même processus depuis un référentiel
d’inertie S qui se déplace parallèlement au mur à la vitesse v.
Tous les processus dans S0 observés depuis S sont ralentis du facteur 1/γ à
cause de la dilatation du temps. Le temps s’écoule plus lentement dans le
référentiel S en mouvement que dans le référentiel au repos S0 :
Δt =
S
Δ t0
1−
v2
c2
Cependant, l’étendue de la destruction du mur semble la même dans les
deux cas : Bien que la bille se déplace plus lentement vers le mur dans S,
elle y occasionne le même trou que la bille plus rapide dans S0. Si la
destruction est la même, les composantes des quantités de mouvement
perpendiculaires au mur doivent être identiques dans les deux référentiels : p0 = p. Cette égalité peut uniquement s’expliquer par le fait
que la bille dans S n’a pas la masse m0, mais possède une valeur m plus
élevée.
Par comparaison des deux quantités de mouvement perpendiculaires au
mur, nous trouvons :
p0 = p
m o⋅ u 0 = m ⋅ u
S
2. Le référentiel S se déplace à une
vitesse élevée v parallèlement au
mur vers la droite. Du point de vu
du référentiel S, le mur et la bille
vont à toute vitesse vers la
gauche ; de plus, les longueurs apparaissent raccourcies dans la
direction des x et le temps s’écoule
plus lentement de façon que la
bille heurte le mur à une vitesse u
plus petite. On mesure quand
même dans les deux référentiels la
même profondeur de pénétration.
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
R10
u0
u
# Δs0 &
%
(
$ Δt0 '
m = m0 ⋅
# Δs &
% (
$ Δt '
m = m0 ⋅
Il ne se produit pas de contraction des longueurs, le référentiel d’inertie S
se déplaçant perpendiculairement à la direction de déplacement de la
bille, c.-à-d. :
Δs0 = Δs
Pour la masse de la bille en mouvement, on a donc :
1. L’augmentation de la masse de
corps en mouvement empêche qu’une
fusée atteigne la vitesse de la lumière.
# 1 &
%
(
$ Δt0 '
m = m0 ⋅
#1&
% (
$ Δt '
= m0 ⋅
Δt
Δt0
Δt0
= m0 ⋅
2
v
c2
Δt0 ⋅ 1−
=
m0
1−
v2
c2
2. Vue sur le tunnel annulaire de 27
km de long du Large-Hadron-Collider
(LHC) au CERN. À cause de
l’augmentation des masses, des
champs magnétiques extrêmement
puissants sont nécessaires pour maintenir les particules accélérées sur une
trajectoire circulaire.
Nous appelons la masse m0 dans notre expérience en pensée la masse au
repos ; m est la masse dynamique du corps en mouvement, qui dépend
donc de sa vitesse.
Masse dynamique :
Si un corps de masse au repos m0 se déplace à la vitesse v, sa masse dynamique m vaut
m = γ ⋅ m0 =
m0
1−
v2
c2
Comme v est toujours plus petite que c, la masse dynamique m du corps
doit toujours être plus grande que sa masse au repos m0. La masse du
corps augmente à vitesse croissante. Du point de vue physique, cela
signifie que le corps devient de plus en plus inerte à vitesse croissante : il
"s’oppose" donc toujours plus à une accélération supplémentaire ; le cas
limite v = c reste dès lors inaccessible pour un corps massique.
3. Les masses en mouvement ont une
plus grande inertie. Comme l’augmentation de la masse relativiste tend vers
l’infini, un dépassement de la vitesse
de la lumière est impossible.
Exercice :
À quelle vitesse un corps doit-il se
déplacer pour que sa masse dynamique
soit le double de la masse au repos ?
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
R11
Les particules sans masse (dont la masse au repos m0 = 0 disparaît donc)
se déplacent toujours à la vitesse de la lumière dans le vide. Le photon
(particule de lumière) n’a pas de masse au repos; pour cette raison, la
lumière se propage avec la vitesse limite maximale définie par la théorie
de la relativité. Les particules sans masse se déplacent toujours, et dans
chaque référentiel, à la même vitesse c = 3⋅108 m/s.
Loi fondamentale de la dynamique
Comment doit-on maintenant se représenter la 2e loi de Newton de la
mécanique sous la forme relativiste ? Comme il est impossible pour un
corps massique d’atteindre la vitesse de la lumière, l’expression pour
l’énergie cinétique doit également être modifiée. Nous devons tenir
compte de ce que la masse d’un corps n’est plus une constante, mais
fonction de la vitesse.
1. Isaac Newton (1642-1727)
Nous examinons l’effet d’une variation de la quantité de mouvement :
F=
dp
dt
avec p = m(v)⋅ v =
m0 ⋅ v
1− v 2 c 2
Pour la dérivée, nous écrivons:
€
𝑑𝑝
𝑑
=
𝑚 𝑣 ∙𝑣
𝑑𝑡 𝑑𝑡
=
À la différence des mathématiciens, les physiciens écrivent df/dx
au lieu de f’(x).
𝑑𝑚(𝑣)
𝑑𝑣
∙ 𝑣 + 𝑚 𝑣 ∙
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑚
=
∙ 𝑣 + 𝑚 ∙ 𝑎 (1)
𝑑𝑡
À des vitesses élevées, la masse dynamique m dépend de la vitesse
v = v(t). C’est pourquoi nous dérivons la masse par rapport au temps t en
considérant la règle de la dérivation pour fonctions composées:
𝑑𝑚 𝑑𝑚 𝑑𝑣
=
∙
𝑑𝑡
𝑑𝑣 𝑑𝑡
=
Accélération 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Dans la mécanique non relativiste,
la masse m ne dépend pas du
temps : dm/dt = 0. Dans ce cas,
seul le dernier terme en (1)
subsiste ; il en découle la 2e loi de
Newton: 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 folgt.
𝑑𝑚
∙ 𝑎 (2)
𝑑𝑣
Dans l’étape suivante, nous dérivons la masse dynamique m = m(v) par
rapport à la vitesse v:
𝑑𝑚
𝑑
𝑚!
=
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑣!
1− !
𝑐
𝑑
𝑣!
= 𝑚! ∙
1− !
𝑑𝑣
𝑐
!
!
!
1
𝑣!
= 𝑚! ∙ − ∙ 1 − !
2
𝑐
=
𝑚! ∙
1−
𝑣
𝑐!
𝑣!
𝑐!
!
!
!
!
!
∙
−2𝑣
𝑐!
2. Dans la vie normale, nous ne
remarquons pas d’effets relativistes.
Les ingénieurs ne doivent pas en tenir
compte lors de la construction de
moyens de transport et peuvent utiliser
les lois de Newton.
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
R12
Insérons en (2) :
𝑣
𝑑𝑚 𝑚! ∙ 𝑐 ! · 𝑎
=
!
𝑑𝑡
𝑣! !
1− !
𝑐
Nous insérons la dernière expression en (1) et nous obtenons :
𝑣
𝑚! ∙ ! · 𝑎
𝑑𝑝
𝑐
=
∙ 𝑣 + 𝑚 ∙ 𝑎
! !
𝑑𝑡
𝑣!
1− !
𝑐
𝑣!
·𝑎
𝑐!
=
+ 𝑚 ∙ 𝑎
! !
𝑣!
1− !
𝑐
𝑚! ∙
La masse dynamique m est exprimée en fonction de la masse au repos
m0 :
𝑣!
𝑚! ∙ ! · 𝑎
𝑑𝑝
𝑚! · 𝑎
𝑐
=
+ !
!
𝑑𝑡
𝑣!
𝑣!
1− !
1− !
𝑐
𝑐
1. Les chambres à bulles contiennent
un liquide sur le point de bouillir. Le
passage de particules chargées dans le
liquide surchauffé provoque la formation de bulles de vapeur le long de
leurs trajectoires, lesquelles sont visibles sur des photographies. L’illustration montre la Big European Bubble
Chamber (BEBC) au CERN à Genève.
Nous cherchons un dénominateur commun à droite du signe d’égalité :
𝑣!
𝑣!
𝑚! ∙ ! · 𝑎
1
−
𝑑𝑝
𝑚
·
𝑎
!
𝑐
𝑐!
=
+ · !
!
𝑣!
𝑑𝑡
𝑣!
𝑣!
1− !
1 − ! 1 − 𝑐!
𝑐
𝑐
Il en découle :
Loi fondamentale de la dynamique relativiste
F=
m0 ⋅ a
3/2
# v2 &
%1− 2 (
$ c '
Pour les vitesses faibles par rapport à la vitesse de la lumière dans le vide
v << c, la loi fondamentale de la dynamique relativiste revient à la forme
classique connue.
2. Les particules sont soumises dans
la chambre à bulles à un puissant
champ magnétique, qui fait dévier les
particules sur des trajectoires courbes.
À partir de la courbure de la trajectoire, on peut déduire la vitesse et
l’énergie des particules.
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
R13
Energie cinétique relativiste
Pour accélérer un corps au repos à la vitesse v, on doit fournir un travail
d’accélération, qui est alors stocké sous la forme d’énergie cinétique.
!"
Nous savons que : 𝐹 =
!"
L’énergie cinétique est donnée par :
!
𝐸!"# =
!
𝐹 𝑑𝑠 =
!
!
!
𝑑𝑝
𝑑𝑠 =
𝑑𝑡
!
𝑑𝑠
𝑑𝑝 =
𝑑𝑡
!
𝑣 𝑑𝑝
!
La technique utilisée ici est une
substitution de variables.
!"
Nous venons de calculer dans le paragraphe précédent . Afin de pouvoir
!"
utiliser ce résultat, nous transformons l’intégrale ci-dessus :
!
𝐸!"# =
et avec
𝑑𝑝
=
𝑑𝑣
!
𝑣 𝑑𝑝 =
!
𝑣·
!
𝑑𝑝
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑚!
1−
nous obtenons :
!"
𝑐!
!
𝐸!"# =
Comment trouve-t-on l’expression
!"
pour ? Regarde à la page R12 et
!/!
𝑣!
𝑣·
!
considère que 𝐹 =
𝑚! 𝑣
𝑣!
1− !
𝑐
!
𝑑𝑝 𝑑𝑣
= 𝑑𝑣 · 𝑑𝑡 .
𝑑𝑝
𝑑𝑣
𝑑𝑣
!
=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
!/!
𝑑𝑣 !
=
𝑓 𝑣 𝑑𝑣 = 𝐹 𝑣 − 𝐹(0)
!
où F(v) est une primitive de la fonction f(v) :
F(v) =
m0 ⋅ c2
1− v2 c2
Exercice :
Vérifiez que F’(v) =f(v).
On en tire :
€
Ecin
=
m0 ⋅ c 2
2
2
– m 0 ⋅ c2
1− v c
= m ⋅ c2 – m 0 ⋅ c2
= Δ m ⋅ c2
Expression
relativiste pour Ecin
Expression non
relativiste pour Ecin
avec l’énergie au repos :
E 0 = m 0 ⋅ c2
et l’énergie totale :
E = E0 + Ecin
= m ⋅ c2
= γ ⋅ m 0 ⋅ c2
1. L’énergie cinétique relativiste
augmente plus rapidement avec la
vitesse que dans la physique newtonienne. Pour les faibles vitesses, on a
par approximation l’expression de
Newton. Pour v → c, l’énergie cinétique relativiste augmente au-delà de
toutes les limites.
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
R14
Équivalence de la masse et de l’énergie
L’énergie cinétique apportée au corps pendant la phase d’accélération du
repos à la vitesse v est donc :
Ecin = m ⋅ c2 – m0 ⋅ c2
= (m − mo) ⋅ c2
Cette formule est initialement simplement valable pour l’augmentation de
la masse en cas d’augmentation de l’énergie. Albert Einstein a cependant
reconnu sa signification générale. Il a montré que l’énergie et la masse
sont deux grandeurs équivalentes. La conversion d’une dans l’autre se fait
selon la relation masse-énergie (formule d’Einstein) :
1. La formule la plus célèbre de la
physique écrite de la main d’Einstein.
L’énergie totale et la masse dynamique diffèrent uniquement par le
facteur c2. Si nous apportons à une particule au repos l’énergie E, sa
masse augmente de E/c2.
Toute variation de masse signifie une variation d’énergie et inversement.
Exemple :
L’augmentation de masse lors d’un apport d’énergie courant, p. ex.
lorsqu’on chauffe l’eau du bain ou lors de l’accélération d’une voiture de
0 km/h à 100 km/h est si petite qu’elle est absolument négligeable vis-àvis des autres masses intervenantes. Considérons l’accélération d’une
automobile de masse (au repos) m0 =103 kg de 0 à 100 km/h = 27,8 m/s :
Ecin =
2. Dans
la
centrale
nucléaire
française de Cattenom près de la
frontière luxembourgeoise, la fission
d’atomes d’uranium libère de l’énergie
qui est contenue sous forme de masse
dans le noyau atomique d’origine.
1
1
⋅ m0 ⋅ v2 = ⋅ 103 kg ⋅(27,8 m/s)2 = 386 kJ
2
2
Cette énergie cinétique correspond à une augmentation de masse de :
Δm =
386 kJ
Ecin
=
= 4,28 ⋅ 10-12 kg
8
2
2
(3⋅10
m/s)
c
Inversement cependant, la conversion – même de faibles masses en
énergie – libère de grandes quantités d’énergie.
Lors de l’explosion d’une bombe à hydrogène, la fusion (nucléaire) de
l’hydrogène en hélium libère une énergie d’environ 200 millions de kWh
par kg d’hélium – assez pour couvrir le besoin annuel en énergie d’une
localité ! Ce faisant, la réaction de fusion ne fait intervenir qu’une perte
de masse d’environ 7 g par kg d’hélium.
Dans un accélérateur de particules, un apport d’énergie de 400 GeV fait
augmenter la masse à environ 40 000 fois la masse au repos. Ce faisant,
les particules atteignent pratiquement la vitesse de la lumière.
3. Dans le sud de la France, à
Cadarache, la communauté internationale construit un réacteur d’essai
dans lequel la fusion nucléaire devrait
être utilisée pour la première fois
comme source d’énergie.
Un électronvolt (1 eV) est l’énergie
qu’absorbe un électron libre dans un
champ électrique sous une tension de
1V:
1 eV = 1,6 ⋅ 10-19 J
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
R15
De l’équation d’Einstein, on déduit cependant également qu’on peut
considérer l’ensemble du monde matériel comme une accumulation
d’énergie. Heureusement, le stockage d’énergie sous la forme de masse
est exceptionnellement stable, de sorte que pour la plupart des processus
physiques et chimiques seules de minuscules parties de la masse se
transforment en énergie libre.
L’énergie totale d’un corps en mouvement est constituée de son énergie
au repos E0 = mo ⋅ c2 et de son énergie cinétique Ecin :
E = m ⋅ c2 = m0 ⋅ c2 +Ecin
Défaut de masse :
Chaque noyau atomique est constitué de nucléons (protons et neutrons)
qui sont liés entre eux par de puissantes forces nucléaires. Pour écarter un
nucléon du noyau atomique, on doit fournir un travail contre les forces
nucléaires, donc fournir de l’énergie. Par contre, si on construit un noyau
atomique à partir de nucléons, il y a libération d’énergie, l’énergie de
liaison nucléaire.
Cette libération d’énergie correspond à cause de la relation masse-énergie
à une diminution de Δm0 de la masse au repos des nucléons unis dans le
noyau atomique. La masse du noyau atomique assemblé est toujours plus
petite que la somme des masses des nucléons pris individuellement. Cette
différence Δm0 est appelée le défaut de masse. De manière générale, on a
pour le défaut de masse :
Défaut : manque
Δm0 = (Z ⋅ m0p +N ⋅ m0n) – m0k
Ici, Z signifie le nombre de protons présents dans le noyau atomique
(nombre atomique), N le nombre de neutrons présents dans le noyau
atomique, m0p la masse au repos d’un proton, m0n la masse au repos d’un
neutron et m0k la masse au repos totale du noyau atomique.
Défaut de masse :
La masse d’un noyau atomique est toujours plus petite que la somme des
masses des nucléons. L’énergie correspondant à la différence de masse est
l’énergie de liaison nucléaire qui est libérée lors de l’assemblage du
noyau atomique à partir de ses nucléons.
Exemple :
Le noyau de l’hydrogène lourd (deutérium) est constitué d’un proton et
d’un neutron. L’assemblage de ces deux particules libère l’énergie de
liaison E = 2,23 MeV = 3,58⋅10-13 J dans l’environnement. Le noyau de
deutérium doit donc avoir une masse plus faible que le proton et le
neutron pris ensemble.
Le défaut de masse est de :
La masse du noyau de deutérium peut être calculée comme suit :
Δm0 = (Z ⋅ m0p + N ⋅ m0n) – m0k
m0k = (Z ⋅ m0p + N ⋅ m0n) – Δm0
1. Deutérium : hydrogène lourd
Le noyau d’un atome d’hydrogène
simple contient un proton. Le
deutérium contient en plus un neutron,
qui est sans influence sur les propriétés
chimiques de l’atome.
Noyau de deutérium
2. À cause du défaut de masse, la
masse du deutérium est un peu plus
faible que la somme des masses du
proton et du neutron.
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
R16
Pour m0p = 1672,62⋅10-30 kg, m0n = 1674,93⋅10-30 kg, Δm0 = 3,97⋅10-30 kg
et Z = N= 1, on obtient pour la masse du noyau de deutérium :
m0k = 3 343,58⋅10-30 kg.
Si on diminue la masse d’un corps dans notre environnement de m0 =
1 kg, nous obtenons l’énergie E = 25⋅109 kWh. Ceci permettrait de
couvrir les besoins énergétiques européens pendant plusieurs jours.
Annihilation :
En 1932, on a observé des particules dont la plupart des caractéristiques
correspondaient à celles des électrons. Leur déviation dans le champ
magnétique montrait cependant que ces particules présentaient une charge
positive. On les a dès lors appelées positrons. Ces positrons s’assemblent
immédiatement avec les électrons présents en grand nombre. Ce faisant, il
se produit une annihilation, c.-à-d. que la paire électron-positron disparaît
et que l’ensemble de son énergie est convertie en rayonnement.
Les positrons sont les premières antiparticules qui ont été découvertes.
Entre-temps, on peut générer des antiprotons, des antineutrons et d’autres
formes d’antimatière. Si cette antimatière entre en contact avec de la
matière, la masse au repos se transforme entièrement en énergie.
L’antimatière peut uniquement être générée dans de grands accélérateurs
moyennant une dépense d’énergie très élevée.
-
+
e +e →
rayonnement
électromagnétique
1. Annihilation d’une paire électronpositron, observée dans le référentiel
de la paire. En 1932, on a découvert
ces particules dans le rayonnement
cosmique
Matière
Antimatière
Hydrogène
Antihydrogène
Deutérium
Antideutérium
Globalement, l’annihilation ne permet aucun gain d’énergie, car la
production d’antimatière requiert au moins autant d’énergie que celle
libérée lors de l’annihilation.
Lois de conservation relativistes
Pour le choc de deux particules, les lois de conservation suivantes sont
valables dans la physique de Newton :
Lois de conservation dans la physique de Newton
Conservation de la quantité de
mouvement :
Conservation de l’énergie :
Conservation de la masse :
€
 
 
p1 + p2 = p3 + p 4 +…
E0,1 + E0,2 = E0,3 + E0, 4 +…
m0,1 + m0,2 = m0,3 + m0, 4 +…
La quantité de mouvement est€donnée par p = mo⋅ v et l’énergie par
E 0 = ½ m 0 ⋅ v 2.
€
Pour être complet, la conservation de la masse est également reprise ici
dans les lois de conservation. Les points du côté droit des équations
indiquent que les particules peuvent se décomposer lors du choc.
Afin de généraliser les lois de conservation de la physique relativiste,
nous devons tenir compte de l’augmentation de la masse et remplacer dès
lors l’expression pour la quantité de mouvement par :


p = m⋅v =
m0
1−
€
v2
c2

⋅v
2. L’antimatière
est
constituée
d’antiprotons négatifs, d’antineutrons
neutres et de positrons positifs. Elle ne
se distingue pas de la matière et est
également stable. Lors du contact entre
la matière et l’antimatière, les deux
peuvent se transformer en rayonnement. On ne sait pas si l’univers contient des quantités substantielles
d’anti-matière.
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
R17
Le principe de conservation de la quantité de mouvement relativiste a la
même forme que dans la physique de Newton, sauf que la masse au repos
m0 est remplacée par la masse dynamique m des particules.
Des expériences avec de la matière et de l’antimatière montrent que la
conservation de la masse au repos n’a pas une validité générale. Dans le
principe de conservation de la masse, elle doit être remplacée par la masse
dynamique :
m1 + m2 = m3 + m4 +…
Si nous multiplions ce principe de conservation par c2, il vient :
m1 ⋅ c2 + m2 ⋅ c2 = m3 ⋅ c2 + m4 ⋅ c2 +…
Comme E = m ⋅ c2 est l’énergie totale d’une particule, nous pouvons
introduire l’énergie dans cette équation.
Le principe de conservation s’écrit alors :
1. Au CERN, on mesure dans
d’énormes détecteurs les caractéristiques des particules qui se forment
lors de la collision de deux faisceaux
de particules de haute énergie.
E1 + E2 = E3 + E4 +…
La conservation de la masse dynamique s’avère ainsi être en même temps
la grandeur de conservation pour l’énergie totale. Si nous la divisons en
énergie cinétique Ecin et énergie au repos m0 ⋅ c2, on voit clairement
comment la conservation de l’énergie et la conservation de la masse
interviennent maintenant dans un seul principe de conservation :
Ecin,1 + m0,1 ⋅ c2 + Ecin,2 + m0,2 ⋅ c2 = Ecin,3 + m0,3 ⋅ c2 + Ecin,4 + m0,4 ⋅ c2 +…
La séparation de la conservation de l’énergie et de la conservation de la
masse est supprimée, l’énergie et la masse étant équivalentes.
Lois de conservation dans la physique relativiste
Conservation de la quantité de
mouvement :
Conservation de l’énergie :
 
 
p1 + p2 = p3 + p 4 +…
E1 + E2 = E3 + E4 +…
€ particule est :
La quantité de mouvement d’une
 € 
p = m⋅v =
m0
1−
v2

⋅v
c2
L’énergie totale d’une particule en mouvement est constituée de
l’énergie au repos et de l’énergie cinétique :
€
E = Ecin + m0 ⋅ c 2 = m ⋅ c 2 =
m0
1−
v2
c2
⋅ c2
Lors de la collision d’électrons et de positrons, il se forme pour une
certaine énergie une particule Ψ (se prononce : particule psi) de masse
élevée. Les mesures montrent que la masse de la nouvelle particule est
égale à la somme des masses dynamiques de l’électron et du positron, ce
qui confirme les résultats mentionnés ci-dessus.
2. Les collisions de particules
peuvent
être
extraordinairement
complexes. Sur l’illustration sont représentées les trajectoires de toutes les
particules qui ont été formées lors
d’une collision de deux atomes d’or
chargés d’une énergie de 100 GeV.
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
R18
Formulaire
Facteur γ relativiste
(R1)
γ=
1
≥1
v2
1− 2
c
v vitesse
c = 3·108 m/s célérité de la lumière dans le vide
Dilatation du temps
(R2)
Δt0
Δt = γ ⋅ Δt0 =
2
1−
v
c2
Δt durée d’un événement dans le référentiel en mouvement
Δt0 durée d’un événement dans le référentiel au repos (temps
propre)
γ facteur relativiste γ
v vitesse du référentiel en mouvement
c = 3·108 m/s célérité de la lumière dans le vide
Contraction des longueurs
(R3)
x=
x0
v2
= x0 ⋅ 1− 2
γ
c
x longueur dans le référentiel en mouvement
x0 longueur dans le référentiel au repos (longueur propre)
γ facteur relativiste γ
v vitesse du référentiel en mouvement
c = 3·108 m/s célérité de la lumière dans le vide
Masse relativiste (dynamique)
(R4)
m0
m = γ ⋅ m0 =
1−
€
v2
c2
m masse dans le référentiel en mouvement
m0 masse dans le référentiel au repos (masse au repos)
γ facteur relativiste γ
v vitesse du référentiel en mouvement
c = 3·108 m/s célérité de la lumière dans le vide
Loi fondamentale de la mécanique relativiste
(R5)
F=
m0 ⋅ a
32
# v2 &
%1− 2 (
$ c '
F force sur l’objet
m masse relativiste (dynamique), m0 masse au repos de
l’objet
a accélération de l’objet
v vitesse de l’objet
c = 3·108 m/s célérité de la lumière dans le vide
Quantité de mouvement relativiste
(R6)
€



m ⋅v
p = γ ⋅ m0 ⋅ v = 0
v2
1− 2
c
γ facteur relativiste γ
m0 masse au repos de l’objet
v vitesse de l’objet
c = 3·108 m/s célérité de la lumière dans le vide
Théorie de la relativité
13GE − 2013/14
Énergie cinétique relativiste
(R7)
#
&
%
(
1
2 %
Ecin = m0 ⋅ c ⋅
−1(
2
%
(
v
% 1− 2
(
$
'
c
m0 masse au repos de l’objet en mouvement
v vitesse de l’objet en mouvement
c = 3·108 m/s célérité de la lumière dans le vide
Énergie au repos
(R8)
E0 = m0 ⋅ c 2
m0 masse au repos de l’objet
c = 3·108 m/s célérité de la lumière dans le vide
Énergie relativiste totale d’une particule en mouvement
€
(R9)
E = E0 + Ecin = m ⋅ c 2 = γ ⋅ m0 ⋅ c 2
E0 énergie au repos de la particule
Ecin énergie cinétique relativiste de la particule
m masse dynamique, m0 masse au repos de la particule
γ facteur relativiste γ
c = 3·108 m/s célérité de la lumière dans le vide
Lois de conservation
(R10)
 
 
p1 + p 2 = p 3 + p4 +…
(R11)
E1 + E2 = E3 + E4 +…
€
Conservation de la quantité de mouvement relativiste
pi quantité de mouvement relativiste de la particule i
Conservation de l’énergie relativiste
Ei énergie relativiste totale de la particule i
€
Ce qui est le plus
incompréhensible dans
l’Univers est au fond que
nous le comprenons.
R19
Théorie de la relativité
13GE – 2013/14
R20
Exercices
1. Des expériences avec les muons, particules élémentaires créées
dans la haute atmosphère à une altitude de 10 km, servent à vérifier
la dilatation du temps. Ces particules ressemblent en beaucoup de
propriétés aux électrons, mais elles sont instables et se désintègrent
rapidement. Leur désintégration suit une loi exponentielle, comme
c’est le cas d’une désintégration radioactive. La demi-vie des
muons, donc la durée au cours de laquelle la moitié des particules
présentes se sont transformées, est égale à 1,52 µs. Les muons ont
une vitesse de v = 0,999 42 c. Montrez que ces muons atteignent la
surface de la Terre uniquement grâce à la dilatation du temps.
2. Dans une expérience, des noyaux atomiques sont bombardés avec
des pions chargés positivement qui se déplacent à 90 % de la
célérité de la lumière. La distance parcourue par les pions entre la
source jusqu’à la cible est égale à 44,5 m. Les pions au repos ont
une demi-vie de 1,8·10-8 s.
Quel pourcentage des pions atteint la cible ?
(6,29 %)
3. De combien la masse d’une voiture est-elle augmentée, si elle roule
à 200 km/h au lieu d’être immobile ?
(1 + 1,7·10-14 fois plus lourde)
4. Un accélérateur de particules confère aux électrons une énergie cinétique de 7500 MeV.
a) Quelle est la masse dynamique des électrons ?
(m = 1,34·10-26 kg)
b) À quelle vitesse les électrons se déplacent-ils ?
(v = 0,999 999 998 c)
5. L’étoile la plus proche est Alpha Centauri visible dans l’hémisphère sud. La distance entre le Soleil et Alpha Centauri vaut 4,5
années-lumière.
a) Quel temps un vaisseau spatial utopique met-il pour un allerretour de la Terre jusqu’à Alpha Centauri, si le vaisseau se
déplace à v = 0,5 c ?
(t = 18 a)
b) Quelle est la durée du voyage mesurée par les astronautes dans
le vaisseau spatial ?
(t’ = 15,6 a)
c) À quelle vitesse le vaisseau doit-il se déplacer pour que le
voyage complet ne dure qu’une année pour l’équipage ?
(v = 0,9938 c)
6. La puissance rayonnante du Soleil est égale à 4·1023 kW.
De combien la masse du Soleil diminue-t-elle chaque seconde ?
(m = 4,4·109 kg)
1. Albert Einstein (1879-1955) était
professeur aux universités de
Zurich et de Prague. Il était membre
de l’Académie prussienne des
sciences à Berlin. Après son
émigration 1933 de l’Allemagne
nationale-socialiste, il travaillait au
Institute for Advanced Studies à
Princeton, USA.
Masse au repos de l’électron :
me = 9,109·10-31 kg
Masse au repos du proton :
mp = 1,673·10-27 kg
Masse au repos du noyau atomique
4
2 He :
mHe = 6,646·10-27 kg
Cherche la masse et l’âge du Soleil.
Déduis-en de combien (en pourcentage) la masse du Soleil a diminué
depuis sa naissance.
Théorie de la relativité
13GE – 2013/14
7. La masse d’un noyau atomique d’hélium est 0,6 % plus petite que
la masse de 4 noyaux atomiques d’hydrogène.
a) Quelle énergie est libérée lors de la fusion d’un kilogramme
d’hydrogène en hélium ?
(E = 5,39·1014 J)
b) Combien d’hydrogène doit être « brûlé » par seconde au centre
du Soleil pour maintenir le rayonnement solaire émis ?
(m = 7,42·1011 kg)
8. Quelle est la vitesse d’un électron avec une quantité de mouvement
égale à p = 4 MeV/c ?
(v = 0,991 92 c)
R21
1. Une photo d’Albert Einstein orne
le billet de banque israélien de cinq
shekels. Après la fondation de
l’État d’Israël, le poste de président
d’État fut proposé à Albert Einstein
qui y renonça toutefois.
9. Un noyau atomique d’hélium possède une énergie cinétique de
5 GeV. Calculez sa masse dynamique et sa vitesse !
(m = 1,56·10-26 kg, v = 0,904 c)
10. Un proton a une énergie totale de 1500 MeV.
a) Calculez sa masse dynamique et sa vitesse !
(m = 2,67·10-27 kg, v = 0,78 c)
b) Quel pourcentage de l’énergie totale représente l’énergie au
repos respectivement l’énergie cinétique ?
(Ekin : 37,5 %, E0 : 62,5 %)
11. Un électron est accéléré par une tension de 150 kV.
a) Calculez sa vitesse avec les lois classiques !
(v = 2,30·108 m/s)
b) Calculez sa vitesse avec les lois relativistes !
(v = 1,90·108 m/s)
c) Quelle est son énergie totale ?
(E = 1,06·10-13 J = 661 keV)
Liens internet
Animation en langue allemande sur la dilatation du temps :
http ://www.walter-fendt.de/zd/zd_appl2.htm
Animations en langue anglaise sur la dilatation du temps :
http ://www.phys.unsw.edu.au/einsteinlight/
Animation en langue anglaise sur la contraction des longueurs :
http ://www.physicsclassroom.com/mmedia/specrel/lc.html
Recueil de liens sur la théorie de la relativité :
http ://www.schulphysik.de/relativ.html