Devoir maison n° 4 A rendre pour le 30 / 11 / 04 Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O,Error!,Error!). On rappelle que pour tout vecteur Error! non nul, d'affixe z, on a : | z | = || Error! || et arg(z) = (Error! , Error! ), défini à 2 k près. Dans cet exercice, on prend comme prérequis le résultat suivant : Si z et z' sont deux nombres complexes non nuls alors arg(z z') = arg(z)+arg(z') (à 2 k près). 1° Soit z et z' sont deux nombres complexes non nuls, démontrer que : arg Error! = arg (z) – arg (z') On note A et B les points d’affixes respectives 2 i et – 1. A tout nombre complexe z, distinct de 2 i, on associe le nombre complexe Z = Error! · 2° Donner une interprétation géométrique de l’argument de Z dans le cas où z – 1. 3° Déterminer et représenter graphiquement, en utilisant la question précédente, les ensembles de points suivants : a) L’ensemble E des points M d'affixe z tels que Z soit un nombre réel négatif. b) L’ensemble F des points M d'affixe z tels que Z soit un nombre imaginaire pur. 1° z' Error! = z donc arg Error! = arg z donc arg z' + arg Error! = arg z donc arg Error! = arg z – arg z' 2° z + 1 est l'affixe de Error! et z – 2 i est l'affixe de Error! . On a arg Z = arg (z + 1) – arg (z – 2 i) = (Error! , Error!) – (Error! ; Error!)= (Error! , Error!) 3° a) M A Z I; R– arg Z = [2 ] ou Z = 0 (Error! , Error!) = ou M = B M [AB] – {A} b) M A Z i I; R arg Z = Error! [ ] ou M = B Error! Error! ou M = B M est sur le cercle de diamètre [AB] privé de A. Remarque : "algébriquement " c'est plus compliqué (surtout pour le a)) Z = Error! = Error! = Error! = Error! + i Error! a) x + i y 2 i Z I; R– Error! = 0 et Error! 0 y = 2 x + 2 et x2 + (2 x + 2)2 – 2 (2 x + 2) + x 0. y = 2 x + 2 et 5 x2 + 8 x + 4 – 4 x – 4 + x 0 y = 2 x + 2 et 5 x2 + 5 x 0 y = 2 x + 2 et 0 x – 1 On obtient le segment de la droite d'équation " y = 2 x + 2 " d'extrémité A(2 i) et B ( – 1) privé du point A b) x + i y 2 i Z i I; R Error! = 0 x2 + x + y2 – 2 y = 0 Error!Error! + (y – 1)2 = Error! On obtient le cercle de centre (– 1/2 + i) de rayon 5/2 privé de A.