Triangles semblables - Agrandissements et réductions

Triangles isométriques – Triangles semblables - Agrandissements et réductions – Homothéties
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Triangles isométriques – Triangles semblables
Dire que deux triangles sont isométriques signifie que leurs côtés sont deux à deux de
même longueur.
Lorsque deux triangles sont isométriques, leurs angles sont égaux deux à deux.
Remarque : Deux triangles sont isométriques si et seulement si l’un est l’image de l’autre par
une symétrie axiale, une symétrie centrale, une translation, une rotation ou une succession de
telles transformations. (...c’est à dire une isométrie, une transformation qui conserve les
longueurs)
Deux triangles sont semblables (on dit aussi qu’ils ont la même forme) si leurs angles sont
égaux deux à deux.
Si deux triangles sont semblables, alors les côtés opposés aux angles égaux sont
proportionnels
Remarque : Deux triangles isométriques sont semblables puisque leurs angles sont égaux, mais
des triangles semblables ne sont pas nécessairement isométriques
Liens entre triangles semblables et le Théorème de Thales
et que MN<AB
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Exercices d’application
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Agrandissements et réductions
On dit qu’on agrandit une figure par un nombre k si on multiplie toutes les dimensions de
cette figure par k.
k est appelé coefficient d’agrandissement. (k > 0)
Il y a 2 cas de figures :
1er cas : k > 1 On dit que la figure est agrandie.
1 cm
3 cm
Ex : On a agrandi le carré par 3 (les longueurs des côtés ont été multipliées par 3 donc k=3 )
2ème cas : k < 1 On dit que la figure est réduite.
1cm
2 cm
4cm
2cm
Ex : on a multiplié les dimensions du rectangle par 0,5 (k=0,5).
1) effets sur les angles :
Ex : Construire un triangle ABC tel que AB=5cm ; AC=4cm et BC=3cm. Mesurer les 3 angles
du triangles. Soit A’B’C’ l’agrandissement de ABC avec k=1,5. Calculer les dimensions de
A’B’C’. Construire A’B’C’. Mesurer ses angles.
Propriété : Un agrandissement conserve les angles.
2) Effets sur les aires et les volumes :
Distances
Aires
1cm
1cm2
Volumes
1 cm 3
Agrandissement
par 4
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4
Propriété :
Soit un agrandissement de coefficient k :
Les aires sont multipliées par k2.
Les volumes sont multipliés par k3.
A’ = k2 × A
V’ = k3 × V
Exercices d’applications :
1) Un triangle a une aire de 18,5 m2. Quelle est l’aire du triangle obtenu après un
agrandissement de coefficient 3,7 ?
2) Un cône a une base de rayon 51cm et 32cm de hauteur. Quelle est le volume du cône
(V =
€
1
π ⋅ r 2 ⋅ h ) obtenu après une réduction au tiers ?
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3) Une figure a une aire de 16,5 cm2. Après transformation, elle a une aire de 103,125 cm2. Estce une réduction ou un agrandissement ? Quel est le coefficient ?
4) On fait subir un agrandissement de coefficient 5 à une pyramide. La pyramide obtenue a un
volume de 2000 cm3. Quel était le volume de la pyramide de départ ?
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Homothétie
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Exercices
Exercice 1
Un triangle A'B'C' rectangle en A' et d'aire 27 cm2 est un agrandissement d'un triangle ABC
rectangle en A et tel que AB = 3 cm et AC = 2 cm.
Calculez les longueurs A'B' et A'C'.
Exercice 2
Sur la figure ci-dessus, le rectangle AFEG est un agrandissement du rectangle ABCD. On
admettra que les points A, C, E sont alignés et que (EF) // (CB) et (EG) // (CD).
1) Calculer la longueur de la diagonale [AC].
2) Calculer les longueurs AF et AG.
3) Calculer l'échelle de l'agrandissement.
Exercice 3
L’aire du triangle ADE est 54 cm2.
B est le point de [AD] tel que
, C est le point de [AE] tel que
.
1. Démontrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
2. Le triangle ABC est une réduction du triangle ADE. Quelle est l'échelle de la réduction?
3. Calculer l'aire du triangle ABC.
Correction Exercice 1:
Le triangle ABC a pour aire : (3 × 2) : 2 = 3 cm².
Soit k le coefficient d'agrandissement pour passer de ABC à
A'B'C'.
D'où aire(A'B'C') = k² × aire(ABC).
Soit 27 = k² × 3
k² = 27/3 = 9 d'où k=3.
A'B'C' est trois fois plus grand que ABC donc
A'B' = 3×AB = 3×3= 9cm
A'C'= 3×AC = 3×2=6cm
Correction Exercice 3 :
1) Les points A,B,D et A,C,E sont alignés dans cet ordre.
De plus : AB/AD =1/3 AC/AE = 1/3
Donc d'après la réciproque du Théorème de Thales, les droites
(BD) et (CE) sont parallèles.
2) Comme AB = 1/3 AD l'échelle de la réduction est 1/3
3) Aire (ABC) =6 cm2
Correction exercice 2
1) Dans le triangle ABC rectangle en C, on a d'après le
théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
AC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
D'où AC=10
2) Les triangles ABC et AFE sont tels que :
A,B,F et A,C,E sont alignés et (EF) // (CB).
D'après le théorème de Thales, on a :
AB/AF = AC/AE = BC/FE 8/AF =10/10+3 = 6/FE
8/AF = 10/13 10AF=8(13) AF = 104/10 = 10,4
10/13=6/FE 10FE= 6(13) FE =78/10 = 7,8
De plus, comme AFEG est un rectangle, ses côtés opposés sont
égaux donc AG=EF=7,8cm.
3) L'échelle de l'agrandissement :
AF : AB = 10,4 : 8 = 1,3.
Le rectangle AFEG est 1,3 fois plus grand que ABCD.