128. Inscrire un hexagone régulier et un triangle équila

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GÉOMÉTRIE.
128. Inscrire un hexagone régulier et un triangle
équilatéral dans un cercle donné [fig. 129).
Supposons que BC représente le côté de l'hexagone régulier.
L'angle au centre BOC sera égal a -^ ou a - d'angle droit. Le
triangle BOC étant isocèle, chacun des angles B et C sera aussi égala ^ d'angle droit.
Par c o n s é q u e n t , le triangle BOC étant
équiangle est équilatéral, et le côté BC de
l'hexagone régulier inscrit est égal au rayon
BO du cercle circonscrit.
Pour inscrire un hexagone régulier, il suffit donc de porter
six fois le rayon sur la circonférence.
On inscrira le triangle équilatéral, en joignant de deux en
deux les sommets de l'hexagone régulier inscrit.
Si l'on considère le triangle rectangle ACD, on a immédiatement
AD = AIF — CIK
On a
AD = ?.AO et CT) = AO.
Il viendra donc
A C 2 = 4 A O ' ~ A 0 2 = 3AO : , d'où AC = AO V '3.
Le côté du triangle équilatéral inscrit est donc égal au
rayon du cercle circonscrit multiplié par la racine carrée de 3.
Le losange ABCO montre que l'apothème du triangle
équilatéral est égal à la moitié du rayon du cercle circonscrit.
3
La hauteur de ce triangle est, par s u i t e , égale aux - du
rayon.
On peut remarquer ici q u e , lorsqu'un polygone régulier a
un nombre de côtés pair, comme l'hexagone, chaque rayon AO
prolongé donne un diamètre AD; tandis que lorsque le polygone régulier considéré a un nombre de côtés impair, comme le
,
triangle équilatéral, à chaque rayon AO
Fi(T
prolongé correspond un apothème.
Soit le triangle équilatéral inscrit
ABC [fig- i3o). Menons les apothèmes,
prolongés jusqu'à la circonférence,
OH, 0 1 , OK. Si par les points H, I, K,
nous menons des tangentes à la circonférence, nous formerons un triangle
Y
équilatéral circonscrit dont les côtés
seront parallèles à ceux du triangle
équilatéral inscrit '125;. Les triangles semblables OAB, ODE,