Correction du devoir surveillé 1 Questions préalables : v λ 1) On sait que λ = f et que L = 2 T 1 donc 2L = v f v f = 2L . T Or v = √µ d’où f = 2L × √µ. 2) f (mi0) = 41,2Hz ; L0 = 1,05 m. v (mi0) = 2 L f (mi0) = 2x1,05x41,2 = 86,5 ms-1. On suppose que la corde de l’octobasse a la même masse linéique et la même tension que la corde du mi0 de la contrebasse donc la vitesse v(mi0) = v (do-1) (la vitesse ne dépend que de T et µ ). 1 On a f(do-1) = 2L 1 −1 × v (𝑑𝑜−1 ) = 2L −1 1 × v (𝑚𝑖−0 ) donc L-1 = 2f(do −1 ) × v (𝑚𝑖−0 ) 1 Ainsi L-1 = 2×16,3 × 86,5 = 2,65 m. Pour faire un do-1 avec une corde de même masse linéique et même tension que la corde du mi0, il faut une corde de 2,65 m. Hors sur l’octobasse de 4 m la taille des cordes est de 2,18 m. Le luthier est confronté à la difficulté suivante : la corde est trop longue pour l’instrument, il doit donc trouver une autre solution : changer les caractéristiques de la corde. Problème : - Le luthier veut installer une corde sur l’octobasse qui fasse un do-1 et un ré -1. Le do-1 est la note la plus grave, elle est produite par la corde à vide. Pour produire le ré-1 avec cette même corde, le luthier doit installer un doigt métallique qui réduit la longueur de la corde. On sait que L-1 = 2,18 m et que f(do-1) = 1 2L−1 × v (𝑑𝑜−1 ) v (do-1) = 2 L-1 f (do-1) v (do-1) = 2 x 2,18 x 16,3 = 71,1 ms-1. L-1 (ré) = 1 2f(ré−1 ) × v (𝑑𝑜−1 ) = 1 × 2×18,3 71,1 = 1,94 m 2,18-1.94 = 0,24 m Pour faire un ré -1 il faut placer un doigt qui appuie sur la corde à 24 cm de l’extrémité de la corde. - Pour que la code puisse faire le do-1 et qu’elle ne soit pas trop longue, le luthier doit modifier la tension T et/ou la masse linéique µ de la corde. On sait que la vitesse sur la corde du mi0 de la contrebasse est de 86,5 ms-1 et que la vitesse sur la corde do-1 de l’octobasse est de 71,1 ms-1. Le luthier doit changer les caractéristiques de la corde de manière à diminuer la vitesse de propagation T µ de l’onde, or v = √ . a) Le luthier peut donc pour diminuer v garder la masse linéique constante et diminuer T. V(mi0) 2= T/µ et V(do-1) 2= T’/µ T’ / T = V(do-1) 2/ V(mi0) 2 = 0,67. On doit avoir T’ = 0,67x T. b) Le luthier peut donc pour diminuer v augmenter la masse linéique constante et garder T constante. V(mi0) 2= T/µ et V(do-1) 2= T/µ’ µ / µ’ = V(do-1) 2/ V(mi0) 2 = 0,67. On doit avoir µ’ = µ/0, 67 = 1,49 µ. c) Le luthier peut donc pour diminuer v augmenter la masse linéique constante et diminuer T.