Bac Blanc janvier 2015

BACCALAUREAT
BLANC
Session janvier 2015
Série : S
Épreuve : Mathématiques ( candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité )
Durée de l'épreuve : 4 heures
MATERIEL AUTORISE OU NON AUTORISE :
Calculatrice autorisée
Aucun échange de matériel autorisé
Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte 6 pages numérotées 1/6 à 6/6
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Exercice 1 ( 5 points ) commun à tous les candidats
On considère la fonction définie et dérivable sur l’ensemble ℝ des nombres réels par :
= + 1 +
On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé ; , .
1. Soit la fonction définie et dérivable sur l’ensemble ℝ par :
= 1 − + a. Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction sur ℝ ( les limites
de aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues ).
b. En déduire le signe de .
2. Déterminer la limite de en −∞ puis la limite de en +∞.
3. On appelle ′ la dérivée de la fonction sur ℝ .
Démontrer que, pour tout réel ,
= 4. En déduire le tableau de variation de la fonction sur ℝ.
5. a. Démontrer que l’équation = 0 admet une unique solution réelle sur ℝ.
b. Démontrer que −1 < < 0.
6. a. Démontrer que la droite d’équation = 2 + 1 est tangente à la courbe au point
d’abscisse 0.
b. Etudier la position relative de la courbe et de la droite .
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Exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats
On note ℂ l’ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé ; ! , .
"
On prendra comme unité 2 centimètres sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré ou à petits carreaux et complété au fur et
à mesure des questions.
On considère la fonction qui à tout nombre complexe z associe # = # $ + 2# + 9
1. Calculer l’image de −1 + &√3 par la fonction .
2. Résoudre dans ℂ l’équation # = 5.
Ecrire sous forme trigonométrique les solutions de cette équation.
Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points * et + dont l’affixe est
solution de l’équation (* étant le point dont l’affixe a une partie imaginaire positive).
On laissera les traits de construction apparents.
3. Soit , un nombre réel. On considère l’équation # = , d’inconnue #.
Déterminer l’ensemble des valeurs de , pour lesquelles l’équation # = , admet deux
solutions complexes conjuguées.
4. Soit # un nombre complexe tel que # = + & où et sont des nombres réels.
a. Montrer que : # = $ − $ + 2 + 9 + &2 + 2.
b. On note - l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe # est telle que # soit un
nombre réel.
Montrer que - est la réunion de deux droites ./ et .$ dont on précisera les équations.
Compléter le graphique en traçant ces droites.
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Exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
On considère la suite 01 définie par 02 = 2 et, pour tout entier naturel 3 :
1 + 301
3 + 01
014/ =
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 3, on a : 01 − 1 > 0.
2. a. Etablir que, pour tout entier naturel 3, on a :
014/ − 01 =
1 − 01 1 + 01 3 + 01
b. Déterminer le sens de variation de la suite 01 .
3. En déduire que la suite 01 converge.
Partie B
On considère la suite !1 définie par !2 = 2 et, pour tout entier naturel 3 :
!14/ =
1 + 0,5!1
0,5 + !1
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1. On considère l’algorithme suivant :
Entrée
Soit un entier naturel non nul 3
Initialisation
Affecter à ! la valeur 2
POUR & allant de 1 à 3
Affecter à ! la valeur
Traitement et sortie
Afficher !
1 + 0,5!
0,5 + !
FIN POUR
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour 3 = 3.
Les valeurs de ! seront arrondies au millième.
&
1
2
3
!
2. Pour 3 = 12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
&
4
5
6
7
8
!
1,0083
0,9973
1,0009
0,9997
1,0001
9
10
0,99997 1,00001
11
12
0,999996
1,000001
Conjecturer le comportement de la suite !1 à l’infini.
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3. On admet que, pour tout entier naturel 3, on a : !1 ≠ −1.
On considère la suite "1 définie pour tout entier naturel 3, par :
"1 =
!1 − 1
!1 + 1
a. Démontrer que la suite "1 est géométrique de raison −
1
3
b. Calculer "2 puis écrire "1 en fonction de 3.
4. On admet que, pour tout entier naturel 3, on a : "1 ≠ 1.
a. Montrer que, pour tout entier naturel 3, on a :
!1 =
1 + "1
1 − "1
b. Déterminer la limite de la suite !1 .
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Exercice 4 ( 5 points ) pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Partie A
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs.
Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B.
10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles
provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les événements suivants :
— événement A : « la boîte provient du fournisseur A » ;
— événement B : « la boîte provient du fournisseur B » ;
— événement S : « la boîte présente des traces de pesticides ».
1. Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
2. a. Quelle est la probabilité de l’événement B ∩ S ?
b. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est
égale à 0,88.
3. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. Quelle est la probabilité que
cette boîte provienne du fournisseur B ?
Partie B
Dans cette partie, les probabilités seront arrondies au centième.
Le gérant d’un salon de thé achète 10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de
ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10
boîtes avec remise.
On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes
sans trace de pesticides.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.
3. Calculer la probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.
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