Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse C LAIRE D ELAROCHE Quelques problèmes concernant la structure des C? -algèbres Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 6, no 2 (1966-1967), exp. no 17, p. 1-7. <http://www.numdam.org/item?id=SC_1966-1967__6_2_A6_0> © Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse (Secrétariat mathématique, Paris), 1966-1967, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 17-01 Séminaire CROQUET (Initiation 6e à l’Analyse) année, 1966/67, 18 mai 1967 n° 17 PROBLÈMES QUELQUES C*-ALGÈBRES CONCERNANT LA STRUCTURE DES par Claire DELAROCHE A p rès avoir rappelé le théorème fondamental de structure des C*-algèbres commutatives, on se propose d’exposer ici une tentative en vue de déterminer la struc- C*-algèbres ture des sible, mais non tuer cette classe de se limitera ici à classe une plus acces- C*-algèbres, et on montrera comment peut reconstiC*-algèbres à partir d’une classe de C*-algèbres beaucoup vaste, assez commutatives. On de on plus simples. 1. Le corps de base sera toujours DEFINITION 1. - On a elle C~ , C~.-algèbre volution telle que pour tout x E une algèbre de Banach A munie d’une in- , A . EXEMPLES. 1° sur un 2° munie L’algèbre des fonctions continues espace localement compact, complexes, tendant munie de l’involution L’algèbre E(H) des endomorphismes de l’adjonction usuelle. vers 0 à l’infini, f ~-.-.~ f . continus d’un espace hilbertien H , 2. Rappelons certains résultats ([1], chap. I, § 3). On relatifs appelle caractère d’une algèbre nul de A dans C , L’ensemble des espace aux algèbres de Banach commutatives de Banach commutative A Tout caractère est continu et de norme un morphisme non 1 . caractères, muni de la topologie de la convergence simple, est un topologique localement compact contenu dans la boule unité du dual de A , de appelé spectre A, A Les caractères de par l’application qui, On sont à A. bijection en avec fait caractère, un correspondre son pour tout caractère x de A . En n’est ni injective, ni surjective, mais si le théorème fondamental suivant : THEOREME C*-algèbre 1. - Soient A algèbre Pour le un une A A isomorphisme de la dans l’algè- A , tel que sur C -algèbre, spectre, son complexes nulles à l’infini des fonctions continues transformation de Gel’fand est plus C-algèbre commutative, une A cette transformation général, est de A de noyau. morphisme x ~ gx de fonctions continues complexes nulles à l’infini, définies x(~) = x(x) réguliers les idéaux maximaux de Gel’fand le appelle transformation bre des g et noté C*-algèbre A la B alors la A , sur on a sur C*- la B o voir, on démontre d’abord que dans une C*-algèbre tout caractère x satisfait à c’est-à-dire que g * x " =8 . x satisfait résulte facilenent que 1’ensemble des fonctions hypothèses du théorème de Stone-Weierstrass. Il en On démontre ensuite que la transformation de Gel’fand est (8 ) . résulte que l’ensemble chap. I, § 6, th. est fermée donc est égal une à B aux d’où il isométrie~ tout entier 1). ~ topologique de A exemple~ les parties fermées La structure Par donne des renseignements sur la structure de A. ~ de A sont en bijection avec les idéaux fermés de A . 3. généraliser aux C*-algèbres non commutatives de spectre $ Le problème est dissocier à une C*-algèbre un reflétera assez bien les propriétés de l’algèbre. Nous allons DÉFINITION 2. - Soient représentation de A l’algèbre involutive sion de H . A dans L(H) , une H C*-algèbre, H tout morphisme de et on un la notion fondamentale espace topologique qui espace hilbertien. On l’algèbre appelle dimension de la involutive A représentation appelle dans la dimen- DÉFINITION il 3. - Soit une représentation DEFINITION 4. - On dit que deux sont équivalentes stil existe H’ sur Ht qui transforme 11(x ) il et isomorphisme U de l’espace hilbertien un 11’ (x) en Dans le cas A semble A générale des classes appelés commutative, ces peut on I(T) démontre que toute caractère. donc penser à définir le Prim(A) Prim(A) . Pour toute spectre à l’aide ~-.~ DEFINITION 5. - On appelle spectre primitif T topologie de Jacobson, et spectre de A l’ensemble A icage réciproque par l’application canonique A ~ Prim(A) satisfait topologie * topologiques sont localement quasi-compacts aux A , ou on soit des axiomes de de Jacobson Prim(A) muni de la muni de topologie ’ ’ ~ ~ Ces espaces de Prim(A) , de l’ ensemble la - de l’en- T l’ensemble et dite A de T partie l(T) . L’application T une topologie sur Prim(A) idéaux primitifs contenant et définit représentations représentation irréducti- rappelé que,dans le cas où A est canoniquement en bijection, mais en général T, fermeture, ([2], § 3). H a l’idéal bilatère intersection des éléments de la et de leurs noyaux. Ces noyaux sont des idéaux bila- deux ensembles sont A -~ H dans représentations irréductibles des idéaux primitifs. On seulement la surjection a un A commutative sont des on d’équivalence à l’aide de l’ensemble tères fermés est de xeA . pour tout C*-algèbre irréductibles de dimension 1 , et C*-algèbre n’ est H représentations EXEMPLE. - Les caractères diune ble d’une telle ri H . On dit que dans sous-espaces vectoriels fermés de seuls topo logiquement irréductible si les stables par 11(A) sont 0 et H ca A de >. . mais non séparés en géné- ral. EXEMPLE. - Considérons l’ensemble A des suites matrices à 2 lignes et 2 colonnes qui tendent tend vers l’infini : Pour les opérations évidentes et la nome a vers une Hall = sup n = (a , ... , an ’ ...) de matrice diagonale lorsque c’est une n Pour tout a A , a bijection A irréductibles de de 1 et din 2 , et de A on vérifie pas d’autres les classes Ici, posons : représentations Ce sont des qu’il n’y en E d’équivalence de représentations irréductibles sont en leurs noyaux. avec représentation irréductible Il de A et pour tout est un opérateur compact. Les C-algèbres qui possèdent cette dernière propriété forment une classe de C*-algèbres plus accessibles appelées C*algèbres liminaires. Les plus simples d’entre elles sont les C*-algèbres commutaPar ailleurs, pour toute tives. Les idéaux primitifs de A sont maximaux, donc tous les points de nés. Chaque point p est ouvert, car si un idéal primitif contient il est nécessairement distinct de forment système un bles sont ouverts D’autre part, pour des donc Qf n (car si ils sont de V est un Les ensembles (p nl ~2 est dans complémentaire fini, 03B1 ni , % , dans ... , A , ... , A. En effet, ces ensem- donc fermé). on ne peut J quasi compacta dans avoir 03C1n ~ V car et les forment un points a système et 03B2 fondamental de Prim(A) : sont pas sé- ne de la transformation de Gel’fand est la transformation telle que, pour tout 03B1} p 1 ’ , ...) . ... , 03B2} ensembles A , p a sont fer- , n voisinage de arbitrairement grands voisinages pares. L’analogue . fondamental de voisinages de est adhérent à De même les Ker p n A x ~ gx ë J est ici une fonction définie Prim(A) sur x ~ telle que § x (J) A/J e pour tout Prim(A) . On de continuité pour de telles fonctions. peut plus parler ne 4. Champ continu de C-algèbres. T Soient un espace et topologique, une famille de C -algèbres. !t A(t) . On appelle champ de vecteurs tout élément de 201420142014201420142014201420142014201420142014 ~ DEFINITION 6. - Soit T sur est T topo logique. Un champ continu de C -algèbres de C-algèbres nunie d’un ensemble r de un espace famille une vecteurs tel que champs de (i) F est sous-algèbre une involutive de 2014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014 D A(t) ; teT (ii) Pour dans A(t) ; tout t l’ensemble des (iii) Pour tout x la fonction (iv) Soit )i A(t) fonction Un tel t x e 2014~ champ sera noté applications continues 5. de est continue, est T est jjx(t))) est alors x partout dense continue ; x’ ~ r, la e F . r) . = A(t) = A EXEI4PLE. - Si continu de û 2014~ où champ de vecteurs : Si, pour tout un )jx(t) - x’(t))j t x(t) , de t e T , A . Alors ÛL = indépendant dans soit F l’ensemble des F) est un champ C-algèbres. Structure des C-algèbres liminaires à spectre séparé. En nu générale si x e " (e D A/J) n’appartient un avec a champ conti- de = (a. , On pas à ... y a ~ ...) ~) * a Donc le champ de vecteurs satisfait pas à la condition Mais on démontre ([4], th. Ker fl (iii) 4.3. ) ~ a(mod Ker H) , de la définition 6. le théorème suivant : pour Ker 03A0 ~ Prim(A) , ne THÉORÈME 2. - Pour toute A, équiva- les conditions suivantes sont lentes : (i) Prim(A) (ii) sépare ; est Pour tout j)a(modJ)j) est continue sur maintenant aux C* -algèbres à spectre la fonction. aeA , restreindre à partir de sépare. On vérifie alors sans peine que le champ de muni de l’ensemble 6 de champs de vecteurs défini On va se si, pour tout est continue, x ~ est à pace algèbre A’t des pour opérations, Donc, à une continu de un e x E les tels § 10 ~, liais th. 10.5.4) C~-algèbre C*-algèbres THEOREME par si A 1 ° espace sur qui généralise champ continu de QL . Pour tout A Gx e A , et et seulement si, le une et pour norme, la localement associer 8~ , à l’infini 0 vers une n’est pas séparé, on C~-algèbre isomorphe à peut =x(nodJ) est x liminaire à pour tout un la C*- sur T, associer A , et à ce champ champ un la C -algèbre A (E~~ ( ~2 ~~ § 10, spectre séparé. Soit A’ C-algèbre la défini par définie x Prim A ) . Je isomorphisme avec A’ . liminaire, on a le théorème suivant théorème d’isomorphisme de Gel’fand. C-algèbre sur un es- norme Prim compact C-algèbres défini par A . Soit soit 8 l’élément de 6 (gx(J) Alors tende à spectre primitif A est de plus 3. - Soit ~/~~prim(A) ~ 6 e correspondre canoniquement faire opérations évidentes, C*-algèbres, on peut général, la C~-algèbre A’ En x’1 par : C*-algèbres. de C~-algèbres, ~A(t~~ que continu de le de champ continu champ continu localement compact T, on peut Réciproquement, C*-algèbres, primitif la fonction A , un PrimA . J~--~ de A sur A . REMARQUES 1° Les une C*-algèbres A/J ont représentation irréductible une structure très de noyau J , A/J simple. En effet, est isomorphe à la si 03A0J est C-algèbre 17-07 qui est la C*-algèbre est liminaire tation, car A 2 ° Dans le théorème s’agit, Cor. car Prim(A) opérateurs compacts ( ~2 ~, § 4, Cor. de l’espace préciser sont homéomorphes lorsque A est A de la représen- 4.1.10). il n’est pas nécessaire de 3, et des de quel spectre liminaire il ([2], § 4, 4.1.10). BIBLIOGRAPHIE [1] (Nicolas). - BOURBAKI et 2 : Elément de Mathématique : Théories spectrales. Chap. commutatifs. - Algèbres normées ; Groupes localement compacts Hermann, 1967 (Act. scient. et ind., 1332 ; Bourbaki, 32). [2] DIXMIER (Jacques). - Les Gautier-Villars, 1964 [3] FELL (J. M. Uppsala, [4] KAPLANSKY math. G.). t. 106, t. et leurs Paris, représentations. - Paris, (Cahiers scientifiques, 29). The structure of algebras of 1961, p. 233-280. 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