Nombres premiers 2 (décomposition en facteurs premiers)

Nombres premiers 2
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Nombres premiers 2
Questions de cours
On ne considère ici que des nombres entiers naturels strictement positifs.
1. Tout nombre entier n (n > 2) se décompose en produits de nombres premiers, et
cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.
Cette décomposition a la forme : ...?
Pour trouver cette décomposition, on peut ...? (décrire un algorithme, c’est-à-dire
un procédé de calcul).
2. Dire que a divise b équivaut à dire que, pour tout facteur premier p figurant avec
un exposant α dans la décomposition de a, p figure dans la décomposition de b avec
un exposant ...?
3. Si un nombre n a pour décomposition en facteurs premiers ...? , alors les diviseurs
de n sont tous les nombres de la forme ...?
Il y en a ...?
Exemples
1. Décomposer 4067 en produit de facteurs premiers (sans calculatrice)
On effectue des divisions par les nombres premiers successifs.
4067 n’est pas divisible par 2 (le dernier chiffre est impair)
4067 n’est pas divisible par 3 (la somme des chiffres est 17, non divisible par 3)
4067 n’est pas divisible par 5 (le dernier chiffre n’est pas 5 ni 0)
4067 est divisible par 7 (on effectue la division : 4067 = 581×7)
581 est divisible par 7 (on effectue la division : 581 = 83 × 7). Donc 4067 = 72 × 83.
83 n’est pas divisible par 7 (83 = 11 × 7 + 6)
√
2
Le nombre premier suivant est 11, avec 11 > 83 (car 11
√ = 121). Donc 83 n’est
divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à 83, donc 83 est premier.
Donc on a obtenu tous les facteurs premiers de 4067 : 4067 = 72 × 83
2. Quel est le plus petit entier naturel par lequel il faut multiplier 4312 pour obtenir un
carré d’un nombre entier ?
Soit m tel que 4312m soit le carré d’un nombre entier n (4312m = n2 ). On considère
la décomposition de n en facteurs premiers :
αk
1 α2 α3
n = pα
1 p2 p3 . . . pk , où p1 , p2 , . . . , pk sont des nombres premiers.
αk 2
αk 2
α1 2
α2 2
α3 2
1 α2 α3
Alors n2 = (pα
1 p2 p3 . . . pk ) = (p1 ) (p2 ) (p3 ) . . . (pk )
1 2α2 2α3
k
n2 = p2α
. . . p2α
1 p2 p3
k .
Donc, si un nombre est un carré, tous les exposants de sa décomposition en facteurs
premiers sont pairs, et la réciproque est vraie aussi d’après les calculs précédents.
On décompose 4312 : 4312 = 23 72 11.
On augmente les exposants jusqu’à ce qu’ils soient pairs : n2 = 24 72 112 . Donc la
réponse est m = 2 × 11 = 22, car 4312 × 22 = (22 × 7 × 11)2 = 3082
3. a et b sont deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 tels que a2 divise b2 . Démontrer
que a divise b (utiliser les décompositions de a et de b en facteurs premiers)
On va montrer que, pour tout diviseur premier p de a, p est aussi un diviseur
premier de b et qu’il figure dans la décomposition de b avec un exposant supérieur
ou égal à celui qu’il a dans a (c’est équivalent à dire que a divise b).
Soit p un diviseur premier de a, et soit α son exposant dans la décomposition de
a. Alors, dans la décomposition de a2 , p figure avec l’exposant 2α.
Donc, puisque a2 divise b2 , p doit figurer dans la décomposition de b2 avec un
exposant supérieur ou égal à 2α. Or tout diviseur premier qui figure dans la
décomposition de b2 figure aussi dans celle de b (sinon il y aurait contradiction).
Donc nécessairement p figure dans la décomposition de b, avec un certain exposant
β. Alors, dans la décomposition de b2 , p figure avec l’exposant 2β.
Mais on sait que a2 divise b2 . Cela implique donc que 2α 6 2β, donc que α 6 β.
Donc l’exposant de p dans a est inférieur ou égal à son exposant dans b.
Cela étant vrai pour tous les diviseurs premiers de a, cela prouve que a divise b.
4. Déterminer le nombre des diviseurs positifs de 484, sans en faire la liste. Puis faire la
liste de ces diviseurs
484 = 22 112 . Donc d’après une propriété il possède (2 + 1)(2 + 1) = 9 diviseurs
positifs.
Ils sont de le forme 2α 11β avec 0 6 α 6 2 et 0 6 β 6 2 (c’est ce qui explique leur
nombre : 3 possibilités pour α, 3 possibilités pour β, 3 × 3 = 9).
En donnant systématiquement toutes les valeurs possibles à α et β (on peut dessiner
un arbre à deux niveaux), on obtient la liste : 1, 2, 4, 11, 22, 44, 121, 242, 484