nombres nombre -l

2°16
Devoir surveillé n°1
mardi 30 septembre 2003
Exercice I Ensemble de nombres
5 points
1° Après avoir simplifier au maximum les nombres suivants, classer les nombres de la liste suivante en quatre
catégories : entiers, décimaux non entiers, rationnels non décimaux et irrationnels.
a = Error!
b = Error!
c = Error! – Error! d = – Error! 
e = Error!
Error! + Error!
f = Error!
g = Error!
i=3+1
h = 610-4
j = (– 3 )4
2° a) Donner un rationnel non décimal.
b) Donner un réel non rationnel.
c) Donner un décimal non entier.
d) Donner un entier non naturel.
Exercice II :
7 points
1° Donner la définition de nombre premier.
2° Donner 8 nombres premiers.
3° Déterminer si les nombres suivants sont premiers.
S’ils ne le sont pas, donner leur décomposition en produit de facteurs premiers.
a) 3 036
b) 504
c) 7 875
d) 211
4° Mettre les fractions suivantes sous forme irréductible en utilisant les décompositions en produit de facteurs
premiers de leurs numérateurs et de leurs dénominateurs.
a)
b)
Error!
Error!
5° Simplifier les racines carrées suivantes en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers.
a)
7 875
b)
504
6° Donner le PGCD des nombres suivants en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers.
PGCD ( 504 , 7 875 )
Exercice III
7 points
1° Ecrire sous la forme 2n  3m  7p :
A = 21–5  635  14–4.
n
m
p
2° Ecrire sous la forme 2  3  5 : B = Error!
3° Ecrire sous forme de fraction irréductible :
C = Error!  Error! – Error! Error!
D = Error! – 3  Error! + 5  Error!
4° Soient les nombres : X = (2 5+ 2)  ( 5 – 2) , Y = ( 5 – 1)2 et Z = Error!
Démontrer que X, Y et Z sont égaux..
Exercice IV
1 point
Démontrer que le carré d'un nombre impair est impair.
Exercice I
– Error! = Error! – – Error!  Error! + Error! = – Error!
= Error!
= Error!
Error! = – Error!
 Error! + Error! = – Error!
=–1
a  Ì et a  b  Ì et b 
=–3
c  Z;Z et c  I; N
d  Z;Z et d  I; N
Z;Z
Z;Z
Error!= Error! =
e = Error! f =Error!
j = (– 3 )4
h =610-4
i=3+1
f  I;Q et f  3
 I;Q
= 34 j 
 I;Q
h  Ì et h 
Ì
g  Ì et g 
I; N
Z;Z
Z;Z
Error!
=
Error!
Error!
=
Error!
Error!
2° a) Error!  Error! et Error!  Ì
b) Error!  Error!
c) 0,5 Ì et 0,5 Error!
d) – 3
 Z;Z et – 3  I; N.
Exercice II
1° Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à 2 qui n'admet pas d'autres diviseurs
que 1 et lui-même.
2° 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41…
3° 3 036 = 22  3  11  23
504 = 23  32  7
7 875 = 32  53 7
1 201 est premier
4° Error! = Error! = Error!
Error! = Error! = Error!
5°
7 875 = 5  3  Error! = 15 Error!
504 = 2  3 Error! = 6 Error!
3
2
2
3
2
6° PGCD ( 504 , 7 875 ) = PGCD ( 2  3  7 ; 3  5  7 ) = 3  7 = 63
Exercice III
1° 21–5  635  14–4 = (3  7)–5  (32  7)5  (2  7)–4
= 3–5  7–5  310  75  2–4  7–4
= 2–4  35  7–4.
2° Error! = Error! = Error! = 2–3  3–2  5–1
3° C = Error!  Error! – Error! Error! = Error!  Error! – Error!  Error! = Error!  Error! – Error!
 Error! = Error! + 1 = Error!
E = Error! – 3  Error! + 5  Error! = Error! – Error! + Error! = Error! – Error! + Error! =
Error!
4° X = (2 5+ 2)  ( 5 – 2) = 2  ( 5)2 – 4 5 + 2 5 – 4 = 6 – 2
Y = ( 5 – 1)2 = ( 5)2 – 2 5 + 1 = 6 – 2 5
Z = Error! = Error! = Error! = 2 (3 – Error!) = 6 – 2 Error!
Exercice IV
(2 n + 1)2 = 4 n2 + 4 n + 1 = 2 (2 n2 + 2 n) + 1
5