1 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 DEVOIR SURVEILLÉ n°4 du samedi 12 décembre Durée : 4 heures de 8h à 12h. Les calculatrices sont autorisées. Les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. 1 Exercices d’arithmétique Exercice 1 (L’auberge espagnole) 1. (a) Déterminer en détaillant les calculs, un couple d’entiers solution de l’équation 8x + 5y = 1. (b) En déduire un couple d’entiers (x0 , y0 ) solution de l’équation 8x + 5y = 100. 2. Démontrer que les solutions entières de l’équation 8x + 5y = 100 sont les couples (x0 − 5k, y0 + 8k), k ∈ Z. 3. Application : un grand groupe d’amis réunis dans un bar à Barcelone a mangé au total 100 tapas 1 . Les hommes en ont mangé 8 chacun et les femmes 5 chacun. Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ? Exercice 2 (Points à coordonnées entières sur une hyperbole) On munit le plan de son repère orthonormé canonique. On considère la courbe C du plan d’équation x2 − y 2 = 401. 1. Le nombre 401 est-il premier ? Justifier 2. Soit (x, y) ∈ N2 un couple tel que x2 − y 2 = 401. (a) Quelle(s) valeur(s) peut prendre l’entier x + y ? (b) En déduire la ou les valeurs possible(s) du couple (x, y). 3. En déduire tous les points à coordonnées entières (dans Z) de la courbe C. Exercice 3 (Nombres premiers d’une progression arithmétique) Le but de l’exercice est de démontrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 5 modulo 6. Pour cela on raisonne par l’absurde, et on suppose donc qu’il existe seulement un nombre fini de nombres premiers congrus à 5 modulo 6 que l’on note p1 , . . . , pk . On pose alors N = 6p1 × p2 × · · · × pk − 1. 1. Soit p un diviseur premier de N . (a) Justifier que N n’est pas divisible par 3, en déduire que p n’est pas congru à 3 modulo 6. (b) Justifier que p est congru soit à 1, soit à 5 modulo 6. 2. Démontrer que N possède au moins un diviseur premier congru à 5 modulo 6. 3. Conclure. 2 Exercice : étude d’une suite On note u et v les suites de terme général un et vn définies pour n ∈ N par : un = n X 1 k! et vn = un + k=0 1. Les tapas sont des amuse-gueules ainsi nommés en Espagne. 1 . n! 2 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 2.1 Convergence rapide de la suite u 1. Déterminer la monotonie des suites u et v. 2. En déduire que les suites (un )n>1 et (vn )n>1 sont adjacentes et convergent vers une même limite l. 3. Valeurs approchées de l : (a) Justifier que pour n > 1, on a |un − l| 6 1 n! . (b) En déduire un entier N à partir duquel le nombre uN est une approximation de l à 10−2 près. (c) Calculer u3 et v3 , en déduire que le nombre l n’est pas un entier. 2.2 Qui est vraiment ce nombre l ? Pour n ∈ N, on pose In = Z 0 1 (1 − t)n et dt . n! 4. On note e = exp(1). Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N, In = e − un . 5. Démontrer que la suite (In ) converge vers 0, en déduire la valeur de l. 3 Problème : Suites de rationnels et grands dénominateurs Soit u la suite définie par ∀n ∈ N, un+1 = 1. Démontrer que pour tout n ∈ N, un > 1 2 ) (un + 2 un √ et u0 = 2. 2. 2. Démontrer que u est monotone. 3. En déduire que u est convergente, déterminer sa limite l. Les nombres un sont des rationnels qui approximent le nombre l qui lui est irrationnel. A l’aide d’un logiciel de calcul formel, on observe que les dénominateurs des rationnels u0 , u1 , . . . , u5 sont de plus en plus grands (ces rationnels étant écrits sous forme irréductible) : u0 = 2 3 u1 = 2 17 u2 = 12 577 u3 = 408 665857 u4 = 470832 886731088897 u5 = 627013566048 Nous allons démontrer le théorème suivant qui explique notre observation : Théorème 1 Soit (pn )n∈N et (qn )n∈N deux suites d’entiers strictement positifs. Si la suite de rationconverge vers un nombre irrationnel, alors la suite (qn )n des dénominateurs tend vers nels pqnn n∈N +∞. Pour la preuve nous raisonnons par l’absurde et supposons que (qn ) ne tend pas +∞. 3 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 4. (a) Traduire avec des quantificateurs le fait que (qn ) ne tende pas vers +∞. (b) En déduire qu’il existe un réel A tel que pour tout n ∈ N la propriété suivante notée HR(n) est vraie : HR(n) : «il existe des entiers φ(0) < φ(1) < . . . < φ(n) tels que pour tout k ∈ {1, . . . , n}, qφ(k) 6 A». On pourra raisonner par récurrence. Nous avons donc construit une suite extraite (qφ(n) ) de (qn ) qui est majorée. 5. (a) Justifier que la suite (pφ(n) ) est bornée (on pourra écrire pφ(n) = qφ(n) (b) En déduire que la suite pφ(n) qφ(n) pφ(n) ). qφ(n) ne prend qu’un nombre fini de valeurs, puis conclure.