Corrigé

Oscillations
Manip 1
Mesure de l’allongement
On utilise la loi
F = kx
(1)
pour déterminer la raideur k, connaissant la force F = m g appliquée et mesurant l’allongement x du
ressort.
Allongement [m] k1 kg s−2
Masse [kg]
0.050 ± 0.001 0.94 ± 0.01
0.52 ± 0.01
0.53 ± 0.01
0.100 ± 0.001 1.85 ± 0.01
Mesure de la période
Nous utilisons cette fois la loi
r
T = 2π
m
k
(2)
pour déterminer la raideur k du ressort, en connaissant la masse m suspendue et mesurant la période T .
Afin de réduire les erreurs, nous mesurons 10 T .
k2 kg s−2
Masse totale suspendue [kg] Période [s]
0.075 ± 0.006
1.718 ± 0.02 1.00 ± 0.1
Mesure de la demi-vie
Nous donnons au ressort une amplitude A0 , et nous mesurons le temps t 21 pour que cette amplitude
soit 12 A0 . Nous choisissons A0 = 0.2 m (environ). La masse suspendue est de 75 g. La période T est
de 1.718 s et par conséquent la vitesse angulaire w = 2π/T vaut 3.66 rad/s. L’équation du mouvement
s’écrit :
x (t) = A0 e−ρ t cos (ω t)
(3)
où ρ est relié à la demi-vie par la relation
ρ=
ln 2
t1
(4)
2
Nous mesurons t 1 = 120 s, ce qui nous donne ρ = 0.0058 s−1 . Finalement, l’équation du mouvement
s’écrit :
2
x (t) = 0.2 e−0.0058 t cos (3.66 t)
Comparaison des résultats
Les valeurs sont compatibles.
Manip 2
Pendule composé
NB : La version de l’énoncé distribuée en classe diffère légèrement de celle du web.
Nous mesurons L = 1.20 ± .01 m. Afin de réduire les incertitudes sur la période, nous mesurons à
nouveau 5 T . La valeur expérimentale de T est Texp = 1.8 ± .1 s.
1
La loi donnant la période d’oscillation d’un pendule composé est :
s
I
T = 2π
mgd
(5)
où I est le moment d’inertie, m la masse de l’objet, g l’accélération terrestre et d la distance entre l’axe
de rotation et le centre de gravité du pendule. Dans cette manip, le pendule composé est constitué d’une
barre uniforme. Le moment d’inertie vaut donc I = 13 m L2 et d = L2 . Ainsi,
s
Tbarre = 2π
2L
3g
Le calcul donne Tbarre = 1.79 ± 0.01 s.
Pendule simple
Nous mesurons L = 0.80 ± 0.01 m. Afin de réduire les incertitudes sur la période, nous mesurons à
nouveau 5 T . La valeur expérimentale de T est Texp = 1.8 ± 0.1 s.
Pour un pendule simple de longueur l, la période est donnée par :
p
(6)
Tpendule = 2π l/g
Ici l=2/3L, donc on trouve encore :
s
Tpendule = 2π
2L
3g
(7)
Ce calcul donne Tpendule = 1.79 ± 0.01 s.
Comparaison
Les valeurs mesurées sont en bon accord avec les valeurs théoriques.
La période d’un pendule composé de longueur L (constitué d’une barre uniforme) et la période d’un
pendule simple de longueur 2L/3 sont égales. On peut donc approximer un pendule composé (uniforme)
de longueur L par un pendule simple de longueur 2L
3 avec une excellente précision.
Exercice 1
Pour calculer l’énergie contenue dans le ressort, nous calculons le travail fourni par la force de rappel
lorsque le ressort se détend et que l’objet au bout du ressort passe de la position d’élongation maximale
A à une élongation du ressort nulle.
Z
0
W =
Z
0
−k x dx =
F dx =
A
A
1
k A2
2
(8)
Ce travail est égale à la variation d’énergie cinétique entre les positions d’élongations A et 0. L’énergie
totale du ressort est donnée par l’énergie mécanique de l’objet et est constante. Or, l’énergie mécanique
est la somme des énergies cinétique et potentielle :
Etot = Epot + Ec
(9)
A la position 0 de repos du ressort, Epot = 0 et l’énergie cinétique est égale à W calculé ci-dessus.
On a donc Etot = 12 k A2 .
Autrement dit :
2
Z
A
−k x dx =
E = −W = −
0
Z
A
k x dx =
=
0
=
1
k A2
2
3