I. Définitions 1. Arcs de cercle Sur un cercle, deux points A et B qui ne sont pas sur un même diamètre déterminent deux arcs de cercle de longueurs différentes. AB est le petit arc de cercle AB est le grand arc de cercle. 2. Angle inscrit Un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle est appelé angle inscrit dans ce cercle. Exemple : AMB est inscrit dans le cercle de centre O. il intercepte l’arc AB . 3. Angle au centre Un angle dont le sommet est le centre d’un cercle est appelé angle au centre de ce cercle. Exemple : AOB est un angle au centre Il intercepte l’arc AB . II. Propriétés Propriété Si dans un cercle, deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont même mesure. AMB est inscrit dans le cercle de centre O. Il intercepte l’arc ANB est inscrit dans le cercle de centre O. Il intercepte l’arc On a ANB AMB 3ème 1 AB . AB . Propriété Si dans un cercle un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc alors la mesure de l’angle au centre est le double de la mesure de l’angle inscrit. AMB est inscrit dans le cercle de centre O. il intercepte l’arc AB . AB . AOB est un angle au centre. Il intercepte l’arc On a : AOB 2 AMB III. Polygones réguliers 1. Définition Un polygone est régulier lorsque ses côtés ont la même longueur et ses angles intérieurs ont la même mesure. 2. Exemples Un triangle équilatéral est un polygone régulier à trois côtés. Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Un losange n’est pas un polygone régulier. Ses angles n’ont pas la même mesure. 3. Propriété Tout polygone régulier est inscriptible dans un cercle. 4. Propriété Si un polygone de n côtés et de centre O est régulier alors tous les angles au centre ont la même 360 mesure égale à . n 3ème 2 5. Exemples : 3ème Triangle équilatéral Carré Pentagone régulier Hexagone régulier Octogone régulier Décagone régulier 3 Démonstration : Soient A, B et M trois points d’un cercle (C) de centre O. AMB est inscrit dans le cercle de centre O. il intercepte l’arc AB . AB . AOB est un angle au centre. Il intercepte l’arc 1er cas : M, O et A sont alignés [AM] est un diamètre de (C) donc AOM 180 AOM AOB BOM 180 AOB BOM AOB 180 BOM (1) Or la somme des angles d’un triangle vaut 180 ° donc : OMB OBM 180 BOM OBM De plus OMB est isocèle en O donc : OMB On en déduit : 2OMB 180 BOM 180 2OMB BOM Que l’on remplace dans (1) : AOB 180 BOM ) 180 (180 2OMB 180 180 2OMB 2OMB 2 AMB 2ème cas : O est intérieur à l’angle AMB Soit D le point diamétralement opposé à M sur (C) . AOB AOD DOB 2 AMD 2 DMB ) 2( AMD DMB 2 AMB 2ème cas : O est extérieur à l’angle AMB Soit D le point diamétralement opposé à M sur (C) . AOB AOD BOD 2 AMD 2 BMD ) 2( AMD BMD 2 AMB 3ème 4