moment d`une force par rapport a un - GIPSA-Lab

Forces; Moments
Mécanique: chapitre 2
INTRODUCTION
Toute action mécanique s'exerçant sur un objet a pour effet soit:
¾ de modifier son mouvement ou de le mettre en mouvement,
¾ de le maintenir en équilibre,
¾ de le déformer.
Toute action mécanique exercée sur un objet est décrite par quatre caractéristiques:
¾ le point d'application,
¾ la droite d'action,
Caractéristiques d’un VECTEUR
¾ le sens,
¾ la valeur: son intensité.
Une FORCE est une grandeur vectorielle
Portance
Poids
Une action sur un solide se décrit en général par PLUSIEURS FORCES.
ATTENTION !!
Il est souvent insuffisant de ne connaître que la somme vectorielle de toutes les forces pour décrire
le mouvement d’un solide.
Une somme des forces nulle peut mettre en mouvement un solide (cas d'un couple de forces).
F1
F1 + F2 = 0
F2
Il est nécessaire de connaître une grandeur supplémentaire, le MOMENT total des forces
(somme vectorielle des moments des forces) s'exerçant sur le solide.
Somme vectorielle des forces
+
Somme vectorielle des moments des forces
= TORSEUR FORCE
1. LES FORCES
Caractéristiques d’une force
¾
¾
¾
¾
son point d'application, A
sa droite d'action, Δ
son sens,
son intensité, F.
r
F
Δ
A
Les forces suivent donc les lois de l'algèbre des vecteurs,
ez
F1
F = F1 + F2
F2
ey
F1
F2
ex
Pour les composantes
⎡ f1x ⎤
⎢ ⎥
F1 = ⎢ f1 y ⎥
⎢f ⎥
⎣ 1z ⎦
⎡ f2x ⎤
⎢
⎥
F2 = ⎢ f 2 y ⎥
⎢f ⎥
⎣ 2z ⎦
⎡ f1x +
⎢
F = ⎢ f1 y +
⎢f +
⎣ 1z
f2x ⎤
⎥
f2 y ⎥
f 2 z ⎥⎦
Exemple: solide ponctuel suspendu à 2 ressorts
F = F1 + F2
F2
F1
P + F1 + F2 = 0
P = −F
Les forces peuvent être regroupées en trois familles:
¾
¾
¾
les forces de champ: force de gravitation, force électrostatique, force magnétique,
les forces de contact: force de frottement,
les forces nucléaires assurant la cohésion du noyau atomique.
Les forces s'expriment en Newton, noté N
Exemple:
Le poids appartient à la première famille.
Défini par les caractéristiques suivantes:
¾ son point d'application: le centre d'inertie
(centre de gravité) du solide
¾ sa droite d'action: la verticale,
¾ son sens: du haut vers le bas,
¾ son intensité:
P = m⋅g
m, masse en kg du solide
g, accélération de la pesanteur (g = 9,81 m/s2 sur la terre).
G
P = mg
Centre de gravité d’un ensemble de points
Définition: moyenne pondérée
Exemple: 4 points, A1, A2, A3, A4, de
masses m1, m2, m3, m4
⎧ x1
⎪
A1 ⎨ y1
⎪z
⎩1
z
⎧ x4
⎪
A4 ⎨ y4
⎪z
⎩ 4
A2
m2
A3
m3
G
m1
A4
m4
A1
O
x
⎧ x3
⎪
A3 ⎨ y3
⎪z
⎩ 3
⎧ x2
⎪
A2 ⎨ y2
⎪z
⎩ 2
y
Soit M la masse totale des 4 points
M = m1 + m2 + m3 + m4
Chaque point intervient proportionnellement à sa masse
M OG = m1OA1 + m2 OA2 + m3OA3 + m4 OA4
m OA + m2 OA2 + m3OA3 + m4 OA4
OG = 1 1
M
m1x1 + m2 x2 + m3 x3 + m4 x4
⎧
=
x
⎪ G
M
⎪
m y + m2 y2 + m3 y3 + m4 y4
⎪
OG = ⎨ yG = 1 1
M
⎪
m1z1 + m2 z2 + m3z3 + m4 z4
⎪
=
z
⎪⎩ G
M
Exemple: 2 sphères reliées par une tige de masse négligeable. Les rayons des sphères sont supposés
suffisamment petits pour pouvoir être négligés.
Par symétrie: xG = 0 et yG = 0
m1
⎧0
⎪
A2 ⎨a
⎪0
⎩
⎧0
⎪
A1 ⎨− a
⎪0
⎩
z
A1
O
G
A2
m2
y
x
a
a
M = m1 + m2
yG =
( −a )m1 + am2
M
m
m
yG = − 1 a + 2 a
M
M
Application numérique: a = 50 cm, m1 = 100 g, m2 = 300 g
Remarque:
OA1 = OG + GA1
(
yG = −
100
300
50 +
50 = 25 cm
400
400
OA2 = OG + GA2
)
M OG = m1 OG + GA1 + m2 (OG + GA2 )
M OG = ( m1 + m2 )OG + m1GA1 + m2 GA2
M OG = M OG + m1GA1 + m2 GA2
0 = m1GA1 + m2 GA2
m1GA1 + m2 GA2 = 0
Application au cas de 2 masses
⎧ xG = 0
⎪
m − m1
⎪
OG = ⎨ yG = 2
a
M
⎪
⎪⎩ zG = 0
⎧ x1 = 0
⎪
OA1 = ⎨ y1 = − a
⎪z = 0
⎩1
m1
z
A1
O
G
A2
m2
y
x
a
a
⎧ x2 = 0
⎪
OA2 = ⎨ y2 = a
⎪z = 0
⎩ 2
− 2m2
m + m2 + m2 − m1
m − m1
a
a=
a=− 1
y1 − yG = −a − 2
M
M
M
m − m1
m + m2 − m2 + m1
2m
y2 − yG = a − 2
a= 1
a= 1a
M
M
M
m1( y1 − yG ) + m2 ( y2 − yG ) = −
2m1m2
2m m
a+ 1 2 a=0
M
M
m1GA1 + m2 GA2 = 0
Cas général d’un ensemble de N points
Exemple: N points, A1, A2,……. AN, de masses m1, m2, ……, mN
Masse totale
M=
∑
A2
m2
z
N
mi
A3
m3
i =1
Centre de gravité
OG =
1
M
N
∑ mi OAi
i =1
G
m1
A4
m4
A1
O
Coordonnées
⎧
1
⎪ xG =
M
⎪
⎪
⎪⎪
1
⎨ yG =
M
⎪
⎪
⎪
1
⎪ zG =
M
⎪⎩
y
N
∑ mi xi
i =1
N
∑ mi yi
i =1
N
∑ mi zi
i =1
x
N
∑ mi GAi = 0
i =1
AN
mN
Cas d'un solide quelconque: distribution continue de points. PRINCIPE DU CALCUL
On divise le volume en un un très grand nombre (infinité) de petits volumes élémentaires (cubiques),
entourant chacun un point Ai. Chaque volume élémentaire vaut
dv = dxdydz
Chaque volume contient une masse élémentaire égale à
dm = ρ dv
ρ = masse volumique = masse de l’unité de volume
On est ramené au cas de n points matériels; les points matériels sont les volumes infiniment petits
OG =
1
M
∑OA ⋅ dm
z
Tous les volumes
élémentaires
A2
M est la masse totale du solide
∑ dm
M=
Tous les volumes
élémentaires
Puisque la taille des volumes élémentaires est infiniment
petite, l’expression précédente devient une intégrale
OG =
∫
1
M
OA ⋅ dm =
Volume
M=
∫
dm =
Volume
∫
1
M
∫
A1
dz
OA ⋅ ρdv
dy
A4
O
Volume
ρdv
Volume
dx
x
y
A3
z
H
α
Masse du disque élémentaire
r
dz
dm = ρ ⋅ π
R2 z2
H
R
A = ρ⋅π
dz
R2
H
2
dm = Az 2dz
Masse totale du cône
H
M=
y
z
Coordonnée du centre de gravité:
2
dm = ρ ⋅ πr 2dz
∫ Az dz
2
0
zG =
1
M
0
AH 4 3
3
zG =
=
H
4 AH 3 4
⎡ z3 ⎤
AH 3
2
M = A z dz = A⎢ ⎥ =
3
⎣⎢ 3 ⎦⎥0
∫
0
H
H
∫
H
H
z ⋅ Az 2dz
H
A ⎡ z4 ⎤
A H4
1
3
zG =
A z dz =
⎢ ⎥ =
M ⎣⎢ 4 ⎦⎥
M 4
M
0
∫
0
zG =
3
H
4
ANNEXE
dv = πr 2dz
ANNEXE
Volume du disque élémentaire
x
ANNEXE
r
z
=
R H
ANNEXE
Relation de proportionnalité:
ANNEXE
O
ρ = masse volumique (masse de l’unité de volume)
ANNEXE
Exemple: centre de gravité d’un cône
2. ROTATION AUTOUR D’UN AXE: MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT A UN AXE
On se limite au cas d’une force perpendiculaire à l’axe
Soit d la distance entre l’axe Δ et la droite d’action
de la force (d = AB)
Le moment vectoriel de la force par rapport à l’axe Δ
est un vecteur:
¾ perpendiculaire au plan déterminé par AB et
la droite d’action de F donc porté par l’axe Δ
¾ dont le sens indique le sens de rotation
imposé par la force
(règle de la main droite)
¾ de module égal à:
r
M Δ ( F ) = F .d
(Δ)
r
M Δ (F )
A
d
B
F
(Δ)
r
MΔ ( F ) = 0
Remarque: si la droite d’action de la force passe
par l’axe de rotation,le moment de la force par
rapport à l’axe est nul (d = 0)
F
Exemple: serrage d’un boulon
z
CAS N° 1: F1 suivant - Oz
M Ox ( F1 ) = F1d
M Ox ( F1 )
M Ox ( F1 )
O
y
d
x
F1
dirigé suivant – Ox
z
CAS N° 2: F2 suivant Oy
O
M Ox ( F2 ) = 0
F2
y
F2
passe par l’axe
z
x
CAS N° 3: F3 suivant Ox
M Ox ( F3 ) = 0
O
y
x
F3
F3
n’est pas perpendiculaire
à l’axe mais parallèle à l’axe
z
CAS N° 4: F4 avec:
une composante suivant – Oz
une composante suivant Oy
M Ox ( F4 )
a
α
O
M Ox ( F4 ) = F4a
F4 y
y
= F4d cos α
d
x
M Ox ( F4 ) = F4 z d
α
F4 z
F4
Seule la composante suivant –Oz intervient
F4 = F4 y + F4 z
M Ox ( F4 ) = M Ox ( F4 y ) + M Ox ( F4 z )
=0
(Cas n°2)
Cas n°1
M Ox ( F4 ) = M Ox ( F4 z )
COUPLE DE FORCES
z
M Ox ( F1 ) = F1
M Ox ( F1 )
dirigé suivant Ox
M Ox ( F2 ) = F2
M Ox ( F2 )
L
L
=F
2
2
F1 = F
L
L
=F
2
2
L
2
dirigé suivant Ox
Résultante des forces
O
B
A
F1 + F2 = 0
Moment résultant (COUPLE)
M Ox ( F1 ) + M Ox ( F2 ) = F ⋅ L
y
L
2
M Ox ( F2 )
F2 = − F
x
M Ox ( F1 )
L’application d’un couple à un solide a généralement pour effet de le mettre en rotation
A1
OA2 = OG + GA2
OA3 = OG + GA3
O
x
y
OA4 = OG + GA4
m (OG + OA1 ) + m2 (OG + OA2 ) + m3 (OG + OA3 ) + m4 (OG + OA4 )
OG = 1
m1 + m2 + m3 + m4
OG =
( m1 + m2 + m3 + m4 )OG m1GA1 + m2 GA2 + m3 GA3 + m4 GA4
+
m1 + m2 + m3 + m4
m1 + m2 + m3 + m4
m GA ) + m2 GA2 + m3 GA3 + m4 GA4
OG = OG + 1 1
m1 + m2 + m3 + m4
m GA ) + m2 GA2 + m3 GA3 + m4 GA4
0= 1 1
m1 + m2 + m3 + m4
m1GA1 + m2 GA2 + m3 GA3 + m4 GA4 = 0
ANNEXE
ANNEXE
A4
m4
OA1 = OG + GA1
ANNEXE
G
m1
m OA + m2 OA2 + m3OA3 + m4 OA4
OG = 1 1
m1 + m2 + m3 + m4
ANNEXE
A3
m3
ANNEXE
A2
m2
ANNEXE
z
ANNEXE
Force
F
Point d’application: B.
Moment vectoriel par rapport à un point A:
r
r
M A ( F ) = AB ∧ F
Produit vectoriel
ANNEXE
r
M A (F )
α
F
ANNEXE
3. MOMENT D’UNE FORCE PAR RAPPORT A UN POINT
P
r
M A (F )
r
F
et la force
perpendiculaire au plan (P) déterminé par le vecteur AB
Sa direction est donnée par la règle des trois doigts de la main droite. Elle
permet de connaître le sens dans lequel va s’effectuer la rotation du solide
Module
r
r
M A ( F ) = AB ⋅ F ⋅ sin α
UNITE: Newton.mètre (N.m)
ANNEXE
A
ANNEXE
ANNEXE
B
ANNEXE
Le module du moment s’écrit aussi
A
ANNEXE
(Δ)
P
Le module du moment vectoriel est égal au produit du module de la force par la distance du point A
à la droite d’action de la force.
Expression analytique du vecteur moment
⎧rx
⎪
AB = ⎨ry
⎪
⎩rz
⎧ Fx
⎪
F = ⎨ Fy
⎪
⎩ Fz
⎧ry Fz − rz Fy
r
⎪
M A ( F ) = ⎨rz Fx − rx Fz
⎪r F − r F
⎩x y y x
ANNEXE
B
ANNEXE
r
M A ( F ) = F .d
d
ANNEXE
r
r
M A ( F ) = F ⋅ AB ⋅ sin α
r
r
M A ( F ) = F ⋅ AH
α
H
ANNEXE
r
F
r
M A (F )