Exercice corrigé sur la loi des noeuds et lois des mailles

METHODE D'ETUDE D'UN CIRCUIT ELECTRIQUE
Le but de cette projection n'est pas de résoudre un
problème
mais de vous montrer comment on peut procéder pour
obtenir les lois des noeuds et des mailles.
Vous verrez que les théorèmes simplifient les calculs
mais augmentent le nombre d'étape intermédiaire
Fait en septembre 2006 par Mr Lyszyk
On donne le circuit ci dessous
R2
R3
R1
E2
R6
E1
R4
R5
On desire calculer la tension aux bornes de R6
Le schéma du circuit électrique doit être compléter avant tout calcul
Il existe plusieurs méthodes pour obtenir la réponse
La première consiste à n'utiliser que
les lois des mailles et des noeuds
Les calculs seront longs et fastidieux. C'est une méthode à éviter.
La deuxième fait intervenir en plus les différents théorèmes:
Superposition
Thèvenin
Norton
On réduit le montage , on le découpe en différentes parties
Les calculs sont beaucoup plus simples mais comportent plus d'étapes.
Première méthode
Utilisation des lois des noeuds et des mailles
Introduisons les différents courants dans les branches
Les sens que nous allons imposer n'auront aucune conséquence sur le résultat final
Commençons par afficher les courants pour les générateurs
Nous allons appliquer la convention générateur pour:
● les générateurs de tension
● et de courant
R2
R3
R1
R6
E2
E1
I2
I1
R4
R5
Nous avons introduit I1 et I2 pour les générateurs de tension
On constate que les éléments R4 R5 R6 se retrouvent sans courant
Ajoutons I3 pour R6
I4 pour R4
I5 pour R5
I6 est dirigé vers le bas
mais nous pourrions
l'orienter vers le haut
sans que cela change
le résultat final
R2
R3
R1
R6
E2
E1
I2
I1
I6
R4
I4
R5
I5
I4 et I5 sont dirigés
vers le haut car I2
l'est aussi
mais nous pourrions
choisir l'autre sens
Tous les éléments sont traversés par un courant représenté par une flèche rouge
Représentons à présent les tensions ( ou ddp ) aux bornes de chaque élément
Nous allons introduire des flèches bleues
I1
R2
I1
I2
R1
R3
I1
R6
E2
E1
I2
I1
I6
R4
I4
R5
I5
R2*I1
I1
R1*I1
R2
I1
I2
R1
R3*I2
I6
R3
I1
R6
E2
E1
R6*I6
I2
I1
R4*I4
R4
I4
R5
I5
R5*I5
Le schéma est prêt à être exploité
Nous avons adopté la convention récepteur pour les
éléments passifs ( R , L , C )
Ecrivons les lois des noeuds
I1
R2
Noeud A
I1
I2
R1
R3
I1
I1 + I2 = I6
I6
R6
E2
I2
E1
Noeud B
I1
R4
I4
I5 + I4 = I2
R5
I5
Ce noeud C est inutile car c'est le même que le noeud A
Ecrivons les lois des mailles
(E)
(A)
R2
R3
R1
E2
E1
I6
R6
(B)
R4
(D)
(C)
R5
I5
(F)
On choisit un point du circuit par exemple le point D .
On parcourt un circuit fermé pour revenir à ce point : exemple D E A B C D
Il existe plusieurs possibilités, donc plusieurs mailles
(E) I1
R1*I1
R2
(A)
I1
I2
R3*I2
R1
(A')
I6
R3
I1
R6
E2
E1
I2
I1
R4*I4
(D)
R4
I4
(C)
R6*I3
(B)
R5
I5
(F)
R5*I5
(F')
Nous constatons deux choses :
● qu'il est possible de faire 4 trajets au moins
● Que des éléments sont pris plusieurs fois.
La méthode consiste à faire une première maille
la suivante doit obligatoirement prendre un ou plusieurs composants
qui n'appartient pas à une maille déjà utilisée.
si ce n'est pas, le cas la maille est redondante et donc inutile.
Nous ne gardons que le nombre de maille nécéssaire .
Il est possible de remplacer R4 et R5 par une résistance équivalente R54
ce qui supprime une maille
Nous n'aurons plus que 2 mailles .
R2*I1
(E) I1
R1*I1
R2
(A)
I1
I2
R3*I2
R1
La violette
(A')
I6
R3
I1
R6
E2
E1
I2
I1
R4*I4
(D)
La bleue
R4
I4
(C)
(B)
R5
I5
(F)
R5*I5
(F')
R6*I3
R2*I1
(E) I1
R1*I1
R2
(A)
I1
I2
R3*I2
R1
R3
I1
R6
E2
E1
I2
I1
R6*I3
(B)
R54
R54*I2
(D)
I6
(C)
Voici la première maille : D E A B C D
On compte positivement les tensions dont la flèche est de même sens que
le parcourt et négativement celles qui sont de sens contraire.
On rencontre successivement E1 R1*I1 R2*I1 R3*I2 E2 R54*I2 ce qui donne
E1 – R1*I1 – R2*I1 + R3*I2 – E2 + R54*I2 = 0
R2*I1
(E) I1
R1*I1
R2
(A)
I1
I2
R3*I2
R1
(A')
I6
R3
I1
R6
E2
E1
I2
I1
R54
R54*I2
(D)
(B)
(C)
(C')
Voici la deuxième maille : C B A A' C' C
On rencontre successivement R54*I2 E2 R3*I2 R6*I6 ce qui donne
- R54*I2 + E2 – R3*I2 - R6*I6 =0
R6*I3
Récapitulons les différentes équations
Loi des noeuds
I1 + I2 = I6
I5 + I4 = I2
Inutile si R4 et R5 sont réunis ( R54 )
Loi des mailles
E1 – R1*I1 – R2*I1 + R3*I2 – E2 + R54*I2 = 0
- R54*I2 + E2 – R3*I2 - R6*I6 =0
R5*I5 – R4 I4 = 0
Inutile si R4 et R5 sont réunis ( R54 )
Nous avons 5 inconnus I1 I2 I4 I5 I6 il faut 5 équations
Fait en septembre 2006 par Mr Lyszyk
Bon courage pour résoudre ce système
Personnellement
je préfère la deuxième méthode
Application du théorème de superposition
Principe de calcul
Dans un circuits électrique comportants N sources d'alimentation
( source de tension ou de courant )
On remplace toute les sources sauf une par leur résistance interne
( N-1 sources à remplacer )
( Une source de tension idéale est remplacée par un fil )
(une source de courant idéale par un circuit ouvert )
On calcule la grandeur recherchée ( tension ou courant ) pour la source
en fonctionnement .
On recommence avec une nouvelle source pour obtenir un deuxième résultat
intermédiaire.
On le fait N fois puisqu'il y a N sources .
La dernière étape consiste à additionner les N résultats précédents .
Remarque importante
Le sens de la flèche désignant la grandeur à calculer doit être le même
pour tout les calculs intermédiaires.
Reprenons le circuit précédent
R2
R3
R1
R6
E2
E1
I2
I1
R4
R5
Nous avons deux sources de tension .
Nous aurons deux calculs intermédiaires
puis la somme de ces résultats.
Commençons par E1 seul, E2 est remplacée par sa résistance interne
c'est à dire un fil.
R2
R2
R1
E1
I1
R6
E2
R6
E1
I2
R4
R3
R1
R3
I2
R5
I1
R4
R5
Sans E2
On veut calculer la tension aux bornes de R6
On pourrait utiliser la loi des mailles et des noeuds directement
sans modifier le montage mais ce ne serait pas 'malin'.
R2
R3
R1
E1
I2
I1
R4
U6
Nous voyons que U6
correspond à la ddp
R6
aux bornes de R6
mais aussi
du groupement R3 R4 R5
R5
Faisons le calcul de la résistance équivalente de ces 4 éléments
Nous obtenons :
R45=
R 4∗R5
R 4R5
Req1 =
R453∗R6
R453R6
R453 = R45 + R3
R2
R1
R4536
U'6
E1
IE1
On applique la formule du pont diviseur de tension
E 1∗R 4536
U ' 6=
R4536R1 R 2
Passons à la deuxième étape c'est à dire avec E2 seul
R2
R3
R1
R453
R6
E2
R4
R126
E2
IE2
IE2
R5
U''6
Regroupons R1 et R2 pour obtenir R12 = R1 + R2
R12 est en parallèle avec R6
R126 ={ (R1 + R2 )*R6 } / ( R1+R2+R6 )
On applique à nouveau la formule du diviseur de tension
U ' ' 6=
E 2∗R126
R 453R126
Troisième et dernière étape
On fait la somme des résultats précédents
E1 seule
U ' 6=
E 1∗R 453
R453R1 R2
E2 seule
E 2∗R126
U ' ' 6=
R 453R126
Les deux sources ensembles
U 6 =U ' 6U ' ' 6=
E 1∗R453
E ∗R
 2 126
R 453R1 R2 R453R126
Application du théorème de Thevenin
Rappel du théorème
But : Remplacer tout ou partie d’un montage par son équivalent sous forme
d’un générateur de tension idéal en série avec un résistor.
Mode opératoire :
Enlever la partie à ne pas remplacer ( on l’appellera la charge )
●
Calculer la tension apparaissant aux bornes du montage, on l’appellera Uth.
●
Eteindre toutes les sources et les remplacer par leur résistance interne.
●
Calculer la résistance équivalente vue entres les bornes, on l’appellera Rth.
●
Remplacer le montage par un générateur de tension de valeur Uth en série
avec un résistor de valeur Rth .
●
R2
(A)
(A)
R3
R1
E2
charge
Rth
R6
R6
Eth
E1
R4
R5
(B)
(B)
U6 = Eth * R6 / (R6 + Rth )
(A)
R2
(E)
R3
R1
R3
R1
E2
E2
E1
E1
R4
(A)
R2
Eth
R5
R54
(B)
(D)
(B)
On applique le théorème de superposition pour
obtenir Eth
(E)
R2
(A)
R3
R1
E 1∗ R3 R54  E 2∗ R1 R2 
E th =

R3 R54R1 R3 R54R1
La résistance équivalente Rth
R54
(D)
(B)
Rth=
 R1 R2 ∗ R3 R54 
R1R 2 R3R54
Il suffit de remplacer le montage vue entre les bornes A et B
R2
 R1R 2 ∗R 3R54 
Rth =
R1R 2R 3R54
(A)
R3
R1
E2
charge
Rth
R6
R6
Eth
E1
R4
U6 = Eth * R6 / (R6 + Rth )
avec
R5
(B)
(B)
E 1∗ R3 R54  E 2∗ R1R 2 
E th =

R 3R54R 1 R 3R54 R 1
Si vous avez bien suivi vous pouvez le refaire seul bon courage