Les aspects quantitatifs de l`ORSA

Les aspect quantitatif
de l’ORSA
ORSA Épargne
Marc JUILLARD Actuaire Directeur de mission
[email protected]
1
Introduction
Le Pilier 1 doit offrir une image fidèle de la solvabilité de l’entreprise à l’horizon 1 an. Cependant,
une telle image n’a d’intérêt que si elle s’accompagne :
• D’une gouvernance garantissant une gestion saine, prudente et efficace.
• De dispositifs de contrôle interne garantissant la fiabilité de l’information.
• D’une gestion fine des risques pris par l’organisme ne se limitant pas à un horizon d’1 an.
Solvabilité II vise à un renforcement de la gouvernance et de la gestion des risques en ligne avec
les best practices, et beaucoup plus complet que la réglementation actuelle……mais avant tout
fondé sur des pratiques de bons sens !
L’objectif final de la Directive Solvabilité 2 est d’encourager les compagnies à mettre en place un
système de gestion des risques intégrés. Cet objectif passe principalement par le pilier 2 et la
mise en place d’une démarche ERM (Entreprise Risk Management).
2
Préambule
L’ORSA est l’image de la complexité de l’entreprise en termes d’activités et de risques
Proportionnalité applicable pour la détermination du besoin global de solvabilité
• Proportionnalité extensible à tout le processus de l’ORSA
• Large spectre d’outils utilisables (du stress-test simple à la modélisation fine des risques)
• Dans la plupart des cas une estimation, plus qu’un calcul, est requise
L’ORSA s’adresse aux administrateurs de la compagnie
Élément clé du système de gestion des risques présentant une vision claire des risques pesant sur
l’entreprise et du besoin global de solvabilité.
Il ne s’agit pas d’un processus mécanique qui peut se standardiser : chaque compagnie doit
développer son propre ORSA qui lui permettra de répondre à ses propres besoins.
L’ORSA n’a pas pour objectif de faire intervenir des experts ou des débats d’experts au sein du
conseil d’administration mais plutôt d’enrichir les réflexions du conseil sur la base d’une mesure
des risques.
3
1. Les Grands Principes
SOMMAIRE
Solvabilité 2
Pilier 2
2. Les modèles envisageables
3. Exemple de modèle par stress tests
4
1. Les Grands Principes
L’article 45 de la directive Solvabilité II dispose que dans le cadre de son système de gestion
des risques, chaque entreprise d'assurance procède à une évaluation interne de ses risques
et de sa solvabilité. Cette évaluation porte notamment sur les éléments suivants :
• le besoin global de solvabilité, compte tenu du profil de risque spécifique, des limites
approuvées de tolérance au risque et de la stratégie commerciale de l'entreprise ;
• le respect permanent des exigences de capital.
L’ORSA est donc constitué de deux composante :
 Une composante infra annuelle : calcul rapide la Solvabilité de la compagnie
 Une composante pluri annuelle : solvabilité pluri annuelle de l’assureur sur la base d’une
vision incluant le plan stratégique et retenant des hypothèses de calculs adaptées aux
spécificités de l’entreprise.
5
1. Les Grands Principes
Quelques définitions
Quelques définitions
Risk capacity
(capacité de
risque)
Montant maximal de risque que la compagnie est capable de supporter.
Risk profile
(profil de
risque)
Niveau de risque auquel est soumise la compagnie en date de calcul. Peut être appréhendé
de façon qualitative et quantitative sur la base des métriques retenue pour l’appétence au
risque.
Risk appetite
(appétit au
risque)
Niveau de risque agrégé qu’une entreprise accepte de prendre en vue de la poursuite de son
activité et afin d’atteindre ses objectifs stratégiques.
Risk tolerance
(tolérance au
risque)
Niveau maximal de risque qui peut être pris sur un risk profile. Répartition à un niveau plus fin
de l’appétence au risque.
Risk limit
(limite de
risque)
Traduction opérationnelle de la risk tolerance. Ces limites sont spécifiques au processus
auquel elles participent.
6
1. Les Grands Principes
Risk Capacity
Principalement déterminée sur la base de l’analyse du capital économique disponible
(amortisseur final dans le cas de scénarios adverses).
Les composantes suivantes peuvent être retenues :
 la liquidité du capital et la capacité à le lever ;
 la qualité du capital (Tier 1/2/3);
Le calcul de la capacité de prise de risque nécessite de définir :
Risk
capacity
 le profil de risque de la compagnie : ensemble des risques pesant sur la compagnie;
 l’évolution de l’actif net de la compagnie (a minima sur la période 01/01/N –
31/12/N) ;
 des contraintes fixées par le plan stratégique.
 Sur la base de cette analyse la compagnie peut déterminer quels sont les besoins de fonds propres
Sur
la basequ’elle
de cette
peut
déterminer
quelsqu’elle
sont les
maximum
peutanalyse
supporterlaetcompagnie
donc les limites
maximales
de risque
peutbesoins
accepter.de fonds
propres maximum qu’elle peut supporter et donc les limites maximales de risque qu’elle
peut accepter.
7
1. Les Grands Principes
Profil de risque
Il y a lieu de se prononcer sur :
Par exemple :

Dépend des méthodes retenues par l’entreprise
pour le calcul du SCR :
o
Formule Standard
o
USP
o
Modèle interne
Les risques mal calibrés dans le pilier 1 ;
Les risques non présents dans le pilier 1 et
connus ;
Risque de crédit associés aux obligations émises
par les Etats Européens
Les risques non présents dans le pilier 1 et non
connus.
Les risques émergents ;
8
1. Les Grands Principes
Risk Appetite
L’appétence au risque correspond au risque maximal qu’une entité accepte de prendre dans
l’optique d’atteindre ses objectifs stratégiques.
Les grands principes :
 L’appétit pour le risque découle et interagit avec la stratégie de l’entreprise.
 Il s’exprime à l’aide d’un indicateur « rendement – risque » macro, dont le niveau est
fixé par le Conseil d’Administration.
Risk
appetite
 Doit prendre en compte l’ensemble des dimensions stratégiques (mais agrégées)
de l’entreprise (en retenant pour des raison pratiques peu de dimensions).
Dimensions possibles
Parties prenantes
Solvabilité
Régulateurs / Assurés
Résultat
Marché
Notation
Agences de notation / Créanciers
Image de marque
Marché
Valeur
Marché
9
1. Les Grands Principes
Risk Appetite – les dimensions
Exemples de dimensions suivi par les principaux assureurs de la place
Risk
appetite
Assureur
Résultat
Valeur
Solvabilité
Autres
Assureur 1
X
X
X
Liquidité
Assureur 2
X
Assureur 3
X
Assureur 4
X
Assureur 5
X
X
X
X
Réassureur 6
Réassureur 7
X
10
X
X
Critères qualitatifs
divers
X
Critères qualitatifs
divers
X
Anticipation
catastrophe
Liquidité, prime de
risque
1. Les Grands Principes
Risk Appetite – les mesures
 Une fois les dimensions définies, il est nécessaire de fixer les mesures de risque qui seront
retenues afin de quantifier le risque associé à chaque dimension.
 Ces mesures doivent :
 être intelligibles par l’ensemble des parties prenantes ainsi elles doivent être le plus
simple possible (pour un actionnaire le risque de déviation du résultat ou de la
MCEV est un indicateur compréhensible) ;
Risk
appetite
 pouvoir se ventiler par la suite par catégorie de risque (ex : module de risque de la
formule standard).
Résultat
 Probabilité d’être en
deçà d’un certain seuil ;
 Probabilité d’avoir un
résultat inférieur de x% à
la prévision.
Valeur
Solvabilité
 Probabilité de baisse de
x% de la MCEV ou de
l’actif net ;
 Probabilité d’avoir un
retour sur capital
inférieur à x%
11
 Avoir un SCR en deçà
d’une certaine valeur
dans x% des cas .
Notation
 Bénéficier d’une certaine
notation cible dans x%
des cas.
1. Les Grands Principes
Risk Appetite – le niveau de confiance
 La compagnie doit définir l'horizon du risque pour chaque dimension de l'appétence au risque
retenue (par exemple, pour la dimension résultat elle peut choisir un horizon plus court
que le plan stratégique).
 Elle doit ensuite définir le niveau de confiance (ou période de retour) qu’elle juge
acceptable.
 Ces deux notions sont in fine liée : plus on augmente l’horizon, plus l’incertitude est forte
et les niveaux de confiance devront être diminués.
1= résultat non atteint
2= alerte sur les résultats pour le marché
3= perte sur l’année
4= rating sous surveillance
5= dégradation significative du rating
6= intervention du régulateur
Risk
appetite
12
1. Les Grands Principes
Tolérance aux risques
 Il est nécessaire de traduire de manière effective la politique d’appétence pour le risque de
l’entité.
 Il faut définir l’allocation de risque global
sous la forme de catégories de risques.
Risk
tolerance
 L’énoncé des préférences de risque :
 doit être en ligne avec le plan
stratégique ;
 met en avant les préférences des
managers ;
 attribue une capacité de prise de
risque à chaque preneur de risque.
Risk appetite
Risk tolerance
- Marché
Risk tolerance
- Crédit
Risk tolerance
- Souscription
Risk tolerance
- Opérationel
 Les facteurs de risque à intégrer au calcul comprennent :
 tous les facteurs de risque significatifs de la formule standard ;
 le facteur de risque business (i.e. hypothèses prises dans le cadre du plan de
développement).
13
1. Les Grands Principes
Limites opérationnelles et suivi
 Une fois définie l’ensemble des tolérances aux risques, il convient de les traduire en limites
opérationnelles.
 La capacité de prise de risque a été définie sur la base de conditions de marché vues en date
de calcul amenées à évoluer (plus ou moins favorablement). Aussi, dans le cas de variation non
négligeable des conditions de marché, la compagnie a tout intérêt à recalibrer son processus
d’appétence au risque.
Suivi de
l’appétit
pour le
risque
La fréquence de recalibrage du processus ne devra être ni trop élevée (risque de perdre toute
stratégie) ni trop faible (risque de perdre une continuité dans la stratégie et ce à cause de brutales
modifications de l’appétence).
14
1. Les Grands Principes
Schéma de fonctionnement
Le schéma global de l’appétit pour le risque est le suivant (cf. Institut des Actuaires [2010]) :
Déclaration
Suivi dans le temps par
le contrôle et le
reporting de la
politique
Mise en œuvre
15
1. Les Grands Principes
SOMMAIRE
Solvabilité 2
Pilier 2
2. Les modèles envisageables
3. Exemple de modèle par stress tests
16
2. Les modèles envisageables
Notion de ruine économique
On se place dans un cadre de calcul de la ruine économique (hors marge pour risque) par
modèle interne.
Le SCR est le montant de fonds propres minimal de façon à avoir : P  FP1  0   0, 5 %

  r A  u du 
  FP  P  0, 1 VaR P  FP 
 SCR  FP0  VaR0P,5%  FP1  e 0
0
1
0 ,5%




1
Aussi, les SCR futurs sont des variables aléatoires.
L’objectif de l’ORSA est donc de déterminer la distribution des SCR futurs (et des ratios de
couverture associés), ceci revenant à déterminer la distribution des fonds propres FPt
17
2. Les modèles envisageables
Notion de ruine économique
On admet l’existence d’un processus Yt décrivant les risques impactant l’évolution du bilan de la
compagnie entre deux arrêtés comptables, vérifiant :
 Yt est un processus markovien ;
 Yt est lié aux seuls risques financiers (en fonction des modèles retenus, le caractère
markovien pourrait être invalidé).
P A Q F
1
V1  E




P A Q F
  1  j   X j   E
 1  j   X j Yu , u  0,1 
 j 2

 j 2

En pratique l’état du bilan dépend de Y et d’un nombre fini de variables d’états, que l’on notera
D, également markovien. D décrit l’état des polices.
V1  E
P A Q F


  1  j   X j Y1 , D1  
 j 2

18
2. Les modèles envisageables
Approche SDS ?
En t=1, on simule des réalisations des variables d’état sur la première période puis on valorise le
best estimate associé à chaque réalisation.
i 
V1  E
P A Q F

i 
i  
  1  j   X j Y1 , D1 
 j 2

Comme en 0, on estime ces termes par simulation, ce qui conduit à poser :
i 
V1
 
i 
K1

i 
K1
1
K1 
i
 1
i ,k 

k 1
19
1
i 
K1
i ,k 
i ,k 

j

X


j
i  
K1
k 1 j  2


1. Contexte
Approche SdS ?
La principale problématique liée à l’approche SdS se situe au niveau du volume de
simulations nécessaires afin d’obtenir la convergence.
Si on considère :
 un contrat UC dont le sous-jacent est modélisé
par un processus log-normal ;
 un taux court modélisé par processus de Vasicek ;
La convergence du « best estimate » empirique vers
sa valeur théorique est lente :
 après 1 000 tirages, écart d’environ 1,5 %
 après 100 000, écart d’environ 0,15%.
Il y a un effet de levier sur les fonds propres
20
20
1. Contexte
Approche SdS ?
Dans le cas des simulation secondaires, trois méthodologies sont applicables :
 retenir un très grand nombre de simulations secondaires afin d’obtenir une
convergence acceptable en tout point ;
 ajuster le nombre de simulations Ki :
• en fonction de la variance conditionnelle ;
• de façon à retrouver des prix de marché d’instruments financiers
présentant des caractéristiques proches de celle du passif.
Il reste alors à déterminer le nombre de simulation primaires afin d’assurer la
convergence du quantile empirique. Ce dernier choix est délicat dans le sens où
au-delà de la volatilité des facteurs de risques, c’est l’impact de cette volatilité sur
la volatilité des fonds propres qui nous intéresse.
21
21
2. Les modèles envisageables
Quels méthodologies envisageables ?
On observe une prise de conscience du caractère peu efficace des approches SdS :
Barrie & Hibbert : http://www.barrhibb.com/products_and_services/detail/liability_proxy_generator/
Calculation of economic capital for complex life insurance liabilities requires a nested stochastic approach,
but the considerable run-times associated with many asset-liability models can mean that this technique is
not always practical. As a result many insurers are seeking next generation modelling solutions to give them
fast and accurate results in order to manage their businesses, whilst meeting the growing burden of
regulatory compliance.
Dès lors il convient de proposer des approches alternatives ou complémentaires.
Logique par scénarios
Formule semi-analytique (simulation et
formules fermées)
• Portefeuilles de réplication
• Curve fitting
• Least Square Monte Carlo
• Modèle de revalorisation analytique
• Des proxies.
Travailler sur la base d’une méthode de
scénarios ou de sélections de trajectoires.
Utilisation d’un scénario central de projection
du plan de développement et de scénarios
stressés
Complexe mais adaptées à une utilisation
intensive du modèle d’ORSA.
22
2. Les modèles envisageables
Portefeuilles de réplication
Principe :
Construire un portefeuille d’actifs financiers dont la valeur fournit une estimation quasi immédiate
des fonds propres. L’étape de valorisation du passif n’est plus nécessaire et les temps de calculs
en sont réduits.
Fondement Théorique :
Il est principalement d’origine financière : sous de bonnes hypothèses toute variable aléatoire
financière peut être répliquée par un processus adapté (on peut citer par exemple la réplication
d’une option européenne introduite par Black & Scholes).
La transposition de ce type d’approche aux passifs d’assurance demeure cependant délicate :
 la méthode ne permet pas de valoriser les éléments du passif «non couvrables» par des
instruments financiers comme par exemple le risque de mortalité, de dérive des frais, etc.
 la méthode des portefeuilles répliquant introduit une différence notable avec la théorie
financière dans le sens ou les coefficients de pondération sont ici déterministes.
23
2. Les modèles envisageables
Portefeuilles de réplication
Approche :
Les points clés de cette méthode sont :
1. Construire l’échantillon de réalisation des fonds propres économiques à un an PV_Passifi.
Il s’agit de l’étape central des approches par formules fermées.
2. Le choix des actifs candidats A1, A2, …, Ak;
Défini a priori en analysant la nature des options inclues dans les passifs (et donc la
convexité). Ces derniers peuvent être fictifs, la seule contrainte imposée étant de pouvoir les
valoriser par des formules fermées ou par des approches numériques peu chronophages).
3. Le calcul du poids de chaque actif dans le portefeuille répliquant ;
n
f ( wi )   ( PV _ Passifi  wi PVAi ) 2
i 1
Pour plus de détails on pourra se référer à DEVINEAU L., CHAUVIGNY M. [2011] qui présentent
une méthode alternative de calibrage des portefeuilles répliquants.
24
2. Les modèles envisageables
Least Square Monte Carlo
Principe :
La méthode Least Square Monte Carlo part du principe qu’en retenant un certain nombre de «
bons » facteurs de risques (valeur de marché de l’actif, valeur de rachat, niveau des taux, …), il est
possible de prédire la dynamique des fonds propres économiques et ce grâce à un polynôme.
Fondement théorique de la méthode (1/2) :
La méthode LSMC a été introduite en 2001 par LONGSTAFF et SCHWARTZ dans le cadre de la
valorisation d’options bermudiennes (ex : put américain). Les temps d’arrêt de l’option sont alors
2
évalués en considérant que les espérances conditionnelles associées sont dans L ,  Y  , P


(variance fini ou carré intégrable).
L’espace L2 munit de son produit scalaire est un espace de Hilbert (Cf. Royden [1968]) les
espérances conditionnelles peuvent alors être exprimées sur la base de leur coordonnées :
E Y X     i ei  X 
iI
où ei  X  est un élément de la base engendrée par l’espace engendré par X.
25
2. Les modèles envisageables
Least Square Monte Carlo
Fondement théorique de la méthode (2/2) :
Cette expression est ensuite dégradée en retenant nombre finie de bases indépendantes .
n
E Y X     i ei  X     i ei  X 
iI
i 1
Les cordonnées sous cette « sous base » sont calculées en minimisant l’écart quadratique avec
l’approximation obtenue par une simulation de Monte Carlo (ceci constituant une deuxième
approximation).
N

M
i 1

k 1
 

ˆ  N   arg min   Yi    k  ek X i  
2
Il est à noter que ce cadre est relativement éloigné de l’approche assurantielle qui fait intervenir un
nombre plus important de sources de risques dépendantes. À ce titre, les formes de polynômes
retenues en finance ne sont pas adaptées au cadre assurantiel.
26
2. Les modèles envisageables
Least Square Monte Carlo
Espérance conditionnelle et régression linéaire :
Soit deux variables aléatoires X et Y. Par définition E Y X  correspond à régression linéaire de Y
2
sur X qui soit la meilleure possible au sens de l’erreur quadratique moyenne E Y  f  X   


Partant de ce point et sous l’hypothèse de connaître parfaitement les risques impactant la valeur
économique des fonds propres à un an la dynamique de l’ANR peut donc être approximée sur le
base d’un polynôme f.
ANR1  E
P A Q F


  1  j   X j Yu , u   0,1   f Yu 
 j 2

Attention : cette égalité n’est plus vrai dès lors que les aléas impactant la valeur de l’ANR ne sont
plus une chaine de Markov.
27
2. Les modèles envisageables
Least Square Monte Carlo
1. Simulation des facteurs de risques retenus a priori
Le choix a priori des facteurs de risques consiste à isoler les aléas expliquant au mieux la volatilité
de l’Actif Net Réévalué et contribuant au besoin de fonds propres.
Un objectif d’une dizaine de facteurs de risques est un bon objectif. Les éléments suivants étant la
plupart du temps retenu :
• aléa impactant le niveau des actions, de l’immobilier
• aléa impactant la volatilité des actions
• 3 aléas sur les taux (court, moyen, long termes) représentant le niveau, la convexité et
la pente (ceci conduisant à modéliser plus de 99% de la volatilité de la structure par
termes des taux d’intérêt).
• aléas sur les spread et la liquidité
• rachat, mortalité ?
In fine cette étape est conditionnée par le modèle qui sera retenu afin de construire l’échantillon
d’ajustement.
28
2. Les modèles envisageables
Least Square Monte Carlo
2. Calcul de la valeur actuelle des flux de trésorerie futurs
La méthode Least Square Monte Carlo réplique la valeur actuelle des flux futurs. Aussi chaque
simulation primaire historique est prolongée par une unique simulation secondaire, permettant
ainsi de simuler la valeur actuelle des flux de trésorerie futurs :
29
2. Les modèles envisageables
Least Square Monte Carlo
2. Calcul de la valeur actuelle des flux de trésorerie futurs
Cette étape nécessite de définir le nombre de simulations primaires qui devront être lancées afin
que l’échantillon d’ajustement couvre correctement le spectre des situations possibles à 1 an.
Deux méthodologies sont envisageables :
• Lancer un très grand nombre de simulations primaires en retenant des points de
convergence avec le « vrai » calcul (type espérance ou variance).
• Retenir une norme permettant de définir les trajectoires primaires se situant au niveau
de la zone d’intérêt (quantile à 95% de l’ANR à 1 an par exemple).
 Elle aura pour objectif d’affecter à chaque vecteur d’aléas standardisés une valeur
traduisant la « dangerosité de la situation ».
 Une norme basée sur la sensibilité du quantile à 95% de l’ANR aux différents aléa
pourra par exemple être retenue :
 1 , ...,  n 
n
  
i , j 1
30
i
i
  j  j
2. Les modèles envisageables
Least Square Monte Carlo
2. Calcul de la valeur actuelle des flux de trésorerie futurs
A titre d’exemple, on retient une norme basée sur la contribution du facteur de risque au SCR. On retient de
plus les postulats suivants :
•
3 aléas seulement (action, taux immobilier)
•
on ignore les facteurs croisés (cette hypothèse n’est acceptable qu’en première approche)
 A ,  T ,  I  sT  T2  sI  I2  s A A2
Nous avons représenté sur le graphique suivant, les valeurs de la norme
correspondant aux 50 réalisations des fonds propres les plus faibles
Les points correspondants aux situations les plus adverses se situent
bien en périphérie du nuage. La norme nous permet de bien capter les
situations les plus à risque pour l’assureur.
31
2. Les modèles envisageables
Least Square Monte Carlo
3. Ajustement et validation de la forme paramétrique
Si la littérature financière se réfère aux polynômes de Laguerre, aux polynômes de Legendre ou
aux formes trigonométriques (ces formes ayant été introduites dans l’optique de répondre à des
problématiques de valorisation d’instruments financiers), de simple polynômes fournissent de très
bons résultats et présente l’avantage de conduire à une forme plus interprétable. Ces derniers
seront donc à privilégier.
Plusieurs modèles sont envisageables et ce à cause entre autre :
• Du choix des variables explicatives (X1, X2, … Xn)
• Transformations applicables aux variables explicatives (X1, ln(X1), exp(X1).
Il est donc nécessaire de définir des critères permettant de comparer les différent modèles
envisageables afin de conserver le meilleur (et de valider ses qualités prédictives).
32
2. Les modèles envisageables
Least Square Monte Carlo
3. Ajustement et validation de la forme paramétrique
 Graphique :
• QQ plot ;
• PP plot ;
• Densité;
• etc…
 Tests d’hypothèses :
Ces tests (significativité des coefficients, autocorrélation, d’hétérocedasticité, etc.) ne permettant
de comparer que des modèles emboités (retraits petit à petit de variables explicatives) ils seront à
employer en dernière étape d’ajustement (quand on cherchera à analyser l’intérêt de retirer
certains variables peu explicatives).
33
2. Les modèles envisageables
Least Square Monte Carlo
3. Ajustement et validation de la forme paramétrique
• Application d’un critère permettant de mesurer la qualité de réplication de la forme paramétrique.
•
R² : pourcentage de la variabilité de la variable d’intérêt expliquée par la courbe de régression
retenue. Présente l’inconvénient d’être une fonction non décroissante du nombre de variables
explicatives De plus, le R² est sensible aux points aberrants.
•
R² ajusté : il s’agit du R² ajusté du nombre de variables explicatives.
•
Critères de vraisemblance pénalisée : BIC ou AIC (pénalise le sur-pamétrage) . On retiendra le
modèle présentant le plus petit critère.
•
−
AIC  2  ln  L   2  k
−
BIC  2  ln  L   k  ln  n 
- L correspond à la vraisemblance maximisée.
- k correspond au nombre de variables explicatives.
- n correspond au nombre d’observations.
Critère basée sur une estimation de l’erreur quadratique moyenne : Cp de Mallows. On retiendra
parmi les modèles celui présentant une valeur de Cp proche de p.
34
2. Les modèles envisageables
Les constats
Les méthodes présentées ci-avant présentent un inconvénient : le choix des régresseurs.
Bauer et al. [2010]
On propose par la suite une méthode alternative contournant cette problématique en se focalisant
sur une vision analytique du modèle ALM.
35
2. Taux de revalorisation analytique
Principe sous-jacent
On considère un contrat d’épargne dont la valeur de rachat est donnée par :
t

VR  t   VR  0   exp   rs u  du 
0

Par définition, on a :
BEL T   E PQ     E Q  BELF 

T

BELF T    VR  t   S  t     t     t  dt   T   S T  VR T 
0
On pose alors :
t
t







Q
Q
Q
E VR  t     t    VR  0   E  exp    rs  u   r  u   du    VR  0   E  exp     u  du  




0

0



36
2. Taux de revalorisation analytique
Principe sous-jacent
Dans le cas d’un contrat d’épargne, le point le plus
chronophage se situe au niveau du module ALM.
Or dans l’optique de minimiser le volume des
rachats conjoncturels, la revalorisation appliquée est
Générateur de scénarios économiques
Evaluation des provisions mathématiques avant
revalorisation et des provisions financières S1
Calcul de la participation aux bénéfices
souvent calée sur le taux court nominal.
Revalorisation des provisions mathématiques
Partant de ce constat, Planchet et al. [2012] proposent des approximations analytiques du best
estimate obtenues en considérant que l’écart entre le taux de revalorisation continu et le taux
court suit un processus d’Ornstein-Uhlenbeck :
d t   k     t  dt    dB t 
37
2. Taux de revalorisation analytique
,
Description du modèle
En tant qu’exponentielle de l’intégrale d’un brownien :
t




v t  
Q
E  exp    rs  u   r  u   du      t   exp  m  t  



2


0


avec :


m  t     t  0  
v t  
 2
2k
3
1  e 
 kt
2
1 e 


 kt
k
 2 
1  e kt 
 2 t 

k 
k 
On retient par la suite la discrétisation suivante :
T

 T lt 1

l
BEL T   VR  0     S  t    t   t  dt  S T  T    VR  0      qt 1    t   T   T  
l0
 t 1 l0

0

38
2. Taux de revalorisation analytique
Description du modèle
Afin de prendre en compte l’ensemble des options du contrats, on introduit les rachats
conjoncturels en s’appuyant alors sur la formule (assez) générale :
  u   s  u   c   u   s  u       u 
On obtient alors :
T
E
P
  F    S  t    t   t  dt  S T  T 
0
t

T

  S s  t   s  t     t   exp   1      u  du  dt  S s T  exp   1      u  du 
0
0

0

T
T
  S s  t   s  t  1  t    2  t   dt  S s T 1    1 T 
0
39
2. Taux de revalorisation analytique
Description du modèle
On obtient des formes analytiques simples pour les différents coefficients.

v t  
d

1   d

2
1  t   exp  1     m  t   1    
 v  t    1  t 
 2  t      m  t  
2
dt
2 
 dt


40
2. Taux de revalorisation analytique
Description du modèle
En synthèse ce modèle analytique présente les caractéristiques suivantes :

un modèle basé sur le principe de faibles opportunités d’arbitrage ;

un best estimate principalement soumis à des risques financiers ;

un modèle présentant un paramétrage simple (vitesse de retour à la moyenne,
tendance à long termes et volatilité du bruit blanc) ;

permet d’obtenir une valorisation du best estimate instantanée pouvant donc être
retenue dans une logique d’ORSA.
On notera de plus que la contrainte liée à la dynamique de retour à la moyenne peut facilement
être contournée en retenant une simple dynamique auto régressive (dans le cas d’un marché
financier particulièrement volatile).
41
2. Taux de revalorisation analytique
Mise en œuvre
1
• Ajustement d’un jeu de paramètres à chaque pas de projection historique
• Validation de la qualité du modèle (minimisation de l’écart quadratique).
2
• Analyse des facteurs de risque Yi expliquant l’évolution des jeux de paramètres.
On cherchera à exprimer ces facteurs sur la base de grandeurs issues des comptes
statutaires.
3
• Projection de N valeurs de marché de l’actif, de la valeur de rachat et des facteurs
de risque.
• Estimation de N de jeux de paramètres du modèle
4
• Transformation des N valeurs de rachat en best estimate;
• Calculs des métriques d’appétit pour le risque (quantile empirique du ratio de
couverture, ….)
42
2. Taux de revalorisation analytique
Mise en œuvre
Il reste à introduire une modélisation de l’actif du bilan (sous la probabilité historique) afin de décrire
la dynamique des fonds propres.
La dynamique retenue afin de projeter les variables financières est un processus de Vasicek pour
les taux courts, un modèle de Black & Scholes pour l’actif de la compagnie :


dr  t   kr  r  r  t  dt   r dBr t 
drA  t    Adt   AdBr  t   1   2  AdBA  t 
On retient un modèle de Hull & White pour la projection risque neutre.


d  t   k      t  dt 
 s ,a 
1 
43
2
dB A  t  
1   s2,a   2
1 
2
  dB  t 
2. Taux de revalorisation analytique
Mise en œuvre
On déduit alors aisément une équation d’évolution des fonds propres :
 A  t   e  A  r t   A r t 1 1  2 A A t 1



r t
r t
  t

FPt 1  e      PM  t   e    1  1  qs  t    e  




  PM  t   e1  t   1  qs  t      t  1, T ,   t  1  




qui conduit à une expression (relativement) explicite du SCR de l’année :
 A  t   e  A  r t   A r t 1 1  2 A A t 1



r t
  t

SCRt  FPt  VaRt   PM  t   e    1  1  qs  t    e  




  PM  t   e1  t   1  qS  t      t  1, T ,   t  1  



44

2. Taux de revalorisation analytique
Mise en œuvre
Sur cette base la projection des variables d’intérêt est effectuée sur les 5 prochaines années. Ces
variables sont :

la valeur de la provision mathématique ;

les flux de prestation ;

la valeur de marché de l’actif ;

la réalisation des variables financières.
Ceci nous permet de projeter une
évolution sur les 5 ans à venir de
l’ANR :
45
2. Taux de revalorisation analytique
Mise en œuvre
Sur la base de la distribution du bilan de la compagnie sur les 5 prochaines années, on met en
place un processus d’ORSA basé sur le quantile annuel à 5 % (i.e. pour la jème année on se
positionnera sur le quantile de niveau 1-0,95j).
Pour chaque année de projection, le processus est mené en deux étapes :

Sur la base de la connaissance de la distribution du bilan relative à la jème année, on
sélectionne la trajectoire correspondant au quantile empirique à 1-0,95j ;

Conditionnellement à l’information relative à la trajectoire sélectionnée, on calcule
empiriquement le quantile à 0,5 % de l’ANR relatif à l’année j+1.
46
2. Taux de revalorisation analytique
Mise en oeuvre
Le fait de retenir un quantile basé sur la seule valeur de l’ANR conduit à des résultats instables.
En effet dans la problématique qui nous intéresse, l’ANR est la synthèse imparfaite des deux
principales variables d’intérêt à savoir l’actif et le passif.
De ce fait, les deux étapes présentées ci-avant sont réalisées cent fois, puis on retient in fine la
moyenne empirique des différents quantiles simulés. On trouve alors l’évolution des ratios de
couverture suivante :
En 0
A 1 an
A 2 ans A 3 ans A 4 ans A 5 ans
176%
146 %
152 %
47
158 %
166 %
174 %
1. Les Grands Principes
SOMMAIRE
Solvabilité 2
Pilier 2
2. Les modèles envisageables
3. Exemple de modèle par stress tests
48
3. Exemple de mise en œuvre par stress tests
Au-delà de la mise en place du modèle probabiliste, l’ORSA doit vérifier les principes suivants :

Être compréhensible par le plus grand nombre possible ;

Permettre d’allouer le capital risque par facteur de risque.
In fine les modèles totalement
intégré ne répondent pas forcément
le mieux au problème lié à l’ORSA.
On propose une synthèse d’un modèle d’ORSA permettant de répondre à ces deux besoins tout
en tirant partie de la puissance des modèles par formules fermées : travailler sur une sélection de
trajectoires défavorables.
49
3. Exemple de mise en œuvre par stress tests
Principe du modèle
Les interactions actifs-passifs ainsi que les nombreux facteurs de risques (aléa financiers, TMG,
rachats conjoncturels, écarts de duration et de convexité) empêchent de déterminer avec
exactitude les scénarios adverses au-delà de 1 an.
Aussi, une méthodologie mélangeant simulations dans les simulations et sélection de
trajectoire pourra être retenue :
1.
projeter un grand nombre de valeurs du bilan en normes françaises (ainsi que la valeur de
marché de l’actif ) sur la durée du plan stratégique ;
2.
sélectionner, via des indicateurs de risques, les trajectoires défavorables ;
3.
calcul des ratios de couverture relatifs à ces trajectoires défavorables.
50
3. Exemple de mise en œuvre par stress tests
Principe du modèle
Projection sous l’univers historique
1.
2. Sélection des trajectoires défavorables
110
110
108
108
106
106
104
104
102
102
100
100
98
98
96
96
94
94
92
92
90
90
0
1
2
3.
3
0
4
1
Calcul du ratio de couverture à chaque point d’intérêt
110
Projection en monde réel
Projection en monde risque neutre
sur la base des réalisations de la trajectoire simulée entre 0 et 1
108
106
104
102
100
98
96
94
92
90
0
1
2
51
3
4
2
3
4
3. Exemple de mise en œuvre par stress tests
L’exemple retenu
Une société fictive
 commercialisant un contrat en Euros sans taux garantis,
 bénéficiant de réserves financières importantes,
 avec un ratio prudentiel évalué à :
 250 % sous Solvabilité 1 ;
 202 % sous Solvabilité 2.
37%
Mise en œuvre concrète focalisée sur le risque
37%
de marché
5%
2%
29%
5%
2%
29%
7%
7%
20%
20%
Son profil de risque initial :
Une consommation de capital principalement
financière (spread, taux et actions)
Dimension
stratégique
Solvabilité
SCR Risque Action
SCR Risque Immobilier
SCR Risque de Spread
SCR Risque Rachat
SCR Risque Frais
SCR Risque de Taux
SCR Risque Action
SCR Risque Immobilier
SCR Risque de Spread
SCR Risque Rachat
SCR Risque Frais
Formulation de l’appétence
Indicateur
Ratio de couverture
Solvabilité 2
SCR Risque de Taux
Le ratio dans un scénario stressé reste supérieur à X% du taux de couverture
cible sur la durée du Plan Moyen Terme (PMT)
52
3. Exemple de mise en œuvre par stress tests
L’exemple retenu
Lien appétence objectif
Objectif stratégique
Préserver l’encours (principale source de marge)
 servir un taux concurrentiel ;
 accepter, si nécessaire, de puiser dans les fonds propres.
Stratégie
(appétence)
Compagnie
Formulation de l’appétence
Le ratio de couverture Solvabilité 2 reste supérieur à :
 130 % sur la durée du PMT
 180 % la 1ère année
avec un niveau de confiance de 95 %.
Pilotage
(tolérance)
Limites de risque
Gestion Opérationnelle
Limite opérationnelle sur les classes d’actifs :
 Test de différentes allocations
 Mesure de l’impact sur le risk profile
 Vérification que : risk profile < tolérance
(limite de risque)
53
Périmètre
plus restreint
2. Méthode déterministe : à dire d’expert
1. Méthode stochastique : à dire de modèle
Sélection d’indicateurs (KRI)
sur les facteurs de risque
Projection des réalisations de
la valeur de marché de l’actif et
du bilan statuaire
Identification
des facteurs de risque majeurs
Calcul de sensibilités
à ces risques majeurs
Sélection trajectoires dont le
quantile d’un indicateur =
quantile du ratio couverture
Calcul des quantiles associés
aux indicateurs de risques
(KRI)
Construction des scénarios
combinant plusieurs
risques majeurs avec
les chocs associés
Détermination
des chocs marginaux
pour ces risques majeurs
 Pour chaque risque majeur, un indicateur (KRI) de suivi
est défini et une dynamique lui est associée.
 Evaluation du comportement du bilan pour un scénario
de stress donné (crise européenne , …).
 Choix d’indicateurs compréhensibles par un tiers.
 Scénarios appréhendables à tous les niveaux du
management (communication).
 Les indicateurs (KRI) décrivent le scénario quantile et
permettent de combiner des scénarios difficilement
envisageables a priori du fait de la complexité des
interactions actif passif.
 Détermination des seuils, dans le cadre l’appétence au
risque, plus simple à fixer.
3. L’approche complémentaire :
 Objectif : mettre en évidence les différences majeures par une analyse comparative effectuée entre les deux lots de
trajectoires fabriqués (1. et 2.)
Cette approche permet de :
 Diminuer la fragilité croissante des scénarios à dire d’experts au fur et à mesure de l’allongement de la prédiction
 Fournir une estimation de l’incertitude des approches à dire d’experts.
54
Les grands principes
Modélisation des règles du management
 Passage d’une logique Pilier 1 à une logique Pilier 2
Spécificités :
 Politique de revalorisation : servir un taux concurrentiel
Si production financière insuffisante alors :
 reprise de la Provision de Participations aux Bénéfices
 réalisation des éventuelles PVL R 332.20
 consommation de fonds propres dans une limite
déterminée
 risque business (ajout des affaires nouvelles)
 risque souverain
 2 probabilités : historique + risque neutre
 Le risque souverain non réduit à une question de modèle
 Politique financière
 Il relève davantage d’une modélisation économique et
politique que d’une modélisation financière réplicable
dans un modèle.
 grille d’allocation fixe sur la durée de projection
 réinvestissements obligataires à maturité constante
 Rachats conjoncturels : application de la loi ACP (ONC)
Modélisation des risques
 Gestion de la prime de risque
 Les modèles retenus pour le GSE global sont résumés
dans le tableau ci-dessous :
 l’objectif est de lier d’une manière cohérente les probabilités
risque neutre et historique.
 partant des modèles retenus sous le GSE risque neutre en
sont déduits les modèles pour le GSE historique.
 Gestion du GSE
Taux  t  
le GSE global est construit dans l’optique d’être Market
Consistent, calé sur les taux swaps, en présentant un
compromis « volatilité vs pragmatisme ».
Action  t  
 Dynamique du GSE sous Q
Immo  t  
L’ORSA conduisant à valoriser des best estimate sur la durée du
PMT, il est nécessaire de trouver un compromis entre
dynamique du GSE et complexité des modèles.
55
k  b  bt 

 action  rt
 action
 Immo  rt
 Immo
Typologie
Facteurs
de risque
Impact des
risques
Indicateurs (KRI)
Risque examiné
Description
Hausse des taux
Une hausse des taux sur plusieurs années
Somme des taux courts entre 0
et t
Baisse action
Une baisse du portefeuille action (actif le plus
volatile)
Performance de l’indice action
capitalisé
Rendement global
Une baisse du portefeuille
obligations, immobilier)
Evolution de la
marché des actifs
proxy ANR
Richesse globale de la compagnie
global
(actions,
valeur
de
Proxy de l’ANR
Inadéquation du PMT initial avec l’appétence
350
 Ci-contre le PMT avec un ratio au
niveau de confiance 95 %
250%
202%
300
200%
169%
148%
127%
250
 Non conforme à l’appétence :
 169 % < 180 % en t = 1
 127% < 130 % en t = 3
 125% < 130 % en t = 4
200
ANR :
333
ANR :
284
ANR :
258
150
125%
150%
100%
ANR :
216
ANR :
220
t= 3
t= 4
100
50%
0%
t= 0
t= 1
t= 2
ANR
56
Ratio de couverture
t =1
t= 2
t= 3
t= 4
Déformation par facteur de risque :
Proxy ANR
169%
150%
129%
129%
 le risque action relativement faible ;
Hausse des taux
191%
185%
138%
125%
Baisse action
195%
172%
191%
159%
 à court terme, le principal facteur de risque
est la rentabilité globale du portefeuille ;
Rendement global
171%
148%
127%
139%
Minimum du ratio de couverture
169%
148%
127%
125%
 Ci-contre les trajectoires de taux
(KRI Taux) au quantile 95 % sur la
durée du PMT.
Enveloppe des taux forwards à 95%
 à moyen terme, le risque de hausse des taux
devient prépondérant.
KRI à 1 an
KRI à 2 an
KRI à 3 an
KRI à 4 an
Taux forward
9,0%
8,0%
7,0%
 Chacun des indicateurs (KRI)
sélectionnés s’est avéré pertinent.
6,0%
5,0%
 Permet d’appréhender le ratio de
couverture avec :
4,0%
 des indicateurs adaptés à un suivi
3,0%
régulier (communication, tableau de
bord)
2,0%
 un faible nombre de simulations
(4 KRI x 4 années = 16 simulations) :
gain opérationnel et réactivité accrue
1,0%
0,0%
0
1
57
2
3
4
Année de projection du PMT
 Dans notre exemple, l’entreprise a décidé que la mise en cohérence du risk profile avec
l’appétence est à réaliser :
 [A] sur le périmètre de l’allocation d’actifs,
 [B] en conservant les pondérations du risk profile financier
Étape [A] : Détermination de l’ajustement nécessaire du ratio cible avant diversification :
12,7 % à gagner sur le risk profile financier
Étape [B] : Cet ajustement à 12,7 % est réparti en fonction des pondérations du profil de risque
financier (établi sur la base des résultats Pilier 1) de la manière suivante :
Obligations
Actions
Immobiliers
Total
72%
21%
7%
100,00%
Evolution du ratio de couverture
9,06%
2,71%
0,90%
12,67%
Evolution allocation
-4,00%
-0,39%
-0,83%
-5,22%
Profil de risque financier
58
 De par la complexité des interactions actif-passif : pas de formule fermée permettant de relier
directement la tolérance aux limites opérationnelles.
 Le calcul a été mené sur la base d’un abaque indiquant l’évolution du ratio de couverture dans le
cas d’une évolution, par pas de 1 %, de l’allocation stratégique :
Actions
Immobiliers
Obligations
Monétaires
Ratio de
couverture
Evolution
10 %
5%
70 %
15 %
169 %
s.o.
-1%
9%
5%
70 %
16 %
176 %
7,0 %
9%
-1%
4%
70 %
17 %
177 %
1,1 %
9%
4%
18 %
179 %
2,3 %
-1%
69 %
Diminuer l’allocation action de 1 % au profit de l’allocation monétaire équivaut à augmenter le ratio de couverture de 7 %
=> la cible de 2,71 % relative aux actions conduit à diminuer l’allocation action de 0,39 %.
 En résumé, les évolutions à apporter à l’allocation d’actifs du PMT sont les suivantes :
Obligations
Actions
Immobiliers
Total
72%
21%
7%
100,00%
Evolution du ratio de couverture
9,06%
2,71%
0,90%
12,67%
Evolution allocation
-4,00%
-0,39%
-0,83%
-5,22%
Profil de risque financier
59
 L’allocation financière ajustée sur la durée du PMT induit un ratio de couverture qui, désormais,
est cohérent avec l’appétence au risque de la compagnie.
350
300
250
250%
202%
181%
202%
169%
200
200%
167%
145%
148%
150
127%
134%
150%
125%
100%
100
50%
50
-
0%
t= 0
t= 1
t= 2
ANR
ANR old
t= 3
RC
t= 4
RC old
 La mise en place du processus d’ORSA présenté ci-avant a permis :
 d’ajuster le plan stratégique afin de respecter l’appétence au risque (que ce soit pour la
contrainte à un an ou sur toute la durée du plan à moyen terme) ;
 de compléter les situations à risque définies « à dire d’expert » en isolant les risques à
moyen terme et à long terme.
60
Références
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CEIOPS [2010] Draft proposal for Level 3 Guidelines on Own Risk and Solvency Assessment, Consultation Paper
CEIOPS [2009] Advice for Level 2 Implementing Measures on Solvency II: SCR standard formula - Article 111 (f) Operational
Risk
CEIOPS [2010] Advice for L2 Implementing Measures on SII: Calibration of Non-life Underwriting Risk
CEIOPS [2008] Own Risk and Solvency Assessment, Issues Paper
ACP [2011] « Piliers II et III de Solvabilité 2, points de vue de l’Autorité de Contrôle Prudentiel » , Université d’été IA 2011
GUIBERT Q., JUILLARD M., PLANCHET F. [2010] « Un cadre de référence pour un modèle interne partiel en assurance de
personnes », Bulletin Français d’Actuariat, vol. 10, n°20.
PLANCHET F., JUILLARD M. [2010] « Le Pilier 2 : du calcul de l'exigence de marge au pilotage d'un profil de risques. », la
Tribune de l’Assurance (rubrique « le mot de l’actuaire »), n°153 du 01/12/2010.
GUIBERT Q., JUILLARD M., PLANCHET F. [2011] « Mesure de l'incertitude sur le taux de couverture des engagements dans
un cadre ORSA », Les cahiers de recherche de l’ISFA, WP2142
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Application à l'ORSA», Les cahiers de recherche de l’ISFA, WP2012.5
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PORTAIT R., PONCET .P [2009] Finance de marché, seconde édition, Pairs : Dalloz
http://www.ressources-actuarielles.net
61