Corrigé DS2 - Dominique Frin

CORRIGÉ
DEVOIR SURVEILLÉ N° 2
TERMINALE S SPÉCIALITÉ
EXERCICE 1 : 1. Le nombre 503 n'est pas divisible par les nombres premiers inférieurs à 503 22, donc c'est
un nombre premier.
2. On factorise x2 – y2 = (x – y)(x + y) = 503. Comme 503 est un nombre premier, alors x + y = 503 et x – y = 1 ou
bien x + y = 1 et x – y = 503. On résout les systèmes de deux équations à deux inconnues qui apparaissent, et on
trouve : x = 252 et y = 251 ou bien x = 252 et y = – 251. Comme x et y sont des entiers naturels, seule la première
solution est correcte; donc les seuls entiers naturels x et y tels que x2 – y2 = 503 sont x = 252 et y = 251.
EXERCICE 2 : 1. La décomposition en produit de facteurs premiers de 2009 est 2009 = 72 ×41; le plus petit
entier naturel n tel que 2009n est un carré d'entier est 41, car 2009×41 = 72 ×412 = (7×41)2 et 41 est un nombre
premier.
2. a) La décomposition en produit de facteurs premiers de 2010 est 2010 = 2×3×5×67.
b) Les diviseurs entiers naturels de 2010 sont formés des diviseurs premiers : {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, 67, 134, 201,
335, 402, 670, 1005, 2010}.
EXERCICE 3 : On cherche une factorisation de 2n2 – 11n + 12 : le discriminant = (– 11)2 – 4×2×12 = 25 > 0,
il y a donc deux racines : n1 =
donc 2n2 – 11n + 12 = 2(n –
115
3
115
=
et n2 =
= 4;
4
2
4
3
)(n – 4) = (2n – 3)(n – 4). Ainsi, 2n2 – 11n + 12 est un nombre premier si l'un des
2
facteurs égale 1 et l'autre égale 2n2 – 11n + 12. Soit 2n – 3 = 1 ou n – 4 = 1. On trouve n = 2 ou n = 5.
Si n = 2, 2n2 – 11n + 12 = – 2, impossible car un nombre premier est un entier naturel;
Si n = 5, 2n2 – 11n + 12 = 7, est donc la seule solution.
EXERCICE 4 : 1. (a2 + a + 1)(a2 – a + 1) = a4 – a3 + a2 + a3 – a2 + a + a2 – a + 1 = a4 + a2 + 1.
2. Le nombre a4 + a2 + 1 peut être un nombre premier si dans la factorisation trouvée à la question précédente, l'un
des facteurs égal 1 : a2 + a + 1 = 1 ou a2 – a + 1 = 1; soit a2 + a = 0 ou a2 – a = 0;
on trouve a = 1, a = 0 ou a = – 1 (n'est pas un entier naturel).
On vérifie : si a = 1, a4 + a2 + 1 = 3 qui est un nombre premier.
si a = 0, a4 + a2 + 1 = 1 qui n'est pas un nombre premier. La seule solution est a = 1.
3. Le nombre 3200 + 3100 + 1 = (350)4 + (350)2 + 1 est de la forme a4 + a2 + 1 avec a = 350 ; donc ce nombre n'est pas
premier.
k k(k + 1) modulo 6
EXERCICE 5 : 1. Pour k entier naturel, les restes possibles de la division euclidienne de
0
0
k(k + 1) par 6 dans le tableau ci-contre :
1
2
2. Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5.
a) Si p est un nombre premier supérieur ou égal à 5, alors il est impair, donc il existe un
2
0
entier naturel k non nul tel que p = 2k + 1.
3
0
b) Si k est congru à 1 modulo 6, alors il existe un entier naturel m tel que k = 6m + 1,
d'où p = 2k + 1 = 2(6m + 1) + 1 = 12m + 3 = 3(4m + 1) et p est divisible par 3, ce qui est 4
2
absurde. Si k est congru à 4 modulo 6, alors il existe un entier naturel m tel que
5
0
k = 6m + 4, d'où p = 2k + 1 = 2(6m + 4) + 1 = 12m + 9 = 3(4m + 3) et p est divisible par
3, ce qui est absurde. Donc k n'est pas congru ni à 1 ni à 4 modulo 6.
c) D'après la question 1 et la question 2. c), p = 2k + 1 et k(k + 1) est divisible par 6, donc il existe un entier q tel
que k(k + 1) = 6q. De plus, p2 – 1 = (2k + 1)2 – 1 = 4k2 + 4k = 4k(k + 1) = 4×6q = 24q est divisible par 24.
EXERCICE 6 : On considère les nombres entiers R2 = 11, R3 = 111, …, Rn = 11...1, où Rn s'écrit avec n chiffres 1.
1. Pour tout entier naturel n non nul, 10 1 (9), donc 10n 1 (9), soit 10n – 1 est divisible par 9.
2. 10n – 1 = 99...9 avec n fois le chiffre 9, donc 10n – 1 = 9Rn .
3. Si n est pair, Rn = 11×10n – 2 + 11×10n – 4 + … + 11 = 11×(10n – 2 + 10n – 4 + … + 1) qui est divisible par 11.
Si n est impair, n – 1 est pair et Rn = 10n – 1 + Rn – 1 1 + 0 (11); donc les restes de la division euclidienne de Rn par
11 sont 1 ou 0 suivant la parité de n.
4. Si n est pair et supérieur ou égal à 4, alors Rn est divisible par 11 (question 2) donc n'est pas premier.
5. Si n est un multiple de 3, alors Rn = 111×10n – 3 + 111×10n – 6 + … + 111 = 111×(10n – 3 + 10n – 6 + … + 1) =
3×37×(10n – 3 + 10n – 6 + … + 1) qui est divisible par 3, donc n'est pas premier.