TD d`Analyse Spectrale 1 Calcul fonctionnel continu 2 Spectre 3

FIMFA, Mai 2006
Rachel Ollivier
TD d’Analyse Spectrale
-III-
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Calcul fonctionnel continu
Soient A une C ∗ -algèbre et a ∈ A.
1. Montrer que pour toute fonction f continue sur Sp a∗ a ∪ {0}, on a af (a∗ a) = f (aa∗ )a.
2. On suppose que a est hermitien. Montrer qu’il existe un unique élément hermitien b de
A tel que b3 = a.
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Spectre
1. Un élément d’une C ∗ -algèbre de spectre contenu dans R+ est-il toujours positif ?
2. Soit H un espace de Hilbert. Caractériser par leur spectre les éléments hermitiens de
L(H) qui sont des projecteurs.
3. Soient H un espace de Hilbert, T ∈ L(H) un opérateur normal et λ un point isolé du
spectre de T . Montrer que λ appartient au spectre ponctuel de T
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Idempotent dans une C ∗ -algèbre
Soit A une algèbre de Banach unifère complexe. On suppose qu’elle contient un idempotent p
de norme 1. On lui associe les ensembles
Cp = {a ∈ A, ap = pa}, Ap = {a ∈ A, ap = pa = a}.
1. Vérifier que Ap peut-être considérée comme une algèbre de Banach unitaire dont l’unité
est p.
2. On pose q = 1 − p et l’on suppose que q est de norme 1. Soit a ∈ Cp , on définit ap = pa,
aq = qa. Ce sont des éléments respectifs de Ap et Aq . Montrer que le spectre de a est la
réunion du spectre de ap dans Ap et du spectre de aq dans Aq .
3. On suppose que A est une C ∗ -algèbre et que a ∈ A est un élément normal dont le spectre
est égal à la réunion de deux compacts disjoints non-vides P et Q du plan complexe.
On désigne par p = 1P (a) l’image de la fonction indicatrice 1P par le calcul fonctionnel
continu associé à a. Montrer que le spectre de ap est P , celui de aq est Q. Montrer que
le calcul fonctionnel associé à ap est donné par
Φap (f ) = f˜(a)p,
où f˜ est un prolongement de f ∈ C(Sp ap ) en une fonction continue sur le spectre de a.
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Mesure spectrale d’un opérateur unitaire
Soient H un espace hilbertien complexe, U ∈ L(H) une application linéaire continue inversible,
et e ∈ H. Pour tout n ∈ Z, on pose en = U n (e). On suppose que (en )n∈Z est une base
hilbertienne de H.
1. Déterminer le spectre résiduel et le spectre ponctuel de U .
2. Soit λ un nombre complexe de module 1. Soit Vλ l’opérateur unitaire défini par Vλ (en ) =
λn en pour tout n ∈ Z.
(a) Montrer que si µ ∈ Sp(U ) alors λµ ∈ Sp(U ).
(b) Déterminer le spectre de U .
(c) Déterminer la mesure spectrale de U .
Morphismes de C ∗ -algèbres
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Soient A et B des C ∗ -algèbres et π : A → B un morphisme involutif. On note respectivement
A+ et B+ l’ensemble de leurs éléments positifs.
1. Montrer que π commute avec le calcul fonctionnel : pour x ∈ A normal, f continue sur
Sp(x), on a π(f (x)) = f (π(x)). Montrer ensuite que pour tout x ∈ A, π(|x|) = |π(x)|.
2. Montrer que x est un élément positif de A si et seulement si x = |x|.
3. Montrer que l’on a π(A+ ) = π(A) ∩ B+ .
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Monotonie du calcul fonctionnel
Soit A une C ∗ -algèbre.
Montrer que si a, b ∈ A+ et a ≤ b alors kak ≤ kbk.
Soient a, b, x ∈ A tels que a ≤ b. Montrer que x∗ ax ≤ x∗ bx.
Pour tout a, b ∈ A, montrer que a∗ b∗ ba ≤ kbk2 a∗ a.
Soient a, b, x ∈ A. Si a∗ a ≤ b∗ b montrer que kaxk ≤ kbxk.
Supposons A unifère. Soient a, b ∈ A et supposons b inversible. Alors les propriétés
a∗ a ≤ b∗ b et kab−1 k ≤ 1 sont équivalentes.
6. Supposons A unifère. Soient a, b ∈ A+ deux éléments inversibles. Alors les propriétés
a ≤ b et b−1 ≤ a−1 sont équivalentes.
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A propos du spectre de l’algèbre des fonctions continues sur
un compact
Cet exercice montre que les fonctions continues sur un compact séparent les points. Un espace
topologique X est dit normal si pour toute paire A et B de fermés disjoints de X il existe des
ouverts disjoints U et V de X tels que A ⊂ U et B ⊂ V .
a) Montrer que tout espace métrique est normal.
b) Démontrer que tout espace compact est normal.
Soit X un espace topologique.
2
c) Montrer que X est normal si et seulement si, pour toute partie fermée F et toute partie
ouverte V de X telles que F ⊂ V , il existe une partie ouverte U de X telle que F ⊂ U
et U ⊂ V .
Soit X un espace topologique normal F une partie fermée et V une partie ouverte de X
telles que F ⊂ V .
d) Montrer qu’il existe une famille Ur d’ouverts de X indexée par Q∩]0, 1[ telle que pour
tout couple r, s d’éléments de Q∩]0, 1[ tels que r < s on ait F ⊂ Ur ⊂ Ur ⊂ Us ⊂ U s ⊂
V.
e) En déduire qu’il existe une application continue f : X → [0, 1] nulle sur F et égale à 1
hors de V .
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