2nde 2 - Correction du devoir `a la maison n˚2

2nde 2 - Correction du devoir à la maison n˚ 2
Exercice 1
1. Les diviseurs de 20 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Si on calcule la somme des diviseurs autres que 20, on obtient : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 22 ; cette somme
n’est pas égale à 20, donc 20 n’est pas un nombre parfait.
2. On cherche des nombres parfaits N .
D’après les travaux d’Euclide et d’Euler, on sait que : N = 2p−1 (2p − 1), avec p nombre premier et
2p − 1 nombre premier.
On essaie en prenant pour p un nombre premier.
* p=2
Alors : 22 − 1 = 4 − 1 = 3, et ce nombre est bien un nombre premier. Donc si on calcule N en
remplaçant p par2, on obtient un nombre parfait.
N = 22−1 22 − 1 = 21 × 3 = 6.
On en déduit que 6 est un nombre parfait.
* p=3
Alors : 23 − 1 = 8 − 1 = 7, et ce nombre est bien un nombre premier. Donc si on calcule N en
remplaçant p par3, on obtient un nombre parfait.
N = 23−1 23 − 1 = 22 × 7 = 4 × 7 = 28.
On en déduit que 28 est un nombre parfait.
Vérification
les diviseurs de 28 sont : 1, 2, 4, 7, 14, 28.
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 ; la somme des diviseurs de 28 autres que 28 est égale à 28, donc 28 est bien
un nombre parfait.
* p=5
Alors : 25 − 1 = 32 − 1 = 31, et ce nombre est bien un nombre premier. Donc si on calcule N en
remplaçant p par5, on obtient un nombre parfait.
N = 25−1 25 − 1 = 24 × 31 = 16 × 31 = 496.
On en déduit que 496 est un nombre parfait.
Vérification
les diviseurs de 496 sont : 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496.
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496 ; la somme des diviseurs de 496 autres que 496 est
égale à 496, donc 496 est bien un nombre parfait.
* p=7
Alors : 27 − 1 = 128 − 1 = 127, et ce nombre est bien un nombre premier. Donc si on calcule N en
remplaçant p par7, on obtient un nombre parfait.
N = 27−1 27 − 1 = 26 × 127 = 64 × 127 = 8128.
On en déduit que 8128 est un nombre parfait.
Vérification
les diviseurs de 8128 sont : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064, 8128.
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128 ; la somme des diviseurs
de 8128 autres que 8128 est égale à 8128, donc 8128 est bien un nombre parfait.
On a donc trouvé trois nombres parfaits autres que 6 et inférieurs à 10 000 : 28, 496 et 8128.
Exercice 2
√ 2
√ !2
1+ 5
1
+
5
2
2
1. ϕ =
, donc ϕ =
.
2
4
On développe
une identité remarquable :
√ le numérateur en appliquant
√
1
+
2
5
+
5
6
+
2
5
ϕ2 =
, soit : ϕ2 =
.
4√ 4
√
2 3+ 5
3+ 5
2
2
ϕ =
, d’où, en simplifiant par 2 : ϕ =
.
4
2
√
√
√
1+ 5
1+ 5 2
3+ 5
D’autre part : ϕ + 1 =
+1=
+ , d’où : ϕ + 1 =
.
2
2
2
2
√
√
3+ 5
3+ 5
On a donc
=
et ϕ + 1 =
, d’où : ϕ2 = ϕ + 1.
2
2
1
1
2
√ .
= √ =
1+ 5
ϕ
1+ 5
2
√
√
√
5−1
1+ 5
1+ 5 2
D’autre part : ϕ − 1 =
−1=
− , d’où : ϕ − 1 =
.
2
2
2
2
On calcule la différence de√ces deux nombres :
2
1
5−1
√ −
− (ϕ − 1) =
.
ϕ
2
1+ 5
√ On prend comme dénominateur commun : 2 1 + 5 :
√
√ 5−1 1+ 5
1
4
√ −
√ − (ϕ − 1) =
ϕ
2 1+ 5
2 1+ 5
√
√ 4−
5−1 1+ 5
1
√ − (ϕ − 1) =
ϕ
2 1+ 5
√
√ 4−
5+5−1− 5
1
1
4−4
√ √ = 0.
;
− (ϕ − 1) =
− (ϕ − 1) =
ϕ
ϕ
2 1+ 5
2 1+ 5
1
1
− (ϕ − 1) = 0, donc = ϕ − 1.
ϕ
ϕ
2. Figure :
ϕ2
Longueur
= ϕ.
largeur
a) ABCD a pour longueur AB et pour largeur BC.
AB
ϕ
= = ϕ, donc ABCD est un rectangle d’or.
BC
1
Un rectangle d’or est un rectangle tel que :
b) A’BCD’ a pour longueur BC (c’est-à-dire 1) et pour largeur A’B = AB − AA’, c’est-à-dire ϕ − 1,
1
et on sait que ϕ − 1 = .
ϕ
1
1
BC
=
= 1 = ϕ, donc A’BCD’ est un rectangle d’or.
A’B
ϕ−1
ϕ
c) MNDC a pour longueur CM = CB + BM = 1+ ϕ, et pour largeur MN = AB = ϕ.
CM
1+ϕ
CM
ϕ2
=
; or on a vu que 1 + ϕ = ϕ2 , donc
=
= ϕ.
MN
ϕ
MN
ϕ
Donc MNDC est un rectangle d’or.