Électrocinétique et cinétique chimique

white
Devoir en classe no 4
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Électrocinétique et cinétique chimique
Durée de l’épreuve : 3 heures
L’usage de la calculatrice et de tout autre appareil électronique est interdit.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition
en précisant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, et sauf si la question le demande
explicitement, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les
résultats de leurs calculs et à écrire le numéro des questions en entier et à le mettre en évidence : préférer II.2.c à
simplement c.
Le sujet se compose de quatre parties indépendantes les unes des autres, que le candidat est libre d’aborder dans
l’ordre de son choix.
. La partie I, comptant pour 29 % du barème, analyse l’effet de l’inversion du sens du courant dans un circuit
inductif.
. La partie II, comptant pour 20 % du barème, propose d’étudier la cinétique d’une réaction de décoloration.
. La partie III, comptant pour 38 % du barème, s’intéresse au fonctionnement d’un flash d’appareil photo.
. La partie IV, comptant pour 13 % du barème, a pour objectif de démontrer l’équivalence entre deux circuits.bn
Le sujet est volontairement long pour laisser au candidat le choix des parties sur lesquelles il souhaite se concentrer
en priorité. Pour faire ce choix en connaissance de cause, il est recommandé de lire en entier le sujet avant d’entamer
la composition. L’ordre des parties ne préjuge en rien de leur difficulté.
Les candidats doivent vérifier que le sujet comporte bien 6 pages, numérotées de 1/6 à 6/6.
1/6
Étienne Thibierge, 13 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
Devoir en classe no 4 : Électrocinétique et cinétique chimique
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
I - Inversion du courant dans un circuit inductif
i
η
R
L
Cet exercice a pour objectif d’étudier la réponse d’un circuit inductif à l’inversion du sens
du courant dans le circuit. Une bobine d’inductance L et une résistance R sont montées en
parallèle avec une source idéale de courant imposant cette inversion, c’est-à-dire telle que
(
η=
−I0 si t < 0
I0 si t ≥ 0
avec
I0 > 0 .
I.A - Réponse en courant
I.A.1 - En introduisant toutes les notations utiles sur un schéma du circuit à reproduire sur la copie, montrer que
l’équation différentielle vérifiée pour t > 0 par le courant i(t) s’écrit
L di
+ i = I0 .
R dt
I.A.2 - Écrire cette équation sous forme canonique en introduisant un temps caractéristique τ et indiquer la forme
générale de ses solutions. Préciser le sens physique de chaque terme.
I.A.3 - Déterminer en la justifiant la valeur du courant i juste après l’inversion imposée par le générateur.
I.A.4 - En déduire que le courant i s’exprime sous la forme
i(t) = I0 1 − 2 e−t/τ .
I.A.5 - Tracer sur la même figure les chronogrammes de η et i en indiquant la valeur de τ .
I.B - Analyse énergétique
I.B.1 - Rappeler l’expression de l’énergie EL stockée dans la bobine. En déduire sans calcul d’intégrale la variation
de cette énergie ∆EL entre l’instant initial t = 0 et le régime asymptotique t → ∞. Commenter.
I.B.2 - Tracer qualitativement l’allure de l’énergie stockée EL (t) en fonction du temps.
I.B.3 - Montrer que la puissance PJ dissipée par effet Joule dans la résistance R vaut
PJ = 4 R I02 e−2t/τ
En déduire l’énergie totale dissipée QJ .
I.B.4 - Exprimer la puissance instantanée Pg fournie par le générateur. En déduire en la calculant explicitement que
l’énergie totale Wg fournie par la source sur l’ensemble de l’évolution est égale à celle dissipée par effet Joule.
I.B.5 - Résumer en quelques mots l’effet de l’inversion du courant dans le circuit du point de vue énergétique.
II - Décoloration du vert malachite
[d’après Petites Mines MPSI 2009]
Le vert malachite, noté symboliquement M + + Cl− , est représenté ci-contre. Il a
été utilisé pour traiter les infections fongiques et bactériennes dans le poisson et
les œufs de poisson. En milieu basique, les ions hydroxyde HO– peuvent se fixer
sur le carbocation M + suivant la réaction supposée totale
M + + HO− −−→ M OH .
Cette réaction entraîne la décoloration de la solution, initialement de couleur
bleu-vert. Cet exercice propose une étude cinétique de cette réaction.
On prépare initialement un mélange de volume supposé constant, en introduisant
. 20,0 mL d’une solution de vert malachite de concentration C1 = 7,50 · 10−5 mol · L−1 ;
. 75,0 mL d’eau ;
. 5,0 mL d’une solution de soude (Na+ + HO– ) de concentration C2 = 1,00 · 10−1 mol · L−1 .
2/6
Étienne Thibierge, 13 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
Devoir en classe no 4 : Électrocinétique et cinétique chimique
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
Le chronomètre est déclenché au moment de l’ajout de la solution de soude dans le bécher. On mesure l’évolution
temporelle de l’absorbance de la solution à 620 nm, seul le vert malachite absorbant de façon notable en solution.
II.1 - Calculer les concentrations initiales après dilution en vert malachite et en hydroxyde, notées c1 et c2 .
II.2 - Justifier le choix d’un suivi par spectrophotométrie et le choix de la longueur d’onde de travail.
II.3 - Rappeler la loi de Beer-Lambert, en définissant soigneusement toutes les grandeurs utiles et en précisant les
paramètres dont elles dépendent. En déduire l’expression de la concentration en vert malachite [M + ](t) à l’instant t
en fonction de l’absorbance mesurée.
ln([M+ ]/c1 ), sans unité
Les valeurs expérimentales de concentration déduites des mesures d’absorbance sont utilisées pour tracer la
figure 1.
0.0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
−0.6
0
2
4
6 8 10 12 14 16 18
t, en minutes
Fig. 1 – Exploitation des mesures expérimentales. Cette courbe se rapporte à la première expérience où C2 =
1,00 · 10−1 mol · L−1 . L’équation de la droite de régression linéaire est y = −0,0341 x − 0,0005.
On suppose que la réaction admet un ordre α par rapport à l’ion hydroxyde HO– et un ordre β par rapport à
l’ion M + . On admet par ailleurs que la vitesse volumique de réaction ne dépend pas d’autres concentrations que
celles de ces deux réactifs.
II.4 - Donner l’expression de la loi de vitesse, en notant k la constante de vitesse.
II.5 - En déduire que les conditions expérimentales choisies permettent d’écrire la loi de vitesse sous une forme
simplifiée, faisant apparaître une constante de vitesse apparente kapp à définir.
II.6 - Montrer que la figure 1 permet de vérifier que β = 1. En déduire la valeur de la constante de vitesse apparente.
ln(kapp ), avec kapp en min−1
Pour déterminer complètement la loi de vitesse, de nouvelles expériences sont réalisées, en faisant varier la concentration C2 en ions hydroxyde. Les résultats obtenus sont utilisés pour tracer la figure 2.
−1.6
−2.0
−2.4
−2.8
−3.2
−3.6
−5.4
−5.0
−4.6
−4.2
−3.8
−1
ln(c2 ), avec c2 en mol · L
Fig. 2 – Exploitation des mesures expérimentales. Cette courbe se rapporte à la seconde série d’expériences, où C2
est variable. L’équation de la droite de régression linéaire est y = 1,026 x + 2,025.
II.7 - Montrer que la figure 2 ci-dessus permet de trouver les valeurs de α et de k. Indiquer les résultats obtenus en
précisant les unités.
Données numériques : e1,026 = 2,8 et e2,025 = 7,6.
3/6
Étienne Thibierge, 13 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
Devoir en classe no 4 : Électrocinétique et cinétique chimique
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
III - Flash d’appareil photo [d’après Centrale TSI 2006 et concours fac 2008]
L’objectif de cet exercice est d’étudier le fonctionnement d’un flash d’appareil photo. Pour simplifier l’étude au
maximum, on s’intéressera à un flash d’appareil photo jetable à pellicule pour enfants.
Le schéma électrique global est représenté figure 3. Il fait intervenir des composants que vous connaissez bien,
comme une batterie, des résistances, des condensateurs, et d’autres que vous connaissez moins comme une diode, un
transistor ou des transformateurs.
Le fonctionnement d’un flash électronique repose sur la génération d’un éclair lumineux dans un tube de quartz
translucide, noté « flash tube », dans lequel on a placé un gaz raréfié, le xénon. Ce tube est délimité par deux électrodes
reliées à un condensateur C2 chargé sous quelques centaines de volts. Lorsque le xénon est ionisé, il devient conducteur
et le condensateur peut se décharger dans le gaz, créant ainsi un éclair lumineux très intense et d’une durée très
brève.
Fig. 3 – Schéma global du circuit d’alimentation du flash d’un appareil photo.
Le circuit peut être décomposé en plusieurs blocs que nous allons étudier successivement. L’objectif est d’amplifier
la tension fournie par une pile de 1,5 V en une tension de 300 V. Cela se fait par l’intermédiaire du transformateur
T1, dont le fonctionnement requiert une tension sinusoïdale.
III.A - Obtention d’une tension quasi-sinusoïdale à partir d’une tension continue
pile
uR
i
R
L
E
C1
uL
La production d’une tension sinusoïdale est assurée par un bloc fonctionnel équivalent
à l’association série d’un condensateur de capacité C1 = 25 nF et d’une bobine d’inductance L = 36 mH, alimentée par une pile de f.é.m. E = 1,5 V constante et de
résistance interne R. La bobine modélise en fait le primaire d’un transformateur, ce
qui ne change rien à l’étude.
À l’instant initial t = 0 où le flash doit se délencher, le condensateur déchargé
(uC1 (0) = 0) et l’interrupteur est actionné afin de fermer le circuit.
III.A.1 - Donner sans calcul mais en justifiant la valeur de la tension uR aux bornes
de la résistance juste après la fermeture de l’interrupteur. En déduire la valeur de la
uC1
tension uL aux bornes de la bobine à ce même instant.
III.A.2 - Montrer que la tension uL vérifie l’équation différentielle
d2 uL
R duL
1
+
+
uL = 0 .
dt2
L dt
LC1
III.A.3 - Écrire cette équation sous forme canonique et définir la pulsation propre ω0 et le facteur de qualité Q des
oscillations.
III.A.4 - Démontrer que la tension uL présente des oscillations seulement si la résistance interne de la pile est telle
que
r
L
R<2
.
C1
On suppose par la suite que R vérifie cette condition.
III.A.5 - Exprimer en fonction des données de l’énoncé la pseudo-pulsation notée ω et le taux d’amortissement
4/6
Étienne Thibierge, 13 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
Devoir en classe no 4 : Électrocinétique et cinétique chimique
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
noté β de la tension uL (t).
III.A.6 - Écrire l’expression des solutions de l’équation différentielle déterminée à la question III.A.2 en faisant intervenir deux constantes A et B qu’on ne cherchera pas à déterminer. Quelle est la dimension de ces deux constantes ?
III.A.7 - Justifier la condition initiale juste après fermeture de l’interrupteur
RE
duL
(0) = −
dt
L
III.A.8 - En vous appuyant sur les deux conditions initiales, dessiner qualitativement l’allure de la tension uL (t).
Vous ferez apparaître sur la figure la pseudo-période T des oscillations et le temps d’amortissement 1/β.
III.A.9 - Pour le fonctionnement du flash, les oscillations de uL sont considérées de qualité suffisante lorsque leur
amortissement au bout de cinq pseudo-périodes est de moins de 10 %. En faisant l’approximation que ω ' ω0 si
l’amortissement est faible, déterminer la valeur maximale de la résistance interne de la pile permettant de vérifier ce
critère. Justifier par un ordre de grandeur qu’il est réalisable.
Données numériques : ln 0,1 ' −2,3 ; ln 0,9 ' −0,1 ; exp 0,1 ' 1,1 ; exp 0,9 ' 2,5.
III.B - Alimentation du flash
Comme déjà mentionné, la bobine précédente est en réalité le primaire d’un transformateur, dont le secondaire
est modélisable par une seconde bobine, d’inductance beaucoup plus importantes. Ces deux enroulements sont liés
magnétiquement par un noyau en fer doux. Ce dispositif permet de fournir, à partir de la tension alternative uL (t), de
pulsation ω et d’amplitude Um ' E aux bornes du primaire, une tension alternative sinusoïdale u0 (t), de pulsation ω et
0
= k Um aux bornes du secondaire, avec k ' 200 pour le flash étudié. La tension variable ainsi produite
d’amplitude Um
0
'
aux bornes du secondaire est ensuite traitée par un montage redresseur produisant une tension constante E 0 = Um
0
0
200 E. L’ensemble est modélisable par un générateur de Thévenin de f.é.m. E et de résistance interne R , comme
représenté figure 4.
transformateur
A
R
pile
L
montage
redresseur
E0
A
oscillateur
transformateur
redresseur
R0
E0
B
B
C1
(a) Circuit complet
(b) Circuit équivalent
Fig. 4 – Schéma équivalent au circuit d’alimentation du flash.
A
if
R0
uf
Rf
(2)
E0
K
B
(1)
C2
uC2
Ce dipôle AB permet d’alimenter le flash. Lorsque l’interrupteur K est
en position (1), un condensateur de capacité C2 est chargé par le dispositif. Dès que la charge du condensateur a pratiquement atteint sa valeur
maximale, ce qui correspond à une tension uC2 = E 0 , le flash est prêt
à fonctionner. Lorsque le flash se déclenche à l’instant t = 0, l’interrupteur K passe en position (2) et permet la décharge du condensateur dans
le résistor Rf modélisant le flash, ce qui provoque l’émission d’un éclair
lumineux.
III.B.1 - Établir l’équation différentielle vérifiée par le courant if traversant le flash pour t ≥ 0.
III.B.2 - Résoudre cette équation différentielle pour exprimer if (t > 0) et tracer l’allure de if pour tout t.
III.B.3 - Exprimer l’énergie stockée initialement dans le condensateur.
III.B.4 - Le flash libère une puissance de l’ordre de 5 W pendant une durée de 0,1 s. Déterminer un ordre de
grandeur de la valeur de la capacité C2 nécessaire. Comparer l’ordre de grandeur obtenu à la valeur indiquée sur la
documentation technique.
5/6
Étienne Thibierge, 13 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr
Devoir en classe no 4 : Électrocinétique et cinétique chimique
Langevin–Wallon, PTSI 2015-2016
IV - Équivalence triangle-étoile
Cet exercice est peu guidé et donc sensiblement plus difficile que les précédents.
Il n’est à aborder que si vous avez déjà traité correctement le reste du sujet.
On considère les deux circuits de la figure 5, appelés montage étoile et montage triangle. Un théorème, appelé
théorème de Kennely, stipule que pour des valeurs bien choisies des résistances ces deux circuits peuvent être équivalents. On suppose connues les résistances ri de la configuration triangle et on cherche les résistances Rj de la
configuration étoile.
i2
A
A
1
O
i1
j3
i2
r3
R2
B
j1
r2
R3
r1
i1
B
R
j2
i3
i3
C
C
Fig. 5 – Configuration étoile (à gauche) et triangle (à droite).
IV.1 - Exprimer le plus simplement possible la tension UAB en fonction de certaines résistances et certains courants
pour les deux montages.
IV.2 - Exprimer j3 en fonction de i1 et i2 .
IV.3 - En déduire les expressions de R1 et R2 pour que les circuits soient équivalents.
IV.4 - En déduire l’expression de R3 par analogie.
6/6
Étienne Thibierge, 13 décembre 2015, www.etienne-thibierge.fr