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EXPLORATION DES ENSEMBLES DE NOMBRES : EXERCICES.
Etude des nombres entiers naturels.
1- Si a est exp, que dire de a+1, a-1, a² ?
2- Si  est tg, que dire de +1, -1, ² ?
3- Soient a et b deux entiers tels que a < b.
si a est tg, que dire de b ? de b-1 ?
si b est explicite, que dire de a ? de a+1 ?
si a est exp, b peut-il être exp ? tg ? Conclusion ?
4- Existe-t’il un plus grand entier explicite ? un plus petit très grand ?
Etude des nombres réels.
Ordres de grandeur des nombres réels.
5- Quelle est la partie entière d’un nombre réel très petit positif ?
6- Soient x et y positifs tels que 0  x < y
Que peut-on dire de y lorsque x est tgp ? modntp ? tp ?
Que peut-on dire de x lorsque y est tgp ? modntp ? tp ?
7a)Quelle est la 1 000 000 000ième décimale d’un nombre très petit ?
b) Que dire des décimales d’ordre explicite d’un nombre très petit ?
c) Peut-on faire des remarques sur les décimales d’un nombre modéré ?
8- Compléter (si possible...) les tableaux suivants:
+
tp
mo tgp tgn
X
tp
mo tgp tgn
dnt
dnt
p
p
tp
Tp
mo
dnt
p
tgp
Mo
dnt
p
Tgp
tgn
Tgn
9- Soit  un nombre tg. Préciser la nature des nombres suivants:
 a+b
avec a = b = 
 ab
avec a =  2 et b =
avec a =  et b = - 
 ab
avec a =  et b =
 a+b
avec a =  et b = -  + 3
 ab
avec a =  2 et b =
x en fonction de celle de x.

1
 a+b
10- x  0. Préciser la nature de
1

1
3
11- a) x  0. Préciser la nature de
1
en fonction de celle de x.
x
b) Compléter, si possible, le tableau des ordres de grandeur de
/
tp
modntp
x
:
y
tg
tp (0)
modntp
tg
12- Donner l'ordre de grandeur des expressions numériques suivantes:
( h est un nombre tp non nul,  est un nombre tg )
h  1 h2
;

h h2  1
1 10 2  1   1
1   2
2
; 2
;
 2   100  5; 2 ;
 5  2   1     2  2
2

h
2h  1 10 2  1
;
;
;

h  2   1   3 5h  2
Nombres très proches.
13- : Soient a,a',b,b' et c des nombres réels. Montrer que:
si a  a' alors a et a' sont de même nature
si a  b et b  c alors a  c
si a  a' et b  b' alors a + b  a’ + b'
si a  a' et b  b' avec a et b modérés alors ab  a’b'
1 1
si a  a' avec a non très petit alors 
a a'
si a  a' et b  b' avec a modéré et b non très petit alors
a a'

b b'
si a  2 alors a  2 et plus généralement:
si a  a' avec a et a' modérés alors a  a'
14- Donner l'ordre de grandeur des expressions numériques suivantes:
3
2h  1
2  1
a)
avec h  0, h  0
b) 3
;
avec  tg
 1   3
h3
3a  1
c)
avec a  2, a  2
a2
a 1
1 h 1
d)
avec h  0, h  0
e)
avec a  1, a  1
h
2 a3
a2  a  2
a3
f) 2
avec a  3, a  3
g) 2
avec a  -1, a -1
2a  8a  10
a  a  12
15- : Soient  un nombre très petit non nul et  un nombre très grand positif. Donner l’ordre de
grandeur de chacun des nombres suivants lorsque cela est possible :
1 1
 1 
²  1
,
,
,
a) , , ,  ² ,
.
 ²
   2  1 ² 1
1  1 
 ² 10 ²  1   1 1   2   4
b)  ² , ,
.
,
,
,
,
,
    2  ²  1 5  2  ²  1    2  2 4
 
 1 
²  1
,
,
,
c) , ,  . ,
 
   2  .  1  ²  1
16-- Résolution de “ presqu’équations ” dans D puis dans Q et dans R.
a) 2x - 3  0
b) 3x -1  0
c) (x-1)(x+3)  0
d) x² - 2  0
e) x² + 4  0
f) x - 3  0
17- Déterminer a rationnel tels que, pour tout nombre h très petit, on a :
1
a) (1+h)²  1 +ah
b) 1 h  1 + a.h
c)
 1 +a.h
1 h
Nombres explicites.
Nombres rationnels explicites.
18- Si x et y sont des rationnels explicites, que dire de x+y, x.y, 3x+5y, x², x196.y187654 ?
19-
  ² 1   1 3 ²  2
, , ,
,
?
 3   
²
b) Tous les rationnels modérés sont-ils explicites ?
a) Soit  un entier très grand. Que dire de
4
,
Notion d’ombre.
20- Supposons que x et y sont des réels modérés et que n est un entier explicite: montrer que :
a) °(x+y) = °x +°y
b) °(x.y) = °x.°y
c) °(-x) = -°x
d)°(xn) = (°x)n
e) x > 0  °x0
f) x  y  °x  °y
21- Prouver que
2 . est égal à son ombre (c’est à dire montrer qu’il est explicite).