Solutions 4

Théorie des nombres. Mat 3632
Devoir 4. Ne pas remettre. Les solutions seront données le 21 novembre.
1. Exhiber un système réduit de résidus modulo 7 composé entièrement de puissances de
3.
Solution: 36 ≡ (32 )3 ≡ 23 ≡ 1 mod 7, et comme 32 ≡ 2 6≡ 1 mod 7 et 33 ≡ 6 6≡
1 mod 7, on a {3, 32 , 33 , 34 , 35 , 36 } ≡ {1, 2, 3, 4, 5, 6} mod 7.
2. Soit m > 2 un entier positif. Montrer que la somme des éléments d’un système réduit
de résidus modulo m est congrue à 0 mod m.
Solution: On a (r, m) = 1 ssi (m − r, m) = 1. Si r = m − r et (m, r) = r = 1,
alors m = 2. Comme m > 2, un système réduit de résidus modulo m est de la forme
{r1 , m − r1 , r2 , m − r2 , . . . , rn , m − rn }. La somme est donnée par r1 + (m − r1 ) +
· · · rn + (m − rn ) ≡ nm ≡ 0 mod m.
3. Quel est le dernier chiffre dans la représentation décimale de 3400 ? Quels sont les deux
derniers chiffres?
Solution: Comme φ(10) = φ(2 · 5) = (2 − 1)(5 − 1) = 4 et φ(100) = φ(22 · 52 ) =
φ(22 )φ(52 ) = 2(2−1)5(5−1) = 40, on a 3400 ≡ (34 )100 ≡ 1 mod 10 et 3400 ≡ (340 )10 ≡
1 mod 100. Alors les deux derniers chiffres sont 01.
4. Trouver le plus petit résidu positif de 27
10
modulo 11.
Solution: Par le Petit Théorème de Fermat, on a que 210 ≡ 1(mod11). Alors, il
faut trouver le résidu de 710 modulo 10. Par le théorème d’Euler, 74 ≡ 1(mod10).
Alors, 710 ≡ 72 ≡ 9(mod10). Alors,
10
27 ≡ 29 (mod11).
Pour trouver 29 modulo 11, il faut trouver l’inverse de 2 modulo 11. On rémarke que
2 · 6 ≡ 1(mod11), alors, 29 ≡ 6(mod11) et
10
27 ≡ 6(mod11).
5. Résoudre
x81 ≡ 7(mod150).
Solution: D’abord notons que (x, 150) = 1, car si (x, 150) = d > 1, on aurait que
d|(7, 150) = 1, contradiction. On peut trouver φ(150) = φ(2·3·52 ) = φ(2)φ(3)φ(52 ) =
2 · 5 · (5 − 1) = 40. Alors, par le théorème d’Euler,
x40 ≡ 1(mod150).
Par conséquent,
x81 = x · (x40 )2 ≡ x(mod150).
et on trouve que la solution est
x ≡ 7(mod150).
6. Si p et q sont des nombres premiers distincts, est-il vrai que l’on nécessairement
pq−1 + q p−1 ≡ 1 mod pq?
Solution: Par le Petit théorème de Fermat, p | (q p−1 − 1) et q | (pq−1 − 1) donc
pq | (q p−1 − 1)(pq−1 − 1) = q p−1 pq−1 − (pq−1 + q p−1 ) + 1. Comme pq | q p−1 pq−1 , on a
0 ≡ (q p−1 − 1)(pq−1 − 1) ≡ −(pq−1 + q p−1 ) + 1 mod pq, donc l’affirmation est vraie.
7. Soit p un nombre premier impair qu’on écrit de la forme p = m + n + 1 où m, n ≥ 0.
Montrer que
m!n! ≡ (−1)m+1 mod p.
Déduire de cette formule que
2
p+1
p−1
! ≡ (−1) 2 mod p.
2
Solution: D’après le théorème de Wilson,
−1 ≡ (m + n)! ≡ (m + n)(m + n − 1) . . . (m + n − (n − 1))m! ≡ modp
≡ (−1)(−2) . . . (−n)m! ≡ (−1)n n!m! mod p
puisque m et n ont même parité, on a la solution.
Maintenant prenons m = n =
dernière réponse.
p−1
2
et notons que m + 1 =
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p+1
,
2
ce qui donne la
8. Soit p un nombre premier. Montrer que p | (ap + a(p − 1)!).
Solution: Par le théorème de Wilson et le Petit théorème de Fermat, ap +a(p−1)! ≡
a + a(−1) ≡ 0 mod p.
9. Trouver le plus petit entier supérieur à 1 qui satisfait le système de congruences suivant:

 x ≡ 1 mod 3
x ≡ 1 mod 5

x ≡ 1 mod 7
Solution: Il est clair que x ≡ 1 mod 3 · 5 · 7 satisfait les trois équations. Par le
théorème du reste chinois, c’est la seule solution modulo 3 · 5 · 7. Alors, le plus petit
entier supérieur à 1 qui satisfait le système est 1 + 3 · 5 · 7 = 106.
10. Résoudre le système de congruences suivant:

 x ≡ 1 mod 4
x ≡ 0 mod 3

x ≡ 5 mod 7
Solution: On vérifie d’abord que tous les modulos sont relativement premiers deux
à deux. On a, par le théorème du reste chinois, m = 4 · 3 · 7 = 84 et 21 · 1 ≡ 1 mod 4,
28 · 1 ≡ 1 mod 3, 12 · 3 ≡ 1 mod 7. Alors,
x0 ≡ 21 · 1 · 1 + 28 · 1 · 0 + 12 · 3 · 5 ≡ 201 ≡ 33 mod 84.
11. Trouver les solutions des systèmes d’équations suivants:

 2x ≡ 1 mod 5
5x ≡ 7 mod 12
a) 3x ≡ 2 mod 7
b)
4x ≡ 12 mod 14

4x ≡ 1 mod 11
Solution: a) D’abord, on a que


 2x ≡ 1 mod 5
 x ≡ 3 mod 5
3x ≡ 2 mod 7 ⇐⇒
x ≡ 3 mod 7 .


4x ≡ 1 mod 11
x ≡ 3 mod 11
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Alors, il est clair que x ≡ 3 mod 5 · 7 · 11 est une solution, et par le théorème du reste
chinois, elle est unique modulo 5 · 7 · 11 = 385.
b) D’abord on a que
5x ≡ 7 mod 12
⇐⇒
4x ≡ 12 mod 14
x ≡ −1 mod 12
x ≡ 3 mod 7
On vérifie maintenant que les deux modulos sont relativement premiers. Par le
théorème du reste chinois, m = 12 · 7 = 84, 12 · 3 ≡ 1 mod 7, 7 · 7 ≡ 1 mod 12,
x0 ≡ 12 · 3 · 3 + 7 · 7 · (−1) ≡ 59 mod 84.
Problèmes additionels suggérés: pages 55-58: 12, 20, 26, 32, 34
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