Modélisation du cycle de vie

Exer cice 3 du cour s Wealth management : « Modélisation du cycle de vie » Cet exercice a pour objectif d’étudier le modèle du cycle de vie. Ce modèle traite de la planification financière d’un individu et s’intéresse en particulier à la consommation et l’épargne de l’individu : quel niveau de sa richesse consommera­t­il et épargnera­t­il à chaque période ? Dans quels type d’actifs financiers (sans risque ou risqué) investira­t­il son épargne ? Le modèle repose sur une modélisation de l’individu et de l’environnement financier. Le modèle du cycle de vie permet aussi de classer les individus selon leur style de vie, ce qui peut être utilisé pour mieux conseiller le client pour la gestion de patrimoine. Le cas utilise le logiciel LCM (« Life Cycle Modelling ») qui a été réalisé en coopération avec Léo­Paul Bailly­Kermene, alors étudiant à l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées. I) Pr ésentation du logiciel Le logiciel LCM (« Life Cycle Modelling ») met en œuvre le modèle du cycle de vie développé par Merton (1969). Le logiciel est organisé en trois parties : ­ La feuille « Modèle de Merton » dans laquelle l’utilisateur rentre les paramètres définissant l’individu (âge, date de décès, richesse actuelle, coefficient d’aversion au risque, taux de dépréciation du futur, coefficient de la fonction leg) et l’environnement financier (taux d’intérêt sans risque, taux de rentabilité et écart­type de la rentabilité de l’actif risqué). Cette feuille donne les résultats suivants : propension à consommer la richesse, consommation annuelle et allocation de la richesse en actif sans risque et en actif risqué. ­ La feuille « Scénario Utilisateur » dans laquelle l’utilisateur rentre un scénario d’évolution du taux de rentabilité de l’actif risqué. Cette feuille donne les résultats suivants : évolution de la consommation, de la richesse, de l’allocation de cette richesse en actif sans risque et en actif risqué et du taux de propension à consommer tout au long de la vie de l’individu. ­ La feuille « Simulation Aléatoire » dans laquelle qui le scénario d’évolution du taux de rentabilité de l’actif risqué est simulé par le logiciel d’après une loi normale. Cette feuille donne les mêmes résultats que la feuille précédente. I) Questions A. Modèle théorique Question 1 : donner les hypothèses du modèle du cycle de vie de Merton : les hypothèses de modélisation sur l’individu et sur l’environnement financier. Question 2 : exposer le problème d’optimisation de l’individu : paramètres du modèle, variables d’optimisation, fonction à optimiser et contrainte budgétaire. Question 3 : exposer les principaux résultats du modèle de Merton : taux de consommation de la richesse et allocation de la richesse. Question 4 : donner les limites et les extensions possibles du modèle de Merton.
Ó François LONGIN www.longin.fr B. Etude du cycle de vie d’un individu Dans cette partie, on étudie le cycle de vie d’un individu. Pour répondre aux questions, on pourra utiliser le logiciel LCM disponible sur le site www.longin.fr. On considérera l’individu est caractérisé par les éléments suivants : ­ Age t : 35 ans ­ Age du décès T : 75 ans ­ Richesse actuelle W0 : 350 000 € ­ Coefficient d’aversion au risque relatif γ : ­1 ­ Taux de dépréciation du futur ρ : 6% ­ Coefficient de la fonction leg ε : 0,5 L’environnement financier est caractérisé par les éléments suivants : ­ Taux d’intérêt de l’actif sans risque r : 3% ­ Taux de rentabilité anticipé de l’actif risqué a : 8% ­ Ecart­type de la rentabilité de l’actif risqué σ : 20% Question 6 : caractériser les décisions optimales de l’individu en termes de consommation et d’allocation de la richesse en actif sans risque et en actif risqué. Question 7 : étudier l’évolution de la consommation, de la richesse et de l’allocation de la richesse en actif sans risque et en actif risqué au cours de la vie de l’individu. On représentera graphiquement l’évolution de ces variables pour les deux scénarios suivants : ­ Croissance de la valeur de l’actif risqué au taux anticipé (8% par an) ­ Croissance de la valeur de l’actif risqué au taux de 8% par an les 15 premières années suivi d’un krach boursier de 50% et d’une croissance de 2% par an ­ Croissance aléatoire de la valeur de l’actif risqué. C. Etude de sensibilité Dans cette partie, on s’intéresse à l’impact des paramètres du modèle sur la consommation de l’individu, sa richesse et l’allocation de sa richesse en actif sans risque et en actif risqué. Dans chaque cas, on interprètera économiquement l’effet observé. Question 8 : étudier l’impact des paramètres suivants : ­ L’âge de l’individu : 35, 45, 55 et 65 ans. ­ La richesse initiale : 400 000 € au lieu de 300 000 €. ­ Le coefficient d’aversion au risque (relatif) : 0.5 pour un individu moins averse au risque et ­2 pour un individu plus averse au risque. ­ Le taux de dépréciation du futur : 10% au lieu de 6%. ­ Le coefficient de la fonction leg : 0 pour un individu ne souhaitant rien légué et 1 pour un individu souhaitant légué davantage. ­ Le taux sans risque : 5% au lieu de 3%.
Ó François LONGIN www.longin.fr ­ Le taux de rentabilité anticipé de l’actif risqué : 12% au lieu de 8%. ­ L’écart­type du taux de rentabilité anticipé de l’actif risqué : 30% au lieu de 20%. D. Application du modèle au conseil en gestion de patrimoine Dans cette partie, on s’intéresse à l’application du modèle du cycle de vie dans le cadre du conseil en gestion de patrimoine. Plus précisément, on étudie le rapport entre les caractéristiques d’un individu telles que définies dans le modèle et son profil de consommation et d’épargne. Question 9 : donner une classification des individus à partir des paramètres modélisant le comportement de l’individu : son coefficient d’aversion au risque et son taux de dépréciation du futur. Etudier le profil d’individus types en termes de consommation et d’allocation de la richesse en actif sans risque et en actif risqué. Quels investissements (liquidités, obligations, actions, immobilier, etc.) conviennent le mieux pour chaque type d’individu ? On présentera les résultats dans un tableau. Coefficient d’aversion au risque Faible (0,5) Faible Taux (2%) de dépréciation Fort du futur (9%) Fort (­2) Ct = Ct = wt = wt = Produit : Produit : Ct = Ct = wt = wt = Produit : Produit : Question 10 : proposer une terminologie pour la classification des individus. On utilisera des noms d’animaux accompagnés d’adjectifs pertinents. 1 V) Référ ences Arrondel L., A. Masson et D. Verger (2005) “Préférences face au risque et à l'avenir : type d'épargnants,” Revue économique, 56, 393­416. Merton R. C. (1969) “Lifetime portfolio selection under uncertainty : the continuous­time case,” The Review of Economics and Statistics, 51, 247­57. Samuelson P. A. (1969) “Lifetime portfolio selection by dynamic stochastic programming,” Review of Economics and Statistics, 51, 239­246. 1 Une publicité bancaire récente utilisait par exemple les expressions « oiseau joueur » ou « castor prudent » pour décrire les investisseurs.
Ó François LONGIN www.longin.fr VI) Sites utiles www.insee.fr : site de Institut National de la Statistique et des Etudes Economiques (Insee) sur lequel se trouvent des études sur le comportement et le patrimoine des ménages. www.longin.fr : le logiciel LCM « Life cycle Modelling » se trouve dans la rubrique « Documents » de la séance 9 du cours « Wealth management» (accès réservé).
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